2013年九年级数学上册 第二十二章 一元二次方程 22.3 实际问题与一元二次方程配套课件 新人教版
九年级数学上第22章一元二次方程22.3实践与探索3用一元二次方程解一般应用问题课华东师大
条，即 A 同学的说法不正确．
8．【中考·德州】为积极响应新旧动能转换，提高公司经 济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备， 每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售 价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元 时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位： 台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
解：设年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y＝kx＋ b(k≠0)，由题意得4405kk＋＋bb＝＝650500，，解得kb＝＝－1 01000，. ∴年销售 量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y＝－10x＋1 000.
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元， 如果该公司想获得10 000万元的年利润，则该设备的 销售单价应是多少万元？
安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 解：设应邀请 x 支球队参加比赛， 根据题意，可列出方程x（x－ 2 1）＝28.解这个方程， 得 x1＝8，x2＝－7(舍去)． 答：应邀请 8 支球队参加比赛．
5．一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若把 这两个数字调换位置，所得的两位数与原两位数的 乘积等于765，求原两位数． 解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为x ＋4，根据题意得(10x＋x＋4)[10(x＋4)＋x]＝765， 整理得x2＋4x－5＝0，解得x1＝1，x2＝－5(舍去)， 则x＋4＝5，故原两位数为15.
九年级数学上册 第二十二章 一元二次方程 22.3 实际问题与一元二次方程名师教案2 人教新课标版
22.3实际问题与一元二次方程（三）教学任务分析教学流程安排教学过程设计问题与情境师生行为「活动1」问题：通过上节课的学习，大家学到了哪些知识和方法？教师提出问题，学生回忆，选一位同学作答，其他同学补充．活动1中教师应注意：（1）学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚；（2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题．「活动2」要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.（课件：设计封面）问题：教师展示课件“设计封面”，请一位同学朗读题目．教师提出问题（1）．学生分析，请一位同学回答，教师在题目中指出数量关系．教师提出问题（2）．学生思考，请一位同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长宽比是9∶7．教师提出问题（3）．学生分组讨论，选代表上台演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法．其中，设左右边衬和上下边衬为7x和9x的方法，教师要配合图形的平移加以电脑演示．教师提出问题学生分组，分别按问题（3）中所列的方程来解因此，上下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．「活动3」如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？问题：（1）本题中有哪些数量关系？（2）由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？（3）对比下列两个图形，它们有什么联系与区别？教师展示课件：设计图案请一位同学朗读题目．教师提出问题（1）．学生回答，教师在题目中指出．教师提出问题（2）．学生思考．因为有活动2的基础，选一位同学回答这一组问题的前3问即可，如有不完全的地方，教师适当补充．第（4）问让大家适当思考，请同学回答，教师做屏幕演示，特别提醒学生：剩余草坪的面积，是否就是原草坪的面积减去四条路的面积？以引导学生注意道路重叠部分的处理．教师提出问题（3）．学生分组讨论，教师指导．引领学生讨论后请一位同学回答．教师引领学生发现两个图形都存在两横两纵四个矩形，并都有四处重叠部分，但除此之外的剩余部分，第一个图是一个完整的矩形，易于表示；而第二个图中分为9块，所以不容易表示．（4）有什么方法使本题易于解决？教师提出问题（4）教师与学生一起评价，总结图形变换的基本原则．在活动2中，教师应注意：（1）学生在活动1中的学习效果；（2）使学生充分体会图形变换的灵活性；（3）学生对图形的观察、联想能力；（4）教师要强调图形变换中图形改变、位置改变、关键量不变的原则．「活动4」问题：通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？教师提出问题，学生回答．在活动4中，教师应注意：（1）对知识的归纳，总结，整理能力；（2）知识的横向联系能力以及能否熟练、准确地运用数学语言表达数学思想．布置作业：教科书48页，习题22.3第5、8题，教科书53页，复习题22第6、11题．学生独立完成作业，教师批该后应关注：（1）能否正确分析等量关系；（2）能否有效变换图形，简化题意；（3）解题思路是否完整，解题过程是否规X．。
人教版-数学-九年级上册 22.3 实际问题与一元二次方程 课时3
《九年级上第二十二章第三节实际问题与一元二次方程》教案第3课时 22.3实际问题与一元二次方程(3)【教学课型】：新课◆课程目标导航：【教学目标】：1掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．2利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．【教学重点】：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．【教学难点】：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．【教学工具】：多媒体课件◆教学情景导入用大屏幕展示一幅铁路路基的截面图。
