鲁教版九年级第3章+二次函数

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鲁教版(五四制)数学九年级上册第三章3.5确定二次函数的表达式(1) (共18张PPT)

3、顶点坐标为(-1,-8),图像与x轴的一个公共点A的横坐标为-3,求这个函数解析式
4、二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。
4、二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。
我练习做一做：
根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式：
（1）已知图象的顶点在坐标原点，且图象经过点（2，8）.
（2）已知图象的顶点坐标是（－1，－ 2），且图象经过点（1，10）.
（3 ）抛物线的对称轴是x= －2,且经过（－1，－ 1），（－4，0）两点.
我活用
例3. 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
九年级数学(上)第三章二次函数
3.5 确定二次函数的表达式第一课时
学习目标
1、会利用待定系数法求二次函数的表达式；（重点）
2、能根据已知条件，设出适当的二次函数的表达式，较简便的求出二次函数的表达式。（难点）
二次函数的表达式一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）顶点式：y=a(x-h)2+k （a≠0）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）
要求： ◆先独立思考再合作完成此题. ◆看哪个小组用时短、方法多.
我活用
例3.
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最
大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形
放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析

鲁教版(五四制)数学九年级上册第三章《二次函数》大单元教学课件

2..如何研究函数的性质?
3.求函数表达式的方法是什么?
4.函数的实际应用问题
5.二次函数与一元二次方程的关系？与不等式的关系？
课时安排：（14课时）
课时内容
课时数
1.二次函数的定义
1
2.如何研究函数的性
质
4
3.求函数表达式
1
4.函数的实际应用问
题
4
5.二次函数与一元二
次方程的关系，与不
等式的关系
6.本章小结
2
2
备注
思维导图
课例展示
二次函数的图象和性质
课标要求
1. 会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质.
2.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此
得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴.
3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
从简单到复杂的学习过程，并且在学生原有的知识一次函数
的基础上来类比学习，让学生体会知识点时间的联系。发展
学生的数学思维，逐步提高分析问题，解决问题的能力，增
强学好数学的信心。
课程标准
①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义
②能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性
质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系
情绪，相关知识学得不很透彻。在学生的逻辑推理思维能力，计算
能力、数形结合思想、函数方程思想、转化与化归意识不强．需要
得到加强，以提升学生的整体成绩；
重难点解析
重点：1.理解二次函数的图像与性质。
2.能正确求出二次函数的解析式。
3.运用二次函数性质解决实际问题。

鲁教版九年级第一学期课本第三章复习课二次函数

二次函数的定义：
一般地，形如y=ax ²+bx+c 的函数，叫做x 的二次函数。

1. 自变量的最高次数是2。

2. 二次项的系数a≠0。

3. 二次函数解析式必须是整式。

诊断性训练：1.下列函数中,哪些是二次函数？是二次函数的，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
322-=x y 312-+-=x x y 2.函数 222)2(---=m x m m y , 当m 取何值时，
（1）它是二次函数（2）它是反比例函数二次函数的图象与性质：
1. 抛物线
2.开口方向
3.顶点坐标
4.对称轴
5.最值
6.增减性
跟踪练习：（1）抛物线y=x ²-4x+3的对称轴是_____________.
A.直线x=1
B.直线x= -1
C.直线x=2
D.直线x= -2
(2)抛物线y=3x ²-1的______ A.开口向上,有最高点B.开口向上,
有最低点C.开口向下,有最高点D.开口向下,有最低点
(3)若y=ax ²+bx+c(a ≠0)与轴交于点A(2,m), B(4,m),则对称轴
是____ A .直线x=2 B.直线x=4 C .直线x=3 D.直线x= -3。

