第二十七课符号检验和Wilcoxon符号秩检验
wilcoxon符号秩检验步骤
wilcoxon符号秩检验步骤
Wilcoxon符号秩检验是一种非参数检验方法，用于比较两个相关样本的中位数是否有显著差异。
以下是Wilcoxon符号秩检验的步骤：
1. 收集相关样本数据，并将其按照一定顺序排列。
2. 对每个样本数据，计算其差值（样本数据之间的差异）。
3. 对差值进行绝对值处理，并按照绝对值大小将差值从小到大进行排序。
4. 为每个排序后的差值分配一个秩次（按照排序后的顺序，从1开始）。
5. 计算正差值的秩次和负差值的秩次总和。
6. 根据正差值与负差值的秩次总和，计算出符号检验统计量W值。
7. 根据样本容量以及显著性水平的临界值表，确定临界值。
8. 比较W值与临界值，判断是否有显著差异。
9. 如果W值小于临界值，则认为两个样本的中位数之间没有显著差异；如果W值大于或等于临界值，则认为两个样本的中位数之间存在显著差异。
需要注意的是，Wilcoxon符号秩检验是一种针对配对样本的检验方法，适用于样本容量较小、数据非正态分布或存在异常值情况下的检验分析。
SAS讲义_第二十七课符号检验和Wilcoxon符号秩检验
SAS讲义_第二十七课符号检验和Wilcoxon符号秩检验第二十七课符号检验和Wilcoxon 符号秩检验在统计推断和假设检验中，传统的检验统计量都叫做参数检验，因为它们都依赖于确定的概率分布，这个分布带有一组自由的参数。
参数检验被认为是依赖于分布假定的。
通常情况下，我们对数据进行分析时，总是假定误差项服从正态分布，这是人们易于接受的事实，因为正态分布的原始出发点就是来自于误差分布，至于当样本相当大时，数据的正态近似，这是由于大样本理论所保证的。
但有些资料不一定满足上述要求，或不能测量具体数值，其观察结果往往只有程度上的区别，如颜色的深浅、反应的强弱等，此时就不适用参数检验的方法，而只能用非参数统计方法（non-parametric statistical analysis ）来处理。
这种方法对数据来自的总体不作任何假设或仅作极少的假设，因此在实用中颇有价值，适用面很广。
一、单样本的符号检验符号检验（sign test ）是一种最简单的非参数检验方法。
它是根据正、负号的个数来假设检验。
首先需要将原始观察值按设定的规则，转换成正、负号，然后计数正、负号的个数作出检验。
该检验可用于样本中位数和总体中位数的比较，数据的升降趋势的检验，特别适用于总体分布不服从正态分布或分布不明的配对资料，有时当配对比较的结果只能定性的表示，如试验前后比较结果为颜色从深变浅、程度从强变弱，成绩从一般变优秀，即不能获得具体数字，也可用符号检验，例如用正号表示颜色从深变浅，用负号表示颜色从浅变深。
用于配对资料时，符号检验的计算步骤为：首先定义成对数据指定正号或负号的规则，然后计数正号的个数+S 及负号的个数-S ，由于在具体比较配对资料时，可能存在配对资料的前后没有变化，或等于假设中的中位数，此时仅需要将这些观察值从资料中剔除，当然样本大小n 也随之减少，故修正样本大小-++=S S n 。
当样本n 较小时，应使用二项分布确切概率计算法，当样本n 较大时，常利用二项分布的正态近似。
两组非参数检验方法
两组非参数检验方法非参数统计方法是指对总体分布形式不作任何假设的一类统计检验方法。
相对于参数统计方法而言，非参数统计方法在总体参数未知或者总体分布不满足特定假设条件的情况下更能适用。
本文将介绍两组常用的非参数检验方法：符号检验和Wilcoxon秩和检验。
第一组非参数检验方法是符号检验。
符号检验是对两个独立样本进行的一种非参数假设检验方法。
它的基本原理是比较两个样本中大于（或小于）某个特定值的样本数量是否具有显著差异。
首先，我们需要定义一个零假设（H0）和一个备择假设（H1）。
然后，计算两个样本对应数据的差值。
对于差值为正的样本，给予“+”符号；对于差值为负的样本，给予“-”符号；对于差值为零的样本，可以省略不计。
最后，通过比较“+”和“-”符号的数量，使用二项分布来计算出p值。
第二组非参数检验方法是Wilcoxon秩和检验。
这是一种用于比较两个相关样本的非参数假设检验方法。
它的思想是先将两个样本进行相互配对，然后对两个样本的差异值按大小进行排列，并赋予秩次。
