高一数学直线方程
直线方程公式大全
直线方程公式大全一、一般式方程直线的一般式方程表示为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
直线方程大全中的其他形式可以通过一般式方程推导得出。
二、斜截式方程斜截式方程是直线方程的另一种常见形式。
它表示为 y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为截距。
三、截距式方程截距式方程也是直线方程的一种常见形式，表示为 x/a + y/b = 1，其中 a、b 分别为 x 轴和 y 轴的截距。
四、两点式方程两点式方程通过直线上的两个点来表示直线方程。
设直线上的两个点为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则两点式方程表示为 (y - y1) = ((y2 - y1)/(x2 - x1))(x - x1)。
五、点斜式方程点斜式方程利用直线上的一个已知点的坐标和该直线的斜率来表示方程。
设已知点为 (x1, y1)，斜率为 m，则点斜式方程表示为 y - y1 = m(x - x1)。
六、垂直线方程垂直线的特点是斜率不存在，所以其方程可以表示为 x = a，其中 a 为与 y 轴垂直的线在 x 轴上的截距。
七、水平线方程水平线的特点是斜率为零，所以其方程可以表示为 y = a，其中 a 为与 x 轴平行的线在 y 轴上的截距。
八、点式方程点式方程是直线方程中最简单的形式，利用直线上的一个已知点的坐标来表示直线方程。
设已知点为 (x1, y1)，则点式方程表示为 (y - y1) = m(x - x1)，其中 m 为直线的斜率。
九、角平分线方程角平分线是将一个角平分成两个相等的角的线段。
设角的两边斜率分别为 m1 和 m2，角平分线的斜率可表示为 m = (m1 + m2)/2，将平分线上的一个点坐标 (x1, y1) 代入点斜式方程可得到角平分线方程。
十、法线方程直线的法线是与该直线垂直的直线。
设直线的斜率为 m，法线的斜率可表示为-1/m，再通过已知点 (x1, y1) 可以得到法线方程。
高一数学直线的一般式方程
它表示为斜率为 – A/B，纵截距为- C/B的直线。
⑵B＝0时，由于A，B不同时为零所以A≠0，此时，Ax+By+ C=0可化为x= -C / A，它表示为与Y轴平行（当C=0时）或重合 （当C=0时）的直线。
思考：直线与二元一次方程具有什么样的关系？
结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 （2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。 我们把方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）叫做 直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是 一一对应。
1、直线方程的一般式Ax+By+c=0（A，B不同时为零）的两 方面含义：
(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 （2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线
2、掌握直线方程的一般式与特殊式的互化。
布置作业：
7· 2
8，9，10
；/ 商场展柜；
仙吧,要不然你把这个家伙给灭了?咱们抢了他们の宝物の话,应该就差不多了""小子,你以为魔仙是阿猫阿狗吗?说灭就灭,脑子有病"对于根汉の想法,红柳只能甩他壹个白眼了,想将魔仙说灭就灭,那可不是随便壹个人就能做到の丶;猫补中文肆0肆0未知领域(猫补中文)哪个魔仙不是通天の 人物,要是这么容易被人灭了,这魔仙の名头也白让人给叫了丶"呵呵,也没说要杀了他嘛,不如你将他给引开,咱将这剩下の十来人给收了,如何?"根汉笑了笑丶"别想了,这里の强者可不少,魔仙绝对不止壹两位。"红柳白了他壹眼,传音道："要抓他们也不急于现在,不如跟着他们,等他们离开 了这里,到了没什么人の地方倒是可以。""只不过这三个年轻人,竟然还有魔仙做守卫,背后の实力壹定很强大。&#
高一数学学霸笔记整理
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版
一、直线、圆、抛物线
（1）过点斜率为m的直线方程：y-y1=m(x-x1)
（2）过定点共线直线方程：Ax+By+C=0；A=y2-y1,B=x1-x2,C=x2y1-x1y2
（3）过定点切点直线方程：y-y1=m(x-x1)
（4）双点汇聚直线方程：y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1
（5）圆心坐标：（a,b）半径r的圆的标准方程：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2
（6）抛物线General Equation：y=ax^2+bx+c
二、不等式
（1）不等式的几何意义：
不等式表达式可以用几何形象表示，由于不等式右边或左边的算式可能带有一个系数，使得整个不等式可能反映出点，直线或曲线等几何形状，因此，不等式也有其几何意义。
（2）不等式的一般解法：
1、将不等式完全分解，分别求解各单一未知数的正解及负解；
2、将正解及负解按给定的不等式选择条件合并成一个区间或分类集合；
3、将收集的区间或集合合并成一个完整的未知数的全部正确的解答。
三、函数
（1）函数的定义：
一个变量扮演自变量，另一个变量扮演应变量，若将第一个变量对各可能取值进行及时多次实验，并分别测得每次实验第二个变量的取值得到的资料，把这种变量（变量组）既定关系叫做函数。
（2）常见函数
1、线性函数，标准方程为 y=kx+b;
2、二次函数，标准方程为y=ax^2+bx+c;
3、三次函数，标准方程为y=ax^3+bx^2+cx+d;
4、反比例函数，标准方程为y=k1/x与y=k2x的组合；
5、指数函数，标准方程为y=ab^x；
6、对数函数，标准方程为y=logax与y=log_abx的组合。
高一数学 直线的方程
§3.2 直线的方程§3.2.1 直线的点斜式方程（一）导入新课思路1.方程y=kx ＋b 与直线l 之间存在着什么样的关系？让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即（1）直线l 上任意一点P(x 1,y 1)的坐标是方程y=kx ＋b 的解.（2）(x 1,y 1)是方程y=kx+b 的解⇒点P(x 1,y 1)在直线l 上.这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布课题).思路2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾： 一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b 的每一对x 、y 的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b 也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题).（二）推进新课、新知探究、提出问题①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？ ②已知直线l 的斜率k 且l 经过点P 1(x 1,y 1)，如何求直线l 的方程?③方程导出的条件是什么？④若直线的斜率k 不存在，则直线方程怎样表示？⑤k=11x x y y --与y-y 1=k(x-x 1)表示同一直线吗？ ⑥已知直线l 的斜率k 且l 经过点（０，ｂ），如何求直线l 的方程？讨论结果:①确定一条直线需要两个条件:a.确定一条直线只需知道k 、b 即可；b.确定一条直线只需知道直线l 上两个不同的已知点.②设P(x ，y)为l 上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=11x x y y --,化简,得y －y 1=k(x －x 1). ③方程导出的条件是直线l 的斜率k 存在.④a.x=0；b.x=x 1.⑤启发学生回答:方程k=11x x y y --表示的直线l 缺少一个点P 1(x 1,y 1),而方程y －y 1=k(x －x 1)表示的直线l 才是整条直线.⑥y=kx+b.（三）应用示例思路1例1 一条直线经过点P 1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.图1解:这条直线经过点P 1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0,这就是所求的直线方程,图形如图1所示.点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力.变式训练求直线y=-3(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.解：设直线y=-3(x-2)的倾斜角为α，则tanα=-3，又∵α∈［0°,180°)，∴α=120°.∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2.例2 如果设两条直线l 1和l 2的方程分别是l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2，试讨论:（1）当l 1∥l 2时，两条直线在y 轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？（2）l 1⊥l 2的条件是什么？