IMO竞赛试题1-44
历届IMO试题（1-44届）
历届IMO试题（1-44届）第1届IMO1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。
2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程acos2x+bcosx+c=0,试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。
当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。
4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.)求证AF、BC相交于N点；（b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S；(c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。
6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。
试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。
第2届IMO1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。
2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1-√(1+2x))2<2x+93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tanα=4nh/(an2-a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.正方体ABCDA''B''C''D''（上底面ABCD，下底面A''B''C''D''）。
第49届国际数学奥林匹克(IMO)试题及解答 (1)
。
2
，( 借) <丝掣( 2) ． 舒任意n，6∈I，口<6，当A>0时恒有
剖析：这里( 1) 与( 2) 等价是有条件的，并不 是对任意的函数，( z) 都成立的．如反例：
当J =Q( 有理数) ，A为无理数时，则对于任
意 的 口 ， 6， ∈ Q， 厂 (z)=z2， 有 竿 尝 ∈ Q， 所 以
6．在凸四边形ABcD中，BA≠BC，∞l 和 甜z 分 别足△ABC和△ADC的内 切圆．假 没存 在一个圆 鲫与射线BA相 切( 切点不在 线段BA 上)，与射线BC相切( 切点不在线段BC上) ，且
与直线AD和直线CD都相切．证明：圆叫1和 c【J 2 的两条外公切线的交点在圆cc ，上．( 俄罗斯提供)
作圆的一条平行于ac的切线z靠近边上海中学数学2008年第l324006浙江省衢州高级中学吴光耀严密性是数学的三大特点之一数学计算与教学证明的严密性既是数学科学的特点又可以训练思维使学生细心周密而这些素质又指导学生去思考生活工作中的问题使他们养成周密稳重的习惯有助于提高基本素质
上海中学数学·2008年第l O期
证明：由于n一2Rs i nA，6—2Rs i nB，c一
2Rsi nC只要证：
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十
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AC的那条) ，设 z与圆鲫相切于点丁，下证B，y， T三点共线．
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如图4，设z 与射线BA，BC分别交于点A1， C1，则圆御是三角形BAl Cl 的关于顶点B的旁 切圆，T是它与A1Cl 的切点，而圆叫3是三角形 BAC关于点B的旁切圆，圆螂与AC相切于点 V．则由Al Cl ∥AC知，△BAC和△BAl C1以B 为中心位似，而V，T分别是对应旁切圆与对应 边的切 点，因此 y，丁 是这一对位 似形中的 对应 点，而B是位似中心，故B，V，T共线，从巾i 命题 得证．
2020年国际数学奥林匹克(IMO)全部试题解答
2020年第61届国际数学奥林匹克（IMO）全部试题解答海亮高级中学高三康榕博高二陈昶旭第一天第1题. 考虑凸四边形ABCD. 设P 是ABCD 内部一点. 且以下比例等式成立:∠PAD:∠PBA:∠DPA＝1: 2 :3＝∠CBP:∠BAP:∠BPC.证明: ∠ADP 的内角平分线、∠PCB 的内角平分线和线段AB 的垂直平分线三线共点.证明：如图，设∠PAD＝α,∠PBC＝β,则∠ABP＝2α,∠BAP＝2β, ∠APD＝3α,∠BPC＝3β,取△ABP外心O, 则∠AOP＝4α＝π－∠ADP∴A, O, P, D共圆.∴∠ADO＝∠APO＝∠PAO＝∠PDO∴OD平分∠PDA.同理, OC平分∠PCB.而O为△ABP外心, 显然在AB中垂线上.故∠PDA平分线, ∠PCB平分线, AB中垂线均过点O.证毕.第2题. 设实数a, b, c, d 满足a ≥b ≥c ≥d > 0, 且 a + b + c + d = 1. 证明:(234)1a b c d a b c d a b c d +++<. 证明: 由加权AM －GM 不等式, 我们有2222a b c d a b c d a a b b c c d d a b c d <⋅+⋅+⋅+⋅=+++ 故只需证明22223(234)()()cyca b c d a b c d a ++++++<∑ (*)注意到332()36cyc cyc sym cyca a ab abc =++∑∑∑∑, 及32222cyca ab ad a a ++≥∑2232222222cyca b ab b bc bd b a ++++≥∑2222233333cyca cbc ac cd c a +++≥∑22234444cyc a d a b abd acd bcd d a ++++≥∑∴ (*)成立. 故原不等式成立.第3题. 有4n 枚小石子, 重量分别为1, 2, 3, . . . , 4n. 每一枚小石子都染了n 种颜色之一, 使得每种颜色的小石子恰有四枚. 证明: 我们可以把这些小石子分成两堆, 同时满足以下两个条件:• 两堆小石子有相同的总重量;• 每一堆恰有每种颜色的小石子各两枚.证明: 引理:将n 种颜色的点个4个两两分组, 则可取n 组使得每种颜色的点各2个.即证: n 阶4-正则图G(不一定简单)必有2-正则生成子图. n ＝1, G 为v 的2个自环, 成立.设0n n ≤成立, 则01n n =+时:若G 有点含两自环或有两点含4重边, 对其余部分用归纳假设,该部分取1自环或2重边即可.下设无这样的结构.若G 含三重边,设x,y 间有三条边, 且,(,)xu yv G u y v x ∈≠≠. 考虑将x,y 去掉, 并添入边uv 得到图G ’. 由归纳假设, 图G ’有2-正则生成子图, 若该图含添入的边 uv, 删去该边并加入ux, xy, yv 即可. 若不含, 加入xy, xy 即可.下设无三重边.显然G 有圈. 设最小圈为121,,...,t x x x x . 由G 无2自环,3重边知01t n <+, i x 有两边不指向12,,...t x x x . 设这两边指向,i i u v ，以下下标模t.在G 中删去点12,,...t x x x 并加入边1(1)i i i e u v i t +=≤≤得到G’. 由归纳假设, G ’有2-正则子图G 1.