鲁教版九年级数学上册第三章二次函数

（3） y x2 1 x2 1
（4） y ax2 1
（5） y x(x 1)
（6）
y
1 x2
x2
2、已知 y a 1 x|a| 1 是关于 x 的二次函数，求 a 的值．
【例题 2】
某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种
树，那么树之间的距离和每一棵树所受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少
（2）两数的和是 20，设其中一数是 x，则另一数为__________，请写出这两数之积 y 与 x 之间满足的的关系式为____________________，化为最简形式：__________．
（3）某种产品现在的年产量为 20t，计划今后两年增加产量。如果年平均增长率为 x，请写出两年后这种产品的产量 y 与 x 之间满足的关系为____________________，化为最简形式：__________．
1、在圆的面积公式 S＝ r2 中，s 与 r 的关系是（）
A．一次函数关系 B．正比例函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系
2、下列函数：① y
3x2 ；② y
x2 x 1 x ；③ y
x2 x2
x
4 ；④ y
1 x2
x ；⑤ y
x1 x ，
其中是二次函数的是__________，其中 a _____， b _____， c _____．
时间 t（秒）
1
距离 s（米）
2
2
3
4
…
8
1832…在这个问题中，s 是 t 的函数吗？他们的关系是哪种函数关系呢？尝试写出用 t 表示 s 的函数关系式．

鲁教五四制九年级数学第三章二次函数y=a(x-h)2+k的图像与性质

感悟新知
知识点 2 二次函数y＝a(x-h)2+k的性质
知2－讲
(1)抛物线 y 轴、顶点?
1 ( x 1)2 1 的开口方向、对称 2
观察图象得到：抛物线的开口向下，
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
感悟新知
抛物线 y 1 (x 1)2 1 与 y 1 x2
2
2
有什么关系?
直线x=－1
知1－讲
感悟新知
知1－练
例 1 对于抛物线y=－(x+1)2+3，下列结论： ① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线x=1； ③ 顶点坐标为(－1，3)；④ x>1 时，y 随x 的增大而减小. 其中正确结论有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
感悟新知
知1－练
知1－讲
感悟新知
知1－讲
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
2
解: 先列表
再描点、连线
感悟新知
y
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
课堂小结
作业提升
课时导入
回顾与思考 y＝ax2
y＝ax2
k＞0 上移 k＜0 下移
左加右减
y＝ax2＋k 顶点在y轴上 y＝a(x－h)2 顶点在x轴上
问题：顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？
感悟新知
知识点 1 二次函数y＝a(x-h)2+k的图像
画出函数 y

3.3 二次函数y=ax2的图象与性质(数学鲁教版九年级上册)

[答案] 不正确．因为－1 和 3 分别位于 y 轴两侧，且|－1|＜|3|，又抛物线开口向下，所以 y1＞y2.
课后作业
1、完成教材相应习题； 2、完成同步练习册相应习题。
文本
文本
文本
文本
新课进行时
核心知识点二二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质
例 2 [教材补充例题]若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线 y ＝－x2 上，则下列结论正确的是( D ) A．当 x1＜x2 时，y1＜y2 B．当 x1＜x2 时，y2 C．当 0＜x1＜x2 时，y1＜y2 D．当 0＜x1＜x2 时，y1＞y2
A．y＝x2，当 x＞0 时 y 随 x 的增大而增大 B．y＝x2，当 x＜0 时 y 随 x 的增大而减小 C．y＝－x2，当 x＞0 时 y 随 x 的增大而减小 D．y＝－x2，当 x＜0 时 y 随 x 的增大而减小
新课进行时
核心知识点三二次函数y=ax2的图象与性质
例 4 抛物线 y＝3x2，y＝－3x2，y＝13x2 共有的性质是
鲁教版九年级上册
第三章二次函数
3.3 二次函数y=ax2的图象与性质
新课目标
3．通过二次函数 y＝ax2 的作图过程，掌握并理解二次函数 y＝ax2 的图象和性质，并能利用其性质解题．
新课进行时核心知识点一二次函数图象的画法
例 1 [教材补充例题]已知圆柱的高为13，试写出该圆柱的体
积 V 与底面半径 R 之间的函数表达式，并画出其图象．(π取
新课进行时
[归纳总结] 利用二次函数的性质比较函数值大小的方法：当所要比较的函数值对应的点都在抛物线对称轴的同一侧时，可直接利用函数的增减性比较；当所要比较的函数值对应的点不在抛物线的同一侧时，应将它们转化到对称轴的同侧，再进行比较．

鲁教版(五四制)九年级数学上册第三章 3.2 二次函数教学课件 (共20张PPT)

