2012考研必备 高等数学 难点精讲

8 − 2第一类曲面积分 − −对面积的曲面积分 M = ∫ ρ (x,y)ds ⇒ M = ∫∫ ρ (x,y,z)ds
L ∑
定义：教材187页 第一类曲面积分计算法：设曲面 ∑：z = z(x,y), ∑ 在 xoy平面上投影区域为Dxy : (x,y) ∈ Dxy 将曲面积分∫∫ ρ (x,y,z)ds ⇒ 二重积分
∫∫ = ∫∫ + ∫∫ + ∫∫
∑ ∑1 ∑2 ∑3
(1)对于 ∑1 :z = 1 + x,ds = 1 + z x 2 + z y 2 dσ = 2π
∫∫ zds = ∫∫ (1 + x )
∑1 D xy ∑2
2dσ =
2π
∫ dϕ ∫ (1 + ρ cosϕ )
0 0
1
2 ρ dρ = 2π
(2)对于 ∑ 2 :z = 0,得 ∫∫ zds =
L
4.特别地，1⋅ ds = u(L)－曲线L的弧长 ∫
L
5.性质（线性性质，可加性等）教材181页。
第一类曲线积分的计算法 ⇒ 转化为定积分 ⎧ x = x(t) 1. L由参数方程给出：L: ⎨ (α ≤ t ≤ β ) ⎩ y = y(t) ds = x t '2 + y t '2 dt, ∫ f(x,y)ds = ∫ f[x(t),y(t)] x t '2 + y t '2 dt
∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy
L
= ∫ P[x,y(x)]dx + Q[x,y(x)⎪ 情形3. 推广之，P为空间曲线 ⎨ y = y(t) ⎪ z = z(t) ⎩
∫ P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz
Γ
= ∫ P[x(t),y(t),z(t)]x ′(t)dt + Q[x(t),y(t),z(t)]y′(t)dt
∑
1. f(x,y,z) ⇒ f[x,y,z(x,y)] 2. ds = 1 + z x 2 + z y 2 dσ 3. ∑ ⇒ Dxy
故知∫∫ f(x,y,z)ds =
∑
D xy
f[x,y,z(x,y)] 1 + z x 2 + z y 2 dσ ∫∫
1 例1 计算曲面积分 ∫∫ ds,其中 ∑ 是求面 z ∑ x 2 + y 2 + z 2 = a 2夹在平面z = h与z = a (0 < h < a)之间的一部分。 ⎧x 2 + y2 + z2 = a 2 2 2 2 2 (交线) 解： ：x + y + z = a ， ∑ ⎨ z=h ⎩ 2 2 2 2 D xy :x + y = a -h (圆域)
W = lim ∑ ΔWi = lim ∑ [P(,ηi )Δx i + Q(ξi ,ηi )Δyi ]
λ →0
i =1
n
n
λ →0
i =1
= ∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy
L
= ∫ Pdx + Qdy
L
定义：P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∫ Pdx + Qdy ∫
L L
Γ
-α
sin 2ϕ dϕ = ρ R 3 (α -sinα cosα ) ∫
y = asint,z = kt上相应于t从0到2π的一段弧。 ⎧ x 2 + y 2 + z 2＝1 例5 计算 ∫ x 2 ds,其中Γ为曲线 ⎨ . ⎩ x+y+z =0 Γ
解： ∫ x 2 ds = ∵
Γ 2
Γ
y 2 ds = ∫
=∫
1
(1 + x )
-1
3π dx = ∫ (1 + sint ) dt = 2 1-x 2 π x =sint 2 2 2
例3 求密度均匀的半球面z = a 2 -x 2 -y 2的重心。
解：设 ∑ 重心为(x,y,z), ∵ ρ = 常数，由对称性知 x＝0， 0 y＝ z=
∫∫ zρ ds ∫∫ zds ∫∫ zds ∫∫ zds
8 − 3 第二类曲线积分 − −对坐标的曲线积分 引例：变力沿曲线所作的功 常力沿直线作功：W = F ⋅ AB 变力F(x,y) = P(x,y)i + Q(x,y) j,使质点沿曲 线L从点A → 点B，其所作的功W = ? 微元法：弧M i-1M i ≈ M i-1M i = ( Δx i ) i + ( Δyi ) j F(ξi ,ηi ) = P(ξi ,ηi )i + Q(ξi ,ηi ) j ΔWi = F(ξi ,ηi ) ⋅ M i-1M i = P(ξi ,ηi )Δx i + Q(ξi ,ηi )Δyi
ε
β
+ R[x(t),y(t),z(t)]z′(t)dt 例1 计算∫ xydx,其中L为抛物线y 2 = x上从点A(1,-1)到点
L