我们在日常生活中经常会见到给条幅、字画相边衬的问题，并计算与之相关的面积，边衬的宽度问题，这一节我们就来讲这些问题．◆教学过程设计一、复习引入（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢？2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3．梯形的面积公式是什么？4．菱形的面积公式是什么？5．平行四边形的面积公式是什么？6．圆的面积公式是什么？（学生口答，老师点评）二、探索新知现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．例1．某车站为停靠车辆要修一条长1000m的铁路，铁路的路基的黄断面是一个等腰梯形，已知梯形的面积为3.5m2，梯形的上底比高多1.5m，下底比上底多2 m．（1）铁路路基的上底和下底各是多少？（2）如果每天修50 m3，那么几天修完？分析：因为路基的高最小，为了便于计算，不妨设路基高为xm，则上底宽为x＋1.5，•下底宽为x＋3.5，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：（1）设渠深为xm则渠底为(x＋1.5)m，上口宽为(x＋3.5)m依题意，得：12( x＋1.5＋x＋3.5)x=3.5整理，得：2x2＋5x－7=0解得：x1=－72=－3.5(不符合题意，舍去)x2=1∴上底宽为2.5m，下底为4.5m．（2）3.5100050⨯=70天答：路基的上底为m，下底为4.5m；需要70天才能修完．学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9:7，•由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9:7，设上、下边衬的宽均为9xcm，•则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为(27－18x)cm，宽为(21－14x)cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的14，则中央矩形的面积是封面面积的．所以(27－18x) (21－14x)=34×27×21整理，得：16x2－48x＋9=0解方程，得：x=633±，x1≈2.8cm，x2≈0.2所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．三、巩固练习有一张长方形的桌子，长7尺，宽4尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）四、应用拓展例3．我们知道在word中编辑图片时，把鼠标放在对角处拉时会按比例放大或缩小的，也就是说长和宽的始终保持不变，如图一副北京2008奥运会主场馆的夜景的图片，长32cm，宽24cm，把鼠标放在一个顶点处沿对角线以1cm/s的速度向内拉使图片缩小．（1）缩小的图片的长和宽各是多少时，它的面积为原来的面积的9 16？（2）把鼠标向内拉多少s后使它的面积为原来的面积的9 16？分析：（1）原来的图形的长与宽的比是32:24=4:3，根据题意知：缩小的图片的长与宽的比也是4:3，设缩小后的图片的长为4x cm，则宽为3x cm，根据面积就可以列方程．（2）由于是按比例缩小的，因此，对应点的连线应交于中心处，利用勾股定理可以求得鼠标拉的距离，从而求得时间．解：（1）缩小后的图片的长为4x cm，则宽为3x cm，依题意得：4x·3x=32×24×9 1612x 2=432x =±6所以x =6 或x =－6（不符合题，舍去）所以长为4x =24(cm ) 所以宽为3x =18(cm )（2）依题意画图得，由条件知AB=32 BD=24所以所以OD=12AD=20 由（1）得EN=24 MN=18所以=30 所以OM=12EM=15 所以MD=OD －OM=20－15=5(cm ) 鼠标拉动时间为：51=5（s ） 答：缩小后图片的长为24cm ，宽为18cm ，鼠标拉动5s 后，面积缩小到原来的916． 五、归纳小结本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． ◆课堂板书设计◆练习作业设计（课堂作业设计）一、选择题1．有两块木板，第一块长是宽的3倍，第二块的长比第一块的长少3m ，宽是第一块宽的4倍，已知第二块木板的面积比第一块大165m 2，这两块木板的长和宽分别是（ ）．A ．第一块木板长18m ，宽6m ，第二块木板长15m ，宽24m;B ．第一块木板长15m ，宽5m ，第二块木板长12m ，宽20m;C ．第一块木板长6m ，宽2m ，第二块木板长3m ，宽8m;D ．以上都不对2．从正方形铁片，截去3cm 宽的一条长方形，余下的面积是88cm 2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．A ．81cmB ．100cmC ．9cm 2D ．121cm 2二、填空题3．长方形的长比宽多4cm ，面积为60cm 2，则它的周长为________．4．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m ，所围的面积为150m 2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．N E F M O DC B A三、解答题5．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多参考答案一、选择题：1．B 2．D二、填空题：3．32cm4．20m和7.5m或15m和10m三、解答题5．设宽为x，则12×8－8=2×8x＋2（12－2x）x整理，得：x2－10x＋22=0解得：x1=5（舍去），x2=5。
22.3实际问题与一元二次方程(利润)沈贵芬
2012-10-10
22.3实际问题与一元二次方程 --利润问题
列一元二次方程解应用题的一般步骤： 第一步：审题，明确已知和未知； 第二步：设出未知数； 第三步：找相等关系； 第四步：列方程； 第五步：解方程； 第六步：检验方程的根是否符合题意；
第七步：作答。
利润问题
例题： 某水果批发商场经销一种高档水果, 如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经 市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千 克涨价1元,日销售量减少20千克,现该商场要 保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实 惠,那么每千克应涨价多少元?
解：⑴设每件衬衫应降价x元 根据题意得： （40-x）（20+2x）=1200 解得：x1=10, x2=20 而商场为了尽快减少库存 答：每件应降价20元 ∴ x2-30x+200=0 ∴ x取20
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、一个菱形的两条对角线的和是10cm， 面积是12cm2，求菱形的周长。（精确到 0.1cm ）
分析：个利润×销售量=总利润
解:设每千克水果应涨价x元,
依题意得: (500-20x)(10+x)=6000
整理得: x2-15x+50=0 解这个方程得:x1=5 x2=10 （舍去）
要使顾客得到实惠应取x=5
答:每千克水果应涨价 5元.