然后，计算出正向差异和负向差异的秩和，并取较小值作为检验统计量。
最后，根据理论分布进行显著性检验，得到p值。
这两组非参数检验方法都有自己的适用范围和优势。
符号检验适用于样本容量较小、样本分布不满足正态分布假设的情况下，对两个独立样本差异进行显著性检验。
Wilcoxon秩和检验适用于比较两个相关样本之间的差异，如前后两次测量、配对样本的差异等。
与参数检验方法相比，这两个非参数方法更加鲁棒，能够在总体分布未知或偏离正态分布的情况下给出可靠的结果。
总结起来，非参数检验方法是一类不依赖与总体参数分布假设的统计方法，常用于小样本或总体分布不明确的情况下。
符号检验和Wilcoxon秩和检验是其中两组常用的方法。
符号检验适用于比较两个独立样本的差异，通过比较“+”和“-”符号的数量来判断差异的显著性；Wilcoxon秩和检验适用于比较两个相关样本的差异，通过对差异值按大小排列，并计算秩和来判断差异的显著性。
符号检验和符秩检验
计 • 建立原假设为真前提下的下列检验统计
量：
学
Z P 0.5 ~ N (0,1)
0.25
n
天津财经大学 统计学系
三、威尔科克森配对符号秩检验
统 • 以上所介绍的两总体情形下符号检验方法，
用配对观测之间差别的符号进行检验，而不
计
注重差别的大小，因此对资料的利用不够充 分。
学
天津财经大学 统计学系
• 如果改革没有引起居民经济情况的变 化，那么居民经济情况的前后差异就
统
完全是由于各种随机因素的影响形成
的（假定其它重要的影响因素都已控
计
制不变），于是正差值的个数与负差
值的个数会大体相等。
学 • 把0差值舍去后，对总体（正差值与负 差值组成的总体）作独立重复贝努里
试验，每次试验出现正号的概率是
统 • 取正差值的个数,近似服从正态分布， 所以通常可以将其标准化为标准正态变
计 量，作为检验统计量。 • 建立原假设为真前提下的下列检验统计
学 量：
Z 0.5n ~ N (0,1)
0.25n
天津财经大学 统计学系
二、两总体问题的符号检验
• 两总体符号检验适用于检验配对样本情
统
形下，两总体分布在位置特征上是否有
统
符号检验与符秩检验
计
学
主讲人：杨贵军 教授
天津财经大学 统计学系
主要内容
统 • 单总体问题的符号检验 计 • 两总体问题的符号检验
• 威尔科克森配对符号秩检验 学
天津财经大学 统计学系
一、单总体问题的符号检验
• 单总体符号检验适用于检验总体中位数 统 是否在某一指定位置。
• 检验时，可根据样本中正号的数目来决 计 定是否拒绝原假设：
Wilcoxon符号秩检验
第二节Wilcoxon符号秩检验Wilcoxon符号秩检验符号检验只用了差的符号，但没有利用差值的大小。
12 3Wilcoxon符号秩检验(Wilcoxon signed-rank test) 把差的绝对值的秩分别按照不同的符号相加作为其检验统计量。
显然，相比较于符号检验，Wilcoxon符号秩检验利用了更多的信息。
Wilcoxon符号秩检验：条件u Wilcoxon符号秩检验需要一点总体分布的性质；它要求假定样本点来自连续对称总体分布；而符号检验不需要知道任何总体分布的性质。
u在对称分布中，总体中位数和总体均值是相等的；因此，对于总体中位数的检验，等价于对于总体均值的检验。
u Wilcoxon符号秩检验实际是对对称分布的总体中位数（或均值）的检验。
Wilcoxon符号秩检验：基本原理u计算差值绝对值的秩。
u分别计算出差值序列里正数的秩和（W+）以及负数的秩和（W-）。
u如果原假设成立，W+与W-应该比较接近。
如果W+和W-过大或过小，则说明原假设不成立。
u将正数的秩和或者负数的秩作为检验统计量，根据其统计分布计算p值，从而可以得出检验的结论。
具体步骤设定原假设和备择假设。
分别计算出差值序列中正数的秩和W+以及负数的秩和W-。
根据W+和W-建立检验统计量，计算p值并得出检验的结论。
在双侧检验中检验统计量可以取为W=min(W+,W-)。
显然，如果原假设成立，W+与W-应该比较接近。
如果二者过大或过小，则说明原假设不成立。
秩的计算注意问题计算差值绝对值的秩时，注意差值等于0值不参与排序。
下面一行R i就是上面一行数据Z i的秩。
Z i159183178513719 R i75918426310数据中相同的数值称为“结”。
