线性规划常见疑问解答

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线性规划问题求解例题和知识点总结

线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。

下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。

一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。

其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。

二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。

1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。

步骤如下：画出直角坐标系。

画出约束条件所对应的直线。

确定可行域（满足所有约束条件的区域）。

画出目标函数的等值线。

移动等值线，找出最优解。

例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。

简单的线性规划问题

简单的线性规划问题一、基本知识1.规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础。

因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0) （若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧。

2.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小）。

要会在可行域中确定最优解。

3.新概念:①线性约束条件②线性目标函数③线性规划问题④可行解⑤可行域⑥最优解4.重要的思想方法：数形结合化归思想5.解线性规划问题总体步骤：设变量→ 找约束条件，找目标函数找出可行域求出最优解二、典型例题：例1．某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t, 生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t，每1t甲种产品的利润是600元。

每1t乙种产品的利润是1000元。

工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，甲，乙这两种产品应各生产多少。

（精确到1t)。

能使利润总额达到最大？解：设生产甲，乙两种产品分别为x(t), y(t)，利润总额为Z元，则，Z=600x+1000y。

作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域。

作直线600x+1000y=0即3x+5y=0。

将直线向上平移到如图位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，即Z 取最大值。

得x=360/29≈12。

y=1000/29≈34。

例2．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周生产空调器，彩电，冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？解：设每周生产空调器，彩电，冰箱分别为x 台，y 台，z 台，每周产值为f 元，则f=4x+3y+2z，其中x, y, z满足由(1),(2)得y=360-3x, z=2x。

线性规划常见疑问解答

线性规划常见疑问解答1. 线性规划――这一运筹学重要分支的开创者是谁？这里，必须谈到两个著名的人物，康托洛维奇和丹捷格。

1939年著名数理经济学者康托洛维奇发表了《生产组织和计划中的数学方法》这一运筹学的先驱性名著，其中已提到类似线性规划的模型和“解乘数求解法”。

但是他的工作直到1960年的《最佳资源利用的经济计算》一书出版后，才得到重视。

1975年，康托洛维奇与T . C . Koopmans 一起获得了诺贝尔经济学奖。

1947年G . B. Dantzig 在研究美国空军军事规划时提出了线性规划的模型和单纯形解法，并很快引起美国著名经济学家Koopmans的注意。

Koopmans为此呼吁当时年轻的经济学家要关注线性规划。

今天，单纯形法及其理论已成为了线性规划的一个重要的部分。

2. 线性规划模型的形式是什么？目标函数和约束条件都是线性的。

3. 线性规划模型的三要素是什么？就是资源向量b，价值向量c，系数矩阵A（一般都假设A是满秩的）。

其中，资源向量b表示了稀缺资源的种类和限度；价值向量c反映了单位产品（广义）所创造的收益或形成的成本；而系数矩阵A是现有生产技术、生产工艺、管理水平的具体体现。

只要这三个要素确定了，相应的线性规划模型就确定了。

4. 线性规划模型的经济意义何在？简言之，线性规划模型对于解决经济学研究的核心问题――资源有效配置有比较重要的意义。

它不仅为宏观或微观的经济研究提供了一个有效的解决问题的平台，而且，（曾经）为经济学家提供了一个解决资源优化配置的新的思路。

不仅如此，线性规划在企业的运作管理、物流管理、财务管理、人力资源管理、战略管理等诸多方面也能为管理者提供科学的决策支持。

5. 线性规划的标准形式是怎样的？线性规划的标准形式有三个特点：a) 约束条件都是等式；b) 等式约束的右端项为非负的常数； c) 每个变量都要求取非负数值。

下面是线性规划标准形式的一般表达，6.线性规划标准形的向量矩阵形式是怎样的？线性规划的标准形式如用向量矩阵形式可简洁表述为：7.在将线性规划的一般形式转化为标准形式时，要注意哪几点？要注意两点：一是某一约束条件为“≤”或“≥”形式的不等式时，应“+”一个非负松弛变量或“－” 非负松弛变量；二是某个变量不满足非负约束时，这个变量要用一到两个非负的新变量替换，以使标准型中所有的变量均满足非负要求。

简单线性规划问题的类型与解法

简单线性规划问题的类型与解法简单线性规划问题就是在线性约束条件下，求目标函数最优解的数学问题。

纵观近几年的高考，简单线性规划问题是高考的热点问题，基本上每卷都有一个五分小题。

归结起来简单线性规划问题主要包括：①在线性约束条件下，求目标函数的最值；②含有参数的简单线性规划问题；③简单线性规划的应用问题等几种类型，各种类型具有各自的结构特征，简单方法也各不相同，那么在实际解答解答线性规划问题时，如何抓住问题的结构特征，快捷、准确地实施解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。

【典例1】解答下列问题：1、设变量x 、y 满足约束条件x+2y-5≤0 则目标函数Z=2x+3y+1的最大值为（）x-y-2≤0A 11B 10 X ≥0C 9D 8.5【解析】【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法。