对1≤i ≤t, 若1i e G ∈, 则选择G 中的边11,i i i i x u x v ++, 若1i e G ∉, 则选自1i i x x +, 其余边按G 1中边选择, 则选出的边即为G 的2-正则生成子图的边集.结论成立.回到原题. 将重量为{,41}k n k +-的小石子分为一组.(12)k n ≤≤, 由引理可取n 组使每种颜色的小石子恰2个. 这2n 个分为一组, 其余分为一组, 此即满足条件的分法, 命题成立.第二天第4题. 给定整数n > 1. 在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站. 有两家缆车公司A和B, 各运营k辆缆车; 每辆从一个车站运行到某个更高的车站(中间不停留其他车站). A 公司的k辆缆车的k个起点互不相同，k个终点也互不相同, 并且起点较高的缆车，它的终点也较高. B公司的缆车也满足相同的条件. 我们称两个车站被某个公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在车站之间有其他移动). 确定最小的正整数k, 使得一定有两个车站被两个公司同时连接.解: 由题意得, 每个缆车与1或2个缆车相连. (否则有两辆缆车起点不同, 终点相同)∴A, B各自的缆车线路图可划分为若干个链.注意到每条链长度大于等于2, 且首尾两点不能作为终点和起点, 故恰有2n k-条链.若21k n n≥-+, 则A最多由n－1条链.由抽屉原理, 其中至少有一条链上有221nnn⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥个点, 设为P. 而B仅有n－1条链, 故P上一定有两个点同时在B 的一条链上, 则这两点可被两个公司同时连接.另一方面, 2k n n=-时, 记2n个车站高度排序为21,2,...n (从低到高)令A的2n n-辆缆车为2(1)i n i i n n→+≤≤-令B的2n n-辆缆车为21(11,|)i i i n n i→+≤≤-/易见此时任两个车站不能被两个公司同时相连.2 min 1k n n∴=-+.第5题. 有一叠n > 1张卡片. 在每张卡片上写有一个正整数. 这叠卡片具有如下性质：其中任意两张卡片上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值.确定所有的n, 使得可以推出这叠卡片上的数均相等? 解: 设这n 张卡片上的数为1212,,....(...)n n x x x x x x ≤≤. 若12gcd(,,...)1n x x x d =>, 用i x d 代替i x , 不影响结果. 故不妨设12gcd(,,...)1n x x x =.由题意得, 1,2i jx x i j n +∀≤≤≤为代数整数.则2|i j i x x x +⇒模2同余. 又12gcd(,,...)1n x x x =, 故i x 全为奇数.任取一个素数p, p ≥3.记{|1,|},{|1,|}i i i i A x i n p x B x i n p x =≤≤=≤≤/ 则对,,2x y x A y B +∀∈∈不为p 的倍数. 设121(...)2k k i i i x y x x x +=, 则121|(...)2k k i i i x y p x x x +=/ ∴对1,j i j k x B ∀≤≤∈.max 2i i x B x y x ∈+∴≤. 取max ,max i i i i x A x B x x y x ∈∈==, 则max max i i i i x A x B x x ∈∈≤若1n x ≠, 取n x 的奇素因子p, 由12gcd(,,...)1n x x x =知, i ∃, 使|i p x /.取0max{|1,|}i i i i n p x =≤≤/, 由上述结论知0n i x x ≤, 则o n i x x =. 又0|,|i n p x p x /, 矛盾!1n x ∴=. 则1,1i i n x ∀≤≤=.∴对任意n ≥2, 卡片上的所有数均相等.第6题. 证明: 存在正常数c 具有如下性质:对任意整数n > 1, 以及平面上n 个点的集合S, 若S 中任意两点之间的距离不小于1，则存在一条分离S 的直线ℓ, 使得S 中的每个点到直线ℓ 的距离不小于13cn -.(我们称直线ℓ分离点集S, 如果某条以S 中两点为端点的线段与ℓ 相交.)证明: 以每个点为圆心,12为半径作圆, 则这些圆两两公共部分面积为0.引理1: 对凸多边形P, 其内部最多由421s l π++个点在S 中,其中s,l 代表P 的面积和周长. 证明: 如图, 将P 的每条边往外侧平移12, 并以P 上每个点为圆心, 12为半径作圆, 拓展区域面积为124l π+. ∴P 内部最多1422414S l s l πππ+++=+个点. 现在对于一条直线l, 作S 中每个点在l 上的投影. 任取相邻两个投影点, 则这两点连线的中垂线分离点集S, 且所有的到该直线的距离≥12投影点距离.设S 的直径为D, 则可作一个以D 为边长的正方形覆盖S. 由引理1, 122481()D Dn D n π++≥⇒=Ω 设P,Q ∈S, PQ ＝D. 将PQ 作为上述l, 记我们所能做到的使每个点到一条直线的距离均不小于该数的最大值为d.由于仅与夹角有关, 故d 存在.而l 上除P,Q 外有n －2个投影点.2(1)2D D d n n∴≥>-. 又12()D n =Ω, 故12()d n -=Ω. 需证明13()d n -=Ω .取点集S 的凸包P. 若一直线过P 上一点且使得S 中所有点都在该线一侧, 我们认为其亦分离S. 称其为支撑边. 对于任一常数C, 作两条平行的距离为C 的直线, 满足这两条直线分离S. 作他们的垂线l, 设这个带状区域内有m 个S 中的点, 则11c c d m m d≥⇒≥-+. 不妨设(1)d o =, 则可以认为m 远远大于1. 为使m 尽量小, 应取两直线其中之一为支撑边.∴现在对于一条分离S 的直线l, 设l 与P 围成的区域内部有B 个点. P 中与l 距离最近的点到l 距离为0s , 则01s d B ≥+ (以下用≥代表数量级估计) 我们证明d≥从而311D d n D n ≥⋅= 则13()d n -=Ω. 如图, P 夹在这样一个区域里, 取XY 上一点Z, 使得0YZ s =. 过Z 作MN ⊥XY , 点M,N 在以X 为圆心, D 为半径的圆上. 则B ≤YMN 内S 中点的个数.不妨设XY 为x 轴, 对YMN 内任意两点1122(,),(,)x y x y , 221201212||,()()1x x s x x y y -≤-+-≥, 则12||1y y B -≥⇒≤+.而MN =02s d MN∴≥=+由于0(1)s =Θd ∴≥, 则13d n -≥, 即13()d n -=Ω证毕.。
IMO中的数论
(Cm +1 − Ck )(Cm + 2 − Ck )...(Cm + n − Ck ) (m + n − k )! (m + n + k + 1)! = • = C1C2 (m − k )!n ! (m + k + 1)!(n + 1)!
n Cm +n−k •
1 n +1 Cm + n + k +1 ， 由 于 二 项 系 数 肯 定 是 正 整 数 ， 并 且 注 意 到 ( m + k + 1) 是 m + k +1 1 n +1 (m + n + k + 1)! 的因子，且 (m + k + 1) 与 (m + k )!(n + 1)! 互素，所以 Cm + n + k +1 也是 m + k +1 ( k − m − n) ! ，所以 (k − m)!