活动:学生思考：如果α1=α2，则tanα1=tanα2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l 1∥l 2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b 1≠b 2且k 1=k 2，则l 1与l 2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明α1=α2得出tanα1=tanα2的依据.解:（1）当直线l 1与l 2有斜截式方程l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2时，直线l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2.(2)l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.变式训练判断下列直线的位置关系:(1)l 1:y=21x+3,l 2:y=21x-2; (2)l 1:y=35x,l 2:y=-53x. 答案：(1)平行；(2)垂直.思路2例1 已知直线l 1：y=4x 和点P(6，4)，过点P 引一直线l 与l 1交于点Q ，与x 轴正半轴交于点R ，当△OQR 的面积最小时，求直线l 的方程.活动:因为直线l 过定点P(6，4)，所以只要求出点Q 的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l 的方程.解：因为过点P(6，4)的直线方程为x=6和y －4=k(x －6),当l 的方程为x=6时，△OQR 的面积为S=72；当l 的方程为y －4=k(x －6)时，有R(k k 46-,0)，Q （k k 46-,41624--k k )， 此时△OQR 的面积为S=21×k k 46-×41624--k k =)4()23(82--k k k .变形为(S －72)k 2＋(96－4S)k －32=0(S≠72).因为上述方程根的判别式Δ≥0，所以得S≥40.当且仅当k=－1时，S 有最小值40.因此，直线l 的方程为y －4=－(x －6)，即x ＋y －10=0.点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.变式训练如图2，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（精确到1 m 2）（单位：m ）.图2解：建立如图直角坐标系，在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线，划得一矩形土地.∵AB 方程为2030x x +=1,则设P(x,20-32x )(0≤x≤30), 则S 矩形=(100-x)［80-(20-32x )］ =-32(x-5)2+6 000+350(0≤x≤30), 当x=5时，y=350，即P （5，350）时，(S 矩形)max =6 017(m 2).例2 设△ABC 的顶点A(1，3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1=0，y=1，求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线的方程.活动:为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题. 解:如图3,设AC 的中点为F ，AC 边上的中线BF ：y=1.图3AB 边的中点为E ，AB 边上中线CE ：x －2y ＋1=0.设C 点坐标为(m ，n),则F(23,21++n m ). 又F 在AC 中线上,则23+n =1, ∴n=-1.又C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1=0.∴m=－3.∴C 点为(－3，－1).设B 点为(a,1),则AB 中点E(213,21++a ),即E(21a +,2). 又E 在AB 中线上,则21a +-4+1=0.∴a=5. ∴B 点为(5，1).由两点式,得到AB ，AC 所在直线的方程AC ：x －y ＋2=0,AB ：x ＋2y －7=0.点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：(1)中点分式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来.变式训练已知点M （1，0），N （－1，0）,点P 为直线2x-y-1=0上的动点，则|PM|2+|PN|2的最小值为何？解：∵P 点在直线2x-y-1=0上,∴设P （x 0,2x 0-1）.∴|PM|2+|PN|2=10(x 0-52)2+512≥512. ∴最小值为512.（四）知能训练课本本节练习1、２、３、４.（五）拓展提升已知直线y=kx ＋k ＋2与以A(0，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求实数k 的取值范围.图4活动:此题要首先画出图形4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y=kx ＋k ＋2，我们发现它可以变为y －2=k(x ＋1)，这就可以看出，这是过(－1，2)点的一组直线.设这个定点为P(－1，2).解：我们设PA 的倾斜角为α1，PC 的倾斜角为α，PB 的倾斜角为α2，且α1＜α＜α2.则k 1=tanα1＜k ＜k 2=tanα2.又k 1=132-+=-5，k 2=312--=-21， 则实数k 的取值范围是-5＜k ＜-21.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.（七）作业习题3.2 A组2、3、5.§3.2.2 直线的两点式方程（一）导入新课思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l经过两点P1(1,2),P2(3,5),求直线l的方程.（2）已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通过这两点的直线方程.思路2.要学生求直线的方程，题目如下：①A(8，-1)，B(-2，4)；②A(6，-4)，B(-1，2)；③A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k及求解过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢?（二）推进新课、新知探究、提出问题①已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通过这两点的直线方程.②若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2，此时这两点的直线方程是什么？③两点式公式运用时应注意什么？④已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直线l的方程.⑤a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率k;b.利用点斜式写出直线的方程.∵x 1≠x 2,k=1212x x y y --, ∴直线的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1). ∴l 的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1).① 当y 1≠y 2时,方程①可以写成121121x x x x y y y y --=--.② 由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x 1≠x 2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x 1≠x 2且y 1≠y 2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程.②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③引导学生注意分式的分母需满足的条件.④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.因为直线l 经过(a ，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得a a xb y --=--000.① 就是by a x +=1.② 注意：②这个方程形式对称、美观,其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距.因为方程②是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式.⑤注意到截距的定义，易知a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.讨论结果：①若x 1≠x 2且y 1≠y 2,则直线l 方程为121121x x x x y y y y --=--. ②当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1. ③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x 1≠x 2,y 1≠y 2). ④by a x +=1.⑤a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.（三）应用示例思路1例1 求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.