(3)如果果园苹果的总产量为y个, 那么请你写出y与x之间的关系式.
探究问题四
C=4x y1=100+x y2=600-5x
观察关系式右边的代数式：有何特点
思索归纳
S=x² y=20x²+40x+20 s=-x²+20x y=-5x²+100x+60000,y=100x²+200x+100.
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
实际问题
寻找变量之间关系
函数表达式定根义据
解决实际问题
？图像
？性质
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二次函数
课堂检测
必做：1、下列函数中,哪些是二次函数？
二：某商场1月份盈利20万元，以后每月盈利的增长率为x，那么3月份盈利y（万元）与x之间的函数关系式：——（化简后按x的降幂排列）
三：
（1）已知矩形的周长为40cm，面积可能100cm2吗？可能是75cm2吗？你能表示矩形面积与一边长的关系式？
（2）两个数的和20，设其中一个数为x，两个数积y与 x的关系式：——
课后作业
必做：
已知函数y=(a2-9)x2+(a+3)x-(a-3) 1、a取何值时，此函数是正比例函数？ 2、a取何值时，此函数是二次函数？ 3、a取何值时，此函数是一次函数？
选做：自己举一个能列出二次函数的实际例子
有一双善于观察的眼睛有一颗全神贯注的心灵
有一种善于思考的习惯有一份持之以恒的毅力

3.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(2)(数学鲁教版九年级上册)

行时
核心知识目点标一一二次函数 y＝a(x－h)2 的图象与性质
例 1 已知抛物线 y＝－14(x＋1)2. (1)写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)完成下表：
x … －7
－3
13
…
y … －9
－1
…
(3)在下面的坐标系中描点画出二次函数的图象．
新课进行时
解：(1)抛物线的顶点坐标是(－1，0)，对称轴为直线 x＝－1. (2)填表如下：
图象顶点坐标
(h，0)
(h，0)
图象对称轴
直线 x＝h
直线 x＝h
图象开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧，y 随着 x 的
在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而增大；在对称轴的
增大而减小；在对称轴的右
侧，y 随着 x 的增大而增大
右侧，y 随着 x 的增大而减小
最值
当 x＝h 时，y 最小值＝0
利用五点作图法，所谓五点是顶点，与 x 轴的两个交点，与 y
轴的交点及其该点关于对称轴的对称点．
(2)求抛物线 y＝a(x－h)2＋k 与 x 轴的交点坐标就是令 y＝0，即 a(x－h)2＋k＝0，得到的 x 的值即为抛物线与 x 轴的交点的横坐标，令 x＝0 即可得到抛物线与 y 轴的交点的纵坐标．
x … －7 －5 －3 －1 1 3 5 … y … －9 －4 －1 0 －1 －4 －9 …
(3)描点作图如下：
[归纳总结] 二次函数 y＝a(x－h)2 的图象是在 y ＝ax2 图象的基础上经过左右平移得到的，所以顶点坐标和对称轴也都平移相同的单位长度．
新课进行时
核心知识目点标二二二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与性质

鲁教版(五四制)九年级数学上册《二次函数》课件

1.物体从某一高度落下,已知下落的高度h(m)与下
落的时间t(s)的关系是：h=4.9t2,填表表示物体在
前 5s 下落的高度：
t/s
1
2
3
4
5
h/m 4.9 19.6 44.1 78.4 122.5
2.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽
相等,高比长多0.5 m.
(1)长方体的长和宽用 x (m)表示,长方体需要涂漆的表面积 S
(1)问题中有哪些变量? 其中哪些是自变量? 哪些是因变量?
(2)假设果园增种 1 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树? 这时平均
每棵树结多少个橙子?
(3)假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树? 这时平均每
棵树结多少个橙子?
(4)如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x 之间的关系式．
些需要注意的问题？
2.在解决问题的过程中，你运用了哪
些方法？
1．下列函数不属于二次函数的是（ C ）
A．y=(x－1)(x+2)
B．y=(x+1)2
2
C．y=2(x+3)2－2x2
D．y=1－x
m2 2
2.当m= -2 时， y (m 2) x
是二次函数.
※3.某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为每件20元，
为调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，产品每天的销
售量t（件）与每件的售价x（元）之间有如下关系：t=-3x+70.
请写出每天的利润y（元）与x之间的函数关系式.
y=(x-20)(-3x+70)=-3x2+130x-1400
必做：新课堂P27 T2,3,4,5