结中数字的秩为它们所占位置的平均值Z i159173178513719 R i758.518.5426310关于P值u有了检验统计量W，我们就可根据其统计分布计算p值了，双侧检验的p值等于，式中w为检验统计量的样本观测值。
Wilcoxon符号秩检验
第二节Wilcoxon符号秩检验Wilcoxon符号秩检验符号检验只用了差的符号，但没有利用差值的大小。
12 3Wilcoxon符号秩检验(Wilcoxon signed-rank test) 把差的绝对值的秩分别按照不同的符号相加作为其检验统计量。
显然，相比较于符号检验，Wilcoxon符号秩检验利用了更多的信息。
Wilcoxon符号秩检验：条件u Wilcoxon符号秩检验需要一点总体分布的性质；它要求假定样本点来自连续对称总体分布；而符号检验不需要知道任何总体分布的性质。
u在对称分布中，总体中位数和总体均值是相等的；因此，对于总体中位数的检验，等价于对于总体均值的检验。
u Wilcoxon符号秩检验实际是对对称分布的总体中位数（或均值）的检验。
Wilcoxon符号秩检验：基本原理u计算差值绝对值的秩。
u分别计算出差值序列里正数的秩和（W+）以及负数的秩和（W-）。
u如果原假设成立，W+与W-应该比较接近。
如果W+和W-过大或过小，则说明原假设不成立。
u将正数的秩和或者负数的秩作为检验统计量，根据其统计分布计算p值，从而可以得出检验的结论。
具体步骤设定原假设和备择假设。
分别计算出差值序列中正数的秩和W+以及负数的秩和W-。
根据W+和W-建立检验统计量，计算p值并得出检验的结论。
在双侧检验中检验统计量可以取为W=min(W+,W-)。
显然，如果原假设成立，W+与W-应该比较接近。
如果二者过大或过小，则说明原假设不成立。
秩的计算注意问题计算差值绝对值的秩时，注意差值等于0值不参与排序。
下面一行R i就是上面一行数据Z i的秩。
Z i159183178513719 R i75918426310数据中相同的数值称为“结”。
结中数字的秩为它们所占位置的平均值Z i159173178513719 R i758.518.5426310关于P值u有了检验统计量W，我们就可根据其统计分布计算p值了，双侧检验的p值等于，式中w为检验统计量的样本观测值。
R语言wilcoxon秩和检验及wilcoxon符号秩检验的操作
R语⾔wilcoxon秩和检验及wilcoxon符号秩检验的操作说明wilcoxon秩和及wilcoxon符号秩检验是对原假设的⾮参数检验，在不需要假设两个样本空间都为正态分布的情况下，测试它们的分布是否完全相同。
操作#利⽤mtcars数据library(stats)data("mtcars")boxplot(mtcars$mpg~mtcars$am,ylab='mpg',names = c('automatic','manual))#执⾏wilcoxon秩和检验验证⾃动档⼿动档数据分布是否⼀致wilcox.test(mpg~am,data = mtcars)#wilcox.test(mtcars$mpg[mtcars$am==0],mtcars$mpg[mtcars$am==1])（与上⾯等价）Wilcoxon rank sum test with continuity correctiondata: mpg by amW = 42, p-value = 0.001871alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0Warning message:In wilcox.test.default(x = c(21.4, 18.7, 18.1, 14.3, 24.4, 22.8, :⽆法精確計算带连结的p值总结执⾏wilcoxon秩和检验（也称Mann-Whitney U检验）这样⼀种⾮参数检验。
t检验假设两个样本的数据集之间的差别符合正态分布（当两个样本集都符合正态分布时，t检验效果最佳），但当服从正态分布的假设并不确定时，我们执⾏wilcoxon秩和检验来验证数据集中mtcars中⾃动档与⼿动档汽车的mpg值的分布是否⼀致，p 值<0.05,原假设不成⽴。
常用非参数检验简介
1. 2. 3. 4. 5. 6.