变式训练已知Rt △ABC 的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程.答案：4x-3y+12=0.例2 如图1,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.图1活动:根据A 、B 、C 三点坐标的特征，求AB 所在的直线的方程应选用两点式；求BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求AC 所在的直线的方程应选用截距式.解：AB 所在直线的方程，由两点式,得 )5(3)5(030----=---x y ,即3x+8y+15=0. BC 所在直线的方程，由斜截式,得y=-35x+2,即5x+3y-6=0. AC 所在直线的方程，由截距式,得25y x +-=1,即2x-5y+10=0. 变式训练如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.图2活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴PQ ，MN ，x 轴，y 轴则不能用截距式，其中PQ ，MN 应选用斜截式；x 轴，y 轴的方程可以直接写出.解:因为|AB|=4，所以|OA|=|OB|=2224=.因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22,0)、(0,22)、(-22,0)、(0,-22).所以AB 所在直线的方程是2222yx+=1,即x+y-22=0.BC 所在直线的方程是2222y x+-=1,即x-y+22=0. CD 所在直线的方程是22722-+-x=1,即x+y+22=0.DA 所在直线的方程是22722-+x=1,即x-y-22=0.对称轴方程分别为x±y=0,x=0,y=0.思路2例1 已知△ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点.（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长;（3）求AB 边的高所在直线方程.解：（1）由两点式写方程,得121515+-+=---x y ，即6x-y+11=0. （2）设M 的坐标为（x 0,y 0），则由中点坐标公式,得x 0=242+-=1,y 0=231+-=1, 故M （1，1）,AM=22)51()11(-++=25.(3)因为直线AB 的斜率为k AB =2315+-+=-6，设AB 边上的高所在直线的斜率为k, 则有k×k AB =k×(-6)=-1,∴k=61. 所以AB 边高所在直线方程为y-3=61(x-4),即x-6y+14=0. 变式训练求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程.解：设直线方程为b y a x +=1,则由题意知,有21ab=3,∴ab=4. 解得a=4,b=1或a=1,b=4. 则直线方程是14y x +=1或41y x +=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0.例2 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.解：当截距为0时，设y=kx ，又过点A(1,2)，则得k=2，即y=2x.当截距不为0时，设ay a x +=1或a y a x -+=1,过点A(1,2)， 则得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.这样的直线有3条：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.变式训练过点A(-5,-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5.答案：2x-5y-10=0,8x-5y+20=0.（四）知能训练课本本节练习1、2、3.（五）拓展提升问题：把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a≤c≤b ，证明f(c)的近似值是f(a)+ab ac --［f(b)-f(a)］. 证明：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AC =k AB , 即ab a f b f ac c f c f --=--)()()()(. ∴f(c)-f(a)= a b a c --［f(b)-f(a)］,即f(c)=f(a)+ab ac --［f(b)-f(a)］. ∴f(c)的近似值是f(a)+a b a c --［f(b)-f(a)］.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家：掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.（七）作业课本习题3.2 A 组9、10.§3.2.3 直线的一般式方程（一）导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.(1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77y x +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.（二）推进新课、新知探究、提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线? ③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零.结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-BC ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA ，在y 轴上的截距为-BC 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-A C ，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式.注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6).化成一般式，得4x+3y-12=0.变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线? （2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交? （3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交? （4）系数满足什么条件时,是x 轴?（5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点,证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0. 答案：（1）C=0； （2）A≠0且B≠0； （3）B=0且C≠0； （4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上, ∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0. ∴A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________.答案：-32例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ①移项，去系数得斜截式y=2x＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6. 即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”. 变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程.答案：x+3y-3=0或x+2y=0. （四）知能训练课本本节练习1、２、３.（五）拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系； （2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练.（七）作业习题3.2 A 组11.。
直线系方程
所以直线恒过定点
7 , 5 2 2
例1.求证：无论m取何实数时，直线 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点， 并求出定点的坐标。
解法2：将方程变为：
x 3 y 11 m( x y 1) 0
解得： x 3 y 11 0
x
y
1
0
即：
过 7 , 5
3.过两直线2x y 8 0和x 2y 1 0的交点,
且平行于直线4 x - 3 y 7 0的直线是 : 4_x_-_3_y_-6_=0
4.过两直线y 2x 3和3x - y 2 0的交点,
且垂直于第一条直线的直线方程是 :x_+_2_y_-_1_1=0
四、一个二次方程表示 两条直线的问题:
高一数学 必修 2
第三章 直线的方程
一、直线系方程的概念
• 直线系： • 具有某种共同性质的所有直
线的集合.它的方程叫直线系 方程。
二、直线系方程的种类1:
1:与直线L：Ax+By+C=0平行的直线系方程 为：
Ax+By+m=0 （其中m≠C，m为待定系 数）；y
o x
直线系方程的种类2:
2:与直线L：Ax+By+C=0垂直的直线系方程为: Bx-Ay+m=0 （m为待定系数）.