鲁教版九年级上册数学第三章二次函数二次函数y=ax2+c的图象与性质

鲁教版九年级上
第三章二次函数
3.4.1 二次函数y＝ax2＋c的图象与性质
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1C 2B 3C 4D
5C
答案呈现
9 ①②④
6D 7A
10 A 11 B
8 y＝x2＋3
12
习题链接
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13 14 15
答案呈现
1 二次函数y＝x2＋1的图象大致是( C )
∴抛物线对应的函数表达式为 y＝x2－1.
(2)判断△ABM的形状，并说明理由．
解：△ABM 为直角三角形．理由如下：由(1)中求得的抛物线对应的函数表达式为 y＝x2－1 可知 M 点的坐标为(0，－1)，又∵A(－1，0)，B(2，3)， ∴AM＝ 2，AB＝ 32＋32＝3 2，
BM＝ 22＋[3－（－1）]2＝2 5. ∴AM2＋AB2＝2＋18＝20＝BM2. ∴△ABM 为直角三角形．
7 点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)都在二次函数y＝(a2＋
1)x2＋2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(A ) A．y1＜y2＜y3B．y1＞y2＞y3
C．y2＞y1＞y3D．y2＜y1＜y3
【2020·上海】如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位， 8
那么所得新抛物线的表达式是__y_＝__x_2_＋__3___．
易错警示：本题的易错之处是对题目中“且这个函数的最小值是负数”理解不深刻，由此导致解的范围扩大，因而出现误选D的错误．
12 抛物线 y＝ax2＋c 的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口方向与抛物线 y＝－12x2 相同． (1)确代入 y＝－12x2＋c，得 c＝2.
(2)画出抛物线y＝ax2＋c．解：抛物线如图所示．

鲁教版数学九年级上册《3-2 二次函数》教学设计

鲁教版九年级上册《3.2 二次函数》教学设计一、教材分析：本节课的内容是鲁教版九年级上册第三章第二节《二次函数》，这是一节概念课，根据概念教学的规律和学生认知特点，关注二次函数概念形成的过程。

二次函数是初中数学学习中的重要内容之一,它是在学习了正比例函数、一次函数、反比例函数后的学习内容。

二次函数是初中阶段研究的最后一个函数，也是中学阶段整个函数知识体系中最重要的，在历年来中考题中占较大比例，而且也为高中继续学习函数打下基础。

本节内容的教学安排符合学生的认知需求和整个函数体系的自然发展，对培养学生的数学思维，学生的终身发展需求有着重要的作用。

而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后面学习二次函数的图象、性质及二次函数与一元二次方程的关系的做铺垫。

所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。

让学生在经历实际问题情境的探究，体验二次函数产生的过程中，体会它是实际生活的产物，并逐步让学生体会怎样建立实际问题的函数模型，培养他们用函数思想分析、解决问题的意识和能力。

二、学情分析：九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。

前面已经掌握正比例函数、一次函数、反比例函数，初步具备了用函数解题的思考方法及表达能力，具有了初步的函数思想和数形结合思想的意识，为自然过渡奠定了基础。

但是由于概念较为抽象，学生用函数刻画某些实际问题中变量之间的关系的能力还有待提高。

这节课学习无论是对概念的引入、概念的形成、概念的辨析和应用巩固，我都设计让学生自己通过观察、思考、归纳和概括后得出结论，使学生完全参与到整个教学过程．通过自主探索，让学生发现规律，建立概念，从而真正理解概念的实质和内涵。

由于本班学生的基础原因他们对知识遗忘现象比较严重，在用函数刻画某些实际问题中变量之间的关系的能力可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明了，深入浅出的剖析。