B(1,1)的一段定向弧。 解：法1 法2 ⎧x = y2 以y为积分变量 ⎨ ⎩y=y ⎧ x=x ⎪ 以x为积分变量 ⎨ ⎪y = ± x ⎩
例2 设有一平面力场F(x,y) = 2xyi + x 2 j,一质点在场 力作用下运动，求下述情况下场力所做的功。 （ ）质点从O(0,0)处沿抛物线y = x 2 进行到 1 B(1,1)处. （2）质点从O(0,0)处沿直线行进到A(1,0),再 从A沿直线行进到B处。 例3 计算∫ ydx + zdy + xdz,其中Γ为从点A(2,0,0)到
⎧ x = Rcosϕ (-α ≤ ϕ ≤ α ) 解：适当选择坐标系 ⎨ ⎩ y = Rsinϕ I x = ∫ y ρ (x,y)ds = ρ ∫ R sin ϕ
2 2 2 L -α
α
( -Rsinϕ ) + ( Rcosϕ ) dϕ
2 2
= ρR3
α
例4 计算曲线积分 ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )ds,其中Γ为螺旋线x = acost,
D xy
∫∫ 0ds = 0
(3)对于 ∑3 :由对称性（关于zox平面对称）y = ± 1-x 2 分成两块 zds = 2 ∫∫ z 1 + y x 2 + y z 2 dσ ∫∫
∑3 Dzx
= 2 ∫∫ z ⋅
Dzx
1 1-x 2
2
dx = 2∫
π
1
1 1-x 2
1+ x
dx
-1
∫ zdz
0
z 2 = a 2 -x 2 -y 2 ,z = a 2 -x 2 -y 2 , -x -y a2 zx = ,z y = ,ds = 2 2 2 dσ a -x -y z z 1 1 a ∫∫ zds = D a 2 -x 2 -y2 ⋅ a 2 -x 2 -y2 dσ ∫∫ ∑ xy
2π
=
∫ dϕ
L a b
0 例1 计算∫ yds,其中L是由抛物线y = x 2介于点 ( 0，) 与点 (11) 之 ，
L
间的一段弧。 例2 计算∫ R 2 -x 2 -y 2 ds，其中L为上半圆弧x 2 + y 2 = Rx,y ≥ 0.
L
⎧ x = Rcos 2ϕ [分析] L参数方程表达式： ⎨ ⎩ y = Rcosϕ sinϕ 例3 求半径为R,中心角为2α的均匀物质圆弧对于其对称轴 （选择坐标系） 的转动惯量。
理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两 类曲线积分的关系。 会计算两类曲线积分。 掌握格林（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无 关的条件。 了解两类曲面积分的概念及高斯（Gauss）、斯托克斯 （Stockes）公式并会计算两类曲面积分。 了解散度、旋度的概念及其计算方法。 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面 面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等）。
0 0
2
ρ = tant
1 = 2π 2
arctan 2
∫
0
tan 3 t ⋅ sect ⋅ sec 2 tdt
= π ∫ sec 2 t ( sec 2 t-1)d(sect)
0
3
1 5 1 3 2π 3 6 3 +1 = π [ sec t- sec t] = 5 3 15 0
(
)
复习： − 196页，预习： − 206页 187 197 习题：− （ 页） 2(1),3,5(3),7 8 2 196
性质： Pdx + Qdy = -∫ Pdx + Qdy ∫
L－ L
计算法：情形1.
⎧ x = x(t) L是参数方程给出 ⎨ ⎩ y = y(t)
∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy
L
= ∫ P[x(t),y(t)]x′(t)dt + Q[x(t),y(t)]y′(t)dt
α
β
情形2. L是直角坐标方程给出y = y(x)
Γ
z 2 ds ∫
2 2
1 ∴ ∫ x ds = 3 Γ
Γ
∫ (x
2
+ y + z )ds
1 1 2 = ∫ ds = u(Γ) = π 3Γ 3 3 ⎧x 2 + y2 + z2 = 1 注意：当∫∫ x 2 dσ , D为由 ⎨ 时 z=0 ⎩ D 不能用本题所用方法。 178-186页，预习： 187-195页 复习： 8-1 186 2(1) 习题： （ 页） (2)(3)(5),3
∑ ∑
z x = x,z y = y, ds = 1 + x 2 + y 2 dσ x 2 + y2 D xy :0 ≤ ≤ 1 ⇒ x 2 + y2 ≤ 2 ⇒ ρ ≤ 2 2 x 2 + y2 M = ∫∫ zds = ∫∫ 1 + x 2 + y 2 dσ 2 ∑ ∑ 1 = 2