符号检验； Wilcoxon符号秩检验； Wilcoxon两样本秩和检验； Mann-Whitney检验； Kruskal-Wallis检验； Friedman检验。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1. 符号检验
（1）适用场合 当“单组设计定量资料”不满足正态性要求时， 可用此方法。 （2）基本原理 各观测值与‘标准值’相减，用K-和K+分别代 表小于和大于标准值的个数，H0为该指标所对 应的中位数为‘标准值’，于是， K-和K+理 论上应相等，根据二项分布原理，可求出K-或 K+的分布规律（见《教程》P185）。
t | RA RB | N ( N 1)(N 1 H ) 1 1 12( N K ) n n B A
Df=N-K，K为因素的水平数，H为秩和检验的统计量， 分子为对比两组的平均秩之差，查t值表得到P值。
2. Wilcoxon符号秩检验
（1）适用场合 当‘单组设计定量资料’和‘配对设计定量 资料的差量’不服从正态分布要求时，可用 此方法。 （2）基本原理 根据各对数据差量之绝对值编秩，分别求出 ‘正秩和R+’与‘负秩和R-’，H0为R+= R-，于 是，根据一种特殊的二项分布原理，可求出 R+’或R-的分布规律。
（1）适用场合 不适合用配伍组设计或两因素无重复实 验设计定量资料的方差分析时，可用此 方法。 （2）基本原理 按各区组（横向）分别编秩，再按因素 的各水平（列向）求秩和，利用秩和构 造卡方统计量，从而实现假设检验。
多样本间两两比较的秩和检验
SAS课件_第二十七课符号检验和Wilcoxon符号秩检验
第二十七课 符号检验和Wilcoxon 符号秩检验在统计推断和假设检验中，传统的检验统计量都叫做参数检验，因为它们都依赖于确定的概率分布，这个分布带有一组自由的参数。
参数检验被认为是依赖于分布假定的。
通常情况下，我们对数据进行分析时，总是假定误差项服从正态分布，这是人们易于接受的事实，因为正态分布的原始出发点就是来自于误差分布，至于当样本相当大时，数据的正态近似，这是由于大样本理论所保证的。
但有些资料不一定满足上述要求，或不能测量具体数值，其观察结果往往只有程度上的区别，如颜色的深浅、反应的强弱等，此时就不适用参数检验的方法，而只能用非参数统计方法（non-parametric statistical analysis ）来处理。
这种方法对数据来自的总体不作任何假设或仅作极少的假设，因此在实用中颇有价值，适用面很广。
一、 单样本的符号检验符号检验（sign test ）是一种最简单的非参数检验方法。
它是根据正、负号的个数来假设检验。
首先需要将原始观察值按设定的规则，转换成正、负号，然后计数正、负号的个数作出检验。
该检验可用于样本中位数和总体中位数的比较，数据的升降趋势的检验，特别适用于总体分布不服从正态分布或分布不明的配对资料，有时当配对比较的结果只能定性的表示，如试验前后比较结果为颜色从深变浅、程度从强变弱，成绩从一般变优秀，即不能获得具体数字，也可用符号检验，例如用正号表示颜色从深变浅，用负号表示颜色从浅变深。
用于配对资料时，符号检验的计算步骤为：首先定义成对数据指定正号或负号的规则，然后计数正号的个数+S 及负号的个数-S ，由于在具体比较配对资料时，可能存在配对资料的前后没有变化，或等于假设中的中位数，此时仅需要将这些观察值从资料中剔除，当然样本大小n 也随之减少，故修正样本大小-++=S S n 。
当样本n 较小时，应使用二项分布确切概率计算法，当样本n 较大时，常利用二项分布的正态近似。
Wilcoxon符号秩检验课件PPT
§2.2 Wilcoxon符号秩检验
Wilcoxon符号秩检验 ( Wilcoxon signedrank test )是非参数统计中符号检验法的改进， 它不仅利用了观察值和原假设中心位置的差的 正负，还利用了差的值的大小的信息。虽然是 简单的非参数方法，但却体现了秩的基本思想。
所以， W (64)＝1,置信区间的上界是1。
所以中位数95％的置信区间是[ －8, 1 ]。
2021/3/10
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问题是求D的中位数MD的95％置信区间。
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Di的12个值按顺序排列为： -15, -12, -10, -8, -7, -4, -3, -1, 2, 5, 6 , 9
间为[ W (15), W (64)]。 这15个最小的平均，由(-15-15)/2开始，是
利用W＋的分布，辅以统计软件，可计算出 p值＝ 0.032。
Step 3. 所以给定α＝0.05时，此时可拒绝原假 设，认为欧洲人均酒精年消费多于8升。
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13
W＋的分布性质
设独立同分布样本x1,…,xn来自连续对称总体 X,X分布的对称中心为θ。为方便讨论，不妨设原
假设为 H0：θ＝0，