明了，深入浅出的剖析。

三、教学目标◆知识与技能：（1）理解二次函数的意义，掌握二次函数的一般形式。

鲁教版(五四制)九年级数学上册《第三章二次函数》单元检测卷及答案

鲁教版（五四制）九年级数学上册《第三章二次函数》单元检测卷及答案一、单选题1．在平面直角坐标系中，平移抛物线2(2)1y x =+-使其经过原点，下列操作不正确的是（）A ．向上平移1个单位长度B ．向下平移3个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度2．设二次函数()()y a x m x m k =---（0a >，m ，k 是实数），则（）A ．当2k =时，函数y 的最小值为a -B ．当2k =时，函数y 的最小值为2a -C ．当4k =时，函数y 的最小值为a -D ．当4k =时，函数y 的最小值为2a -3．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象上部分点的坐标(,)x y 对应值列表如下： x … －2 12- 0 1 2 …y … 1 14 1 4 9 …则该函数图象的对称轴是直线（）A ．2x =-B ．y 轴C ．1x =-D ．12x =-4．如图，抛物线的顶点坐标是()13P -，，则函数y 随自变量x 的增大而增大的x 的取值范围是（）A ．3x >B ．3x <C ．1x >D ．1x <5．已知二次函数()223=--+y x ，且11x -≤≤，下列说法正确的是（）A ．当2x =时，函数有最大值3B ．当1x =-时，函数有最大值－6C ．函数y 的取值范围是23y ≤≤D ．函数y 的取值范围是62y -≤≤6．抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-，部分，下列判断中：①0abc >；①240b ac ->；①930a b c -+=；①若点()10.5,y -()22,y -均在抛物线上，则12y y >；①当31x -<<时，0y <;其中正确的个数有（）A ．2B ．3C ．4D ．57．如图，在ΔABC 中90,3,5C BC AC ︒∠===，点D 为线段AC 上一动点，将线段BD 绕点D 逆时针旋转90︒，点B 的对应点为E ，连接AE ，则AE 长的最小值为（）A ．1B 2C ．2D 38．若3b x b ≤≤+时，二次函数22y x bx b =++的最小值为15，则b 的值为（）A ．5-317-+B 5317--C ．25317-+D ．25-59．将抛物线2(1)2y x =--，先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得新抛物线的函数关系式为（） A ．2(2)y x =+ B ．2(4)y x =- C ．2(4)4y x =-- D ．2(1)1y x =++10．如图，已知抛物线y = ax 2+ bx + c （a≠0）的图象，结论：①abc ＞0；①a - b + c ＜0；①2a + b > 0；①ax 2+bx +c =2018有两个解，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc > ②0a b c ++> ③2a -0b = ④当0x <时，y 随x 的增大而增大，其中正确结论的序号有．12．设计师以2248=+y x x -的图形为灵感设计杯子如图所示，若43AB DE ＝，＝，则杯子的高CE = ．13．下表是一组二次函数235y x x =+-的自变量x 与函数值y 的对应值： x1 1.1 1.2 1.3 1.4 y 1- 0.49- 0.04 0.59 1.16那么方程2350x x +-=的一个近似根是；14．2y ax =向（h ＞0）或向（h ＜0）平移|h |个单位长度，再向（h ＞0）或向（h ＜0）平移|k |个单位长度，得到2()y a x h k =-+15．已知抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()2,5-和()1,4-，则这条抛物线的函数表达式是．16．如图所示，抛物线2y x 在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为1A 2A 3A … n A 将抛物线2y x 沿直线l ：y x =向上平移得到一系列抛物线且满足条件：①抛物线的顶点1M 2M 3M … n M 都在直线y x =上；①抛物线依次经过点1A 2A 3A … n A 则顶点2021M 的坐标为．17．某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克售出，每天可售出200千克，经调查，售价每降0.1元，每天多卖40千克，另外，每天的其它固定成本24元．当定价为元能获得最大利润． 18．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象过点A （3,0），对称轴为直线1x =，给出以下结论：①0abc <；①30a c +=；①2ax bx a b +≤+；①若M （-3，1y ）、N （6，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <，其中正确的是．（只要填序号）三、解答题19．某文具零售店准备从批发市场选购A 、B 两种文具，批发价A 种为12元/件，B 种为8元/件．若该店零售A 、B 两种文具的日销售量y （件）与零售价x （元/件）均成一次函数关系．（如图）（1）求y 与x 的函数关系式；（2）该店计划这次选购A 、B 两种文具的数量共120件，所花资金不超过1200元，并希望全部售完获利不低于178元，若按A种文具日销售量6件和B种文具每件可获利1元计算，则该店这次有哪几种进货方案？（3）若A种文具的零售价比B种文具的零售价高4元/件，求两种文具每天的销售利润（元）与A种文具零售价x（元/件）之间的函数关系式，并说明A、B两种文具零售价分别为多少时，每天销售的利润最大？20．已知二次函数y＝a2x+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：x…﹣10123…y…105212…(1)求该二次函数的函数关系式；(2)在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；(3)写出y≤5时自变量x的取值范围(可以结合图象说明)．21．某市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果篮莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为：()76(120,)2030,mx m x x y n x x -≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩为正整数为正整数且第12天的售价为32元/十克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润=销售收入-成本）． (1)m =______ ，n =______ ；(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？(3)在销售蓝莓的前20天中(不包含第20天)，当天利润不低于870元的共有多少天？22．已知二次函数()()231222y t x t x =++++在0x =和2x =时的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点()3,A m -，求m 和k 的值；（3）把二次函数的图象与x 轴两个交点之间的部分记为图象G ，把图象G 向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为M ，请结合图象回答：当（2）中得到的直线与图象M 有公共点时，求n 的取值范围．23．如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．直线22y x =+经过点A ，C ．(1)求出此抛物线的表达式及点B 的坐标；(2)已知点P 是第一象限内抛物线上一动点．①当点P 在何位置时，以点P ，B ，C 为顶点的三角形面积最大？最大面积是多少？①再取x 轴上一点H ，是否存在以点A ，C ，P ，H 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点P 和H 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．A2．A3．C4．C5．D6．B7．B8．B9．A10．C11．②④12．1113．1.214．右左上下15．223y x x =--16．()4041,404117．2.7518．①①①19．（1）20y x =-+；（2）有三种进货方案，分别是①进A 种58件，B 种62件；①进A 种59件，B 种61件；①进A 种60件，B 种60件；（3）()221632y x =--+，A 文具零售价为16元，B 文具零售价为12元时利润最大．20．(1)y ＝2x ﹣4x +5；(2)略；(3)0≤x ≤421．(1)12- ；25 (2)销售蓝莓第18天时，当天利润最大，最大为968元(3)当天利润不低于870元的天数共有12天22．（1）21(1)22y x =--+；（2）6m =-，k=4；（3）1922n 23．(1)213222y x x =-++ ()4,0B (2)①点P 的坐标为()2,3时，以点P ，B ，C 为顶点的三角形面积最大，最大面积是4；①存在 ()3,2P ()2,0H 或()4,0-。

