2020届江苏省苏州市吴中区苏苑高级中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)

2020届高三数学12月月分析试卷
一、填空题（每题5分，满分70分）
1.已知全集{}1,0,2U =-，集合{1,0}A =-，则U C A =___________． 【答案】{}2 【解析】
因为{}1,0A =-，所以{2}U A =ð
2.若复数z 满足iz i =（i 为虚数单位）
，则z =______. 【答案】2 【解析】 【分析】
首先将复数化简为复数的代数形式，再计算模长即可.
【详解】1z =
==--.
2z ==.
故答案为：2
【点睛】本题主要考查复数的化简和模长的计算，属于简单题.
3.设向量()()2,6,1,a b m =-=-v v
，若//a b v v ，则实数m 的值为__________．
【答案】3 【解析】
由向量平行的充要条件可得：
261m
-=-，求解关于实数m 的方程可得：3m =.
4.0y -=为双曲线()2
2
210y x b b
-=>的一条渐近线，则b 的值为__________．
【解析】
由双曲线方程可得双曲线的渐近线满足：2
2
20y x b
-=，
整理可得：y bx ±=，即：0bx y ±=，
则双曲线的一条渐近线为：0bx y -=，
结合题意可得：b =5.“1
5
a =
”是“直线()2120ax a y +-+=与直线()1330a x ay +++=垂直”的_________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选取一个填入）. 【答案】充分不必要 【解析】
若两条直线垂直，则()()21310a a a a ++-=，解得：0a =或15a =
，所以“1
5
a =” 是“直线()2120ax a y +-+=与直线()1330a x ay +++=垂直”的充分不必要条件.
6.函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()()2
f x x ax a R =-∈，且()26f =，则a =______.
【答案】5- 【解析】 【分析】
由()y f x =是奇函数，()26f =得()26f -=-，然后建立方程求解即可 【详解】因为()y f x =是奇函数，()26f = 所以()()226f f -=-=-
因为当0x <时，()()2
f x x ax a R =-∈
所以()2426f a -=+=-，解得5a =- 故答案为：5-
【点睛】本题考查是函数的奇偶性，较简单.
7.若圆锥底面半径为2，则其侧面积为__________． 【答案】6π 【解析】
圆锥的侧面展开图为扇形，
扇形的弧长即底面的周长：24l R ππ==
扇形的半径为：3r =
=,
据此可得，侧面积为：1
4362
S ππ=
⨯⨯=.
8.给出下列命题：
（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的
直线一定平行于另一个平面； （2）若两个平面垂直，那么平行于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； （3）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 则其中所有真命题的序号是___________________． 【答案】（1）（3） 【解析】
逐一考查所给的命题：
（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；
（2）若两个平面垂直，那么平行于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （3）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面． 综上可得：真命题的序号是（1）（3）. 9.已知536ππ
α⎛⎫∈
⎪
⎝⎭
，，且3cos 35πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，则sin α的值是__________．
【答案】
410
+ 【解析】
5,03632Q ，
，ππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴-∈ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，
结合同角三角函数基本关系有：4sin 35πα⎛
⎫
-
== ⎪⎝
⎭，则：
sin sin 33sin cos cos sin
33334135252410
ππααππππαα⎡⎤
⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥
⎝
⎭⎣⎦⎛⎫⎛
⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=⨯+⨯+=
10.设数列{}n a 的首项11a =，且满足212121n n a a +-=+与2211n n a a -=+，则数列{}n a 的前20项和为__________． 【答案】4082 【解析】
【详解】考查数列的奇数项，结合递推关系有：()2121121n n a a +-+=+， 且112a +=，则数列{}211n a -+构成首项为2公比为2的等比数列， 令：112335471019,,,,11,111b a b a b a b a b a +++=+====+L ， 则：(
)10
12319
212204612
b b b b ⨯-++++==-L ，
即：135192036a a a a ++++=L ，
而2462013519102046a a a a a a a a ++++=+++++=L L ， 据此可得：数列{}n a 的前20项和为4082.