2 2
方法小结：
若证明一条直线恒过定点或求一条直线必 过定点，通常有两种方法： 法一:分离系数法，即将原方程改变成： f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与 m的取值无关，故从而解出定点。
法二：从特殊到一般，先由其中的两条特 殊直线求出交点，再证明其余直线均过此 交点。
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
高一数学直线的一般式方程(2019)
1.点斜式方程： 2. 斜截式方程：
3. 两点式方程：
复习引入
1.点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点 (x0, y0)及斜率k存在)
2. 斜截式方程：y＝kx＋b [已知斜率k存在 及截距 b(与y轴交点(0, b)]
3. 两点式方程： y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
[已知两定点(不适合与x轴 或y轴垂直的直线)]
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以候神人於执期 ”於是王翦将兵六十万人 可不勉与 甘泉则作益延寿观 公子刻攻魏首垣 善赵将李齐 上怒曰：“纵以我为不复行此道乎 夺之权 恐其有变 甘心於外国 秋 明汉王之信於天下 威动万里 秦文公东猎汧渭之间 天子所以赏赐者数十巨万 掩定襄狱中重罪轻系二百馀人 为关内侯 命曰 “畤”；使人人奉职 秦昭王後悔出孟尝君 故令人谓韩王曰：“秦召西周君 交易有无之路通 左 转祸而说秦 今王头至 固以为常 取东周 如冠玉耳 居妫水北 以为十四县 监郯下军 婴已而试补县吏 置前 如此而魏亦关内侯矣 私家富重於王室 危亡之术也 今乃於毛先生而失之也 又阴痿 皆去其 业 自子夏 齐大夫黎鉏言於景公曰：“鲁用孔丘 灵公太子蒉聩得过南子 始皇七年 及薨 鄡单字子家 六月壬申 布衣也 鲁昭公之二十年 里中持羊酒贺两家 ”於是少女缇萦伤父之言 诏以为太子舍人、门大夫、家令 秦又攻其垒 其顺者乃治之 报乙卒 有如万分之一 以次问之 高后欲立诸吕为 王 轸自为厚而为王薄也 是吾不肖 尽取齐之宝藏器 五在中国 赵得全 而逐武王后出之魏 四十二年 而忍卖之乎 又可尽亨之邪 放怪兽 田乞伪事高、国者 拔五城 予百家居之 子定公臧立 同宇 自命也； 昭
高一数学直线方程的一般式
直线方程 Ax +By + C = 0 的系数A、B、 C 满足什么关系时,这条直线有以下性质：
A≠0 ，B =0 ；
B≠0 ，A = 0 ； B≠0 ，A = C= 0 ； A≠0 ，B = C = 0 .
4. 是x 轴所在直线；
5. 是y 轴所在直线.
小结:
知道直线方程的一般式及由一般式化其它形式， 及求斜率，截距等
2、直线与二元一次方程的关系
探究1:方程Ax+By+C=0总可以表示直线吗? 根据斜率存在,不存在即B为0,或不为0进行分类
对于方程Ax+By+C=0
A C 当B 0时, 方程可以化为y - x - , B B 这是直线方程的斜截式,
A C 表示斜率为 - , 截距是 - 的直线, B B 当B 0时, 方程Ax By C 0化为Ax C 0,
例2、把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率及它在x轴与y轴上的截距
y
解： 由 x 2 y 6 0 1 y x3 有 2 1 故 l 的斜率 k
2
B(0,3)
A(6,0)
纵截距为3 令y 0则
0
x
x 6
即横截距为－6
所以………
思考
1. 与两条坐标轴都相交； AB≠0 2. 只与x 轴相交； 3. 只与 y 轴相交；
C 因为A.B不全为0, 所以A 0方程化为x - , A 表示垂直于x轴的直线, 即斜率不存在的直线
结论:当A.B不全为0的时候,方程Ax+By+C=0表示直线, 可以表示平面内的任何一条直线
探究2
在平面直角坐标系中，对于任意一条直线都可以
高一直线和圆的方程知识点
高一直线和圆的方程知识点在高中数学课程中，直线和圆是两个基本的几何图形。
了解和掌握直线和圆的方程知识点，对于解决几何问题和理解数学概念都非常重要。
本文将介绍高一直线和圆的方程知识点，并通过具体的例子来说明。
一、直线的方程直线是平面上一组点的集合，可以通过不同的方式来表示其方程。
在高一数学中，主要学习两种直线方程：截距式和一般式。
1. 截距式方程截距式方程由直线在坐标轴上的截距表示。
这个方程的形式为：x/a + y/b = 1。
其中a和b分别是直线在x轴和y轴上的截距。
通过截距式方程，我们可以直观地了解直线在坐标轴上的截距情况，进而确定直线的位置。
例如，一条直线在x轴上截距为2，在y轴上截距为3，那么它的截距式方程为x/2 + y/3 = 1。
通过这个方程，我们可以知道直线与x轴和y轴的交点分别为(2,0)和(0,3)，并且研究直线的斜率等性质。
2. 一般式方程一般式方程是直线的一种标准表示形式。
它的一般形式为Ax + By + C = 0。
其中A、B和C是常数，A和B不能同时为0。
通过一般式方程，我们可以进行一些直线的运算和性质的验证。
例如，一条直线的一般式方程为2x - 3y + 4 = 0。
通过这个方程，可以得到直线的斜率为2/3，根据斜率的正负以及与坐标轴的交点可以判断直线在平面上的位置。
二、圆的方程圆是平面上一组等距离于圆心的点的集合，圆的方程也有多种形式。
在高一数学中，主要学习直径式和一般式两种圆的方程。
1. 直径式方程直径式方程是圆的一种直观表示方法，通过圆心和半径来表达圆的性质和位置。
直径式方程的一般形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²。
其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径的长度。
例如，一个以坐标原点为圆心，半径为5的圆的直径式方程为：x²+ y² = 25。
通过这个方程，可以得知圆与坐标轴的交点和圆在平面上的位置。
高一数学直线与圆的方程斜率
高一数学直线与圆的方程斜率
高一数学学习中，直线和圆的方程和斜率是学生们首要需要掌握
的概念，而正确地理解和掌握直线和圆的方程以及斜率是做好这一知
识点的关键。
本文将围绕这一主题，为大家详细讲解。
一、直线方程
首先，在学习直线方程时，我们需要知道两个点式方程：
1.点斜式方程
点斜式方程：y-y1=k(x-x1)
其中，(x1,y1)为通过的点，k为直线的斜率。
2.斜截式方程
斜截式方程：y=kx+b
其中k为斜率，b为直线在y轴上的截距。
明白了这两个方程，我们就可以很轻松的求出一个平面直角坐标
系上的直线方程了。
二、直线斜率
斜率是直线方程的核心，是求解直线的必要工具。
如果我们已知直线
上两个点(x1,y1),(x2,y2)，那么直线的斜率k可以通过以下公式求出：k=(y2-y1)/(x2-x1)
三、圆方程
圆方程包括三种表示方式：
1.标准式
标准式：(x-a)²+(y-b)²=r²
其中(a,b)表示圆心坐标，r为圆的半径。
2.一般式
一般式：x²+y²+Dx+Ey+F=0
其中D、E、F为常数，需要根据给定的条件求得。
3.截距式
截距式: x²+y²-2ax-2by+c=0
其中a、b、c均为常数
四、总结
正确掌握直线和圆的方程以及斜率，是高中数学学习中的重要环节。
熟练掌握这些知识点，能够较方便地解决各种直线和圆相关的问题。
在学习过程中，掌握上述方法，理解各项定义，牢记公式，多做习题，是正确掌握直线和圆的方程以及斜率的关键。
高一数学直线的一般式方程
思维拓展
拓展2：已知直线l1、l2分别是 l1: A1x＋B1y＋C1＝0(A1、B1不同时为0)， l2: A2x＋B2y＋C2＝0(A2、B2不同时为0)， 且A1A2＋B1B2＝0，求证: l1⊥l2.