鲁教版九年级上册数学第三章二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

C．y＝(x＋4)2＋7D．y＝(x＋4)2－25
2 【2019·济宁】将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的表达式是( ) A．y＝(xD－4)2－6B．y＝(x－1)2－3 C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－4)2－2
3 【2020·包头】在平面直角坐标系中，已知A(－1，m)和 B(5，m)是抛物线y＝x2＋bx＋1上的两点，将抛物线y＝x2 ＋bx＋1的图象向上平移n(n是正整数)个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为________．
12 【2019·宁波】如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)． (1)求a的值和图象的顶点坐标．
解：把点P(－2，3)的坐标代入y＝x2＋ax＋3，得3＝(－2)2－2a＋3，解得a＝2. ∴y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2. ∴图象的顶点坐标为(－1，2)．
(2)点Q(m，n)在该二次函数图象上． ①当m＝2时，求n的值；
10 【中考·黄石】以 x 为自变量的二次函数 y＝x2－2(b－2)x＋b2 －1 的图象不经过第三象限，则实数 b 的取值范围是( A ) A．b≥54 B．b≥1 或 b≤－1 C．b≥2 D．1≤b≤2
11 【中考·云南】已知二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象经过 A(0，3)，B－4，－92两点． (1)求 b，c 的值．
④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；当m为实数时，有am2＋bm＋c≥a＋b＋c， ∴am2＋bm≥a＋b(m为实数)．故④正确．本题正确的结论有①②③④，共4个．故选D.
8 【2019·深圳】已知 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则 y＝ax＋b 和 y＝xc的大致图象为( C )

初中数学鲁教版九年级(上)第三章3.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(4)教学课件共21张PPT含视频

