资产定价基本概念

假定（无套利条件）：
Su > erT > Sd
S
S
（1.1）
（无套利条件的解释：条件要求处于上升状态时的股票收益率大于无风险收益率，而处于下
降状态时的股票收益率小于无风险收益率。如果不是这样，将存在套利机会：当两种情况下
股票收益率都大于无风险利率时，无限买入股票；相反，当两种情况下股票收益都低于无风
2） 看跌期权是以预先设定的价格（执行价、敲定价）卖出某项资产的权利，购买 看跌期权意味着看跌标底资产（类似卖空）。如果执行价超过资产价格，则称看跌期权为价 内期权。
看涨期权和看跌期权都是有价值的，因此期权的买方必须支付卖方期权费。 看跌期权多头为标的资产多头提供保险，因为它保证总可以以敲定价格卖出资产（如果 市场价格高于敲定价格，则当然可以以市场价格卖出）。看涨期权多头为标的资产空头提供 保险。 衍生产品定价的主要任务是计算期权应该以什么价格进行交易。
利率：存在以连续复利 r 记息的无风险资产。
欧式看涨期权：以股票为标的资产的欧式看涨期权，期权到期期限为 T ，执行价格为 K 。
期末价值 C：
1） 标的资产处于上升状态，期末价值： Cu = max(0, Su − K ) ，
2） 标的资产处于下降状态，期末价值： Cd = max(0, Sd − K ) 。
的现金。
投资组合在 0 时的价值：δS − e−rT (δSu − Cu ) 。 投资组合在时间 T 时的价值：
欠的现金为： δSu − Cu = δSd − Cd
上升状态下投资组合的价值为
δ份股票的价值－所欠现金＝δSu − (δSu－Cu ) = Cu
下降状态下投资组合的价值为
δ份股票的价值－所欠现金＝δSd − (δSd－Cd ) = Cd 结论：对冲投资组合投资组合“复制了”看涨期权，根据无套利原理，0 时的期权价值 C
0 的价值为
S(0) = E[φ(T )S(T )]
（1.10）
，随机变量φ(T ) 称为“状态价格密度”。
连续状态下有关推导的困难在于：连续状态随机变量取任何一个值的概率为 0。为此我 们通过定义事件来解决，事件对应于二叉树模型下的状态。事件是状态的集合（例如，人的 身高是在[0.2,2.5]中连续取值的变量，但如果将大于 1.75 的身高定义为 1，小于 1.75 的身高
n→∞ ⎝
r n
⎟⎞n ⎠
=
er
时变利率：设 r(t) 表示时刻 t 处的瞬间无风险利率（尽管随时间变化，但是非随机变量）， dt 表示时间间隔，则 t 时刻 x(t) 美元的无风险投资在时间间隔 dt 上的瞬间利息收入为 x(t)r(t)dt 。考虑在时间 0 投资额度为 x(0) 、期限为T 、其间的利息收入全部进行再投资
=
πd probd
并将（1.5a）-（1.5c）写为
C = probuφuCu + probdφdCd
（1.9a）
S = probuφu Su + probdφd Sd
(1.9b)
R = probuφu Ru + probdφd Rd
(1.9c)
，等式的右边都是关于实际概率的数学期望。例如，（1.9a）式的右边是一个随机变量的数
任何其它资产的价格与该资产（计价物）的价格之比是一个鞅。
如果计价物选取的是无风险资产，对应的概率测度为 pu = π uerT 和 pd = π d erT ，则此时的
测度称为风险中性测度。
注：1、为什么称为风险中性测度呢？
在这样人为构造的概率世界中，任何一项资产的预期收益都等于无风险收益，人们对
1、看涨期权：
1） 当 S (T ) > K 时，执行期权，获利 S (T ) − K 美元； 2） 当 S (T ) < K 时，不执行期权。 看涨期权持有者的回报函数为 max(0, S − K (T )) 。
2、 看跌期权：
当 S (T ) < K 时，执行期权，获利 K − S(T ) 美元； 当 S(T ) > K 时，不执行期权。 看涨期权持有者的回报函数为 max(0, K − S(T )) 。
以此代替（1.5a）—（1.5c）中的 π u 和 π d ， R 仍表示无风险资产价格，由此得出
C S
= qu
Cu Su