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两配对数据比较问题
两成对数据的比较问题可以转化成单样本问题， 用符号检验或Wilcoxon符号秩检验做统计分析。 方法是将两成对样本作差，观察它们的差值，将 其视为新的样本，所以两配对样本实际上就是单 一样本。
R语言wilcoxon秩和检验及wilcoxon符号秩检验
R语言wilcoxon秩和检验及wilcoxon符号秩检验wilcoxon秩和及wilcoxon符号秩检验是对原假设的非参数检验，在不需要假设两个样本空间都为正态分布的情况下，测试它们的分布是否完全相同。
操作#利用mtcars数据library(stats)data("mtcars")boxplot(mtcars$mpg~mtcars$am,ylab='mpg',names = c('automatic','manual))自动档手动档mpg值#执行wilcoxon秩和检验验证自动档手动档数据分布是否一致wilcox.test(mpg~am,data = mtcars)#wilcox.test(mtcars$mpg[mtcars$am==0],mtcars$mpg[mtcars$am==1])（与上面等价）Wilcoxon rank sum test with continuity correctiondata: mpg by amW = 42, p-value = 0.001871alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0Warning message:In wilcox.test.default(x = c(21.4, 18.7, 18.1, 14.3, 24.4, 22.8, :无法精確計算带连结的p值总结执行wilcoxon秩和检验（也称Mann-Whitney U检验）这样一种非参数检验。
t检验假设两个样本的数据集之间的差别符合正态分布（当两个样本集都符合正态分布时，t检验效果最佳），但当服从正态分布的假设并不确定时，我们执行wilcoxon秩和检验来验证数据集中mtcars中自动档与手动档汽车的mpg值的分布是否一致，p值<0.05,原假设不成立。
Wilcoxon符号秩检验的使用方法(四)
Wilcoxon符号秩检验的使用方法Wilcoxon符号秩检验是一种非参数统计方法，通常用于比较两组相关或无关样本的中位数是否有显著差异。
与t检验相比，Wilcoxon符号秩检验对数据的分布没有要求，适用于小样本和偏态分布的数据。
本文将介绍Wilcoxon符号秩检验的使用方法，以及在实际应用中的注意事项。
一、检验前的准备在进行Wilcoxon符号秩检验之前，首先需要收集两组相关或无关样本的数据。
例如，我们想要比较一种新药物对患者血压的影响，可以分别在服药前和服药后对患者进行血压测量，得到两组相关样本的数据。
另外，还需要确定所选样本的总体分布是否为连续性变量，如果是离散型变量则需要使用Fisher精确概率检验。
二、检验的假设Wilcoxon符号秩检验的零假设是两组样本的中位数相等，备择假设是两组样本的中位数不相等。
在进行检验前，需要明确所假设的零假设和备择假设，以及选择显著性水平α的大小。
三、检验统计量的计算Wilcoxon符号秩检验的计算过程包括两个步骤：一是对两组样本的差值取绝对值并排序，二是对取绝对值后的差值排列进行秩和的计算。
具体的计算步骤可以参考统计学的教科书或者使用统计软件进行计算。
四、P值的计算和结果的解释在计算完检验统计量后，需要计算P值以判断检验结果的显著性。
P值代表了在零假设成立的条件下，观察到当前统计量或更极端统计量的概率。
如果P值小于显著性水平α，则可以拒绝零假设，否则不能拒绝零假设。
在解释结果时，需要说明检验的P值和显著性水平，以及对备择假设的接受或拒绝。
五、实际应用中的注意事项在使用Wilcoxon符号秩检验时，需要注意以下几个方面。
首先，样本容量的大小对检验结果的影响较大，样本容量较小时可能会导致检验的统计效力不足。
因此，在设计实验时需要合理确定样本容量。
其次，对数据的分布形态进行检查，如果数据符合正态分布则可以考虑使用t检验。
最后，需要注意样本的匹配性，如果是相关样本则需要保证匹配性，如果是无关样本则需要考虑是否需要配对。
Wilcoxon符号秩检验的使用方法(九)
Wilcoxon符号秩检验的使用方法1、介绍Wilcoxon符号秩检验Wilcoxon符号秩检验是一种非参数统计方法，用于比较两组相关样本或配对样本之间的差异。
与t检验相比，Wilcoxon符号秩检验不要求数据满足正态分布，因此适用性更广泛。
在实际应用中，Wilcoxon符号秩检验常常用于分析实验前后的差异、治疗前后的效果以及相关变量的关联性等问题。
2、数据准备在使用Wilcoxon符号秩检验之前，首先需要准备两组相关样本或配对样本的数据。
这两组数据可以是来自同一组体验的两个时间点的数据，也可以是来自同一组实验对象的两种不同条件下的数据。
数据的收集需要尽量避免主观性和偏差，以确保结果的可靠性。
3、假设检验在进行Wilcoxon符号秩检验之前，需要明确研究假设。
通常来说，备择假设是研究者关心的问题，而零假设是默认状态。