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项． 11.已知直线()()20y a x a =+> 与函数cos y x =的图像恰有四个公共点
()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y ,()44,D x y ,其中1234x x x x <<<,则44
1
tan x x +
=________． 【答案】2- 【解析】 【分析】
因为直线()()20y a x a =+>恒过()2,0-,画出图像,可知符合条件时,点()44,D x y 为切点,此时
4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则444cos sin 2x a x x -==+,进而求得44
1tan x x +的值 【详解】由题,直线()()20y a x a =+>恒过()2,0-,则画出图像如图所示,
因为直线()()20y a x a =+>与函数cos y x =的图像恰有四个公共点,则()44,x y 是切点,即
()2y a x =+与cos y x =-相切,且4,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,则()442cos a x x +=-,所以44cos 2x a x -=+,
因为()cos sin x x '-=,所以
444cos sin 2x x x -=+,则44
1
2tan x x --=,
所以44
1
2tan x x +
=- 故答案为：2-
【点睛】本题考查已知零点求参问题,考查导数几何意义的应用,考查数形结合思想 12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()(2
2
:126
1C x y -+-=和两点()(),2,,2A a a B a a ---，且
1a >，若圆C 上存在两个不同的点,P Q ，使得90APB AQB ∠=∠=︒，则实数a 的取值范围为
__________．
【答案】17117a ≤≤【解析】
原问题等价于以,A B 为圆心的圆与圆C 有两个交点， AB 中点坐标为()0,0，以,A B 为圆心的圆的半径()2
212R a a =+-
且圆C 的圆心为(1,26，半径为21R =， 两圆的圆心距为：1245d =+=， 结合1a >可得关于实数a 的不等式组：
()()2222
215
215a a a a ⎧+-≤⎪
⎨⎪+-≥⎩
， 求解关于实数a 的不等式组可得实数a 的取值范围为17117a ≤≤+点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数
法．
13.等比数列{}n a 的首项为1，公比为2，前n 项的和为n S ，若()241log 174n m a S ⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦
，则
14n m +的最小值为______. 【答案】
5
2
【解析】 【分析】
先求出n a 和4m S ，代入()241log 174n m a S ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦可得410m n +=，然后将()144m n n m ⎛⎫
++ ⎪⎝
⎭展开运用基本不等式求解即可.
【详解】因为等比数列{}n a 的首项为1，公比为2 所以1
2
n n a -=，()4441122112
m m m
S
⋅-=
=--
因为()241log 174n m a S ⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦
所以
()147411
122244
n m n m a S -+=⋅⋅=，即410m n += 因为(
)144441611725m n m n n m n m ⎛⎫
++=+++≥+=
⎪⎝⎭
当且仅当
44m n
n m
=，即2m n ==时等号成立 所以
14255102n m +≥=，即14n m +最小值为
5
2
故答案为：
52
【点睛】本题考查的知识点有：等比数列的通项公式和前n 项和公式、对数的运算及基本不等式的运用，较为综合.
14.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数1x ，[)20,x ∈+∞有
()()
1212
0f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()2ln 32f mx x --≥()3f -()2ln 3f mx x -++在
[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围________.
【答案】
16ln 326
m e +≤≤ 【解析】 【分析】
利用函数的奇偶性和单调性,可得02ln 6mx x ≤-≤ 对[]1,3x ∈ 恒成立,通过参变分离即得ln 2x
m x
≥
且6ln 2x
m x
+≤
对[]1,3x ∈ 恒成立,求得相应的最大值和最小值,从而得到m 的取值范围. 【详解】解:Q 定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=()f x ∴ 为偶函数
Q 对任意的不相等的实数1x ，[)20,x ∈+∞有
()()
1212
0f x f x x x -<-成立
()f x ∴在[0,)+∞ 上单调递减,在(,0)-∞ 上单调递增
由()2ln 32f mx x --≥()3f -()2ln 3f mx x -++在[]1,3x ∈上恒成立 得()2ln 3(3)f mx x f --≥在[]1,3x ∈上恒成立
32ln 33mx x ∴-≤--≤在[]1,3x ∈上恒成立,即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立
此时ln 2x m x ≥
且6ln 2x
m x +≤对[]1,3x ∈ 恒成立 设ln ()x g x x =,则令1ln '()0x
g x x
-==,解得x e = ()g x ,'()g x 随x 的变化如下表
∴ 当x e =时,max 1()g x e = 1
2m e
∴≥
设6ln ()x h x x +=,则当[]1,3x ∈时,2
5ln '()0x
h x x
--=<
∴ ()h x 在[1,3] 上单调递减,即当3x = 时,min 6ln 3
()(3)3
h x h +==
则6ln 36m +≤
.综上所述, 16ln 3
26m e +≤≤ 故答案为:
16ln 3
26
m e +≤≤. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,考查了函数的单调性在解抽象不等式得应用,考查了运用导数求最值的方法. 若对任意的不相等的实数1x ,2x D ∈有
()()
1212
0f x f x x x -<-成立,说明()f x 在区间D 上为减函数;
若对任意的不相等的实数1x ,2x D ∈有
()()1212
0f x f x x x ->-成立,说明()f x 在区间D 上为增函数.在解抽
象不等式时,常常利用函数的单调性将抽象不等式转化为具体不等式.对于含参不等式在某区间上恒成立时,常常采用参变分离的方法,通过求出分离参数后函数的最大值或者最小值,来确定参数的取值范围.