Y/m
10
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ ⑶你是怎样计算的？与同伴交流.
桥面 -5 0 5
x/m
问题解决应用数学
提取二次项系数配方：加上再减去一次项系数一半的平方
整理：前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简：去掉中括号
问题解决应用数学
数形结合 ⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
初中数学鲁教版九年级（上）
二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质(4)
烟台龙口市徐福街道徐福中学于志贤
复习提问温故知新
如图是二次函数y=(x+1)2-4的图象，请根据图象回答下列问题：
y
1.抛物线y=(x+1)2-4
开口方向是开口向上，顶点坐标是 (-1，-4) ,
对称轴是直线x=-1
对称轴公式：
应用公式体验新知根据公式求下列函数的对称轴和顶点坐标
x=3 (3,15) X=8 (8,1)
））
问题多解新知应用
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
Y/m
y 9 x2 9 x 10 400 10
10
桥面 -5 0 5
x/m
两条钢缆最低点之间的距离是:2 -20 所以钢缆的最低点到桥面的距离是1m
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）多长时间时，学生的接受能力最强？
y
59.5
43
结合图像可知： (1)当0≤x≤13时, 学生的接受能力逐步增强
当13≤x≤30时, 学生的接受能力逐步降低 (2)当x=13时，学生的接受能力最强为59.9. O

3.2二次函数-2024-2025学年数学鲁教九年级数学上册课件

知识小结
知识点二根据实际问题列二次函数表达式
建立实际问题中二次函数关系式的一般步骤：
①审清题意，找出实际问题中的已知量(常量)，并分析
它们之间的关系，将文字或图形语言转化为数学符号语言；
②找等量关系，找到已知量和变量间的关系，并用等式
表示； ③列函数关系式，设出表示变量的字母，把等量关系用
含字母的代数式替换，并将关系式写成用自变量表示因变量
新课进行时
例 2 [教材补充例题] 已知 y＝(m－3)xm2－7 是关于 x -3
的二次函数，则 m＝________． [归纳总结] 二次函数中的待定字母要同时满足两个条
件：一是使二次项次数为 2，二是使二次项系数不等于 0.
新课进行时核心知识点二列二次函数表达式
例 3 [教材补充例题] 某同学计划用纸糊正方体形状的粉笔盒(6 个面)，粉笔盒的棱长为 x cm.
文本
的形式，即 y＝ax2＋bx＋c 的形式．
④确定自变量 x 的取值范围．实际问题中的二次函数关系，由于受到实际问题的要求和限制，其自变量的取值范围往往不是全体实数．
反思
[反思] 忽略 a≠0 的前提条件若 y＝(2－m)xm2－2＋3x－2 是关于 x 的二次函数，求 m 的值．解：∵y＝(2－m)xm2－2＋3x－2 是关于 x 的二次函数， ∴m2－2＝2，解得 m＝±2. 以上解答过程正确吗？
鲁教版九年级上册
第三章二次函数
3.2 二次函数
新课目标
1．经历探索并归纳二次函数的定义的过程，掌握二次函数满足的条件，会判断一个函数是不是二次函数，并根据其定义求字母的值． 2．经历探索、分析和建立两个变量之间的函数关系的过程，能根据实际问题列二次函数表达式．

鲁教版(五四学制)九年级上册第三章二次函数函数的再认识课件

4 - 4m 0 ，解得 m 1
解析：由题意可知当x为任意实数时，x2 2x m 0 ；
变形 x2 2x m (x 1)2 m 1 ，因 (x 1)2 0; 故 m 1 0;解得m 1
1、表示函数关系的方法有哪三种？
2、三种函数表示法的优缺点比较？ 3、函数自变量取值范围如何确定？
（1）表达式为整式，自变量取全体实数；（2）表达式为分式，要考虑分母不为零；（3）表达式为二次根式，要考虑被开方数应为非负数；（4）表达式为以上综合式子时，要充分考虑以上三种情况。
12
2
4
14
（1）在这一天中，何时气温最高？何时气温最低？
（2）气温是时刻的函数吗？为什么？它是用什么方法表示的？
用图象表示函数的方法称为图象法
A、B两地之间的路程为900km，一辆汽车从 A地到B地多需时间t（h）与汽车的平均速度v（km/h）之间的关系式是
t 900 v
用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式（或解析式），
用数学式子表示函数的方法称为解析法
表示函数的方法有哪几种？解析法、列表法、图象法
小组讨论
你认为用解析式法、列表法和图象法表示函数关系各有哪些优劣点？
三种函数表示法的优缺点比较
函数表示法
优点
缺点
图象法
列表法
解析法
例3 求下列函数的自变量x的取值范围：
(1) y 2x 4
(2) y 1 4x 3
函数自变量的取值范围，应使函数表达式有意义.在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.
1：求下列函数中自变量x可以取值的范围：
(1) y=3x2+1
(2) y= 8
3x