【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法就可得出结果。

【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，Q 由 x+2y-5=0，得到 x=3，∴A （3，1），B （2，0）， x-y-2=0， y=1, C （5，0）， ⇒当目标函数z=2x+3y+1经过点C （5，0）时， z=2⨯5+3⨯0+1=10+1=11为最大，⇒A 正确，∴ 选A 。

x-y+1≤2、实数x 、y 满足 x ＞0 (1)若z=y x，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； y ≤2 （2）若z= 22x y +，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围。

【解析】【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法。

【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法分别求出最大值和最小值，就可得出目标函数的取值范围。

线性规划问题完全归纳整理

线性规划问题完全归纳整理（含答案）【实践理论】1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2.满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3.．线性规划中的基本概念【知识实践】0的( ) A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方 D ．左下方【变式实践1】1．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )2．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)[类型题通法](1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取点（不过原点取原点，过原点取坐标轴上的点）并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与点同侧的那部分区域；否则就对应与点异侧的平面区域．．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线【例2】．（1）(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．（2）．(2016·吉林实验中学)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0，则z ＝2x ＋4y －3的最大值是________．（3）．（2016•安徽模拟）已知x ，y 满足约束条件，则z=﹣x+y 的最小值为（） A ．﹣2B ．﹣C ．0D ．【变式实践2】1.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤03x －y －5≥0，则z ＝2x－y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．22.(2015·长春市第二次调研)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x －y －2≤0x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为________．3．（2016•贵州校级模拟）不等式组所表示的平面区域的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝y x，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．【知识总结】．常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离；(2)（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(3)y x表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率值；(4)y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率值．【变式实践3】1.实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，求z ＝y －1x ＋1的取值范围．2.．(2016·开封模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥2，y ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[2,8]B ．[4,13]C ．[2,13]D ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤52，133．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x的最大值为________．4．（2016•辽宁一模）已知点P （x ，y ）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x 2+y 2的取值范围是（）A ．[，4] B ．[，5] C ．[，6] D ．[，5]【例4】．(2015·山东高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3【变式实践4】．1.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－12．（2016•池州二模）若变量x ，y 满足z=+（a≥b＞0）的最大值2，则有（）A ．ab ﹣3a ﹣b=0B ．ab ﹣a ﹣3b=0C ．ab ﹣a ﹣b=0D ．ab+a ﹣b=03．（2016•揭阳一模）已知不等式组所表示的平面区域为D ，直线l ：y=3x+m不经过区域D ，则实数m 的取值范围是（） A ．[﹣3，1]B ．[﹣3，3]C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【例5】．（2016•宜宾模拟）设实数x，y满足约束条件，已知z=2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，则实数a的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣1 D．1【变式实践5】1．（2016•顺义区一模）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则a的值为（）A．B．C．D．12．（2016•顺义区一模）在平面直角坐标系中，若不等式组，（a为常数）表示的区域面积等于3，则a的值为（）A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．5【例6】．（2016•青岛一模）已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．3【变式实践6】．1（2016•沈阳一模）实数x，y满足，则z=|x﹣y|的最大值是（）A．2 B．4 C．6 D．82．（2016•江门模拟）实数x，y满足，则|x|+|y|的最大值为（）A．6 B．8 C．10 D．14．【例7】(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【变式实践7】．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【强化练习】1．（2016•成都模拟）已知实数x，y满足，则z=y﹣2x的最大值是（）A．2 B．4 C．5 D．62．（2016•重庆校级模拟）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（）A．4 B．6 C．16 D．263．（2016•泸州模拟）设实数x，y满足，则3x﹣y的最大值是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．64．（2016•南开区模拟）当x，y满足条件时，目标函数z=x+3y的最小值是（）A．0 B．1.5 C．4 D．95．（2016•红桥区模拟）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y﹣3的最小值为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．56．（2016•广州模拟）若实数x、y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[1，2]7．（2016•朔州模拟）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣14．8．（2016•唐山一模）若x，y满足不等式组，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．39．（2016•重庆校级一模）若实数x，y满足，则的最小值为（）A．B．2 C．D．10．（2016•广安模拟）已知a，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．911．（2016•陕西模拟）实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．﹣B．1 C．﹣1 D．012．（2016•淮南二模）设z=4x•2y中变量x，y满足条件，则z的最小值为（）A．2 B．4 C．8 D．1613．（2016•淮北一模）已知实数x，y满足：，则使等式（t+2）x+（t﹣1）y+2t+4=0成立的t取值范围为（）A．[﹣，）B．（﹣∞，﹣]∪（﹣，+∞）C．[﹣，1）D．[﹣，1）【参考答案】【例1】解析：选C.画出图形如图所示，可知该区域在直线x－2y＋6＝0的左上方．【变式实践1】 1．答案：B 2．答案：C【例2】．（1）解析：画出可行域(如图所示)． ∵z ＝3x ＋y ，∴y ＝－3x ＋z .∴直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上截距最大时，即直线过点B 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即B (1,1)，∴z max ＝3×1＋1＝4.(2)答案：4解析：满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0的区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋4y －3在点(0,0)处取得最大值，则z max ＝－3.