练习：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天 可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销 售，商场决定采取适当的降价措施。经调 查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平 均每天可多售出2件。若商场平均每天销售 这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫 应降价多少元
22.3 实际问题与一元二次方程(2)
设长方形框的边宽为xcm,依题意 得 依题意,得 解:设长方形框的边宽为 设长方形框的边宽为 依题意 X
上一节，我们学习了解决“平均增 上一节，我们学习了解决“平均增 下降)率问题 长(下降 率问题”，现在，我们要 下降 率问题” 现在， 学习解决“面积、体积问题。 学习解决“面积、体积问题。
探究3 探究
在长方形钢片上冲去一个长方形， 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四 周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽 周宽相等的长方形框。 2 为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm ，求这个 长方形框的框边宽。 长方形框的框边宽。 分析: 分析 本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积 本题关键是如何用 的代数式表示这个长方形框的面积 X X X X
1 解: (1) 方案 ：长为9 米，宽为 米; 方案1： 宽为7米 7
∴ b2 − 4ac = (−16)2 − 4 × 1 × 65 = −4 < 0
方案2：长为 米 宽为4米 方案3： 方案 ：长为16米，宽为 米; 方案 ：长=宽=8米; 宽 米 注：本题方案有无数种 （2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花 ）在长方形花圃周长不变的情况下， 圃面积不能增加2平方米 平方米. 圃面积不能增加 平方米 由题意得长方形长与宽的和为16米 设长方形花圃 由题意得长方形长与宽的和为 米.设长方形花圃 的长为x米 则宽为（16-x） 的长为x米，则宽为（16-x）米. x(16-x)=63+2， ， x2-16x+65=0， ， ∴此方程无解. 此方程无解 在周长不变的情况下， ∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能 增加2平方米 增加 平方米
22.3实际问题与一元二次方程(销售问题)
2
x 30 0 .5
x 1 0 .5 = 2 7 5 0 .5
整理得： 2 x 1 1 x 5 = 0 解得：
x1 = 5 ， x 2 = 0 .5
答：当每间商铺的年租金定为15万元或10.5万元时，该公司的年收益为 275 万元.
解：设每件应涨价 x 元，依题意得
5 500 - 10 x =8000
x 40x 300= 0
x1 = 1 0 ， x2 = 30
当x=10时，进货量为： 5 0 0 -1 0 x = 5 0 0 -1 0 1 0 = 4 0 0（个） 当x=30时，进货量为： 500-10x= 500 -1 0 30 = 20 0（个）
40 - x 20 2 x =1200
整理得： 解得：
x 30x 200= 0
x1 = 1 0 ， x2 = 20
2
为了减少库存，则降价越大，售出越多，库存就越少.故应降价20元.
答：要盈利1200元的利润，每件应降价20元.
练习 2
某公司投资新建了一商场，共有商铺 30 间．据预测，当每间 的年租金定为 10 万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000 元，少租出商铺 1 间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 5000 元． (1)当每间商铺的年租金定为 13 万元时，能租出多少间？ (2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为 275 万元？ (收益＝租金－各种费用) 解：（1）5000元=0.5万元 少租的间数为：（13-10）÷0.5=6（间） 租出的间数为： 30-6=24（间） （2）设每间的年租金增加 x 万元，依题意得
22.3 实际问题与一元二次方程——图形面积问题1
四、设计封面问题
例4：如图，要设计一本书的封面，封面 长28cm,宽20cm,正中央是一个矩形图 案, 面积为整个封面面积的四分之三, 又知矩形图案的四周边衬等宽，应如 何设计四周边衬的宽度? （只列出方程)
选做
四、设计封面问题
变式：如图，要设计一本书的封面，封面 长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面 长宽比例相同的矩形,如果要使四周边衬 所占面积是封面面积的四分之一,且上、 下边衬等宽， 左、右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽度? (结果保留一位小数。）
（2）折成的长方体盒子的 侧面积会不会有最大值？
选做 二度
三、画片镶边问题
例3：在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景 画的四周镶一条金色纸边，制成一幅 矩形挂图，使整个挂图的面积是 5400cm2，求金色纸边的宽度.
三、画片镶边问题
练习：要为一幅长29cm、宽22cm的矩形 照片配一个镜框，要求镜框的四条边 宽度相等，且镜框所占面积为照片面 积的三分之二，镜框边的宽度应为多 少？ （只列出方程)
22.3
实际问题与一元二次方程 ——图形面积问题1
一、田间小路问题
例1：在一块长为50米,宽为30米的矩形 土地,要开出同样宽的两条道路(一条纵 向,一条横向,且互相垂直),余下种草， 使草地面积占整块地面积的75%,问:道 路宽为多少米?
一、田间小路问题
例1：在一块长为50米,宽为30米的矩形 土地,要开出同样宽的两条道路(一条纵 向,一条横向,且互相垂直),余下种草， 使草地面积占整块地面积的75%,问:道 路宽为多少米?