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos a B A +=. （1）求角B 的大小；
（2）若ABC ∆的面积为4
，b =a c >，求a ，c . 【答案】（1）3
B π
=，（2）7,1a c ==
【解析】 【分析】
（1）由sin cos a B A +=得sin sin cos A B B A C +=，然后利用()sin sin C A B =+进行化简即可
（2）由ABC ∆的面积为
4
得7ac =，然后再结合余弦定理求解即可.
【详解】（1）因为sin cos a B A =
所以sin sin cos A B B A C +=
所以()sin sin cos cos cos A B B A A B A B B A =+=
所以sin sin cos A B A B =
因为sin 0A ≠，所以sin B B =，即tan B =
因为()0,B π∈，所以3
B π
=
（2）因为ABC ∆的面积为
73
所以
173
sin 24
ac B =
，得7ac = 因为43b =
所以由余弦定理得：()2
22433a c ac a c ac =+-=+- 所以得8a c +=
因为a c >，所以可解得7,1a c ==
【点睛】本题考查的是正余弦定理及三角形的面积公式，较为典型.
16.如图，在三棱锥P ABC -中，,4,2PA PC BC AC ===．M 为BC 的中点，N 为AC 上一点，且
//MN 平面,3PAB MN =．
求证：（1）直线//AB 平面PMN ； （2）平面ABC ⊥平面PMN ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 试题分析：
(1)由题意结合几何关系可证得//MN AB ，结合线面平行的判断定理可证得//AB 平面PMN ； (2)由题意利用线面垂直的判断定理可得AC ⊥平面PMN ，结合面面垂直的判断定理可得平面ABC ⊥平面
PMN ．
试题解析：
（1）因为//MN 平面PAB ，MN ⊂平面ABC ， 平面PAB ⋂平面ABC AB =，所以//MN AB ， 因为MN ⊂平面,PMN AB ⊄平面PMN ，
所以//AB 平面PMN ；
（2）因为M 为BC 的中点，//MN AB ，所以N 为AC 的中点， 因为4,2BC AC ==，所以2,1MC NC ==，
由于3MN =，所以222MN NC MC +=，所以MN AC ⊥， 因为,PA PC AN CN ==，所以PN AC ⊥， 又,MN PN ⊂平面PMN ，MN PN N ⋂=， 所以AC ⊥平面PMN 因为AC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面PMN ．
17.园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ(弧度）的扇形观景水池，其中O 为扇形
AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为
每平米400元，步道造价为每米1000元.
（1）当r 和θ分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积； （2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少. 【答案】（1）见解析（2）337.5平方米 【解析】
试题分析：（1）步道长为扇形周长2r r θ+，利用弧长公式及扇形面积公式可得不等式
()241
4001000224102
r r r θθ⨯++≤⨯，利用基本不等式将不等式转化为关于S 的一元不等式，解得S 的
范围，确定最大值为400.（2）由条件得2105r r θ+=，消θ得()110522S r r =-，由105
22r
θπ=
-<及()241
4001000224102
r r r θθ⨯++≤⨯，解出45r ≥，根据二次函数最值取法得到当45r =时，S 最大
337.5
试题解析：解：（1）由题意，弧长AB 为r θ，扇形面积为2
12
S r θ=
， 由题意()24
14001000224102
r r r θθ⨯++≤⨯，即()2
521200r r r θθ++≤，
即2222r r r θθ+≥，
所以
2
2
1221200r r θθ+≤，所以2
2t r θ=，0t >，则2
101200402
t t t +≤⇒≤，
所以当240r r θ==时，面积2
12
S r θ=的最大值为400. （2）即105
210522r r r
θθπ+=⇒=
-<，1052r r θ=-代入可得 ()215
105251051200210567502
r r r r r -+⨯≤⇒-+≥⇒≤或45r ≥，
又()2
222
111051051051052222416S r r r r r r θ⎛⎫==-=-+=--+
⎪⎝⎭， 当
15105105221221522r r θπ
≤
=-≥-=>⎛⎫ ⎪⎝⎭
，与2θπ<不符， ()S θ在[)45,+∞上单调，当45r =时，S 最大337.5平方米，此时1
3
θ=.