（3）．解：作出平面区域如图：由z=﹣x+y 得y=x+z ，由图可知当y=x+z 与圆（x ﹣2）2+y 2=4相切时，z 取得最小值．把y=x+z 化成一般式方程为x ﹣3y+3z=0， ∴=2，解得z=﹣2或z=（舍）．故选：A ．【变式实践2】1/画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移，当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时，即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5，2)，则z max ＝2×5－2＝8.2作出可行域如图，令u ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋u 3，作出直线y ＝－23x ，经过平移，当经过A 点时，u 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0x －y －2＝0，得A (3，1)，代入得u max ＝9，∴z max ＝10.3．：不等式组对应的平面区域如图：则对应区域为直角三角形ABC ．则三点坐标分别为A （2，3），B （4，3），C （4，5），则AB=2，BC=2，所以三角形的面积为S=×2×2=2．故选：B ．【例3】(1)解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5，2)．(2)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(3)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. ∴2≤z ≤29. 【变式实践3】1. 作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．z ＝y －1x ＋1＝y －1x －（－1），所以z的几何意义是动点(x ，y )与定点A (－1，1)所连直线的斜率．结合图可知，z 的最小值为直线l 1的斜率，z 的最大值无限接近于直线l 2的斜率．l 1的斜率k 1＝k AB ，l 2与直线x －y ＝0平行．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x －y －2＝0，得点B 的坐标为(1，0)，k 1＝－12.∴z 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，1.2. 解析：选C 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得z min ＝|OA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|0＋0－2|12＋122＝2，z max ＝|OB |2＝32＋22＝13.故z 的取值范围为[2,13]．3．解析：画出可行域如图阴影所示，∵y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时yx 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴y x的最大值为3.答案：34．解：画出满足条件的平面区域，如图示：z=x2+y2的几何意义表示平面区域内的点到原点的距离的平方，显然A（2，1）到原点的距离最大，此时z=5，点O到直线BC的距离最小，设原点到直线x+2y﹣2=0的距离是d，则d==，故z的取值范围是：[，5]．故选：B．【例4】解析：选B 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z＝ax＋y的最大值为4，则最优解为x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，经检验知x＝2，y＝0符合题意，∴2a＋0＝4，此时a＝2，故选B.【变式实践4】．1.解析：选D 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，则z A＝2，z B＝－2a，z C＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A＝z B>z C或z A＝z C>z B或z B＝z C>z A，解得a＝－1或a＝2.2．解：由z=+得y=﹣x+bz，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣x+bz，∵a≥b＞0，∴斜率k=﹣∈[﹣1，0），由图象知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，得，即A（2，6），此时z═+=2，即，即ab﹣3a﹣b=0，故选：A．3．解：由题意作平面区域如下，，当直线l过点A（1，0）时，m=﹣3；当直线l过点B（﹣1，0）时，m=3；结合图象可知，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），故选：D．【例5】．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），联立，解得B（），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z分别经过A，B时，直线y=﹣2x+z在y轴上的截距有最小值和最大值，z有最小值和最大值，则，解得a=1．故选：D．【变式实践5】1．解：不等式组所围成的区域如图ABCD所示，∵其面积为1，A（2，2a+1），B（2，0），C（1，），D（1，a+1）∴S ABCD==1，解得a=．故选：B．2．解：不等式组，（a为常数）围成的区域如图所示．∵由于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积等于3，∴×|AC|×|x A﹣x B|=3，解得|AC|=6，∴C的坐标为（1，6），由于点C在直线ax﹣y+1=0上，则a﹣6+1=0，解得a=5．故选：D．【例6】．解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=|x+2y|，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x﹣z经过点A时，z取得最大值，此时z最大．即A（﹣2，﹣2），代入目标函数z=|x+2y|得z=2×2+2=6故选：C．【变式实践6】．解：依题画出可行域如图，可见△ABC及内部区域为可行域，令m=y﹣x，则m为直线l：y=x+m在y轴上的截距，由图知在点A（2，6）处m取最大值是4，在C（2，0）处最小值是﹣2，所以m∈[﹣2，4]，而z=|x﹣y|=|m|，所以z的最大值是4，故选：B．2/解：设z=|x|+|y|，即|y|=﹣|x|+z，即y=﹣|x|+z或y=|x|﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图：平移y=﹣|x|+z ，当曲线y=﹣|x|+z 经过点A 时，y=﹣|x|+z 对应的截距最大，此时z 最大，由，得，即A （﹣2，8），此时z=|﹣2|+|8|=2+8=10，平移y=|x|﹣z ，当曲线y=|x|﹣z 经过点C 时，y=|x|﹣z 对应的截距最小，此时z 最大，由，得，即C （4，2），此时z=|4|+|2|=2+4=6，综上|x|+|y|的最大值为10，故选：C ．[例7]解析：选D 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.【变式实践7】解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋7y ＋4 100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N.整理得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N.目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300.作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．【强化练习】1/解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得：A（﹣2，2），由z=y﹣2x得；y=2x+z，由图象得直线y=2x+z过A（﹣2，2）时取到最大值，z的最大值是：6，故选：D．2/解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6）．此时z的最大值为z=2×4+3×6=26，故选：D．3．解：由约束条件作出可行域如图，令z=3x﹣y，化为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为6．故选：D．4/解：作表示的平面区域如下，，化简z=x+3y=﹣x+z，z是直线的截距，故目标函数z=x+3y的最小值在A（1.5，0）上取得，故z=1.5；故选B．5/解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+y﹣3为y=﹣x+z+3，由图可知，当直线y=﹣x+z+3过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故选：B．6/解：作出不等式组对应的平面区域，则由图象知x＞0，则设k=，则z==，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知，OA的斜率最大，OC的斜率最小，由得，即A（1，2），由得，即C（，1），则OA的斜率k=2，OC的斜率k==，则≤k≤2，则≤≤，即≤≤，即的取值范围是[，]，故选：B7/解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点B时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即B（3，﹣3）此时z=3+2×（﹣3）=3﹣6=﹣3．故选：A．8．解：由题意作平面区域如下，，的几何意义是阴影内的点（x，y）与原点的连线的斜率，结合图象可知，过点A（1，2）时有最大值，此时==2，故选：C．9/解：画出满足条件的平面区域，如图示：A（3，0），C（2，1），z==1+∈[，2]，故选：A．10/解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，3），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×2+3=7．故选：B．11/解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义是区域内的点到定点D（2，0）的斜率，由图象知DO的斜率最小，此时最小值为0，故选：D．12解：作出约束条件表示的可行域如图：。