2a 2 − (2b + 9)a + (2b 2 − b) = 0 ，a 的判别式为 (2b + 9) 2 − 8(2b 2 − b) = 81 + 44b − 12b 2 ，
第44届IMO试题解答
第 44 届 IMO 试题解答
林 常
一 、设 S = { 1,2,…,1000000 }.A 为 S 的一 个 101 元子集.证明:在 S 中存在数 t1 , t 2 ,L , t100 , 使得下列集合 Aj = { x + tj | x∈ A} (1 ≤ j ≤ 100) 中的任意两个都不相交. 证 一般,对任意实数集 S 与 A ,令 | S |= n, n −1 | A |= k ( n ≥ k 2 − k + 2), m = 1 + [ 2 ] ,则 k − k +1 S 中存在 m 个数 ti (1 ≤ i ≤ m) 满足题给条件. 记 A* = { x − y | x , y ∈ A} . 我们有 Ai I Aj = ∅ ⇔ ti − t j∈A * . 任取一个 t1 ∈ S ,由于 A * 中非零数的个数 不多于 k ( k − 1) ,故 S 的子集 S1 = {x | x − t1∈A*} 的元素个数不少于 n − ( k 2 − k + 1) . 同理 ,任取 t 2 ∈ S1 , S1 的子集 S 2 = {x | x − t2 ∈A*} 的元素个 数不少于 n − 2( k − k + 1) ,依此类推 ,取出 t m−1
n − ( m − 1)( k 2 − k + 1) n −1 ≥n− 2 ( k 2 − k +1) = 1 . k − k +1 故存在 t m ∈ S m−1 .由上述取法可见 i ≠ j 时, ti − t j ∈A*, 从而 Ai ≠ Aj .证毕. 当 n = 106 , k = 101 时, 999999 m = 1+ [ ] = 100 , 10101 即是本题的结论. 二、 求所有的正整数对 (a ,b ) ,使得 a2 为正整数. 2ab 2 − b3 + 1 解 从分母为正得 1 ≤ b ≤ 2a . a2 a (1) 若 b = 1 ,原式 = = ,此时的所有解 2a 2 为 (2m,1) m ∈ Z + ; (2)若 b = 2a ,原式 = a 2 ,此时的所有解为 (m , 2m ) m ∈ Z + ; (3)设 1 < b < 2a ,由于 2a ≥ b + 1 ,分母 ≥ ( b +1)b 2 − b3 + 1 = b2 + 1 > b 2 , ∴ a > b , 令原式等 于 k ,则 a 是二次方程 x2 − 2kb2 x + k (b3 − 1) = 0 的一个根.这个方程的另一个根 m = 2kb 2 − a 也 是整数,又由 ma = k (b3 − 1) > 0 知 m 为正整数. 由于 a + m = 2kb2 ,a 与 m 中有一个 ≥ kb2 , k (b3 − 1) 另一个 ≤ < b ,因为 a > b ,故必 m < b . kb2 m2 也是正整数.若 b ≠ 2m , 现在 2mb2 − b3 + 1 由 上 论 述 可 知 必 b < m ,是 个 矛 盾 ,故 必 b = 2m, k = m 2 , a = 2kb 2 − m = 8m 4 − m . 综上,本题的所有正整数解为 (2m,1),( m, 2m ) 和 (8m 4 − m , 2m ), m ∈ Z + . 三、 给定一个凸六边形 ,它的每一组对边 都具有如下性质 : 这两条边的中点之间的距 离等于它们的长度之和的 3 / 2 倍.证明:该六 边 形 的 所 有 内 角 相 等 .( 一 个 凸 六 边 形 ABCDEF 共有三组对边 : AB 和 DE,BC 和 EF,CD 和 FA). uuu r uuur uuur uuur 证 明 记 AB = a , BC = b , CD = c , DE = ・33・
航海英语大幅试题44期
44902一、单项选择题1. it’s all right to rig the pilot ladder on lee side______.A. to allow port authorities to boardB. allowing port authorities to boardC. to allow port authorities boardingD. allowing port authorities to be boarded2. Many of the lights on this coast are placed so high as to be frequently obscured by______.A. powerB. towerC. coverD. shower3. To ____ Admiralty Charts 438, latitudes taken from this chart should be increased by about 5 seconds.A. convert toB. come toC. look atD. agree with4. all entries in Logbook, ____ made, must not be erased or amended.A. onceB. whetherC. previousD. just5. Please tell your captain that your anchor is ____.A. movingB. draggingC. dredgingD. slipping6. it is not necessary to declare ____in the Health List.A. AppendicitisB. CholeraC. PlagueD. Typhus fever7. a notice of readiness is not valid unless it indicates that the vessel is ready to load or discharge as the case may be, at the time ____it is given.A. whenB. whichC. thatD. then8. GIVE A WIDE BERTH TO THE BREAKWATER means ____.A. to keep clear of the breakwaterB. that there is much berth space near the breakwaterC. don’t drop anchor too close to the breakwaterD. to keep the breakwater within sight9. it’s also essential that we can not ____any marks mixed or damage to the cargo.A. agreeB. adoptC. checkD. accept10. when the dew point of the outside air is lower than or equal to the dew point of the air in the cargo hold, you should ____.A. secure all ventilationB. shut down the exhaust blowersC. shut down the intake blowersD. ventilate the cargo holds11. the ship’s officers must ____checking on the stowage of all the cargoes loaded on board.A. doB. be interested inC. have relation toD. be troubled with12. higher compensation may be claimed only when, with the consent of the carrier, the value of the goods declared by the shipper which ____the limits laid down in this clause has been stated in this bill of lading.A. increasesB. exceedsC. decreasesD. reduces13. the shipper can also be relieved of paying the freight ____delivery of a bill of lading indorsed with a clause freeing the shipper from liability, the shipowner or his agent knowing, at the time, of the existence of such a clause.A. byB. withC. fromD. as14. the carrier is the owner or Charterer who enters into a contact with ____.A. the consigneeB. the cargo ownerC. the shipperD. the consigner15.16.17. in no case shall ballast water be carried in cargo tanks, ____on those rare voyages when weather conditions are so severe that, in the opinion of the master, it is necessary to carry additional ballast water in cargo tanks for the safety of the ship.A. besidesB. in particularsC. in case ofD. except18. the shipper is not responsible for loss or damage ____by the carrier arising or resulting from any cause without the act, fault or neglect of the shipper, his agents or his servants.A. pertainedB. maintainedC. retainedD. sustained19. while you are working in a space, the fixed CO2 system is accidentally activated. You should ____.A.Secure the applicators to preserve the charge in the cylindersB.Continue with your work as there is nothing you can do to stop the flow of CO2C.Retreat to fresh air and ventilate the compartment before returningD.Make sure all doors and vents are secured20. The Safety of Life at Sea Convention was developed by the ____.A. IMDG conferenceB. American Bureau of ShippingC. IMOD. American institute of Maritime Shipping21. Biodegradation of the oil slick in sea water is assisted by all the following marine micro-organisms which are capable of metabolizing oil compounds except ____.A. bacteriaB. mouldsC. yeastsD. seals22. chafing gear should be placed ____.A. at all wearing points of mooring linesB. at the bitter ends of all standing riggingC. around running riggingD. con wire rope only23. A SEAMARK, I.E. A BUOY, INDICATING THE NORTH, EAST, SOUTH OR WEST FROM A FIXED POINT, E.G.A WRECK is ______.A. Entrance buoyB. New buoyC. Port buoyD. Cardinal buoy24. the interval of the average elapsed time from the meridian transit of the moon