18.如图，已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左顶点()2,0A -，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，12F F 、分别是
椭圆的左、右焦点．过点A 作斜率为()0k k >的直线交椭圆E 于另一点B ，直线2BF 交椭圆E 于点C .
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若12CF F ∆为等腰三角形，求点B 的坐标； （3）若1F C AB ⊥，求k 的值.
【答案】（1）22143x y +=（2）833,55B ⎛ ⎝⎭
（3）6k = 【解析】 试题分析：
(1)由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组可得椭圆E 的标准方程：22
143
x y +=；
(2)由题意可得点C 在x
轴下方据此分类讨论有：(0,C ，联立直线BC
的方程与椭圆方程可得
8,55B ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
； (3)设直线AB
的
方程():2AB l y k x =+，联立直线方程与椭圆方程，可得2228612,3434k k B
k k ⎛⎫
-+ ⎪++⎝⎭
利用几何
关系1F C AB ⊥计算可得(
)
2
81,8C
k k -- ，利用点C 在椭圆上得到关于实数k 的方程，
解方程有：k =
. 试题解析：
（1）由题意得222
22
191
44a a b c
b
⎧
⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得2
1
a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆E 的标准方程：22
143
x
y +=
（2）∵12CF F ∆为等腰三角形，且0k >∴点C 在x 轴下方
1︒ 若12F C F C =，则(0,C ；
2︒ 若122F F CF =，则22CF =，∴(0,C ；
3︒ 若1
12
F C F F =，则1
2CF =，∴(0,C ； ∴(0,C
∴直线BC 的方程)1y x =-，由)221143y x x y
⎧=-⎪⎨+=⎪
⎩得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩85x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴85B ⎛ ⎝⎭
（3）设直线AB 的方程():2AB l y k x =+，
由()22214
3y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪
⎩得()2222341616120k x k x k +++-=
∴221612234A B B k x x x k -⋅=-=+ ∴22
86
34B k x k
-+=+ ∴()2
12234B B k
y k x k =+=+ ∴2228612,3434k k B k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭
若12k =，则∴31,2B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，∴31,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵()11,0F -，∴1
34CF k =-，∴1F C 与AB 不垂直； ∴12k ≠
，∵()21,0F ，21241
,14BF CF k k k k k
==--， ∴直线2BF 的方程()22
4:114BF k l y x k =--，直线1CF 的方程:()11
:1CF l y x k
=-+ 由()()
2411411k y x k y x k ⎧
=-⎪⎪-⎨
⎪=-+⎪⎩
解得2818x k y k ⎧=-⎨=-⎩ ∴()
2
81,8C k k -- 又点C 在椭圆上得(
)()
2
2
28181
4
3
k k --+=，即(
)(
)
2
2
241890k k -+=，即2
1
24
k = ∵0k >，
∴12
k =
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19.已知数列{}{},n n a b 满足： *
13,n n n b a a n N +=+∈.