+ qd
Cd Sd
（1.8a）
1 = qu + qd
R S
= qu
Ru Su
+ qd
Rd Sd
（1.8b） （1.8c）
直观意义：今日的资产价格与股票价格的比值，等于未来的资产价格与股票价格比值的数学 期望，或者：以股票价格为计价物时的资产价格（包括无风险资产），0 时价格等于 T 时价
险利率时，无限卖空股票并将所得资金进行无风险投资。）
看涨期权空头风险对冲策略：
看涨期权 “德尔塔”：δ = (Cu − Cd ) /(Su − Sd ) 。 δSu − Cu = δSd −Cd 对冲投资组合：在时间 0 买入δ 份股票，借入
e−rT (δSu − Cu ) = e−rT (δSd − Cd )
必定与时间 0 时的投资组合成本相等，即（期权价格）
2
C = δ份股票的成本 − 所借现金 = δS − e−rT (δSu − Cu )
（1.2）
这便是期权无套利定价的思想！！
为了对更复杂的衍生产品定价（所谓复杂主要是支付方式（如欧式或者美式）和期末支付复
杂），需要将期权定价公式推广。将（1.2）中的δ 进行替换并整理，可以得出
风险没有要求补偿（风险溢价），对风险没有感觉，风险态度是中性的。
2、以无风险资产价格为计价物等价于以无风险利率贴现。
为将结论推广到连续状态情形，给出定价关系式（1.5a）-（1.5c）的另一种形式。设 probu 和 probd 分别表示上升状态和下降状态的实际概率，定义
φu
=
πu probu
,
φd
S = πuSu + π d Sd
（1.5b）
1 = π uerT + π d erT
（1.5c）
直观解释：今日的证券价值等于上升状态的价值乘以 π u 加上下降状态的价值乘以 π d 。这个
价值等式也适合（1.5c）式：考虑＄1 无风险投资的价值，今日价值为 1，时间 T 时上升状
态和下降状态的价值都是 erT 。这个价值等式对任何衍生资产都成立。
学期望，该随机变量在上升状态取值为φuCu ，下降状态取值φdCd 。
四、 连续状态的资产定价 所谓连续状态，是指时刻 T 的证券价格 S (T ) 不再只有上升和下降两种状态，而是可以
有任意多种状态。我们不加证明地给出如下结果（状态价格密度的存在性）：
如果不存在套利机会，则对每个时间 T ，都存在正的随机变量φ(T ) ，使得证券在时间
1
的无风险投资。 x(t) 表示时间 t 的投资帐户余额，则 x(t) 满足 dx(t) = x(t)r(t)dt
，从中解出
( ) x(t
)
=
x(0)
exp
∫t
0
r(s)ds
。表达式
∫t
0
r
(
s)ds
可理解为
0
到
t
区间上连续累积的利息收入。如果所有利率都等于
r
，则
∫t
0
r
(s)ds
=
rt
，连续复利因子为
简单的代数运算可以得出，条件 π u > 0 和 π d > 0 完全等价于“无套利”假设（1.1）。因
此得出结论：
当不存在套利机会时，存在正的状态价格，使得任何证券的价格都可以表示为各种状态
下的回报乘以状态价格然后求和。
三、概率和计价物
由于（1.5c）成立，并且无套利假定保证 π u > 0 和 π d > 0 ，为此可以将 π uerT 和 π d erT 定 义为两个概率，分别用 pu 和 pd ，对应上升状态和下降状态。采用这些符号可以将（1.5a）
=
pu
Cu Ru
+
pd
Cd Rd
（1.7a）
S R
=
pu
Su Ru
+
pd
Sd Rd
（1.7b）
1 = pu + pd
（1.7c）
直观意义：今日的资产价格与无风险资产价格的比值，等于未来的资产价格与无风险资产价
格比值的数学期望，或者：以无风险资产为计价物时的资产价格，0 时价格等于 T 时价格的
数学期望，数学期望按概率 pu = π uerT 和 pd = π d erT 来计算。 类似可以考虑以股票价格为计价物，并定义新的概率： qu = π u Su / S 和 qd = π d Sd / S ，
衍生产品定价
资产定价基本概念
一、看涨期权和看跌期权