对于Wilcoxon符号秩检验而言，备择假设可以是两组样本之间存在显著差异，或者两组样本之间的中位数存在差异。
在进行假设检验之前，还需要选择显著性水平，通常取或。
4、R语言实现在R语言中，可以使用()函数进行Wilcoxon符号秩检验。
该函数的输入参数包括两组样本的数据向量，以及可选的alternative参数和exact参数。
在使用()函数时，需要注意数据的配对关系，并根据实际情况选择合适的参数设置。
5、SPSS软件实现在SPSS软件中，可以通过选择非参数检验中的相关样本检验功能进行Wilcoxon符号秩检验。
在输入数据后，需要选择相关样本设计，并在选项中勾选Wilcoxon符号秩检验。
在结果输出中，可以查看Wilcoxon符号秩检验的统计量、P值以及效应量大小等信息。
6、结果解读在进行Wilcoxon符号秩检验后，需要对结果进行解读。
如果P值小于选定的显著性水平，就可以拒绝零假设，认为两组样本之间存在显著差异。
此时，还需要关注效应量的大小，以判断差异的实际意义。
如果P值大于选定的显著性水平，则不能拒绝零假设，即无法得出两组样本之间存在显著差异的结论。
Wilcoxon符号秩检验
04 Wilcoxon符号秩检验 的优缺点
优点
无需假设数据分布
Wilcoxon符号秩检验是一种非参 数检验方法，不需要假设数据服 从特定的分布，因此对于不符合 正态分布的数据也能得到较为准 确的结果。
对异常值不敏感
由于Wilcoxon符号秩检验是基于 秩次的检验方法，因此对于异常 值的存在并不敏感，能够得到较 为稳健的结果。
适用于配对样本
Wilcoxon符号秩检验适用于配对 样本的比较，能够充分利用样本 信息，提高检验的效能。
缺点
检验效能较低
相比于参数检验方法，如t检验，Wilcoxon符号秩检验的检 验效能较低，即当存在真实的差异时，该方法可能无法准 确地检测出差异。
对样本量要求较高
为了得到较为准确的检验结果，Wilcoxon符号秩检验需要 较大的样本量。当样本量较小时，该方法的准确性可能会 受到影响。
正态分布，因此适用于更广泛的数据
类型。
符号秩检验的定义
符号
在Wilcoxon符号秩检验中，首先计算每对观测值 之间的差值，并根据差值的正负赋予相应的符号 （+或-）。
检验统计量
根据符号和秩次计算检验统计量，通常使用 Wilcoxon符号秩统计量（W）或标准化后的z统 计量。这些统计量用于衡量两组观测值之间的差 异显著性。
非参数统计方法
Wilcoxon符号秩检验是一种非参数统 计方法，用于比较两个相关样本、配 对观测值或重复测量之间的差异。
稳健性
由于不对数据分布做严格假设， Wilcoxon符号秩检验对于异常值和偏 离正态分布的数据具有较好的稳健性 。
无需正态分布假设
与参数检验（如t检验）不同，
Wilcoxon符号秩检验不需要数据服从
Wilcoxon符号秩检验
两成对数据的比较问题可以转化成单样本问题， 用符号检验或Wilcoxon符号秩检验做统计分析。 方法是将两成对样本作差，观察它们的差值，将 其视为新的样本，所以两配对样本实际上就是单 一样本。
h
29
例 2.3 给12组双胞胎做心理检验，以测量每个
人的进取心。我们感兴趣的是对双胞胎进行比较，
看第一个出生的是否倾向于比另外一个更有进取
h
17
期望方差及渐近正态性 性质 2.4 在总体分布关于原点0对称时，
E(W+)=n(n+1)/4， D（W+）=n(n+1)(2n+1)/24。
性质 2.5 若总体分布关于原点0对称，则在样本容量n趋于无穷大 时，W+有渐近正态性：
W＋
N（n(n+1)/4,n(n+1)(2n+1)/24）
问题主要是检验中位数，即原检验为H0： me=me0，相对于各种单双边的备择假设。
h
4
注： （1）与符号检验不同： Wilcoxon符号秩检验假设
总体分布是对称的。
（2）在总体分布对称的假设下，即设总体X的分布 关于点θ对称，则X的均值和中位数相同，且均为 θ。所以检验总体中位数可等价于检验总体对称 中心。即检验的原假设 H0：M=M0 等价于 H0： θ=θ0（相对于各种单双边的备择假设）。
h
15
概率分布
性质 2.2 在总体的分布关于原点0对称时，W＋ 的概率分布为
P ( W+ = d )=P ( S＝d )=t n(d)/2n, 其中，d＝0, 1, 2, … , n(n+1)/2，tn (d)表示从
1, 2, … , n这n个数中任取若干个数（包括一个 都不取），其和恰为d，共有多少种取法。
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0.0898 0.2120 0.3953 0.6047 0.7880 0.9102 0.9713 0.9935 0.9991 0.9999 1.0000