（1）若23,0n b n a a =+=，求1a 的值； （2）设1124
,1,21
n n n a b b a a +=+=-=
，求证：数列{}n b 从第2项起成等比数列； （3）若数列{}n b 成等差数列，且1235b a a =-，试判断数列{}n a 是否成等差数列？并证明你的结论. 【答案】（1）14a =（2）见解析（3）见解析 【解析】
试题分析：
(1)由题意结合递推关系可得14a =；
(2)由题意结合递推关系有：()()1123n n n n n b b b b b +++=+++，即*
1243,n n b b n N ++=∈，结合
214
3b b =-，2407
b =≠，可证得数列{}n b 成等比数列； (3)由1235b a a =-可得31220a al a -+=；由13n n n b a a +=+可得1122233,3n n n n n n b a a b a a ++++++=+=+，结合数列{}n b 成等差数列计算可得211n n n n a a a a +++-=-，则数列{}n a 成等差数列. 试题解析：
（1）当1,2n =时，可得122331,32a a a a +=+=，又230a a +=， 从而可得14a =； （2）由1241,21a a =-=
，可得11221134
3,77
b a a b a b =+=-=-=， 所以214
3
b b =-； 又因为113,n n n n n n b a a a b b ++=+=+，
所以()()1123n n n n n b b b b b +++=+++，即*
1243,n n b b n N ++=∈，
又
2143b b =-，2407
b =≠，所以*14,3n n b n N b +=-∈， 所以数列{}n b 成等比数列；
（3）由1235b a a =-可得122335a a a a +=-，即31220a al a -+=； 由13n n n b a a +=+可得1122233,3n n n n n n b a a b a a ++++++=+=+，
又因为数列{}n b 成等差数列，从而211n n n n b b b b +++-=-，即2120n n n b b b ++-+=， 从而()()()2123121232330n n n n n n n n n b b b a a a a a a +++++++-+=+-+++=， 即()21321232n n n n n n a a a a a a +++++-+=-+ 所以()1
2132123
20n n n n a a a a a a -++-+=-+=，故211n n n n a a a a +++-=-，
所以数列{}n a 成等差数列.
20.已知函数()(),2x
f x e ex
g x ax a =-=+，其中e 为自然对数的底数，a R ∈.
（1）求证：()0f x ≥；
（2）若存在0x R ∈，使()()00f x g x =，求a 的取值范围； （3）若对任意的()()(),1,x f x g x ∈-∞-≥恒成立，求a 的最小值. 【答案】（1）见解析（2）2e a <-或 0a ≥（3）e 2
-. 【解析】 试题分析：
(1)由题意可得函数的最小值()10f =，所以()0f x ≥.
(2)原问题等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围.分类讨论：①当0a ≥时，()F x 有零点.②当
02e a -
≤<时，()F x 无零点.③当2e a <-时，()F x 有零点.则a 的取值范围是2
e
a <-或0a ≥. (3)原问题即21x e ex a x -≥+.构造函数()()121x e ex G x x x -=<-+，其值域为A ，且()2e G x <-.结合导函数可得
()G x 在(),1-∞-上为减函数，所以()()11G x G e e >-=--，. 记区间1,2e e B e ⎛
⎫---= ⎪⎝
⎭，构造新函数
()(),H x G x m m B =-∈，结合题意讨论可得a 的最小值为2
e
-.
试题解析：
（1）令()0x
f x e e ='-=，得1x =，且当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '<，所以函数()
f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得最小值. 因()10f =，所
以()0f x ≥.
（2）设()2x
F x e ex ax a =---，题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围.
①当0a ≥时，由()()1
30,10F x a F e e a -=-≤-=++>，所以()F x 有零点.
②当02
e
a -
≤<时， 若0x ≤，由20e a +≥，得()()20x
F x e e a x a =-+->； 若0x >，由（1）知，()()210F x a x =-+>，所以()F x 无零点.
③当2e a <-时，()010F a =->，又存在0102a
x e a
-=
<+，()()00120F x e a x a <-+-=，所以()F x 有零点.
综上，a 的取值范围是2
e
a <-
或0a ≥. （3）由题意，()21x
a x e ex +≤-，因为1x <-，所以21x e ex
a x -≥+.
设()()121
x e ex
G x x x -=<-+，其值域为A ，
由于()20221221
x x
e
e e e ex e G x x x +
-⎛⎫--=+=< ⎪++⎝⎭，所以()2e
G x <-. 又()()
2
2021x x xe e e
G x x --=
<+'，所以()G x 在(),1-∞-上为减函数，所以()()11G x G e e
>-=--，.
记区间1,2e e B e
⎛⎫
---
= ⎪⎝⎭
，则A B ⊆.① 设函数()(),H x G x m m B =-∈， 一方面，()1
10H e m e
-=--<； 另一方面，()()12121x
H x e ex m x x ⎡⎤=
---⎣⎦+ ()
()112121
x e e m x m x ⎡⎤=--++-⎣⎦+， 存在512m e
<-+，()
5114010
212x
H e m m e m e
⎛⎫
⎡⎤=
⋅--+> ⎪⎣⎦+⎝⎭++ 所以15,12x m e ⎛⎫
∃∈-
⎪+⎝⎭
，使()10H x =，即()1G x m =，所以B A ⊆.②
由①，②知，A B =， 从而2e a ≥-
，即a 的最小值为2
e -.。