关于讲解线性规划问题时的常见问题及解决策略

握情况的反思，总感觉自己上高中时的
老师和工作后大部分老师的讲解方法，学生虽然能理解，但学生做题时正确率却不高．怎样改变这种会做却做不对的
现状呢？
例如：设，Ｙ满足约束条件
ｆ＋２ｖ≥ ２
目标函数ｚ＝Ａｘ＋Ｂｙ的法向量为（Ａ，Ｂ），它是垂直于目标函数的一个向量，当
ＳＨＵＸＵＥＩＩＡＯＹＵ

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关于讲解线性规划问题时的常见问题及解决策略
■河北省新乐市第一中学王振安
关键词：法向量法规划问题尺规作图线性
小方向和不等式的方向相同，则可行域是
边界线的上方；若与Ｏ的大小方向和
类型为：
意义是在Ｙ
）。
Ｊ
如图２，让一个三角板的一个直角边和向量（３，一１）重合，若三角板沿（３，一１）平移，则另一条
直角边与可行域最后相交的点即最大值点；若三角板沿（３，
｛２ｘ＋ｙ￣４
小值．
，求ｚ＝３ｘ－ｙ的最大值和最
【４ — ｙ ≥ 一１
目标函数沿法向量方向移动时，目标函数值逐渐增大，在与可行域最后相交台勺点
取最大值；当目标函数沿法向量相反方向解：如图１，作出可行域，将目标函数移动时，目标函数值逐渐减小，在与可只含有两个自变量的线性规划，它的标准ｚ＝表示成直线ｙ＝，则ｚ的几何行域最后相交的点取最小值．简单的线性规划问题是指目标函数

简单的线性规划问题

【名师点睛】（1）目标函数本质是函数的解析式z＝f(x，y)，线性目标函数即关于x，y的线性组合；（2）线性规划的最优解的个数不确定，只有一组(x，y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个，如边界为实线的可行域当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值；同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个，如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线重合时，会有多个最优解；可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解．三、线性规划在实际问题中的应用（1）线性规划的实际问题的类型：给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：物资调运问题：例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最小?产品安排问题：例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A，B，C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大?下料问题：例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小?（2）解答线性规划实际应用题的步骤：①模型建立．正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法；②模型求解．画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解；③模型应用．将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．例3.甲、乙两厂生产某种产品，它们可调运的数量分别是300吨、750吨，A、B、C三地需要该产品的数量分别是200吨、450吨、400吨．甲厂运往三地的费用分别是6元/吨、3元/吨、5元/吨；乙厂运往三地的费用分别是5元/吨、9元/吨、6元/吨．则怎样调运可使总费用最少？(,33+∞(,)5的取值范围是。