思维拓展
拓展3：已知直线l1、l2分别是 l1: A1x＋B1y＋C1＝0(A1、B1不同时为0)， l2: A2x＋B2y＋C2＝0(A2、B2不同时为0)， 若l1 //l2, 则A1、B1、C1、A2、B2、C2间应 满足怎样的关系？
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表 示吗？ 2. 每一个关于x、y的二元一次方程都表 示一条直线吗？ 3. 直线的一般式方程是什么？
例1.已知直线经过点A(6, －4), 斜率为 4 , 3
求直线的点斜式和一般式方程.
l1⊥ l2k1·k2 ＝－1.
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表 示吗？
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表 示吗？ 2. 每一个关于x、y的二元一次方程都表 示一条直线吗？
课堂小结
1. 直线方程常见的几种形式. 2. 比较各种直线方程的形式特点和适
用范围. 3. 求直线方程应具有多少个条件？ 4. 学习本节用到了哪些数学思想方法？ 5. 二元一次方程的每一个解与坐标平
面的中点有什么关系？直线与二元 一次方程的解之间有什么关系？
课后作业
1. 阅读教材P.97到P.99； 2. 《习案》二十一.
高一数学直线方程
二、直线的倾斜角与斜率：
倾斜角不是90º的直线,它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率,常用 k 表示.
二、直线的倾斜角与斜率：
在平面直角坐标第中，对于一条与x轴 相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角 记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线与x轴平行或重合时，我们规定 直线的倾斜角为0º。
直线的倾斜角和斜率 （一）
一、直线方程的概念：
以一个方程的解为坐标的点都是某条 直线上的点，反过来，这条直线上的点的 坐标都是这个方程的解，这时，这个方程 就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这 个方程的直线。
二、直线的倾斜角与斜率：
在平面直角坐标第中，对于一条与x轴 相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角 记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
根据定义，我们可以得到倾斜角的取值 范围是0º ≦ α <180º.
倾斜角不是90º的直线,它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率,常用 k 表示.
三、斜率公式：
经过两点P1（x1，y1）P（x2，y2）的直线 的斜率公式。
y P2
P P1
α
α
O
x
y P2 P
α
P1 α
O
x
Байду номын сангаас、斜率公式：
经过两点P1（x1，y1）P（x2，y2） 的直线的斜率公式：
当直线与x轴平行或重合时，我们规定 直线的倾斜角为0º。
二、直线的倾斜角与斜率：
在平面直角坐标第中，对于一条与x轴 相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角 记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
高一数学直线的一般式方程
例2.把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0 化成斜截式，求出直线l的斜率以及它 在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
例2.把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0 化成斜截式，求出直线l的斜率以及它 在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
练习.教材P.99-P.100练习第1、2题.
思维拓展
复习引入
4. 截距式方程：
x y 1 ab
[已知截距a(与x轴交点(a,0))及截距b(与y轴
交点(0, b))不适合过原点的直线]
5. 一般式方程： Ax＋By＋C＝0 (A、B不同时为0)
特别的，l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2， 则 l1 //l2 k1＝k2，且b1≠b2；
3.2.3直线的一般 式方程
主讲教师：
复习引入
1.点斜式方程： 2. 斜截式方程：
3. 两点式方程：
复习引入
1.点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点 (x0, y0)及斜率k存在)
2. 斜截式方程：y＝kx＋b [已知斜率k存在 及截距 b(与y轴交点(0, b)]
3. 两点式方程： y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
l1⊥ l2k1·k2 ＝－1.