until the next high tide is called the ______.A . harmonic constant B. establishment of the port C. half-tide level D. tide cycle25. Planning to stow ______in the end lower holds will result in much broken stowage.A. large crates or casesB. small curved itemsC. drumsD. filler cargo26. ______this the Chief Officer agreed not to put any remarksA. AtB. ByC. ForD. Upon27. Generally speaking, the heavier cargo will go into the ______, distributing it evenly fore and aft, the lighter cargo will probably be placed in the ______.A. deep tanks/ lower holdsB. lower holds/ tweendecksC. tweendecks/ deep tanksD. deep tanks / tweendecks28. it has been decided that to be lawful merchandise, goods loaded under the charter-party must not only be such as can be loaded without breach of the law in force at the port of loading, but must also be such as can lawfully be carried and discharged at the ______.A. port of dischargeB. port of sailingC. port of flagD. port of departure29. if you must pump bilges while a vessel is in port, you should pump only ______.A. if discharge is led to a shore tank or bargeB. during the hours of darknessC. on the outgoing tideD. as much as is necessary30. which statement concerning the lashings of containers with solid bar or wire rope lashings is TRUE?A. stack weights should be less when using a solid bar lashing as compared to a wire lashingB. stack heights may be increased when using a solid bar lashingC. stack heights should be reduced when using a solid bar lashingD. solid bars should be used for lashing the first tier only, with wire lashings on the higher tier(s)31. A half-height container is used ______.A. to carry cargos of low densityB. when stowage space is limitedC. to carry cargos such as steel products or drumsD. to double the stowage capacity of the vessel32. Under the Carriage of Goods by Sea Act of 1936, a vessel will be liable for damage to a cargo when the damage arises out of ______.A. poor stowage of cargo in a containerB. fire caused by lightningC. overloadingD. inherent vice33. atmospheres laden with coal dust or grain dust caused by loading these cargoes ______.A. require loading operations to be shut down until the atmosphere clearsB. are toxic to human lifeC. are subject to spontaneous combustionD. may be explosive in some concertartions34. for cargoes ______grain meals, coal, ventilation is needed to prevent them ______spontaneous combustion.A. i.e. /ofB. for instance/ awayC. for example /offD. such as / from35. any vessel in need of carrying out deck washing must be ______by the department concerned beforehand.A. requestedB. allowedC. approvedD. inquired36. every new crude oil tanker of 20000 tons deadweight and above shall be fitted with a cargo tank cleaning system using ______.A. hot waterB. cold waterC. chemicalsD. crude oil washing37. a device fitted over the discharge opening on a relief valve consisting of one or two woven wire fabrics is called a ______.A. flame stopperB. flame screenC. flame filterD. flame restrictor38. if a cargo of kerosene were considered too lean to explode, then it must be ______.A. above the explosive rangeB. within the explosive rangeC. below the explosive rangeD. opened to the air39. to ______sanitary water from any vessel, an application shall be made to Harbor Authorities for approval.A. dischargeB. recircleC. loadD. take in40. please tell the stevedores to load the cargo ______according to the respective figures.A. tightlyB. closelyC. securelyD. strictly41. although KG for a vessel in lightweight is relatively high, the vessel is stiff because ______.A. KM is smallB. KM is highC. BL is smallD. KB is large42. the most variable factor in the control of broken stowage is ______.A. the use of excessive amounts of dunnageB. the use of excessive amounts of filler cargoC. the failure to stow some items in neat and uniform rows and tiersD. the skill, industry and interest of the longshoremen43. in the absence of exceptions clauses, there is ______obligation to supply a cargo of the contractual description and quantity.A. a conditionalB. an absoluteC. a considerableD. a substantial44. the Chief Mate must ascertain that the deck loads are stowed in such a manner as ______.A. not to affect the draught trimB. not to affect the cargo ventilationC. not to affect the free surfaceD. not to affect the vessel’s stability45. figure of cargo short-landed in ______.A. disputeB. argueC. debateD. discuss46. good weather is usually associated with a region of ______A. low barometric pressureB. high barometric pressureC. falling barometric pressureD. pumping barometric pressure47. when force of winds reaches 10-11 in Beaufort scale, we usu call such wind ______.A. GaleB. stormC. hurricaneD. typhoon48. ______is the vertical distance measured on the vessel’s side amidships from the load water line to the upper side of the freeboard deck or a point corresponding to it.A. BuoyancyB. FreeboardC. DraftD. Displacement49. which of the following is more important in determining the amount of free surface that will be produced?A. the breadth of the tankB. the length of the tankC. the amount of liquid in the tankD. the position of the tank in relation to the center line of the vessel50. you receive a package, for shipment aboard your vessel, containing Class I explosives. The package is damp, moldy and stained. You must ______.A. refuse to accept the packageB. note the exception(s) on the Bill of LadingC. replace the packaging material before stowageD. seek the approval of the Captain of the Port51. in nautical terminology a dog is a ______.A. crow barB. device to force a water tight door against the frameC. heavy steel beamD. wedge52. in ship construction, frame spacing is ______.A. greater at the bow and