线性规划的常见题型及其解法

课题线性规划的常见题型及其解法答案线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用．本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z 的最值．【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－23x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23．【答案】A【母题二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0⎝⎛⎭⎫x －12表示点(x ，y )和⎝⎛⎭⎫12，0连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方．【解析】(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． ∵z ＝y2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝⎛⎭⎫12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29． (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29． ∴2≤z ≤29．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是：可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝?－3－5?2＋?2－2?2＝8 ∴16≤z ≤64．1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．【提醒】注意转化的等价性及几何意义．角度一：求线性目标函数的最值1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8．【答案】B2．(2015·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示，当目标函数经过点(0,3)时，z 取得最大值18．【答案】C3．(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2【解析】如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6．【答案】A角度二：求非线性目标的最值4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13．【解析】C5．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围．【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转化为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．【答案】(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)6．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]【解析】如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．【答案】B7．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255．【答案】2558．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1．点A (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3－4－9|5＝2，则|AB |的最小值为4．【答案】B角度三：求线性规划中的参数 9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A ．73B ．37C ．43D ．34【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52．当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73．【解析】A10．(2014·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12【解析】D 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝⎛⎭⎫－2k ＝－4?k ＝－12．【答案】D11．(2014·高考安徽卷)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B ＝z C ＞z A ，解得a ＝－1或a ＝2．法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2．【答案】D12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，，则交点为B (4－s,2s －4)，y ＋2x ＝4与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为C ′(0,4)，x ＋y ＝s 与y 轴的交点为C (0，s )．作出当s ＝3和s ＝5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示．(1) (2)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC 及其内部，此时，7≤z max ＜8；当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′及其内部，此时，z max ＝8．综上所述，可得目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是[7，8]．【答案】D13．(2015·通化一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．【解析】∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2?y ＋1?x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a ＞0，∴可作出可行域，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－?－1?3a －?－1?＝13a ＋1＝14?a ＝1．【答案】1角度四：线性规划的实际应用14．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．【解析】设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y ．画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点A 处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700．故最大利润是1 700元．【答案】1 70015．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300．(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4?100－x －y ?≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300．作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0．即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24．【答案】B2．(2015·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．3【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3．【答案】A3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP→的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2．【答案】D4．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎡⎭⎫53，5D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－53，5．【答案】D5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．0【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即⎝⎛⎭⎫b －78(b －2)＜0，∴78＜b ＜2，∴b 应取的整数为1．【答案】B6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)【解析】如图，根据题意得C (1＋3，2)．作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3，2)．【答案】A7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．1【解析】作出可行域如图所示，当点P 位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝1，的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1．【答案】D8．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．14【解析】不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，所表示的可行域如图所示，设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则此两目标函数的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1]，b ＝x －y ∈[－1,1]，又a ＋b ＝2x ∈[0,2]，a －b ＝2y ∈[0,2]，∴点坐标(x ＋y ，x －y )，即点(a ，b )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，－1≤b ≤1，0≤a ＋b ≤2，0≤a －b ≤2，作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S ＝12×2×1＝1．【答案】B9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0，∴ab ∈(0，4]．【答案】B10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×⎝⎛⎭⎫422＝4π．【答案】D11．(2015·东北三校联考)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3．【答案】B12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7．法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．图(1) 图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．【答案】B13．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π2【解析】因为ax ＋by ≤1恒成立，则当x ＝0时，by ≤1恒成立，可得y ≤1b (b ≠0)恒成立，所以0≤b ≤1；同理0≤a ≤1．所以由点P (a ，b )所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1．【答案】C14．(2013·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 【解析】当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0．如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m＜－12m －1，解得m ＜－23．【答案】C15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)【解析】平面区域D 如图所示．要使指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，所以1＜a ≤3．【解析】A16．(2014·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49 【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1．显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6．∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37．【解析】C17．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k ?x －1?－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】已知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．当直线y ＝k (x －1)－1与y ＝x 平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k ＞1时，也可形成三角形，综上可知k ＜－1或k ＞1．【答案】D18．(2016·武邑中学期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点A (3,2)处取得最大值，最大值为8．【答案】C19．(2016·衡水中学期末)当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【解析】画出可行域如图所示，目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z3，当直线过点C 时，z 取到最大值，又C (m ，m )，所以8＝m －3m ，解得m ＝－4．【答案】A20．(2016·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan∠AOB 的最大值等于( )A ．94B ．47C ．34D ．12【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tan ∠AOB 取得最大值，此时由于tan α＝k BO ＝12，tan β＝k AO＝2，故tan ∠AOB ＝tan (β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝2－121＋2×12＝34．【解析】C 二、填空题21．(2014·高考安徽卷)不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4．【答案】422．(2014·高考浙江卷)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．【解析】作出可行域，如图，作直线x ＋y ＝0，向右上平移，过点B 时，x ＋y 取得最小值，过点A 时取得最大值．由B (1,0)，A (2,1)得(x ＋y )min ＝1，(x ＋y )max ＝3．所以1≤x ＋y ≤3．【答案】[1,3]23．(2015·重庆一诊)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4．【答案】424．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．【解析】目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92．【答案】9225．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值，∴|OM |min ＝|－2|12＋12＝2．【答案】 226．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．【解析】设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x ＝3，y ＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．【答案】2727．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜 4吨万元万元韭菜6吨万元万元________亩．【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝×4x －＋×6y－＝x ＋．线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，＋≤54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋0．9y ＝0，向上平移至过点A 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋3y ＝180，解得A (30,20)．【答案】3028．(2015·日照调研)若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．【解析】平面区域A 如图所示，所求面积为S ＝12×2×2－12×22×22＝2－14＝74．【答案】7429．(2014·高考浙江卷)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32．所以a 的取值范围是1≤a ≤32．【答案】⎣⎡⎦⎤1，32 30．(2015·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．【解析】由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan 120°＝－3，所以k ＝3．【答案】 331．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围．【解析】变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1m <0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋zm 在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由y ＝mx ，x ＋y ＝1，得A ⎝⎛⎭⎫11＋m ，m1＋m ，所以目标函数的最大值z max ＝11＋m ＋m 21＋m<2，所以m 2－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，故m 的取值范围是(1,1＋2)．【答案】(1,1＋2)32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数可变形为y ＝x －z ，当z 最小时，直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大．当z 的最小值为－1，即直线为y ＝x ＋1时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标为(2,3)，此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线为y ＝x ＋2时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8．故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最大值在点B (m －1,1)处取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，故目标函数的最大值的取值范围是[3,6]．【答案】[3,6]33．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．【解析】线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线．【答案】634．(2011·湖北改编)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．【解析】∵a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，∴a ·b ＝2(x ＋z )＋3(y －z )＝0，即2x ＋3y －z ＝0．又|x |＋|y |≤1表示的区域为图中阴影部分，∴当2x ＋3y －z ＝0过点B (0，－1)时，z min ＝－3，当2x ＋3y －z ＝0过点A (0,1)时，z min ＝3． ∴z ∈[－3,3]．【答案】[－3,3]35．(2016·衡水中学模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．【解析】作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋zm，若m ＜0，则－1m ＞0，由数形结合知，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m ＞0，则－1m ＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m＝－1，则m ＝1．综上可知，m ＝1．【答案】1。