一、田间小路问题
例1：在一块长为50米,宽为30米的矩形 土地,要开出同样宽的两条道路(一条纵 向,一条横向,且互相垂直),余下种草， 问题
22.3实际问题与一元二次方程(1)
解：设2002年,2003年 中考题 两年绿地面积的年平 美化城市，改善人们的居住环境已成 均增长率为x，根据题 为城市建设的一项重要内容。某城市 意，得 近几年来通过拆迁旧房，植草，栽树， (1＋x)2＝72.6 ． 60 修公园等措施，使城区绿地面积不断 (1＋x)2=1.21． 增加（如图所示）。（1）根据图中 所提供的信息回答下列问题：2001年 ∴1＋x=±1.1． ∴ x1 = 0.1=10%, 底的绿地面积为 公顷，比 60 2000年底增加了 公顷；在1999 x2 =－2.1(不合题意,舍 4 年，2000年，2001年这三年中，绿 去) 答： 2002年,2003年 地面积增加最多的是 1998 1999 2000 2001 2000 ____________年； 两年绿地面积的年平 （2）为满足城市发展的需要，计划 均增长率为10%．
答：每轮传染中平均一台电脑会感染8台电脑.
2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长 出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91, 每个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支,
则1+x+x x=91 2 x 90 0 即 x
●
小 分 支
小 分 支
…… …… 主 干
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x， 则5000(1-x)2=3000
解得：x1 ≈0.225=22.5%，x2 ≈1.775（舍） 答：甲种药品成本的年平均下降率为22.5%.
小结 类似地 这种增长率的问题在实际生活 普遍存在,解决问题有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前 的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数 量关系可表示为
解：设每个商品涨价x元，则(500-10x)· [(50+x)-40]=8000， ∴ x2 40x 300 0, 解得：x1=10 ，x2=30 当x=10时,50+ x =60，500 —10 x=400；
九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积教案(新版)新人教版
22．3 第1课时 二次函数与图形面积01 教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．02 预习反馈阅读教材P 49～50(探究1)，完成下列问题．1．一般地，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小值4ac －b 24a；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大值4ac －b 24a．2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)，其图象如图所示．(1)小球运动的时间是3s 时，小球最高； (2)小球运动中的最大高度是45m .3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm ，其中一直角边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 的函数的关系式是y ＝12x(20－x)，当x ＝10时，面积y 最大，为50cm 2.03 新课讲授例1 (教材P49探究)用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？【思路点拨】 先写出S 关于l 的函数解析式，再求出使S 最大的l 值．【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，则另一边长为(602－l )m ，∴场地的面积S ＝l (602－l )＝－l 2＋30l (0＜l ＜30)．∴当l ＝－b 2a ＝－302×（－1）＝15时，S 有最大值4ac －b 24a ＝－3024×（－1）＝225．答：当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．【点拨】 在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．【跟踪训练1】 (22.3第1课时习题)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C)A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2例2 (教材P49探究的变式)如图，用长为6 m 的铝合金条制成一个“日”字形窗框，已知窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y m 2(铝合金条的宽度不计)．(1)求出y 与x 的函数关系式；【思路点拨】由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y 和x 的函数关系式．【解答】 ∵大长方形的周长为6 m ，宽为x m ， ∴长为6－3x2m.∴y ＝x ·（6－3x ）2＝－32x 2＋3x (0＜x ＜2)．【点拨】 求y 与x 的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围．(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 【思路点拨】 由(1)中的函数关系可知，y 和x 是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．【解答】 由(1)可知，y 和x 是二次函数关系． ∵a ＝－32＜0，∴函数有最大值．当x ＝－32×（－32）＝1时，y 最大＝32 m 2，此时6－3x2＝1.5.答：窗框的长和宽分别为1.5 m 和1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m 2.【点拨】 要考虑x ＝1是不是在自变量的取值范围内．【跟踪训练2】 如图，点C 是线段AB 上的一点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大04 巩固训练1．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B )A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675m 22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m )，用80 m 长的篱笆围成一个矩形场地，当AD ＝20m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m 2.3．(22.3第1课时习题)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S ＝－12x 2＋30x .(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为450.即当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2.05 课堂小结1．主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法．2．利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键．。
22.3 实际问题与一元二次方程
22.3 实际问题与一元二次方程223 实际问题与一元二次方程在我们的日常生活和工作中，一元二次方程有着广泛的应用。
它不仅仅是数学课本上的一个知识点，更是解决许多实际问题的有力工具。
比如说，在农业生产中，农民伯伯需要规划田地的种植面积。
假设一块矩形田地，长比宽多 10 米，面积为 500 平方米。
我们就可以设这块田地的宽为 x 米，那么长就是 x ＋ 10 米。
根据矩形面积等于长乘宽，可列出方程 x(x ＋ 10) ＝ 500，通过求解这个一元二次方程，就能算出田地的长和宽，从而更好地进行种植规划。
