2015-2016年湖南省长沙市长郡中学高二(上)期中数学试卷和答案(文科)

2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题3分，共45分）1．（3分）已知命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：若a＞b，则．给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③¬p④¬q，其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（3分）若A，B为互斥事件，则（）A．P（A）+P（B）＜1 B．P（A）+P（B）＞1 C．P（A）+P（B）=1 D．P （A）+P（B）≤13．（3分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．7 D．54．（3分）同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r16．（3分）双曲线kx2+5y2=5的一个焦点是（0，2），则k等于（）A．B．﹣ C．D．﹣7．（3分）抛物线y=4x2的准线方程为（）A．y=﹣B．y= C．y=D．y=﹣8．（3分）命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥49．（3分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（3分）点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．11．（3分）若在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．e＞2 D．1＜e＜212．（3分）ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．13．（3分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．14．（3分）经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q 两点，则|MP|•|MQ|为定值，其值为（）A．a2B．b2C．c2D．ab15．（3分）曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线C2：（a＞0，b＞0）的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点连线过点F，则曲线C2的离心率是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共15分）16．（3分）抛物线y 2=4px （p ＞0）上一点M 到焦点的距离是a （a ＞p ），则点M 的横坐标是 ．17．（3分）给出以下命题：①∀x ∈R ，有x 4＞x 2；②∃α∈R ，使得sin3α=3sinα；③∃a ∈R ，对∀x ∈R 使x 2+2x +a ＜0．其中真命题的序号是 ．18．（3分）观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：则新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为 ．19．（3分）将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分．如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为 ．20．（3分）椭圆的焦点为F 1，F 2，点P 是椭圆上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是 ．三、解答题（每题8分，共40分）21．（8分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i （单位：千元）与月储蓄y i （单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y=bx +a ；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．22．（8分）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．23．（8分）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．24．（8分）如图，已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1）．（1）求AB直线方程；（2）求p的值．25．（8分）如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A（3，1），离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点，过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D两点，求证A、B、C、D四点在同一个圆上．2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共45分）1．（3分）已知命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：若a＞b，则．给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③¬p④¬q，其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：若x2+y2=0，根据实数的性质得，a=b=0，即x、y全为0，则命题p 为真命题；若a＞0＞b，则，即命题q：若a＞b，则．为假命题；故：①p且q为假命题，②p或q为真命题，③¬p为假命题，④¬q为真命题，故选：B．2．（3分）若A，B为互斥事件，则（）A．P（A）+P（B）＜1 B．P（A）+P（B）＞1 C．P（A）+P（B）=1 D．P （A）+P（B）≤1【解答】解：由已知中A，B为互斥事件，由互斥事件概率加法公式可得：P（A）+P（B）≤1当A，B为对立事件时，P（A）+P（B）=1故选：D．3．（3分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．7 D．5【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：2a=3+d⇒d=2a ﹣3=7．故选：C．4．（3分）同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，∴至少一次正面向上的概率是1﹣=，故选：A．5．（3分）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r1【解答】解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），=11.72∴这组数据的相关系数是r=，变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选：C．6．（3分）双曲线kx2+5y2=5的一个焦点是（0，2），则k等于（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：双曲线kx2+5y2=5化为，∴a2=1，b2=﹣．又∵双曲线的一个焦点坐标是（0，2），∴c=2．∵c2=a2+b2．∴4=1﹣，解得k=﹣．故选：B．7．（3分）抛物线y=4x2的准线方程为（）A．y=﹣B．y= C．y=D．y=﹣【解答】解：由x2=y，∴p=．准线方程为y=﹣．故选：D．8．（3分）命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥4【解答】解：命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是“若x≤﹣2，或x≥2，则x2≥4”；故选：D．9．（3分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+（k∈Z），或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z），故选：A．10．（3分）点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：设M（x，y），因为A（﹣5，0），B（5，0）所以k AM=（x≠﹣5），k BM=（x≠5）由已知，=化简，得4x2﹣9y2=100（x≠±5）即：．故选：C．11．（3分）若在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．e＞2 D．1＜e＜2【解答】解：设双曲线右支任意一点坐标为（x，y）则x≥a，∵到右焦点的距离和到中心的距离相等，由两点间距离公式：x2+y2=（x﹣c）2+y2得x=，∵x≥a，∴≥a，得e≥2，又∵双曲线的离心率等于2时，c=2a，此时右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以不能等于2故选：C．