高一数学中的线性规划问题如何解决

高一数学中的线性规划问题如何解决在高一数学的学习中，线性规划问题是一个重要且具有一定难度的知识点。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，还能培养我们的逻辑思维和解决实际问题的能力。

那么，如何有效地解决高一数学中的线性规划问题呢？下面让我们一起来探讨一下。

首先，我们要明白线性规划问题的基本概念。

简单来说，线性规划就是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值。

这些约束条件通常是由一些线性不等式组成，而目标函数则是一个关于变量的线性表达式。

为了更好地理解和解决线性规划问题，我们需要掌握以下几个关键步骤：第一步，准确地列出约束条件和目标函数。

这就要求我们能够读懂题目中的文字描述，将其转化为数学语言。

比如，如果题目中说“生产A 产品不超过 5 件，生产B 产品不少于 3 件”，那么我们可以列出约束条件：＄A\leq5$，＄B\geq3$。

同时，根据题目所给定的条件，确定目标函数，比如“利润最大”，那么可能就会有目标函数$Z ＝3A ＋5B$。

第二步，画出可行域。

可行域就是满足所有约束条件的点的集合。

我们可以通过把每个约束条件所对应的直线画出来，然后根据不等式的方向确定可行域的范围。

例如，对于不等式$A ＋ B\leq8$，我们先画出直线$A ＋ B ＝ 8$，然后根据“小于等于”这个条件，确定可行域在直线的下方（包括直线上的点）。

第三步，找到最优解。

在可行域内，我们要找到使得目标函数取得最大值或最小值的点。

这个点可能在可行域的顶点处，也可能在边界上。

我们可以通过将可行域的顶点坐标代入目标函数，比较得出最大值或最小值。

在实际解题过程中，还需要注意一些常见的错误和容易忽略的地方。

一是在列出约束条件时，要注意不等式的方向不要搞错。

比如“大于等于”和“小于等于”的区别，如果弄错了，就会导致可行域的范围出错，从而影响最终的结果。

二是在计算顶点坐标时要仔细，避免计算错误。

有时候顶点坐标可能不是整数，计算过程中要保持耐心和细心。

三类线性规划问题的解法

思路探寻在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题就叫做线性规划问题.对于线性规划问题来说，如何把问题转变成与几何图形有关的最值问题是解题的关键.常见的线性规划问题有三类：截距问题、斜率问题、距离问题.下面我们结合实例来探讨这三类问题的解法.一、截距问题对于z =ax +by 型的目标函数，我们常将函数z =ax +by 转化为直线的斜截式：y =-a b x +z b，通过求可行域内直线的纵截距zb的最值，从而求出z 的最值.一般地，若b >0，则纵截距取最大值时，z 也取最大值；纵截距取最小值时，z 也取最小值.若b <0，则纵截距取最大值时，z 取最小值；纵截距取最小值时，z 取最大值．例1.如果实数x ，y 满足不等式组ìíîïïx +y ≥2，2x -y ≤4x -y ≥0，，那么2x +3y 的最小值为______.解：根据题意画出如图1所示的图形，阴影部分为可行域.设z =2x +3y ，则y =-23x +z ，在可行域内移动该直线，当直线y =-23x +z 过点()2,0时直线的纵截距最小，此时z =2x +3y 取得最小值，即()2x +3y min =4.我们将目标函数变形为截距式，在可行域内找到直线y =-23x +z 的纵截距最小时的点，便可求得目标函数的最小值.图1图2图3二、斜率问题当遇到形如z =ay +bcx +d(ac ≠0)的目标函数时，我们一般要利用直线的斜率的几何意义来求最值，即将目标函数变形为z =a c ·y -(-b a)x -(-d c)的形式，这样就把问题化为求可行域内的点(x ，y )与点(-d c ,-ba)连线的斜率的最值.例2.已知函数f ()x =x 2-6x +5，且实数x ，y 满足不等式组{f ()x -f ()y ≥0，1≤x ≤5，那么y x 的最大值为______.分析：我们可直接将求yx的最大值转化为求点()x ,y 和点()0，0连线的斜率的最大值.根据约束条件画出可行域，找到点()x ,y ，便可解题.解：由f ()x -f ()y ≥0可得x 2-6x +5-(y 2-6y +5)≥0，即||x -3≥||y -3，画出如图2所示的图形，阴影部分即为可行域.可将yx看作直线OA 的斜率，当直线OA 经过点A时，其斜率最大，而点A 的坐标为A ()1,5，那么yx的最大值为5.三、距离问题若目标函数为z =(x －a )2＋(y -b )2，可将其视为两点间距离的平方，将问题转化为可行域内的点(x ,y )与点(a ,b )之间的距离的平方来求解即可.根据题意和可行域求得(a ,b )的坐标，便能根据两点间的距离公式快速求得目标函数的最值.例3.已知x ，y 满足条件ìíîïïx ≥1，x -y +1≤0，2x -y -2≤0，那么x 2+y 2的最小值为______.分析：我们需首先根据线性约束条件画出可行域，在可行域内找到一个点P ()x ,y ，使||OP 2最小，求得P 点的坐标，就能求出来x 2+y 2的最小值.解：如图3所示，图中的阴影和边界是符合条件的区域.由图3可知，B 点到原点的距离最小，此时x 2+y 2最小.联立方程{x -y +1=0，x =1，可得B ()1,2，所以||OP 2的最小值等于5，即x 2+y 2的最小值为5.由此可见，解答线性规划问题的思路是将目标函数转化为直线的斜截式方程、直线的斜率、两点间的距离的平方，然后在可行域内寻找使直线的纵截距、斜率、两点间的距离最大或最小的点，求得点的坐标，便可求得目标函数的最值.（作者单位：北京市中央民族大学附属中学）51Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