从表 27.2 的累计概率列中我们看到， 正号出现的次数大于 10 的概率为 1－0.9713=0.0287， 或者换一种方法计算为=0.0001+0.0009+0.0056+0.0222=0.0287， 二者的微小差异是因为小数点 后舍入问题造成的。而试验的结果：正号出现的次数为 11，大于 10，出现的概率不会超过 0.0287，我们开始设定的显著性水平为 0.1，由于 0.0287<0.1，所以我们拒绝原假设，接受备 选假设。如果我们的原假设为 p =0.5，既训练前后学生素质相等，那么就是双侧检验，应该 加上正号出现的次数小于 4 的概率 0.0287，即 2×0.0287=0.0574<0.1，同样是拒绝原假设，接 受区间为 4 次到 10 次，而拒绝区间为小于等于 3 次（小于 4 次）或大于等于 11 次（大于 10 次） 。 2. 大样本时的正态近似概率计算 当 n 20 时，样本可以认为是大样本。我们可以利用二项分布的正态近似，即对于
由于试验的结果只有两种可能，正号或负号，对每一个学生试验出现正号的假定概率为 p =0.5，负号为 1— p =0.5，这样整个试验的概率是相同的，并且每一个试验是相互独立的。 因此在 n =14 次独立的试验中，正号出现的次数服从二项分布 B(14,0.5) ，见表 27.2 所示。 表 27.2 二项分布的概率和累计概率 n=14,p=0.5 正号出现的次数 0 1 2 3
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S T
n(n 1) 4
(27.3)
显然如果原假设为真，T 与 T 应该有相同的值，等于 n(n+1)/4，因此太大的 S 值或太小的 S 值都是我们拒绝的依据。在实际工作中便于计算常取 W=min( T ， T ) ， W 服从所谓的 Wilcoxon 符号秩分布，对于本例 n =10， S 49.5－10(10+1)/4=22,W= min(49.5，5.5)=5.5，查 表可得在显著水平 0.05， n =10 的双侧检验的临界值为 8，即 W 值的拒绝区域为 0 到 8， 接受区域为 8 到 27.5。由于 5.5<8，我们拒绝原假设。 对于 n >20，当原假设为真时，统计量 T = T － T 接近于 0，统计量 T 的方差为
2 T ( Ri 0) 2 i 1 n
z
S 0.5n 0.5 n
~ N (0,1)
(27.2)
当 S > n / 2 时，应该修正 S 为 S －0.5；当 S < n / 2 时，应该修正 S 为 S ＋0.5。 S 值加或减的 0.5 是连续性修正因子，目的是为了能将连续分布应用到近似的离散型分布。
二、 配对资料的 Wilcoxon 符号秩检验
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的概率 p 0.5 ，对于太大的 S 相应太小的 S ，将拒绝接受原假设。 例 27.1 有一种提高学生某种素质的训练，有人说它是无效的，有人说它是有效的，那么 真实情况究竟应该是怎样的呢？随机地选取 15 名学生作为试验样本， 在训练开始前做了一次 测验，每个学生的素质按优、良、中、及、差打分，经过三个月训练后，再做一次测试对每 个学生打分。数据见表 27.1 所示。我们将素质提高用正号表示，反之用负号表示，没有变化 用 0 表示。显著性水平取 0.1。 表 27.1 训练前后的素质比较 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 训练之前 中 及 良 差 良 中 差 良 中 差 中 及 中 中 差 训练之后 优 良 中 中 良 优 及 优 差 中 优 良 及 优 中 差异符号 ＋ ＋ － ＋ 0 ＋ ＋ ＋ － ＋ ＋ ＋ － ＋ ＋
当两组配对资料近似服从正态分布，它们差值的检验可以使用配对 t 检验法。如果配对 资料的正态分布的假设不能成立，就可以使用 Frank Wilcoxon（1945）符号秩检验，它是一 种非参数检验方法，对配对资料的差值采用符号秩方法来检验。它的基本要求是差值数据设 置为最小的序列等级和两组配对资料是相关的（配成对） 。在两组配对资料的差异有具体数值 的情况下，符号检验只利用大于 0 和小于 0 的信息，即正号和负号的信息，而对差异大小所
S ~ B(n, p) ， 二项分布的期望均值为 np ， 方差为 np(1 p) ， 当 n 比较大时， 且 np 和 n(1 p)
大于 5，可以近似地认为
z
S np np(1 p)
~ N (0,1)
(27.1)
公式中的 S 表示正号或者负号的个数，符号检验时， p =0.5 代入（27.1）式中，得到大样本 时的正态近似统计量
从表 27.1 中 15 名学生训练前后的差异分析可得出：有 14 名学生有差异，其中 S =11，
S =3。1 名学生无差异（学生编号为 5） ，应该从分析中去掉，所以 n =15－1=14。假设检验
为：
H 0 : p 0.5 即训练之后学生素质没有提高。
H 1 : p 0.5 即训练之后学生素质有提高。
符号秩次总和 T =5.5， T =49.5 为了比较两种方法的任务完成时间是否有显著差异，假设检验为：
H 0 : 任务完成时间的两个总体是相同的。
H 1 : 任务完成时间的两个总体是不相同的。
