高考数学人教版理科一轮复习配套课件5.4数列求和

的前 n 项和 Tn. [解] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得
4a1＋6d＝8a1＋4d， a1＋2n－1d＝2a1＋2n－1d＋1，
a1＝1， 解得 d＝2.
因此an＝2n－1，n∈N*. b1 b2 bn 1 (2)由已知a ＋a ＋„＋a ＝1－2n，n∈N*， 1 2 n b1 1 当n＝1时，a ＝2；
1
此步骤不可缺！
1 1 bn 1 当n≥2时，a ＝1－2n－1－2n－1＝2n， n bn 1 所以a ＝2n，n∈N*. n
由(1)知an＝2n－1，n∈N*，
2n－1 所以bn＝ 2n ，n∈N*. 2n－1 1 3 5 所以Tn＝2＋22＋23＋„＋ 2n ， 2n－3 2n－1 1 1 3 2Tn＝22＋23＋„＋ 2n ＋ 2n＋1 . 两式相减，得 2 2n－1 1 1 2 2 ＋ ＋„＋ n－ n＋1 2 2 2Tn＝2＋22 23 2n－1 3 1 ＝2－ n－1－ n＋1 ， 2 2 2n ＋ 3 所以Tn＝3－ 2n .
(2)错位相减法：
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求， 如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的．
(3)裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和．
(4)分组求和法：
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求 和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．
[试一试]
数列{an}的通项公式是 an＝ 于 A． 9 C．10 B．99 D．100 ，前 n 项和为 9，则 n 等 n＋ n＋1 ( ) 1
答案：B
数列求和的常用方法
(1)倒序相加法：
如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的 和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒 序相加法，如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的．
知，
Sn＝b1＋b2＋„＋bn
n 1 1 1 - 2 nn＋1 2 ＝2n＋2· 2 ＋ 1 12
1 ＝n ＋3n＋1－2n.
2
[类题通法]
分组转化法求和的常见类型
(1)若 an＝bn± cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分 组求和法求{an}的前 n 项和；
21－2n n1＋2n－1 解析：Sn＝ ＋ ＝2n＋1－2＋n2. 2 1－2
答案：2n 1＋n2－2
＋
[典例]
(2013· 安徽高考)设数列{an}满足 a1＝2，a2＋a4＝
8，且对任意 n∈N*，函数 f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x －an＋2sin x 满足
解：(1)由 a1＝3，得 2p＋q＝3，又因为 a4＝24p＋4q， a5＝25p＋5q，且 a1＋a5＝2a4， 得 3＋25p＋5q＝25p＋8q， 解得 p＝1，q＝1. (2)由(1)， 知 an＝2n＋n， 所以 Sn＝(2＋22＋„＋2n)＋(1＋2＋„ nn＋1 n＋1 ＋n)＝2 －2＋ 2 .
(5)并项求和法：
一个数列的前 n 项和， 可两两结合求解， 则称之为并项求和． 形 如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
[练一练]
1．若 Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋„＋(－1)n－1· n，则 S50＝________.
答案：－25
2．若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前 n 项和为________．
[典例]
(2013· 山东高考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，
且 S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式； b1 b2 bn 1 (2)若数列{bn}满足a ＋a ＋„＋a ＝1－2n，n∈N*，求{bn} 1 2 n
用首项和公差表示解方程 组，进而得通项公式！
bn，n为奇数， (2)通项公式为 an＝ cn，n为偶数，
的数列， 其中数列{bn}，
{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
[针对训练] 已知数列{an}的首项 a1＝3，通项 an＝2np＋nq(n∈N*，p，q
为常数)，且 a1，a4，a5 成等差数列．求：
(1)p，q 的值； (2)数列{an}前 n 项和 Sn 的公式．
π f′2＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若
1 bn＝2an＋2an，求数列{bn}的前
n 项和 Sn.
解 题 思 路
[解]Байду номын сангаас
＋2
求导
代值找数列关系
求通项公式
分组求和
(1)由题设可得 f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an
cos x. 对任意 n∈N
*
π ，f′2＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，
即 an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列． 由 a1＝2，a2＋a4＝8，可得数列{an}的公差 d＝1， 所以 an＝2＋1· (n－1)＝n＋1.
(2)由
1 1 1 bn＝2 an＋2an ＝2n＋1＋2n＋1＝2n＋2n＋2
2 n (2)1＋3＋5＋7＋„＋2n－1＝ ；
2 n (3)2＋4＋6＋8＋„＋2n＝ ＋n .
1．使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了 哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的 项有前后对称的特点．
2．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数， 应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解．
第四节
数列求和
1．等差数列的前 n 项和公式
na1＋an na1＋nn－1d Sn＝ ＝ 2 2
；
2．等比数列的前 n 项和公式
na1，q＝1， a11－qn Sn＝a1－anq ＝ 1－ q 1－q
，q≠1.
3．一些常见数列的前 n 项和公式 nn＋1 2 (1)1＋2＋3＋4＋„＋n＝ ；