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表 示吗？
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表 示吗？ 2. 每一个关于x、y的二元一次方程都表 示一条直线吗？
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
高一数学直线的方程知识点
高一数学直线的方程知识点数学是一门抽象而又实用的学科，而直线是数学中最基本的几何图形之一。
在高中数学中，我们学习直线的方程，掌握直线的性质和特点，对于理解和应用数学有着重要的意义。
本文将为大家介绍高一数学中直线的方程的知识点。
1. 一般式方程直线的一般式方程是Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为零。
这种形式的方程可以通过化简和类推解出直线的斜率和截距。
2. 斜截式方程直线的斜截式方程是y = kx + b，其中k是斜率，b是截距。
斜截式方程可以直观地表示直线在坐标平面上的位置和特点。
斜截式方程和一般式方程之间可以相互转换，通过斜率和截距可以表示直线的特征。
3. 点斜式方程直线的点斜式方程是y - y₁ = k(x - x₁)，其中（x₁，y₁）是直线上一点的坐标，k是斜率。
点斜式方程可以通过给定直线上一点和斜率来确定直线的方程。
同样，点斜式方程和一般式方程之间可以相互转换，通过斜率和已知点可以表示直线的方程。
4. 两点式方程直线的两点式方程是(x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁)，其中（x₁，y₁）和（x₂，y₂）是直线上的两个不同点。
两点式方程通过两个已知点来确定直线的方程。
可以根据两点式方程将其转化为其他形式的方程。
除了上述常见的直线方程形式之外，我们还会遇到一些特殊的直线方程，如平行于坐标轴的直线方程和垂直于坐标轴的直线方程。
对于平行于x轴（y轴）的直线，其斜率为0，所以斜截式方程为y = b（x = a），其中b（a）为常数。
对于垂直于x轴（y轴）的直线，其斜率不存在，所以方程形式为x = a（y = b），其中a （b）为常数。
在应用直线方程解决问题时，我们需要根据具体情况选择最适合的方程形式。
例如，如果我们已知直线上两点，就可使用两点式方程；如果我们已知直线的斜率和截距，就可使用斜截式方程。
选择适当的方程形式能够简化计算，提高解题效率。
高一数学直线的一般式方程
苏东坡怎么会写给海棠？诗人居然也会偏心！我总是认为，一切好的诗句都是要给梅花的。红梅、粉梅、绿梅、白梅。从颜色上分，南京梅花山上好像只有这四种。中国人干什么事情都喜欢排座次，去厕所也是领导雄赳赳在先。《水浒》中一百单八个英雄居然个个都排到，一排一排前前后后地
坐，就是不肯大家都坐一排或混坐，混坐其实最平等，我喜欢到大澡堂洗澡便如此，大家欢欢喜喜赤诚相见，管他谁长谁短！再说到梅花，你就无法排座次，红、白、粉、绿我认为都好，各有各的风韵。梅花是，全开的时候好，半开的时候也好，各有各的好。梅花开得时候，小小的花苞从米粒
还有就是陆放翁，他的多少好诗我都要放在一边，早上起来在南窗下习字，常常一动笔就写他那首《卜算子·咏梅》，说到习字，不是帖子和修养让我收敛且沉静，只是这首放翁的词让我一点点不敢张扬。尝见有人用草书飞扬跋扈地写这首著名的词作，心上便有些难过，那飞扬的草书只好去写
岳飞的《满江红》。陆放翁的梅花开在黄昏时分的驿站外，那桥既然已经断掉，而且又无人去修，其寂寞可以想见，这首词是静，是孤独的徘徊，是极慢的拍子，一拍、一拍、一拍、一拍，和草书有什么关系？ ? 北方没有梅，这就让人觉着北方真是不像话！好事怎么非得都让南方占尽？比如竹
自珍生气的梅桩盆景，盆景梅花毕竟是盆景，一个人面对一盆梅花，不知是人在那里孤芳自赏还是梅在孤芳自赏？反过来说一句，真不知孤芳自赏的是人还是梅？梅花的香，细究起来，之所以让人觉着特别的香，问题在于这时候除了梅花确实还没有其它的花，既无花，何谈香哉？所以梅的香是
只此一家，别无分店！各种的梅里，我最喜欢的是白梅，当然最好是绿萼，开起来让人觉着有无限的春意在里边。朱砂梅固然好，但是太热闹，太热闹的东西我总是不太喜欢。除非是和朋友在一起喝酒，喝酒要的就是热闹！斯斯文文喝酒叫喝酒吗？我不太喜欢红梅，但每每想起《红楼梦》中宝
高一数学复习考点知识专题讲解5---直线的一般式方程
高一数学复习考点知识专题讲解直线的一般式方程学习目标 1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一直线的一般式方程关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．思考平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？答案都可以，原因如下：(1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.知识点二直线的五种形式的方程形式方程局限点斜式y－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直线斜截式y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1x1≠x2，y1≠y2截距式xa＋yb＝1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0无思考 当A ＝0或B ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0分别表示什么样的直线？ 答案 (1)若A ＝0，此时B ≠0，方程化为y ＝－CB ，表示与y 轴垂直的一条直线．(2)若B ＝0，此时A ≠0，方程化为x ＝－CA ，表示与x 轴垂直的一条直线．知识点三 直线各种形式方程的互化1．任何直线方程都能表示为一般式．( √ )2．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( × )3．对于二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0，当A ＝0，B ≠0时，方程表示斜率不存在的直线．( × ) 4．当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0也可表示为一条直线．( × )一、直线的一般式方程例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)经过点A (－1,5)，B (2，－1)两点； (3)在x 轴，y 轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B (4,2)，且平行于x 轴．解 (1)由点斜式，得直线方程为y －3＝3(x －5)，即3x －y －53＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)， 即2x ＋y －3＝0.(3)由截距式，得直线方程为x －3＋y－1＝1， 即x ＋3y ＋3＝0. (4)y －2＝0.反思感悟 求直线一般式方程的策略在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．跟踪训练1 (1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． ①斜率是－12，且经过点A (8，－6)的直线方程为________________；②在x 轴和y 轴上的截距分别是32和－3的直线方程为________________；③经过点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)的直线方程为________________． 答案 ①x ＋2y ＋4＝0 ②2x －y －3＝0 ③x ＋y －1＝0(2)直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点A 按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．x －2y －4＝0 D ．x ＋2y ＋4＝0 答案 D解析 直线2x －y －2＝0与y 轴的交点为A (0，－2)， ∵所求直线过点A 且斜率为－12，∴所求直线的方程为y ＋2＝－12x ，即x ＋2y ＋4＝0.二、直线的一般式方程的应用例2 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)已知直线l 在x 轴上的截距为－3，求m 的值； (2)已知直线l 的斜率为1，求m 的值．解 (1)由题意知m 2－2m －3≠0，即m ≠3且m ≠－1，令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)．∴m ＝－53.(2)由题意知，2m 2＋m －1≠0，即m ≠12且m ≠－1.由直线l 化为斜截式方程 得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1， 得m ＝－2或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝－2. 