再比如，在商业领域，一家商店计划销售某种商品。
已知该商品的进价为每件 30 元，售价为每件 50 元时，每天能卖出 200 件。
如果售价每提高 1 元，每天的销量就会减少 10 件。
为了获得每天 2240 元的利润，商品的售价应该定为多少呢？我们可以设售价提高了 x 元，那么单件利润就是 50 ＋ x 30 ＝ 20 ＋ x 元，每天的销量就是 200 10x 件。
根据利润等于单件利润乘以销售量，可得到方程（20 ＋ x)（200 10x)＝ 2240。
解这个方程，就能得出合适的售价，帮助商家制定最优的销售策略。
还有在建筑工程中，要建造一个靠墙的矩形花坛。
如果墙的长度为20 米，花坛的面积需要达到 100 平方米。
设花坛平行于墙的一边长为x 米，那么垂直于墙的一边长就是(100 ／x)米。
因为花坛有一边靠墙，所以花坛的周长为 x ＋ 2(100 ／ x)米。
考虑到材料成本的限制，总周长不能超过 40 米，就可以列出一元二次方程 x ＋ 2(100 ／ x) ＜＝ 40，通过求解这个方程，就能确定花坛边长的合理取值范围，从而在保证美观和实用的前提下，有效地控制成本。
在几何图形问题中，也常常会用到一元二次方程。
例如，一个直角三角形的两条直角边相差 3 厘米，面积为 6 平方厘米。
设较短的直角边为 x 厘米，那么较长的直角边就是 x ＋ 3 厘米。
22.3实际问题与一元二次方程(销售问题)
3.总售价=单价x总销售量
2.某农场去年种植了10亩地的 南瓜，亩产量为2000kg，根据市 场需要，今年该农场扩大了种植面 积，并且全部种植了高产的新品种 南瓜，已知南瓜种植面积的增长率 是亩产量增长率的的2倍，今年南 瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩 产量的增长率。
3.某个体经营户以2元/kg的价格购进一批 西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可卖出 200kg，为了促销，该经营户决定降价销 售。经调查发现这种西瓜每降价0.1元 /kg ,每天可多售出40kg（每天房租等费 用共计24元），该经营户要想赢利200元， 应将每千克的西瓜的售价降低多少元？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（销售问题）
列方程解应用题的一般步骤？
第一步：审清题意，找出等量关系。 第二步：设未知数(单位名称); 第三步：根据相等关系列出列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：检验求得的值是否符合实际意义； 第六步：写出答案（及单位名称）。
提示：隐含条件的挖掘，从中找等量关系。
1.利润=售价-进价 2.利润率=
2n +3
• 例1 有一个两位数，它的十位数字比个位数 字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的 3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数。 • 例2 已知三个连续奇数，其中最小的数的平 方的3倍减去25和两个较大数的平方和相等， 试求这三个数。
－3，－1，1或15，17，19
• 例3 有一个两位数，个位数字与十位数字的 和为14，交换数字位置后，得到新的两位数， 比这两个数字的积还大38，求这个两位数。
例5.一个三角形的三边长是三个 连续奇数，这三个连续奇数的平 方和为155，这个三角形三条边 长各是多少？
问题 展示：
223实际问题与一元二次方程辅导资料(含答案)
22.3实际问题与一元二次方程【当堂检测】中的第 1、2题，【课时作业】中的第 1, 2, 11题.的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下:(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设 (分直接与间接).(3) 列：是指列方程，根据等量关系列出方程列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关 系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性, 进一步提咼分析冋题、 解决问题的意识和能力。
在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验, 根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性.主要学习下列两个内容:1.列一元二次方程解决实际问题。
一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、 列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程 (组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.主要设置了【典例引路】中的例 1、例2、例4.2. 一元二次方程根与系数的关系。
一般地，如果一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 (a M0bc的两个根是和x 2 ,那么x 1 + x 2 = - — , x 1 ?x 2 = 一 .主要设置了 a a堂检测】中的第 4题，【课时作业】中的第 6、7题.【典例引路】中的例 3.【当知识点击点击一： 列方程解决实际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的 一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系, 从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题数学模型一一数学问题的解 实际问题(4) 解：就是解所列方程，求出未知量的值(5) 验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义,不满足要求的应舍去.(6) 答：即写出答案，不要忘记单位名称程(组)解应用题的关键.针对练习1:某城市2006年底已有绿化面积 300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐方程正确的是( )贝y X 1+X 2= 根据以上(1)(2)(3 )你能否猜出:如果关于X 的一元二次方程 mx 2+ nx+p=0 (斤产0且m 、n 、p 为常数)的两根为 X 1、X 2, 那么X 1+X 2、X 1、X 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方年增加，到2008年底增加到363公顷.设绿化面积平均每年的增长率为 X ,由题意，所列A . 300(1 + x)=363 2300(1 +C . 300(1 + 2x)=363363(1 — X )2=300【解析】B设平均增长百分率为X ,由题意知基数为 300公顷,则到2004年底的绿化面积为：300+300x=300 (1+X )(公顷)；至^ 2008年底的绿化面积为:300 (1+X ) +300(1 + X )x=300 (1+X ) 2公顷，而到2008年底绿化面积为 363公顷，所以300(1 + x)2=363 .点击二：一元二次方程根与系数的关系元二次方程根与系数的关系。
22.3实际问题与一元二次方程(增长率问题)
a(1 x) b
2
练习:
雪融超市今年的营业额为280万元，计划后 年的营业额为403.2万元，求平均每年增长 的百分率？
练习卷第15题
设平均每年增长的百分率为x，依题意得：
280(1+x)2=403.2
探究:
政府要降低药品价格,某针剂单价由100元经过
两次降价,降至64元,设平均每次下降的百分率
问题:
某校去年对实验器材的投资为2万元, (1)若设该校今年在实验器材投资上的平均增长 率是x,则今年的投资总额是 2+2x 即=2(1+x) ； (2)该校明年在实验器材投资上的平均增长率也 是x,则明年的投资总额是 2(1+x)+2(1+x)x ， =2(1+x)(1+x)=2(1+x)2 即 ； 复习:1、因式分解：
(1)2+2x
(2)2(1+x)+2(1+x)x
2、解方程:
2 （1） 100(1 x) 64
复习:
3、2万元增长10%是 2+2×10%=2+0.2=2.2万元 。
4、列一元二次方程解应用题的步骤？
①审题， ②设未知数，
③找等量关系， ④列方程，
⑤解方程， ⑥检验，⑦写答.