sternB. reduced at the bow and sternC. uniform over the length of the vesselD. uniform over the length of the vessel, with the exception of the machinery spaces, where it is reduced due to increased stresses53. if your propeller is racing in rough weather, you should ______.A. decrease your engine speedB. ignore itC. increase your engine speedD. stop your engine until the rough weather passes54. it may be found that, in certain circumstance, radar beacon emissions can cause ______with the normal radar display, particularly at close range.A. unwanted interferenceB. unexpected figuresC. abnormal dataD. unwanted information55. vessels in port may use ______for receiving typhoon warnings during the typhoon season.A. their transmittersB. their receiversC. their radarsD. their lorans56. if you receive the signal over radiotelephone of “Romeo Papa Tango” while using the International Code ofSignals, you should ______.A. report to the callerB. repeat your last transmissionC. continue since he received your last transmissionD. end the transmission57. A stopper is ______.A. a short length of line used for temporarily holding another lineB. a snatch block for handling a topping liftC. an engine order telegraphD. the brake on a cargo winch58. on an anchor windlass, the wheel over which the anchor chain passes is called a ______.A. brake compressor wheelB. devil’s clawC. wildcatD. winchhead59. what normally helps in detecting escaping gas?A. running hand along pipeB. red flameC. OdorD. increase the line pressure60. the dew point is reached when the ______.A. temperature of the air equals the temperature of the seawaterB. atmospheric pressure is 14.7lbs per square inchC. relative humidity reaches 50%D. air becomes saturated with water vapor61. In a married falls rig at the after end of a hatch, a boom is rigged in a fore and aft line through its heel. Stresses on the outboard guy will be LEAST if the guy is made fast at a point___A. abreast the heelB. at right angles to the boom when viewed from aboveC. aft of the heelD. forward of the spiderband62. the step of a pilot ladder which prevents the ladder from twisting is the ______A. proof barB. shifting barC. long barD. spreader63. A spring line leads ______.A. fore and aft from the ship’s sideB. to the dock at a right angle to the vesselC. through the bull nose or chock at the bowD. through the chock at the stern64. vessel’s provisions refer to ______ of the vessel.A. fuel oilB. vegetables and foodC. spare parts on boardD. ballast water65. you receive word that a person has fallen overboard from the starboard side. You should FIRST ______.A. notify the MasterB. put the wheel hard rightC. put the engines full asternD. sound the man overboard alarm66. removing which will extinguish a fire? ______A. NitrogenB. Carbon dioxideC. SodiumD. Oxygen67. you discover a leak in the fuel line to the engine. You should FIRST ______.A. activate the CO2 systemB. make a temporary repair with canvas or tapeC. start the bilge pumpD. close the fuel valve at the tank68. first aid treatment for small cuts and open wounds is to ______.A. lay the patient down and cover the wound when the bleeding stopsB. stop the bleeding, clean, medicate, and cover the woundC. apply an ice pack to the wound and cover it when the bleeding stopsD. apply a hot towel to purge the wound, then medicate and cover it二、关联选择三、中译英。
imo数学竞赛趣题
IMO（国际数学奥林匹克竞赛）是世界上著名的数学竞赛之一，其竞赛题目难度极高，包括代数、几何和组合数学等多个方面的难题。
以下是数学竞赛中的三个趣题：1. 将数字1到21放到7个同样大小的袋子里，使得每一个袋子里的数字之和都是相等的。
这样做有多少种方法？解答：我们首先可以计算出所有数之和S，即：S=1+2+…+21=231。
因为每个袋子里面的数字之和都是相等的，所以从S中减去一个袋子里的数字之和n，得到的结果一定是6个袋子的和。
我们可以枚举n，再对其余的数进行组合即可。
最终得出的结果是：20,048,100种方法。
2. 在一个边长为4的正方形中，有1到8的数字各一个。
请将它们放到正方形的9个格子中，使得每个3×3的方格中的数字之和都是相等的。
这样做有多少种方法？解答：因为每个3×3的方格都要相等，所以所有数字之和是(1+2+…+8)×3=108。
而正方形上下、左右两条对角线分别和为36。
因此，每个正方形中心都需要有数字9，且每条分隔线上的数字之和必然是9。
这为我们填充数字留下了许多限制，这些限制最终使得这个问题得到解决。
最终得出的结果是：8,000种方法。
3. 有一个中央角度为120度的大圆和22个半径为1的小圆，如图所示。
求满足如下两个条件的最小半径r：（1）所有的小圆都在大圆上；（2）小圆之间互不重叠。
解答：将大圆视为中心角为360度的圆，在大圆上划分出22个相邻的等角弧。
如图，将每个小圆沿着所对应的等角弧往大圆上推进，直到它们刚好相切。
此时，小圆的圆心和大圆的圆心，以及恰好两个相切小圆的圆心，构成一个正三角形。
圆与切线的性质表明，所有小圆的圆心构成的多边形内切于大圆。
设三角形的边长为2，则中线的长度为1，角bisector的长度也为1。
由交角定理可得，cos(π/11)=r/1.5。
因此，r=1.5×cos(π/11)=0.789的约数，为要使所有圆都刚好位于大圆上，所以r取0.79。
(完整版)(完整版)2018年(第59届)国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题及答案图片版
岁马尼亚克卢日蜻沐卡第一天«1. itΓ<HΛ三角砒4〃C的外44圈・点D和EAru殳/CAC上∙^nAD ≈ AEφ BI)^CE的•克羊分线⅛Γ上劣弧AB AC分別文于点FG im ADE⅜FG1 ⅛A÷*t•⅛ 2.求所有的整4⅛□23∙便俗存在实软5皿2.・・・.<¼+2∙滿足"*ι = <M∙ 5∙2 Ua2异且<≡∙<<∙⅛1 + 1 = α∣÷3— 1.2. - - ■” 戍立・題3・反忖斷卡三蔦砒是由铁俎戎的一个正三角外障•港足除了鬟下方一行.孕个敦是它下方相你两金铁之屋的绘对值•例*\下而是一金四忡的反恤浙卡三角耐・由Hl MlO tt⅛.42 65 7 18 3 10 9请MΛ5 4Λ2018fτ的反帕浙卡三 E 包含IMl +2十・∙∙ + 2018所亦的蹩典？鈿二夭« 4.我们呀谓一个（IJL是斯d角坐栋丰而上的一个A（X.,V）∙乳中工・"需足不雄述20的正史软.最初时•所有400个位豆那是空的.甲乙两人轮濃霖放石子•由甲先遗ft∙毎次伦刘甲时.他41 一个空的住I±Λ±-¼*的化也若子•要求任急两金红己石子舸息<1 Jt之问的距离都不#于％・每次伦刘乙片•他/1任直一个空的CiJt上崔上一个M6⅛2Lt>&子.（Jl色石子所在位直与戻它石于所在位直之问雎禹可以是任倉值・）4此UAitfTT去直至某金人无法再霖放石子•试确岌遥大的位再无论乙知何报就這色若予.Y⅛*Ef⅛Ui∙>∙4X⅛K个红已若子・« 5. Ha i.a2.…走一个>LfPil正整软斥列.已知4在於敦N>l∙使碍对每个^Kn > .V t Oi i o2 . I Q*1“ I OH――+ — + ・• • + ・■■■・ + —。
第44届IMO试题解答
的长度之和的
因此 , a ≥ . 2 2 2 由 k≥ 1 ,即 a ≥b (2 a - b) + 1 ,则 2 2 a > b (2 a - b) ≥ 0. 因此 , a > b ,或 2 a = b . ① 2 2 3 假设 a1 、 a2 为 a - 2 kb a + k ( b - 1 ) = 0 的两 个解 ,对固定的正整数 k 和 b , 假设其中之一为整 数 . 由于 a1 + a2 = 2 kb2 ,则另一个也为整数 . 不妨设 a1 ≥a2 ,则 a1 ≥kb2 > 0. 又由 a1 a2 = k ( b3 - 1) ,则 3 3 k ( b - 1) k ( b - 1) 0 ≤a2 = ≤ < b. 2
2 且等号成立 . 6. 由于
x′ i = d
n
若对角线 CF 与 AD 或 B E 形成一个大于或等于 60° 的角 ,不妨设 ∠AQF ≥60° , Q 为 AD 与 CF 的交 点 . 同上述论证 ,得到 △AQF 、 △CQD 为等边三角形 . 推出 ∠BRC = 60° , R 为 B E 与 CF 的交点 . 再次按上 述的论证 ,得到 △BCR 与 △EFR 为等边三角形 . 故命题成立 . 4. 如图 2 , 由 Simson 定理 , P 、 Q、 R 三点共 线 . 此外 , 由于 ∠DPC = ∠DQC = 90° , 则 D 、P 、 Q、 C 四点共圆 ,得到 ∠DCA = ∠DPQ = ∠DPR . 又由 于 D 、 Q、 R、 A 图2 四点共圆 ,则 ∠DAC = ∠DRP. 从而 , △DCA ∽ △DPR . 同理 , △DAB ∽ △DQP , △DBC∽ △DRQ .
