IMO竞赛试题1-44

第一届

1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数n都是最简分数。

2. 设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3. a、b、c都是实数，已知cos x的二次方程a cos2x + b cos x + c = 0,试用a,b,c 作出一个关于cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cos x和cos 2x的方程式。

4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.) 求证AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断PQ 的中点的轨迹。

6. 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。

第二届

1. 找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。

2. 寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2 < 2x + 9

3. 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n 等份（n为奇数），令a 为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tan

a = 4nh/(an2 - a).

4. 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。

5. 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC 上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a. 求XY中点的轨迹； b. 求(a)中轨迹上的、并且还满足ZY=2XZ的点Z的轨迹。

6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1 为圆锥的体积，V2 为圆柱的体积。 (a). 求证：V1 不等于V2 ；(b). 求V1/V2 的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。

7. 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X 到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。

第三届

1. 设a、b是常数，解方程组x + y + z = a; x2 + y2 + z2 = b2; xy=z2并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？

2. 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证：a2 + b2 + c2 >= 4√3 A. 并

求出等号何时成立。

3. 解方程cosnx - sinnx = 1, 其中n是一个自然数。

4. P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。

5. 作三角形ABC使得AC=b, AB=c，锐角AMB = a,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是 b tan(a/2) <= c < b.又问上式何时等号成立。

6. 三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。在p上任意取三个点A', B', C'，A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么？

第4届

1. 找出具有下列各性质的最小正整数n：它的最后一位数字是6，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。

2. 试找出满足下列不等式的所有实数x：√(3-x)- √(x+1) > 1/2.

3. 正方体ABCDA'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。一点x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。求线断XY的中点的轨迹。

4. 解方程cos2x + cos22x + cos23x = 1。

5. 在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。

6. 一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为r，求证这两个圆的圆心的距离是√(R(R-2r))。

7. 求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。

第5届

1. 找出下列方程的所有实数根（其中p是实参数）：√(x2-p)+2√(x2-1) = x.

2. 给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足角APX是直角，试求出所有这样的点P的轨迹。

3. 在一个n边形中，所有内角都相等，边长依次是 a1 >= a2 >= ... >= an，求证：所有边长都相等。

4. 设y是一个参数，试找出方程组xi + xi+2 = y xi+1 (i = 1, ... , 5)的所有解x1, ... , x5。

5. 求证cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2.

6. 五个同学A、B、C、D、E参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种）。还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后的名次如何？

第6届

1. (a) 求所有正整数n 使得 2n - 1 能被7整除；(b) 求证不存在正整数n 使得2n + 1 能被7 整除。

2. 假设a、b、c是某三角形的三边长，求证：a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) <= 3abc.

3. 三角形ABC的三边长为别为a、b、c。分别平行于ABC的各边作三角形ABC内切圆的切线，每条切线都在ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用a,b,c表示）。

4.十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。

5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。

6.四面体ABCD的中心是D0 ，分别过A、B、C作DD0 的平行线，这些线分别交平面BCD、CAD、ABD于点A0、B0、C0，求证：ABCD的体积是A0B0C0D0的三分之一；再问如果D0 为三角形ABC内的任意一点，结果是否仍然成立？

第7届

1. 试找出所有位于区间[0, 2pi] 的x使其满足 2 cos x ≤ | √(1 + sin 2x) - √(1 - sin 2x)| ≤ √2 .

2. 如下方程组的系数aij ，a11x1 + a12 x2+ a13 x3 = 0 a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0 a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0满足：a. a11、a22、a33 是正数，其余是负数； b. 每个方程中的系数之和是正的。求证：该方程组的有唯一的解x1 = x2 = x3 = 0。

3. 四面体ABCD被平行于AB、CD边的一个平面分割成两部分，并且该平面到AB边的距离是该平面到CD边距离的k倍。试求出这两部分的体积比。

4. 四个实数，它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于2，求出这四个