3000(1+x)+ 2 3000(1+x) 3000(1+x)x
解:设这两个月的平均增长率为x,依题意有
3000(1+x)2=3630
归纳:
1、增长率问题：设基数为a，平均增长
率为x，则一次增长后的值为 a(1 x) ，
二次增长后的值为
a(1 x) ．
《实际问题与一元二次方程》说课稿
《实际问题与一元二次方程》说课稿《实际问题与一元二次方程》说课稿1今天我说课的内容是人教版初中数学九年级上册第二十二章、第22.3节《实际问题与一元二次方程》的第四课时实验与探究。
它是继传播问题、百分率问题、长宽比例问题这几个基本问题的学习后的探索活动课，对于本节课我将从教材分析与学生现实分析、教学目标分析，教法的确定与学法指导，教学过程这四个方面加以阐述。
（一）教材分析与学生现实分析一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要地位，其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。
本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。
一元二次方程解实际问题的应用相当广泛，在几何、物理及其它学科中都有应用，因此它成为了初中数学学习的重点。
这种应用的广泛性能激发学生学习数学的兴趣和热情，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。
本节课主要侧重于一元二次方程在几何方面的应用。
大量事实表明,学生解应用题最大的难点是不会将实际问题提炼为数学问题，而列一元二次方程解决实际问题的数量关系比可以用一元一次方程解实际问题的数量关系要复杂一些。
对于初中学生来说他们比较缺乏社会生活经历，收集信息处理信息的能力较弱，这就构成了本节课的难点。
数学新课程标准要求：人人学有价值的数学，人人都获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
我根据新课标对方程的具体要求和初三学生的认知的特点，确定了如下教学目标的:1、知识与技能：能根据问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。
以一元二次方程解决实际问题为载体，加强学生对数学建模的基本方法的掌握。
2、过程与方法：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时主要介绍了二次函数在实际问题中的应用。
这部分内容是对前面学习的二次函数知识的巩固和拓展，通过实际问题引导学生将理论知识和实际应用相结合，提高解决问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的运用方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，解决实际问题对学生来说还是一个挑战。
因此，在教学过程中，需要关注学生对知识的掌握程度，以及他们在解决实际问题时的思维方式和方法。
三. 教学目标1.了解二次函数在实际问题中的应用。
2.能够将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.掌握二次函数在实际问题中的应用。
2.将实际问题转化为二次函数问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。
同时，运用讨论法、案例分析法等，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备PPT，展示二次函数在实际问题中的应用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题引出本节课的主题，激发学生的兴趣。
例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积一定的条件下，如何安排两种作物的种植面积，使得总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现实际问题，引导学生认识到实际问题可以通过二次函数来解决。
通过PPT展示实际问题的图像，让学生观察和分析图像，理解二次函数在实际问题中的应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数问题。
每组选择一个实际问题，分析问题中的变量关系，列出二次函数的表达式。
22.3 实际问题与一元二次方程(3)
22.3 实际问题与一元二次方程（3）：（1）数字问题：有关数字的应用题，大致可以分为三种：即一般数字关系，连续数和数字排列等问题。
涉及和，差，倍，分，奇数，偶数。
（2）几何图形问题：解决此类问题的关键是将不规则图形分割或组成规则图形，找到已知量与未知量的内在联系，根据面积（体积）公式列出方程。
（3）平均增长（降低）率问题，解决此问题通常是利用公式建立方程。
a（1±x）2=b a（1±x）n=b（4）利润问题：解决利润问题常用的关系有：①利润=售价—进价；②利润率=利润／进价×100％=（售价—进价）／进价×100％；③售价=进价（1+利润率）；④总利润=单个利润×销售量=总收入—总支出数字问题：例1.有一个两位数，个位数字和十位数字的和是14，交换数字的位置之后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数。
1.两个连续的偶说的积是288，则这两个偶数的和等于2.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调之后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积是736，求原来的两位数。
利润问题：例1.某商场人员在销售中发现“宝乐”牌童装每天可销售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取降价措施，扩大销售量，增加利润，减少库存。
市场调查发现，如果童装每降价1元，那么平均每天就可多销售2件，要想平均每天在销售这种童装的上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？1.将进价为40元的商品按照50元出售时，每月能卖500个，已知该商品煤涨价1元，其每月销售量就减少10个，为了每个月获8000元利润，售价应定在多少元？进货量为多少？2.某玩具店采购员第一次用去100元采购了“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时，发现批发价格上涨了0.5元／件，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的均价为2.8元，则第二次采购玩具多少件？工程问题：3.甲。
22.3实际问题与一元二次方程(1)【超强实用版】
应用2：某种植物的主干长出若干数目的 支干,每个支干又长出同样数目的小分支, 主干,支干和小分支的总数是91,每个支 干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支。
列方程 得1+x+x =91
2
化为一般形式 2 x 90小 分 支小来自分 支…… …… 主 干
小 分 支
小 分 支
……
……
x
新 细 胞
新 细 胞
…… ……
细胞
新 细 胞
新 细 胞
新细胞
……
……
x x
x
新细胞
4.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两 队之间都赛1场,计划安排15场比赛,应邀请多少个 球队参加比赛?