MN =
(完整版)国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第38届)
国际数学奥林匹克（IMO ）竞赛试题（第38届） 1. 在坐标平面上，具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点．这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色（像棋盘一样）．对于任意一对正整数m 和n ，考虑一个直角三角形其顶点具有整数坐标，两腰长分别为m 和n ，且其两腰都在这些正方格的边上． 设S 1为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积，S 2则为所有白色部分的总面积． 令f(m ，n)=|S 1-S 2|，o a. 当m ，n 同为正偶数或者同为正奇数时，计算f(m ，n)；o b. 求证f(m ，n)≤max(m ，n)/2对所有m ，n 都成立；o c. 求证不存在常量C 使得f(m ，n)．2. 设∠A 是△ABC 中最小的內角．B 和C 将此三角形的外接圆分成两个弧．U 为落在不含A 点的弧上且异于B ，C 的一点．线段AB ，AC 的垂直平分线分别交AU 于V ，W ． 直线BV ， CW 相交于T ，求证：AU ＝TB ＋TC ．3. x 1，x 2，...，x n 是正实数满足|x 1+x 2+...x n |=1 且对所有i 有|x i |≤(n+1)/2． 试证明存在x 1，x 2，...，x n 的一个 排列y 1，y 2，...，y n 满足|y 1+2y 2+...+ny n |≤(n+1)/2．4. 一个n×n 的矩阵称为一个n 阶“银矩阵”，如果它的元素取自集合S={1，2，...，2n-1}且对于每一个i=1，2，...，n ，它的第i 列与第i 行中的所有元素合起来恰好是S 中的所有元素．求证：o a. 不存在n=1997阶的银矩阵；b. 有无限多个n ，存在n 阶银矩阵．5. 试找出所有的正整数对(a ，b)满足6. 对每个正整数n ，将n 表示成2的非负整数次方之和，令f(n)为正整数n 的上述不同表示法的个数．如果俩个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的．例如，f(4)=4，因为4恰有下列四种不同的表示法：4; 2+2; 2+1+1;1+1+1+1．求证：对于任意整数n ≥3， 22/4/22(2)2nn n f <<。
历届IMO数论问题详解
9n 1 ，矛
②当 n 2 时， p ( x) x 10 x 22 81 ，所以 ( x 5) 128 ，因此 x 17 。也就是说十
2 2
位数只能是 1 ，设 x 10 k , 0 k 7 ，则 p ( x) (10 k ) 10(10 k ) 22 k ，解得
② n 为偶数时， f ( n)
2k 而 f (0) [ k 1 ] 0 ，所以 f (1) 1 f (0) 1 。 k 0 2
结合①、②，由数学归纳法易证 f (n) n 。
1969 年第 11 届问题 1：求证：存在无限多个自然数 a 满足如下性质，对于所有的自然数 n ，
k k 1
4) 13 ，所以
(10k 1 4) 可以被 13 整除，因为我们要求最小的 n ，当然首先要 k 最小，可以验算当 k 6
时， (10
k 1
4) 可以被 13 整除，此时 a 15384, n 153846 ，容易验证 153846 的确满足
要求，所以 n 153846 为所求。
n 1 1 (n 1) 2k n 2 k n 20 n 2 k 1 k 1 2 2k 1 k 1 2 k 0 2 k 1 k 1 2
第44届IMO预选题解答下
一位数字为 f . 因为 ( 3 …3 s) 2 = a2 = d = 3 …3 f ,
从表 1 可看出 , s = 1 , s = 2 , s = 3 时 ,均有 f = s2 . 当 s = 1 或 s = 2 时 , n + 1 位且首位数字为 s 的 数 b 的平方 c = b2 是 2 n + 1 位数 ; 当 s = 3 时 , c = b2 要么是首位数字是 9 的 2 n + 1 位数 , 要么是首位数 字是 1 的 2 n + 2 位数 . 由 f = s2 = 9 知首位数字不可 能是 1. 所以 , c 一定是 2 n + 1 位数 . 设 a = 10 x + s ,其中 x 是 n 位数 ( 特别地 , x = 0 , 设 n = 0) ,则 n 2n 2 n 2 b = 10 s + x , c = 10 s + 2 × 10 sx + x , m- 1 d = 10 ( c - 10 f) + f 2n +1 2 n 2 m = 10 s + 20 × 10 sx + 10 x - 10 f + f , 其中 m 是数 c 的位数 ,且已知 m = 2 n + 1 , f = s2 . 故 n 2 2 d = 20 × 10 sx + 10 x + s . n 10 - 1 由 a2 = d ,解得 x = 2 s・ . 9 即 a=6… 63,a=4… 42或 a=2… 2 1 ,其中 n ≥ 0.
整除 an ,则 2 n + 3 整除 p2 - 1.