鲁教版九年级上册数学第三章二次函数二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质

8．下列说法正确的是( D ) A．函数y＝x2的图象上的点，其纵坐标的值随x值的增大而增大 B．函数y＝－x2的图象上的点，其纵坐标的值随x值的增大而增大 C．抛物线y＝x2与y＝－x2的开口方向不同，其对称轴都是y轴，且y值都随x值的增大而增大 D．x<0时函数y＝x2的y值随x值的增大的变化情况与x>0 时函数y＝－x2的y值随x值的增大的变化情况相同
14 (1)(1，1)．(2)存在,理由略
15 (1)4m.(2)能
1 ．已知正方形的边长为 x(cm) ，则它的面积 y(cm2)与边长x(cm)的函数关系图象为( ) C
【点拨】根据正方形的面积公式可知，函数表达式为y＝x2，又x＞0，故选C.
2．下列关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点说法错误的是( ) A．抛物D线y＝x2和y＝－x2有共同的顶点和对称轴 B．抛物线y＝x2和y＝－x2的开口方向相反 C．抛物线y＝x2和y＝－x2关于x轴成轴对称 D．点A(－3，9)在抛物线y＝x2和y＝－x2上
7．如图，点A是抛物线y＝－x2上一点，AB⊥x轴于点B，连接AO，若B点坐标为(－2，0)，则A点坐标为_(_－__2_，__－__4_)_，S△AOB＝__4______．
【点拨】∵AB⊥x 轴于点 B，且 B(－2，0)， ∴A 点横坐标为－2，纵坐标为 y＝－(－2)2 ＝－4.∴A(－2，－4)．∴S△AOB＝12×2×4＝4.
(1)求城门洞最宽处AB的长；
解：因为点O到AB的距离为4m，所以A，B两点的纵坐标都为－4，由－4＝－x2，得x＝±2. 又点A在点B左侧，则点A的坐标为(－2，－4)，点B的坐标为(2，－4)，所以AB＝4m．即城门洞最宽处AB的长为4m.

鲁教版九年级上册数学第三章二次函数二次函数y=a(x-h)2的图象与性质

顶点坐标为(－3，0)．
15．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度后，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形． (1)求a的值．
解：依题意将抛物线y＝x2平移后为抛物线y ＝(x－a)2，即y＝x2－2ax＋a2. 又OA＝OB，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，a2)，∴a2＝a.∵a≠0，∴a＝1.
10．【中考·海南】把抛物线y＝x2平移得到抛物线 y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( ) A A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度
11．对于任何实数h，抛物线y＝－x2与抛物线y＝－
(x－h)2的相同点是( A ) A．形状与开口方向相同B．对称轴相同
5．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是( ) B
6．关于二次函数y＝－2(x＋3)2的下列说法中正确的是( ) D A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴是直线x＝3 C．其图象的顶点坐标是(0，3) D．当x＞－3时，y随x的增大而减小
7．已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)， B(x2，y2)，如果x1＜x2＜－1，那么下列结论成立的是( )
【点拨】二次函数y＝3x2＋1的图象开口向上，对称轴是 y轴，顶点坐标是(0，1)，当x>0时，y随x的增大而增大；二次函数y＝3(x－1)2的图象开口向上，对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，0)，当x>1时，y随x的增大而增大，当0＜x＜1时，y随x的增大而减小；二次函数y＝3x2＋1 和y＝3(x－1)2的图象的开口大小一样．因此正确的说法有2个：①④.故选B.
LJ版九年级上