12．（3分）ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣故选：B．13．（3分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选：D．14．（3分）经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q 两点，则|MP|•|MQ|为定值，其值为（）A．a2B．b2C．c2D．ab【解答】解：经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q 两点，设M（x，y），则有：⇒①且P（﹣y，y），Q（y，y），∴=（﹣y﹣x，0），=（y﹣x，0）∴|MP|•|MQ|==（﹣y﹣x）•（y﹣x）+0=x2﹣y2=﹣y2=a2．故选：A．15．（3分）曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线C2：（a＞0，b＞0）的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点连线过点F，则曲线C2的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），则双曲线的c=，曲线C1与曲线C2交点连线MN过点F，由对称性可得，交线垂直于x轴，令x=c，代入双曲线方程得，y2=b2（﹣1）=，解得，y=，则|MN|=，令x=，代入抛物线方程可得，y2=p2，即y=±p，则|MN|=2p，则2p=，即有b2=2ac=c2﹣a2，即有e2﹣2e﹣1=0，解得，e=1+．故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）16．（3分）抛物线y2=4px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a＞p），则点M 的横坐标是a﹣p．【解答】解：如图，由题意知|MF|=a（a＞p），∵抛物线y2=4px的准线方程为x=﹣p，由抛物线定义得x M+p=a，则x M=a﹣p．故答案为：a﹣p．17．（3分）给出以下命题：①∀x∈R，有x4＞x2；②∃α∈R，使得sin3α=3sinα；③∃a∈R，对∀x∈R使x2+2x+a＜0．其中真命题的序号是②．【解答】解：当x=1时，x4=x2，故①错误；当α=0时，sin3α=3sinα，故②正确；对于③由于抛物线开口向上，一定有函数值大于0，故③错误故答案为②18．（3分）观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：则新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为0.3．【解答】解：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，∴新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为0.001×300=0.3故答案为：0.319．（3分）将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分．如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为0795．【解答】解：∵系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个．又∵现在总体的个体数为1000，样本容量为50，∴k=20∴若第一个号码为0015，则第40个号码为0015+20×39=0795故答案为079520．（3分）椭圆的焦点为F1，F2，点P是椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是．【解答】解：由椭圆的标准方程可得：a2=13，b=2，∴=3．F1（﹣3，0），F2（3，0）．设P（x，y），则，∴y2=4．∵∠F1PF2为钝角，∴=（x+3，y）•（x﹣3，y）=x2﹣9+y2＜0，∴x2﹣9+4＜0．化为x2，解得＜x＜．∴点P的横坐标的取值范围是，故答案为：．三、解答题（每题8分，共40分）21．（8分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知n=10，===8，===2，故l xx==720﹣10×82=80，l xy==184﹣10×8×2=24，故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．22．（8分）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：解法一：由p：|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴“非p”：A={x|x＞10或x＜﹣2}、（3分）由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴“非q”：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0=（6分）由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：B⊆A.解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．（12分）解法二：由“非p”是“非q”的必要而不充分条件．即“非q”⇒“非p”，但“非p”“非q”，可以等价转换为它的逆否命题：“p⇒q，但q p”．即p是q的充分而不必要条件．由|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴p={x|﹣2≤x≤10}由x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴q={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}由p是q的充分而不必要条件可知：p⊆q⇔解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．23．（8分）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且…（2分）若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1若a=3则b=﹣1，1…（4分）记B={函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数}，则事件B包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴…（6分）（2）依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，其面积…（8分）事件A构成的区域：由，得交点坐标为，…（10分）∴，∴事件A发生的概率为…（12分）24．（8分）如图，已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1）．（1）求AB直线方程；（2）求p的值．【解答】解：（1）∵点D的坐标为（2，1），∴，又AB⊥OD，且AB过D（2，1），∴AB：y﹣1=﹣2（x﹣2），整理得：2x+y﹣5=0；（2）设点A的坐标（x1，y1），点B的坐标（x2，y2），由OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0，由（1）知AB的直线方程为y=﹣2x+5∴y1y2﹣（y1+y2）+5=0，①联立y=﹣2x+5与y2=2px，消去x得：y2+py﹣5p=0，y1+y2=﹣p，y1y2=﹣5p，②把②代入解得，经检验满足△＞0．∴p=．25．（8分）如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A（3，1），离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点，过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D两点，求证A、B、C、D四点在同一个圆上．【解答】（1）解：设椭圆方程为（a＞b＞0），因为离心率，所以a2=3b2，…（2分）所以椭圆方程为，又因为经过点A（3，1），则，…（4分）所以b2=4，所以a2=12，属于椭圆的方程为．…（6分）（2）证明：直线AC的方程为y=x﹣2，与椭圆方程联立，可得x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（0，﹣2）直线BD的方程为y=﹣x，与椭圆方程联立，可得x2=3，∴x=，∴B（），D（）设经过B，C，D三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有∴D=﹣1，E=﹣1，F=﹣6，∴圆的方程为x2+y2﹣x﹣y﹣6=0，∵点A（3，1）也适合，∴A（3，1）在圆上，∴A、B、C、D四点在同一个圆上．。