( 巴西 提供)
高中数学竞赛 历届imo竞赛试题(-46届完整中文版)
第1届I M O1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。
2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程a cos2x +b cos x +c = 0,试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。
当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。
4.试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。
6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。
试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。
第2届IMO1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。
2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2< 2x + 93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tan α = 4nh/(an2 - a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第45届)
f(a–b) + f(b–c) + f(c–a) = 2f(a + b + c)．
3．定义一个由6个单位正方形构成的“钩”（图传不上：3 X 3的去掉中心块和一边上连
续的两块，包括由此图经旋转Fra bibliotek反射得到的图形）．定出所有的能被钩覆盖的m×n的矩形．
4．设n≥3．t_1，t_2，…，t_n > 0满足
国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第45届）
1．△ABC为锐角三角形，AB ≠ AC；以BC为直径的圆分别交AB和AC于M和N．记BC中点为O．∠BAC和∠MON的角平分线交于R．求证△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个公共点在BC边上．
2．求所有的实系数多项式f，使得对所有满足ab + bc + ca = 0的实数a，b，c有
n^2 + 1 > (t_1 + t_2 +…+ t_n)(1/t_1 + 1/t_2 +…+ 1/t_n)
证明t_1，t_2，…，t_n中随便取3个数都能构成一个三角形．
5．凸四边形ABCD的对角线BD不平分∠ABC和∠CDA．ABCD内一点P满足∠PBC = ∠DBA和∠PDC = ∠BDA．求证：ABCD是圆的内接四边形当且仅当AP = CP．
imo最简单的题
imo最简单的题
摘要：
1.IMO 简介
2.IMO 的题目类型
3.IMO 题目的难度
4.解答IMO 题目的技巧
5.结论
正文：
国际数学奥林匹克竞赛（IMO）是世界上最负盛名的数学竞赛之一，吸引了世界各地的数学高手参加。
IMO 的题目类型丰富多样，包括代数、几何、组合、数论等各个领域，旨在测试选手们的数学能力和创新思维。
虽然IMO 题目的难度很高，但通过学习和掌握一定的解题技巧，还是有可能解答出部分题目的。
以下是一些解答IMO 题目的技巧：
1.熟悉数学基础知识：IMO 题目虽然难度较高，但基本上都是基于数学基础知识进行拓展和延伸。
因此，熟练掌握数学基础知识是解答IMO 题目的关键。
2.学会分类讨论：IMO 题目往往需要选手们运用分类讨论的方法，将问题进行拆解和整合，以便更好地找到解题思路。
3.善于利用已知条件：在解答IMO 题目时，要仔细阅读题目，充分挖掘题目中给出的已知条件，这些条件往往会成为解题的关键线索。
4.培养数学直觉：IMO 题目往往需要选手们凭借数学直觉，迅速发现题目
背后的规律和联系。
通过大量练习和积累，可以培养出较强的数学直觉。
5.学会总结和归纳：在解答IMO 题目的过程中，要善于总结和归纳已有的解题方法和技巧，形成自己的解题策略。
总之，虽然IMO 题目难度较大，但通过努力学习和掌握一定的解题技巧，还是有可能在IMO 中取得好成绩的。
第40届imo试题解答
第40届imo试题解答40th IMO 题目解答一、开始术语1.自然数：一个自然数是一个正整数，比如1，2，3，4...2.有理数：有理数是可以表示为一个分数的数，比如1/2，4/7...3.整数：一个整数是一个有限的正数或负数，比如-1，-2，3，4...二、数论1.素数：一个素数是一个大于1且只能被1和它自身整除的自然数。
2.合数：一个合数是一个大于1可以被1和大于1的数整除的自然数。
3.完全数：一个完全数是一个正整数它的所有除了它自身以外的因子之和等于它本身。
比如6（1 + 2 + 3 = 6）。
4.互素：如果两个正整数仅公有1，则它们是互素的三、代数1.因式分解：因式分解就是把一个多项式拆分成一系列因式的过程，因子是多项式的每一项。
2.平方根：平方根是一个特定实数的平方。
3.线性方程：一个线性方程是形式体现量等于0的式子。
4.二次方程：二次方程是形式体现量等于0的二次式子。
5.不等式：不等式就是形式体现量的大小关系的式子。
四、几何1.几何定义：几何是基于空间几何图形的数学理论和应用。
2.向量：向量是以矢量表示的量。
3.直线：直线是一条没有拐点的直线。
4.圆：圆是沿着一条定义圆心的距离相等的曲线。
5.平面：平面是一个空间对象，由点、线和面组成的结构。
五、概率1.概率：概率是衡量事件发生概率的定量描述。
2.条件概率：条件概率是在给定一定的条件下的概率。
3.独立：独立是指事件之间没有关联或互相影响。
4.随机变量：随机变量是可能发生的结果的定量描述。
六、其他1.函数：函数是将实数映射到实数的关系。
2.微积分：微积分是研究函数的变化和形状的数学领域。
3.极限：极限是函数从一点无限接近另一个值的一种概念。
4.偏导数：偏导数就是指函数某点的斜率。
5.积分：积分是指在函数的两个端点之间积分函数的过程。
近几年IMO数论题目及答案
第42届IMO 试题3. 由整数组成的一个21×21的矩阵，其每行每列都至多有6个不同的整数。
求证，存在某个整数出现在至少3行和3列中。
证：设b i <<2,g i <<2,则（b i -2）（g i -2）<<1，即3)(2-+≤i i i i g b g b ，而1||≥i i g b ，易知∑∑∈∈-⨯+⨯≤-+≤≤P i i i P i ii P g b g b ||3)216216(2)3(2441可得21||≤P (**)对G g ∈，由(i)知，至少有一题有41]621[=+个男生做出，至多2个女生做出，而21||=G ，故题数111]221[=+≥； 对G b ∈，由(i)知，至少有一题有41]621[=+个女生做出，至多2个田生做出，而21||=G ，故题数111]221[=+≥. 所以|P|22≥，显然与(**)式矛盾.4. 设n 1,n 2,...,n m 是整数，其中m 是奇数。
x=(x 1,x 2,...,x m )是1,2,...,m 的一个排列，f(x)=x 1n 1+x 2n 2+...+x m n m ，求证，存在两个不同的排列a,b 使得f(a)-f(b)能被m!整除。
证明：由于存在n!种排列，所以也就有n!个f(a)。
假设结论不成立的话，则这n!个f(a)除以n!的余数必然两两不同，所以这n!个f(a)除以n!的余数是1、2、...、n!的某个排列。
因此∑f(a)≡(1+2+3+...+n!)≡n!(1+n!)/2≡n!/2(mod n!)，即∑f(a)不是n!的倍数。
而∑f(a)=(c 1+c 2+...+c n )[1+2+3+...n](n-1)!=(∑c i )[(n+1)/2]n!，由于n是奇数，所以∑f(a)是n!的倍数，矛盾。
因此结论成立。
6.K>L>M>N 是正整数且KM+LN=(K+L-M+N)(-K+L+M+N)。
41届imo试题及答案
41届imo试题及答案试题1:设 \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) 是一个连续函数，满足\( f(x+y) = f(x) + f(y) \) 对所有 \( x, y \in \mathbb{R} \)成立。
证明 \( f(x) = cx \) 对所有 \( x \in \mathbb{R} \) 成立，其中 \( c \) 是一个常数。
答案1:1. 初始条件：首先，令 \( x = y = 0 \)，则有 \( f(0) = f(0) +f(0) \)，这意味着 \( f(0) = 0 \)。
2. 线性假设：接下来，令 \( y = -x \)，则 \( f(0) = f(x) + f(-x) \)，由于 \( f(0) = 0 \)，我们得到 \( f(-x) = -f(x) \)。
3. 常数函数：现在，令 \( y = 1 \)，则 \( f(x+1) = f(x) + f(1) \)。
由于 \( f(x) \) 是连续的，我们可以推断 \( f(x) \) 必须是一个线性函数。
4. 确定常数：设 \( f(1) = c \)，则 \( f(x) = cx \) 对所有\( x \in \mathbb{R} \) 成立。
试题2:给定一个正整数 \( n \)，定义 \( S(n) \) 为 \( n \) 的各位数字之和。
例如，\( S(123) = 1 + 2 + 3 = 6 \)。
证明对于任意整数\( n \)，\( S(n^2) \) 总是 \( S(n) \) 的倍数。
答案2:1. 定义：令 \( n = \overline{a_k a_{k-1} \cdots a_0} \)，其中\( a_i \) 是 \( n \) 的第 \( i \) 位数字。
2. 平方展开：\( n^2 = \overline{a_k a_{k-1} \cdots a_0}^2 = \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{k} a_i a_j \cdot 10^{i+j} \)。
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第一届1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数n都是最简分数。
2. 设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3. a、b、c都是实数，已知cos x的二次方程a cos2x + b cos x + c = 0,试用a,b,c 作出一个关于cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。
当a=4,b=2,c=-1时比较cos x和cos 2x的方程式。