5.一个QQ群中有若干好友，每个好友都分别给群 里其他好友发送了一条信息，这样共有756条信息， 这个QQ群中共有多少个好友？ 6.参加一次聚会的每两人都握了1次手,所有人共握 手10次,有多少人参加聚会?
谢谢！
有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了 流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人
第一轮的传染源—— 1人
第一轮新增患病人数 X人
第二轮的传染源（第一轮后患病人数） (X+1)人 第二轮新增患病人数 x(X+1)人 第二轮后患病人数
=121 (X+1) +x(X+1)人
解：设平均一台电脑会感染x台电脑. 列方程 1 x x 1 x 81 2 整理，得 x+1 81 直接开平方，得 x+1 9
所以 x1 8 x2 -10（舍去）
81+81×8=729（人）
数学2013年九年级上第二十二章《一元二次方程》(实际问题与一元二次方程)课件人教版
(2)平均增长(降低)率问题． 例 3：(2012 年广东)据媒体报道，我国 2009 年公民出境旅 游总人数约 5 000 万人次，2011 年公民出境旅游总人数约 7 200 万人次，若 2010 年、2011 年公民出境旅游总人数逐年递增，请 解答下列问题： (1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； (2)如果 2012 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2012 年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？
方程． (4)____解__方__程______，求出未知数的值． (5)_____检__验_______，即检验所求的解是否符合题意，如线
段的长度不能为负数，下降率不能大于 100%等等． (6)____作__答________．
2．与面积有关的实际问题 根据___面__积__与__面__积__之__间___的等量关系建立一元二次方程的 数学模型并运用它解决实际问题．
4．与利润有关的实际问题 商品利润问题中常见的等量关系是： 总利润＝____总__售__价__—__总__成__本________或 总利润＝___每__件__商__品__的__利__润__×__总__销__售__量_______. 5．与数字有关的实际问题 这类问题主要有以下两种类型： (1)有关连续数的问题； (2)有关各个数位上的数字问题．
20%. (2)∵7 200×(1＋20%)＝8 640， ∴预测 2012 年我国公民出境旅游总人数约 8 640 万人次．
跟踪训练 3．(利润问题)某商场将每件进价 80 元的某种商品原来按每
件 100 元出售，一天可售出 100 件，后来经过市场调查，发现这 种商品单价每降低 1 元，其销售量可增加 10 件．
思路点拨：认真审题，弄清基数，注意增长了、增长到等词 语的关系．如果设平均每次增长率或下降率为 x，则产值 a 经过 两次增长(或下降)到 b，可列式为 a(1＋x)2＝b[或 a(1－x)2＝b]．
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1．列一元二次方程解决实际问题 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤是： 审题 (1)______________，读懂题目，明确已知量和未知量，以 及它们之间的数量关系． 设未知数 (2)______________，用字母表示题目中的一个未知数． 列方程 (3)______________，根据题目中的等量关系列出一元二次 方程． 解方程 (4)______________，求出未知数的值． 检验 (5)______________，即检验所求的解是否符合题意，如线 段的长度不能为负数，下降率不能大于 100%等等． (6)______________． 作答
(2)若商场经营该商品一天要获利润 2 160 元，则每件商品应
降价多少元？
解：(1)100×(100－80)＝2 000(元)． 答：原来一天可获利润 2 000 元． (2)设每件商品应降价 x 元，由题意，得 (100－80－x)(100＋10x)＝2 160， 即 x2－10x＋16＝0. 解得 x1＝2，x2＝8. 答：商店经营商品一天要获利 2 160 元，每件商品应降价 2 元或 8 元．
都为 144 平方米，求小路的宽度．
图 22－3－1
思路点拨：列方程解应用题应注意：①列等量关系式时方程
两边表示的是同类项，单位要统一；②解方程后要检验未知数的
值是否为方程的解，是否符合实际． 自主解答：将小路面积和草坪面积用未知数表示，根据总面 积可得等量关系，列出方程． 设小路的宽为 x 米，由题意，得
2．与面积有关的实际问题 面积与面积之间 根据__________________的等量关系建立一元二次方程的 数学模型并运用它解决实际问题． 3．与增长率有关的实际问题
增长率问题：设基数为 a，平均增长率为 x，则一次增长后
a(1＋x) a(1＋x)2 的值为________________；两次增长后的值为______________； a(1＋x)n 依次类推，n 次增长后的值为__________．若 A 为 n 次增长(或 a(1＋x)n a(1－x)n 下降)后的数量，则 A＝____________(或 A＝______________)．
解得 x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20%.