使用 Wilcoxon 符号秩检验方法的主要步骤见表 27.3 中每列的计算方法和过程， 先求出每 对数据的差值 D，按差值绝对值|D|由小到大排列并给秩 R，从秩 1 开始到秩 10，注意工人编 号为 8 的配对数据，由于差值为 0，在排秩中丢弃，样本数目修正为 n =11－1=10。在给秩值 时，遇到相等|D|，也称为结值（tied） ，使用平均秩，如工人编号 3 和 5 具有相同的绝对差值 0.4，所以平分秩 3 和秩 4，各为秩 3.5。一旦绝对差值的秩值 R 给出后，然后将 R 分成正和 负差值的两个部分秩值 R 和 R ，最后求符号秩和 T
一、 单样本的符号检验
符号检验（sign test）是一种最简单的非参数检验方法。它是根据正、负号的个数来假设 检验。首先需要将原始观察值按设定的规则，转换成正、负号，然后计数正、负号的个数作 出检验。该检验可用于样本中位数和总体中位数的比较，数据的升降趋势的检验，特别适用 于总体分布不服从正态分布或分布不明的配对资料， 有时当配对比较的结果只能定性的表示， 如试验前后比较结果为颜色从深变浅、程度从强变弱，成绩从一般变优秀，即不能获得具体 数字，也可用符号检验，例如用正号表示颜色从深变浅，用负号表示颜色从浅变深。 用于配对资料时，符号检验的计算步骤为：首先定义成对数据指定正号或负号的规则， 然后计数正号的个数 S 及负号的个数 S ，由于在具体比较配对资料时，可能存在配对资料 的前后没有变化，或等于假设中的中位数，此时仅需要将这些观察值从资料中剔除，当然样 本大小 n 也随之减少，故修正样本大小 n S S 。当样本 n 较小时，应使用二项分布确切 概率计算法，当样本 n 较大时，常利用二项分布的正态近似。 1. 小样本时的二项分布概率计算 当 n 20 时， S 或 S 的检验 p 值由精确计算尺度二项分布的卷积获得。在比较配对资 料试验前后有否变化，或增加或减小的假设检验时，如果我们定义试验后比试验前增加为正 号， 反之为负号， 那么对于原假设： 试验前后无变化来说， 正号的个数 S 和负号的个数 S 可 能性应当相等，即正号出现的概率 p =0.5，于是 S 与 S 均服从二项分布 B(n,0.5) ，对于太 大的 S 相应太小的 S ，或者太大的 S 相应太小的 S ，都将拒绝接受原假设；对于原假设： 试验后比试验前有增加来说，正号的个数 S 大于负号的个数 S 的可能性应该大，即正号出 现的概率 p 0.5 ，对于太小的 S 相应太大的 S ，将拒绝接受原假设；对于原假设：试验 后比试验前减小来说，正号的个数 S 小于等于负号的个数 S 的可能性应该大，即正号出现
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正号出现的概率 0.0001 0.0009 0.0056 0.0222
累计概率 0.0001 0.0009 0.0065 0.0287
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0.0611 0.1222 0.1833 0.2095 0.1833 0.1222 0.0611 0.0222 0.0056 0.0009 0.0001
第二十七课 符号检验和 Wilcoxon 符号秩 检验
在统计推断和假设检验中，传统的检验统计量都叫做参数检验，因为它们都依赖于确定 的概率分布，这个分布带有一组自由的参数。参数检验被认为是依赖于分布假定的。通常情 况下，我们对数据进行分析时，总是假定误差项服从正态分布，这是人们易于接受的事实， 因为正态分布的原始出发点就是来自于误差分布，至于当样本相当大时，数据的正态近似， 这是由于大样本理论所保证的。但有些资料不一定满足上述要求，或不能测量具体数值，其 观察结果往往只有程度上的区别，如颜色的深浅、反应的强弱等，此时就不适用参数检验的 方法，而只能用非参数统计方法（non-parametric statistical analysis）来处理。这种方法对数据 来自的总体不作任何假设或仅作极少的假设，因此在实用中颇有价值，适用面很广。
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包含的信息却未加利用， 但 Wilcoxon 符号秩检验方法既考虑了正、 负号， 又利用了差值大小， 故效率较符号检验法高。 例 27.2 某制造商想要比较两种不同的生产方法所花费的生产时间是否有差异。随机地选 取了 11 个工人，每一个工人都分别使用两种不同的生产方法来完成一项相同的任务，每一个 工人开始选用的生产方法是随机的，即可以先使用生产方法 1 再使用生产方法 2，也可以先 用生产方法 2 再使用生产方法 1。这样，在样本中的每一个工人都提供了一个配对观察。数 据见表 27.3 所示。任务完成时间的正差值表示生产方法 1 需要更多的时间，负差值表示生产 方法 2 需要更多的时间。 表 27.3 两种不同生产方法完成任务的时间（分钟） 工人编号 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 生产方法 M M1 10.2 9.6 9.2 10.6 9.9 10.2 10.6 10.0 11.2 10.7 10.6 M2 9.5 9.8 8.8 10.1 10.3 9.3 10.5 10.0 10.6 10.2 9.8