4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.) 求证AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断PQ 的中点的轨迹。
6. 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。
试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。
第二届1. 找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。
2. 寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2 < 2x + 93. 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n 等份（n为奇数），令a 为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tana = 4nh/(an2 - a).4. 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5. 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。
X是对角线AC 上任意一点，Y是B'D'上任意一点。
a. 求XY中点的轨迹； b. 求(a)中轨迹上的、并且还满足ZY=2XZ的点Z的轨迹。
6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。
令V1 为圆锥的体积，V2 为圆柱的体积。
(a). 求证：V1 不等于V2 ；(b). 求V1/V2 的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。
7. 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。
令AB=a,CD=c，梯形的高为h。
X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。
试作出所有这样的X点并计算X 到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。
第三届1. 设a、b是常数，解方程组x + y + z = a; x2 + y2 + z2 = b2; xy=z2并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？2. 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证：a2 + b2 + c2 >= 4√3 A. 并求出等号何时成立。
3. 解方程cosnx - sinnx = 1, 其中n是一个自然数。
4. P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。
5. 作三角形ABC使得AC=b, AB=c，锐角AMB = a,其中M是线断BC的中点。
求证这个三角形存在的充要条件是 b tan(a/2) <= c < b.又问上式何时等号成立。
6. 三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。
在p上任意取三个点A', B', C'，A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。
问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么？第4届1. 找出具有下列各性质的最小正整数n：它的最后一位数字是6，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。
2. 试找出满足下列不等式的所有实数x：√(3-x)- √(x+1) > 1/2.3. 正方体ABCDA'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。
一点x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。
点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。
求线断XY的中点的轨迹。
4. 解方程cos2x + cos22x + cos23x = 1。
5. 在圆K上有三个不同的点A、B、C。
试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。
6. 一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为r，求证这两个圆的圆心的距离是√(R(R-2r))。
7. 求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。
第5届1. 找出下列方程的所有实数根（其中p是实参数）：√(x2-p)+2√(x2-1) = x.2. 给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足角APX是直角，试求出所有这样的点P的轨迹。
3. 在一个n边形中，所有内角都相等，边长依次是 a1 >= a2 >= ... >= an，求证：所有边长都相等。
4. 设y是一个参数，试找出方程组xi + xi+2 = y xi+1 (i = 1, ... , 5)的所有解x1, ... , x5。
5. 求证cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2.6. 五个同学A、B、C、D、E参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。
但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种）。
还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。
实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。
试讨论最后的名次如何？第6届1. (a) 求所有正整数n 使得 2n - 1 能被7整除；(b) 求证不存在正整数n 使得2n + 1 能被7 整除。
2. 假设a、b、c是某三角形的三边长，求证：a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) <= 3abc.3. 三角形ABC的三边长为别为a、b、c。
分别平行于ABC的各边作三角形ABC内切圆的切线，每条切线都在ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用a,b,c表示）。
4.十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。
在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。
5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。
6.四面体ABCD的中心是D0 ，分别过A、B、C作DD0 的平行线，这些线分别交平面BCD、CAD、ABD于点A0、B0、C0，求证：ABCD的体积是A0B0C0D0的三分之一；再问如果D0 为三角形ABC内的任意一点，结果是否仍然成立？第7届1. 试找出所有位于区间[0, 2pi] 的x使其满足 2 cos x ≤ | √(1 + sin 2x) - √(1 - sin 2x)| ≤ √2 .2. 如下方程组的系数aij ，a11x1 + a12 x2+ a13 x3 = 0 a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0 a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0满足：a. a11、a22、a33 是正数，其余是负数； b. 每个方程中的系数之和是正的。
求证：该方程组的有唯一的解x1 = x2 = x3 = 0。
3. 四面体ABCD被平行于AB、CD边的一个平面分割成两部分，并且该平面到AB边的距离是该平面到CD边距离的k倍。
试求出这两部分的体积比。
4. 四个实数，它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于2，求出这四个数的所有可能值。
5. 三角形OAB中的角O是锐角，M是边AB上任意一点，从M向OA、OB 边引垂线，垂足分别为P、Q。
设三角形OPQ的垂心为，求出当M在AB边上移动时点H的轨迹；若M在三角形OAB内部移动是H的轨迹又是什么？6. 平面上给定了n>2个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断至多有n条。
第8届1. 在一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。
在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A 的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。
又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。
请问有多少学生只答对B？2. 三角形ABC，如果，BC + AC = tan C/2 (BC tan A + AC tan B).则该三角形为等腰三角形。
3. 求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶点距离之和。
4. 对任何自然数n以及满足sin 2nx 不为0 的实数x，求证：1/sin 2x + 1/sin 4x + ... + 1/sin 2nx = cot x - cot 2nx.5. ai （i=1,2,3,4）是互不相同的实数，解方程组（i=1,2,3,4）|ai - a1| x1 + |ai - a2| x2 + |ai - a3| x3 + |ai - a4| x4 = 1。
6. 在三角形ABC的边BC、CA、AB上分别任选三内点K、L、M，求证三角形AML、BKM、CLK之中至少有一个的面积小于活等于三角形ABC的四分之一。
第9届1. 平行四边形ABCD，边长AB = a, AD = 1, 角BAD = A, 已知三角形ABD 是一个锐角三角形，求证以A,B,C,D为圆心半径为1的四个圆能够覆盖此平行四边形的充要条件是 a ≤ cos A + √3 sin A.2. 若四面体有且仅有一边大于1，求证其体积≤ 1/8.3. k, m, n 是自然数且m + k + 1 是一个大于n+1 的素数，令cs = s(s+1)，求证(cm+1 - ck)(cm+2 - ck) ... (cm+n - ck)可被乘积c1c2 ... cn整除。