如何有效解决初中数学中的线性规划问题

如何有效解决初中数学中的线性规划问题数学是一门普遍认为抽象难懂的学科，而初中数学中的线性规划问题更是让许多学生感到困惑。

然而，线性规划问题在实际生活和工作中却有着广泛的应用。

所以，掌握解决线性规划问题的方法和技巧对于学生来说至关重要。

本文将介绍一些有效的解决线性规划问题的方法，帮助初中学生轻松应对数学考试。

一、理解线性规划问题的基本概念在解决线性规划问题之前，首先需要了解线性规划问题的基本概念。

线性规划是一种数学模型，通过寻找目标函数在一组约束条件下的最优解来求解问题。

常见的线性规划问题包括最大化利润、最小化成本等。

了解这些基本概念将有助于学生更好地理解和处理线性规划问题。

二、列出数学模型和约束条件解决线性规划问题的第一步是清楚地列出数学模型和约束条件。

通常，在问题描述中已经给出了目标函数和限制条件。

学生需要仔细阅读问题描述，将这些信息转化为数学表达式，并确定各个变量的含义。

例如，如果问题要求求解某个物品的最大利润，目标函数可以表示为P=2x+3y，其中x和y分别表示该物品的两个属性。

接下来，学生需要将约束条件转化为等式或不等式，并将其列为一个个方程或不等式。

这样做的目的是限制变量的取值范围，使其满足实际条件。

例如，如果问题给出了物品的制作限制，如“制作A类物品需要2小时，制作B类物品需要3小时”，可以用不等式表示为2x+3y≤10。

三、确定可行域和边界条件在列出了数学模型和约束条件后，学生需要确定问题的可行域和边界条件。

可行域是变量的取值范围，满足所有约束条件的点的集合。

边界条件是可行域的边界线，上面的点满足所有约束条件，而下面的点不满足至少一个约束条件。

在图形中绘制可行域和边界条件有助于学生更好地理解问题，并找到最优解所在的位置。

四、确定最优解和目标函数值经过前面的步骤，学生已经将线性规划问题转化为了数学模型，并确定了可行域和边界条件。

接下来，学生需要确定最优解和目标函数值。

最优解是指在可行域内使目标函数达到最大值或最小值的点。

简单的线性规划问题

简单的线性规划问题知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线．不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，使得Ax ＋By ＋C 的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax ＋By ＋C >0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax ＋By ＋C <0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．线性规划的有关概念考点一求最值（不含参、含参、最优解个数、应用题）(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．．典例1-1】．(2014·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1，1)时，z 最小，最小值为3，故选B.训练1-1-1】 (1)(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2解析 (1)画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移，当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时，即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5，2)，则z max ＝2×5－2＝8.训练1-1-2】．(2013·陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2解析如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2，2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6. 答案 A(2)已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值（注意：直线含参过定点或平行）典例1-2】2014·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12(2)作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ＞0时，如图1所示，此时可行域为x 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＝0时，z ＝y －x 也无最小值；当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k ＜0时，如图2所示，此时可行域为点A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，C (0，2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝⎛⎭⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12.故选D.答案 (1)B (2)D【训练1-2-1】 (1)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 解析 (1)在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.答案 B典例1-3】(2014·安徽卷)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 解析 (1)作出可行域(如图)，为△ABC 内部(含边界)．由题设z ＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由k AB ＝－1，k AC ＝2，k BC ＝12，可得a ＝－1或a ＝2或a ＝12，验证：a ＝－1或a ＝2时，成立；a ＝12时，不成立，故选D. 训练1-3-1】．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函数z ＝y －ax 取得最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(0，1)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析作出不等式组对应的平面区域BCD ，由z＝y －ax ，得y ＝ax ＋z ，要使目标函数y ＝ax ＋z 仅在点(1，3)处取最大值，则只需直线y ＝ax ＋z 仅在点B (1，3)处的截距最大，由图象可知a ＞k BD ，因为k BD ＝1，所以a ＞1，即a 的取值范围是(1，＋∞)．答案 D实际生活中的线性规划问题【典例1-4】某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元 D ．38 400元解析设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x 、y ∈N ，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y .画出可行域：如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案 C规律方法线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按求最优解的步骤解决．【训练1-4-1】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，50解析设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图，得最优解为A (30，20)，故选B.答案 B考点二二元一次不等式(组)表示的平面区域形状典例2-1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3) 解析把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C. 答案 C训练2-1-1】．(2015·合肥模拟)画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎡⎦⎤－52，3，y ∈[－3，8]． (2)由图形及不等式组知 ⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．【典例2-2】 (1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0，1] C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0，1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 解析 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎫23，23和(1，0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 的a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.训练2-2-1】．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5，0)，且其斜率k ＝－2＜k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5，0)．答案 B 面积典例2-3】．(2014·安徽卷)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－2.