(2)∵7 200×(1＋20%)＝8 640， ∴预测 2012 年我国公民出境旅游总人数约 8 640 万人次．
跟踪训练 3．(利润问题)某商场将每件进价 8பைடு நூலகம் 元的某种商品原来按每 件 100 元出售，一天可售出 100 件，后来经过市场调查，发现这 种商品单价每降低 1 元，其销售量可增加 10 件． (1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
4．(数字问题)两个连续奇数的积是 323，求这两个数． 解法一：设较小奇数为 x，则另一个为 x＋2， 依题意，得 x(x＋2)＝323. 整理后，得 x2＋2x－323＝0. 解得 x1＝17，x2＝－19. 由 x＝17，得 x＋2＝19， 由 x＝－19，得 x＋2＝－17， 答：这两个奇数是 17,19 或者－19，－17.
2．在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手， 一共握了 45 次手，则参加这次聚会的共有多少个人．
解：设参加这次聚会有 x 人， 1 依题意，得2x(x－1)＝45， ∴x2－x－90＝0. ∴x＝10 或 x＝－9(舍去)． 答：参加这次聚会的人有 10 人．
一元二次方程应用问题中的常见题型 (1)面积问题． 例 2：某小区计划在一个长 40 米，宽 26 米的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草，如图 22－3－1，若使每一块草坪的面积
效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7 000 台？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则 1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100， 解得 x1＝9，x2＝－11(舍去)，∴x＝9. 4 轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7 000. 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染 后，被感染的电脑会超过 7 000 台．
解法二：设较小的奇数为 x－1，则较大的奇数为 x＋1. 依题意，得(x－1)(x＋1)＝323. 整理后，得 x2＝324. 解得 x1＝18，x2＝－18. 当 x＝18 时，18－1＝17,18＋1＝19； 当 x＝－18 时，－18－1＝－19，－18＋1＝－17. 答：两个奇数分别为 17,19 或者－19，－17.
4．与利润有关的实际问题 商品利润问题中常见的等量关系是： 总售价—总成本 总利润＝________________________或 每件商品的利润×总销售量 总利润＝________________________________. 5．与数字有关的实际问题 这类问题主要有以下两种类型： (1)有关连续数的问题；
思路点拨：认真审题，弄清基数，注意增长了、增长到等词
语的关系．如果设平均每次增长率或下降率为 x，则产值 a 经过
两次增长(或下降)到 b，可列式为 a(1＋x)2＝b[或 a(1－x)2＝b]．
自主解答：(1)设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均
增长率为 x， 依题意，得 5 000(1＋x)2＝7 200，
解法三：设较小的奇数为 2x－1，则另一个奇数为 2x＋1. 依题意，得(2x－1)(2x＋1)＝323. 整理后，得 4x2＝324. 解得 2x＝18，或 2x＝－18. 当 2x＝18 时，2x－1＝18－1＝17,2x＋1＝18＋1＝19； 当 2x＝－18 时，2x－1＝－18－1＝－19，
2×26x＋40x－2x2＋6×144＝40×26.
整理，得 x2－46x＋88＝0.
x1＝2，x2＝44(不合题意，舍去)．
答：小路的宽为 2 米．
(2)平均增长(降低)率问题． 例 3：(2012 年广东)据媒体报道，我国 2009 年公民出境旅 游总人数约 5 000 万人次，2011 年公民出境旅游总人数约 7 200 万人次，若 2010 年、2011 年公民出境旅游总人数逐年递增，请 解答下列问题： (1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； (2)如果 2012 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2012 年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？
x－1 条消息，则发消息共有 x(x－1)条．
自主解答：设有 x 个好友，依题意，得
x(x－1)＝870，
整理，得 x2－x－870＝0，即(x－30)(x＋29)＝0. 解得 x1＝30，x2＝－29(舍去)． 答：QQ 群里共有 30 个好友．
跟踪训练 1．某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染， 经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分 析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有
2x＋1＝－18＋1＝－17.
答：两个奇数分别为 17,19 或者－19，－17.
(2)有关各个数位上的数字问题．
列一元二次方程解决实际问题(重点) 例 1：一个 QQ 群里有若干个好友，每个好友都分别给群里 其它好友发送一条消息，这样共有 870 条消息，则这个 QQ 群里 有多少个好友．
思路点拨：每个好友都有一次发给 QQ 群其他好友消息的机 会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有 x 个好友，每人发