1、 衍生证券：价值以另一个证券价值为基础的一种证券。 1） 看涨期权：以特定价格购买某项资产（标的资产）的权利，预先设定的价格称
为执行价、敲定价或者简单称为敲定。如果资产的市场价值超过执行价，则此时的看涨期权 称为 “价内期权”。购买看涨期权意味着看涨标的资产。
Su − Sd
Su − Sd
πu
=
S − e−rT Sd Su − Sd
,
πd
=
e−rT Su − S Su − Sd
（13b） （13c）
（1.4）
。 π u 和 π d 称为 “状态价格”（state price）。（1.3a）－（1.3c）可以表示为
wk.baidu.comC = π uCu + π dCd
（1.5a）
复利
假定存在一种无风险资产，其收益率为常数。规定利率为连续复利利率。年复利利率为
ra ，则对应的连续复利利率 r 为 r = log(1 + ra ) ，年收益为 er = 1+ ra 。 连续复利利率的推导：以年利率 r 每年记息 n 次，则＄1 的到期收益为 (1 + r / n)n ，而
lim ⎜⎛1 +
定价带来了很大方便。
将（1.6a）和（1.6c）写成另一种等价形式，便于推广。今日＄1 的无风险投资，在时间
T 增加为 erT 。无风险资产可以看做今日价格为 R = 1 ， T 时上升状态和下降状态的价格均 为 erT 的投资： Ru = Rd = erT 。将（1.6a）—（1.6c）写为
C R
格的数学期望，数学期望按概率 qu = π u Su / S 和 qd = π d Sd / S 来计算。
为更准确和简洁地表示如上结论，下面给出一些定义： • 事件的概率称为概率测度，或简称为测度。 • 一种资产的价格与另一种资产的价格之比，是以第二种（分母）资产为计价物的第一种
（分子）资产的价值。这里“计价物”是指计量单位。例如，比值 C / S 是以股票为计 价单位时看涨期权的价值：一份看涨期权折合的股票份数。（ C / S 份的股票的价值为 C / S × S = C 美元，因此 C / S 份股票与一份看涨期权价值相等。）
—（1.5c）重新写为
C = e−rT [ puCu + pdCd ] S = e−rT [ pu Su + pd Sd ]
（1.6a） （1.6b）
1 = pu + pd
（1.6c）
3
结论：
今日的证券价格等于T 时股票价格的数学期望以无风险利率贴现的现值。
注意：这里的数学期望不是用实际概率定义的，而是我们假象的一个概率。但这个概率却为
3）欧式期权和美式期权：欧式期权的存活期是有限的，并且只能在到期日才能执行。
对欧式期权来说，上面给出的执行策略是最优策略，S 表示到期日资产的价格。另一种重要
的期权为“美式”期权，美式期权可以在到期日前的任何日期内执行。
看涨期权和看跌期权的行权策略（以欧式期权为例） 设 S (t) 表示 t 时的资产价格，t ≤ T ，T 为到期日。 K 表示执行价格，则（忽略期权费）
exp(∫0t
r
(s)ds
=
ert
。
二、单期二叉树模型中的状态价格
标的资产：只有一支股票，今天（称为时期 0）的价格为 S ，期限为 T ，期末的股票价
格只有两种可能： Su 或者 Sd ， Su > Sd 。如果期末价格等于 Su ，则称处于“上升”状态， 等于 Sd 则称处于“下降”状态。股票不支付红利。
• 随时间变化的随机变量，如果其未来的期望值总是等于当前值，则称该随机变量是一个 鞅。 （1.7a）-（1.7b）可叙述为“以无风险资产为计价物时，看涨期权价格和股票价格都是
鞅”，（1.8a）、（1.8c）可以叙述为“以股票为计价物时，看涨期权价格和无风险资产价格都 是鞅”。
4
结论：
如果不存在套利机会，对应每一项资产，都存在一个概率测度，使得
C
=
S − e−rT Sd Su − Sd
× Cu
+
e−rT Su − S Su − Sd
× Cd
（1.3a）
，简单的代数运算得出
和 。设：
S
=
S − e−rT Sd Su − Sd
× Su
+
e−rT Su − S Su − Sd
× Sd
1 = S − e−rT Sd × erT + e−rT Su − S × erT