∴A (0，2)，B (2，0)，C (8，－2)．直线x ＋2y －4＝0与x 轴的交点D 的坐标为(4，0)．因此S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＝4.故答案为4. 答案 4典例2-3-1】若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( ) A.73 B.37 C.43 D.34(2)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1，1)，B (0，4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，25时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.训练2-3-2】．(2015·日照调研)若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．解析平面区域A 如图所示，所求面积为S ＝12×2×2－12×22×22＝2－14＝74. 答案 74考点三其他形式的最值最值问题与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离；(2)（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离；(3)|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2表示点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离；(4)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率；(5)y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．【典例3-1】实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＞0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．点拨先画出可行域，再利用目标函数的几何意义求解．解由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＞0，y ≤2作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2得B (1，2)， ∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的值最小为|OA |2(取不到)，最大为|OB |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0得A (0，1)， ∴|OA |2＝(02＋12)2＝1，|OB |2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是(1，5]．点评在简单的线性规划问题中：一是要把不等式组所表示的平面区域作准确；二是要把握好目标函数的几何意义，这个几何意义决定了目标函数在哪个点处取得最值的情况．训练3-1-2】．(2014·成都诊断)在平面直角坐标系 xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B.1C.12D.13解析作出可行域如图所示，当点P 位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝1的交点(1，1)时，(k OP )max ＝1，故选B.答案 B训练3-1-2】．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．解析如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值，∴|OM |min ＝|－2|12＋12＝ 2. 答案2训练3-1-3】．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝y x，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.作出(x ，y )的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1，1)．典例3-2-1】．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( ) A ．5B ．29C ．37D ．49 解析由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6，1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C.答案 C训练3-2-1】．(2013·广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0，1)，最大值时点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，点(0，1)与(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线．答案 6由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5，2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25. (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29.故z 的取值范围是[2，29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝（－3－5）2＋（2－2）2＝8.故z 的取值范围是[16，64].。

线性规划中的疑难问题

线性规划中的疑难问题2.如果实数,a b 满足条件：20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值为_____75_______ 2.如果实数,x y 满足条件：430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则22x y xy +的取值范围为____________ 3.如果实数,x y 满足条件：12121x y x y x y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则由点(,)P x y x y -+形成的平面区域的面积是（）A. 3B. 32C. 6D. 343.定义{}, m a x ,, a a b a b b b a ≥⎧=⎨>⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则{}m a x 4,3z x y x y=+-的取值范围是（ B ） A. [8,10]- B. [7,10]- C. [6,8]- D. [7,8]-4.已知,x y 满足24y x y x y x ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则4z y x =-的取值范围是（ B ）A. [8,6]--B. [8,4]-C. [8,0]-D. [6,0]-5.已知,x y 满足140x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩，且2x y +的取值范围是[1,7]，则a b c a ++=（ D ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -25.已知,x y 满足00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且96z x y =+的最大值的变化范围是[20,22]，则t 的取值范围是（）A. [2,4]B. [4,6]C. [5,8]D. [6,7]5.已知点(,)P x y 满足41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，过点P 的直线与圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最小值是（）A. 2B.C. D. 45.若不等式组200(0,0)01x y ax by a a b x +-≤⎧⎪-+≤>>⎨⎪≤≤⎩所表示平面区域是一个三角形，则22a b ab +的取值范围是__________5.已知直线(2)(1)10m x m y ++++=上存在点(,)x y 满足302301x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则m 的取值范围是__________ A. 1[1,]2- B. 11[,]42- C. 5[,)3-+∞ D. 5(,]3-∞-6.已知函数2()23,f x x x =--若1a b <<，且()()f a f b =，则3u a b =+的取值范围是___[44)--______________7.已知1xy =且340,x y ≥≥>则2242x y x y +-的取值范围是____[4,5]_____________5.设不等式组202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩所表示平面区域是Ω，P ∈Ω，过P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时，cos α=A. B. 1920 C. 910 D. 12 5.设,[,]22ππαβ∈-,且满足sin cos sin cos 1αββα+=，则sin sin αβ+的取值范围是（）A. [B. [1-C.D.。

线性规划 常见疑问解答

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