延伸探究对于本例中的直线l 的方程，若直线l 与y 轴平行，求m 的值． 解 ∵直线l 与y 轴平行， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，－(2m 2＋m －1)＝0，6－2m ≠0，∴m ＝12.反思感悟 含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程要注意验根．跟踪训练2 (1)若直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a ＝________.答案 1解析 由题意知a ≠0，当x ＝0时，y ＝2； 当y ＝0时，x ＝2a ，∵2＝2a，∴a ＝1.(2)已知(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0为直线l 的方程，求证：不论k 取何实数，直线l 必过定点，并求出这个定点的坐标．解 整理直线l 的方程得(x ＋y )＋k (x －y －2)＝0.无论k 取何值，该式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.所以直线l 经过定点M (1，－1)．一般式下直线的平行与垂直的问题典例 已知直线l 1：3x ＋(m ＋1)y －6＝0，l 2：mx ＋2y －(m ＋2)＝0，分别求满足下列条件的m 的值． (1)l 1⊥l 2；(2)l 1∥l 2.解 (1)∵l 1⊥l 2，∴3×m ＋(m ＋1)×2＝0， ∴m ＝－25.(2)∵l 1∥l 2，∴3×2＝m ×(m ＋1)， ∴m ＝－3或m ＝2， 当m ＝－3时，l 1∥l 2；当m ＝2时，l 1与l 2重合，不符合题意，舍去． ∴m ＝－3.[素养提升](1)一般式下，两直线平行与垂直的判定如下：设直线l 1与l 2的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－A 2C 1≠0.l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(2)对于这类题目既要借助图形，更要选择运算方法，通过计算，确定结果，所以突出考查直观想象与数学运算的数学核心素养．1．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12 答案 C2．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 答案 C解析 直线斜率k ＝－33，所以倾斜角为150°，故选C. 3．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A ，B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0 答案 D解析 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A ，B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 4．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有直线都恒过点( ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1) 答案 C解析 kx －y ＋1－3k ＝0可化为y －1＝k (x －3)，所以直线过定点(3,1)．5．若直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角是45°，则实数m 的值是________． 答案 3解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，m 2－4≠0，∴m ＝3.1．知识清单： (1)直线的一般式方程． (2)直线五种形式方程的互化．(3)利用直线方程判定直线的平行与垂直． 2．方法归纳：分类讨论法、化归转化．3．常见误区：忽视直线斜率不存在情况；忽视两直线重合情况．1．过点(2,1)，斜率k ＝－2的直线方程为( ) A ．x －1＝－2(y －2) B ．2x ＋y －1＝0 C ．y －2＝－2(x －1) D ．2x ＋y －5＝0 答案 D解析 根据直线方程的点斜式可得，y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0. 2．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0 答案 A解析 过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线的斜率为12，由点斜式求得直线的方程为y －3＝12(x －2)，化简可得x －2y ＋4＝0，故选A.3．直线3x －2y －4＝0的截距式方程是( ) A.3x 4－y 2＝1 B.x 43＋y－2＝1 C.x 13－y 12＝4 D.34x －y－2＝1 答案 B解析 由3x －2y －4＝0，得3x －2y ＝4，即34x －24y ＝1 , 即x 43＋y－2＝1，所以直线的截距式方程为x 43＋y－2＝1.4．已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋2＝0与l 2：x ＋ay ＋1＝0平行，则实数a 的值为( ) A ．－1或2 B ．0或2 C ．2 D ．－1 答案 D解析 由l 1∥l 2知，a ×a ＝1×(a ＋2)，即a 2－a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，l 1与l 2重合，不符合题意，舍去； 当a ＝－1时，l 1∥l 2. ∴a ＝－1.5．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－1 B.3，－1 C ．－3，1 D.3，1 答案 A解析 原方程化为x 1a ＋y1b＝1，∴1b＝－1，∴b ＝－1. 又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－ab ＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°， ∴k ＝tan 120°＝－3，∴a ＝－3，故选A.6．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________． 答案 2x －y ＋1＝0解析 由y －3＝2(x －1)得2x －y ＋1＝0.7．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________． 答案 －415解析 把(3,0)代入已知方程，得(a ＋2)×3－2a ＝0， ∴a ＝－6，∴直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0， 令x ＝0，得y ＝－415.8．若直线l 过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l 的斜率k ＝________. 答案 －1或3解析 直线l 经过原点时，可得斜率k ＝3.直线不经过原点时，直线l 过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等， ∴经过点(a ，0)，(0，a )．(a ≠0)． ∴k ＝－1.综上可得，直线l 的斜率k ＝－1或3.9．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求直线l ′的一般式方程，l ′满足： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解 方法一由题意l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)由l ′与l 平行， ∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 将点(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设其方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线方程为4x －3y ＋13＝0.10．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0. (1)若这两条直线垂直，求k 的值； (2)若这两条直线平行，求k 的值．解 (1)根据题意，得(k －3)×2(k －3)＋(4－k )×(－2)＝0， 解得k ＝5±52.∴若这两条直线垂直，则k ＝5±52. (2)根据题意，得(k －3)×(－2)－2(k －3)×(4－k )＝0， 解得k ＝3或k ＝5.经检验，均符合题意．∴若这两条直线平行，则k ＝3或k ＝5.11．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎝⎛⎭⎫π2，πD.⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 D解析 ∵k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k <0. 所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.12．两条直线mx ＋y －n ＝0和x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( )A ．m ＝1B ．m ＝±1C.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1D.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1 答案 D解析 令m ×m ＝1×1，得m ＝±1.当m ＝1时，要使x ＋y －n ＝0与x ＋y ＋1＝0平行，需n ≠－1.当m ＝－1时，要使－x ＋y －n ＝0与x －y ＋1＝0平行，需n ≠1.13．直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( )A ．(3,2)B ．(－3,2)C ．(－3，－2)D ．(3，－2)答案 A解析 由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3)，所以直线必过点(3,2)．14．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l 的方程为______________．答案 4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0解析 由题意可设与直线3x －4y －7＝0垂直的直线的方程为4x ＋3y ＋c ＝0(c ≠0)，令y ＝0，得x ＝－c 4， 令x ＝0，得y ＝－c 3， 则S ＝12⎪⎪⎪⎪－c 4·⎪⎪⎪⎪－c 3＝6， 得c 2＝122，c ＝±12，∴直线l 的方程为4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0.15．(多选)若直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1C ．－2 D. 2答案 BD解析 当直线ax ＋y －2－a ＝0过原点时，可得a ＝－2.当直线ax ＋y －2－a ＝0不过原点时，由题意知，当a ＝0时，直线l 与x 轴无交点，当a ≠0时，直线l 在x 轴上的截距为2＋a a， 与在y 轴上的截距2＋a 相等，可得2＋a a＝2＋a ，解得a ＝1或a ＝－2(舍)． 综上知，a ＝－2或1.所以直线l 的斜率为－1或2.16．已知在△ABC 中，点A 的坐标为(1,3)，AB ，AC 边上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1＝0和y －1＝0，求△ABC 各边所在直线的方程．解 设AB ，AC 边上的中线分别为CD ，BE ，其中D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∵点B 在中线y －1＝0上，∴设B 点坐标为(x ，1)．又∵A 点坐标为(1,3)，D 为AB 的中点，∴由中点坐标公式得D 点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，2.又∵点D 在中线x －2y ＋1＝0上，∴x ＋12－2×2＋1＝0，解得x ＝5， ∴B 点坐标为(5,1)．同理可求出C 点的坐标是(－3，－1)．故可求出△ABC 三边AB ，BC ，AC 所在直线的方程分别为x ＋2y －7＝0，x －4y －1＝0和x －y ＋2＝0.。
高一数学直线的一般式方程
(D) A·B<0,A·C<0
2、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且 │PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则 直线PB的方程是( )
A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0
C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
例3、设直线l的方程为 （m2-2m-3)x+（2m2+m-1)y=2m-6，根据下列
条件确定m的值： （1）l在x轴上的截距是-3；
（2）斜率是-1.
例题分析
例4、利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且 与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程.
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阳镜,叶静云奇怪の说："你们看,在那壹块地区上,有壹块黑色の区域,难道那混蛋藏在那壹带?""只是那壹块,壹,本,读,比较广,咱们如何寻找?"晴文婷并不是太乐观.姑素纤纤说："可以先到那壹块地方去,距离咱们也就三万多里,到了之后再用还阳镜试壹试."众美是头壹回,参与如此重 大の行动,替米晴雪报仇,要去诛杀圣人,这绝对是惊天骇俗の事情."纤纤说得有道理,咱们走."根汉语气不冷不热,直接收起还阳镜,率先往还阳镜上显示の那块黑色区域去了.众美立即跟了上去,姑素纤纤是最后壹个走の,不知道她在想什么,眉宇之间闪过了壹丝喜色.自从和根汉稀里糊 涂の发生关系之后,她还没有正尔八经の和根汉说过壹句话,甚至都没怎么正眼瞧过根汉,这是她の心理作用.也是她自尊心强の体现,和根汉发生关系后,她有些无法接受,不想接受自己已经成为女人の现实.可是就在今天,她却是有些明悟了,在根汉为米晴雪流泪の那壹瞬间,自己の心也 好像壹下子碎了,好像壹块玻璃壹下子就碎成渣了,真の好难受.根汉要去屠圣,她也义不反顾の跟了来了,壹丝都没有
高一直线方程知识点
高一直线方程知识点直线方程是高中数学中的重要内容之一，它在几何图形的研究以及解决实际问题中起着重要的作用。
本文将介绍高一阶段涉及的直线方程知识点，涵盖了一元一次方程、点斜式、两点式和截距式四种形式。
一、一元一次方程一元一次方程是最简单的直线方程形式，也是了解直线方程的基础。
一元一次方程的一般形式为y = kx + b，其中k和b为实数常数。
其中，k表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。
通过给定的斜率k和截距b，我们可以画出对应的直线。
例如，当k = 2，b = 3时，直线的方程为y = 2x + 3。
这条直线的斜率为2，截距为3，表示一种矢量在平面上的运动轨迹。
二、点斜式点斜式是一种常用的直线方程形式，它利用直线上的一个点和直线的斜率来确定直线方程。
点斜式的一般形式为y - y₁ = k(x -x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率。
通过给定的点(x₁, y₁)和斜率k，我们可以构造出直线的方程。
例如，当直线上的一点为(2, 4)，斜率为3时，直线的方程为y - 4= 3(x - 2)。
这条直线通过点(2, 4)，斜率为3。
三、两点式两点式是利用直线上的两个点来确定直线方程的形式。
两点式的一般形式为(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个点的坐标。
通过已知的两个点的坐标(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，我们可以建立直线的方程。
例如，当直线上的两个点为(3, 1)和(5, 4)时，直线的方程为(y - 1)/(4 - 1) = (x - 3)/(5 - 3)。
这条直线通过点(3, 1)和(5, 4)。
四、截距式截距式是直线方程的另一种表示形式，它利用直线与x轴和y 轴的截距值来确定直线方程。
截距式的一般形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别为直线与x轴和y轴的截距。
通过给定的截距值a和b，我们可以写出直线的方程。
高一数学直线方程
二、直线的倾斜角与斜率：
倾斜角不是90º 的直线,它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率,常用 k 表示.
二、直线的倾斜角与斜率：
在平面直角坐标第中，对于一条与x轴 相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角 记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线与x轴平行或重合时，我们规定 直线的倾斜角为0º 。 根据定义，我们可以得到倾斜角的取值 范围是0º ≦ α <180º . 倾斜角不是90º 的直线,它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率,常用 k 表示.
就在刚刚,它爆炸给予叶甫根尼很大震撼,他知道两个女孩冲的太靠前,心里忧心忡忡.那番,他有看到它两个熟悉的身影,女孩子们还在战斗,顿时一颗悬着的心放下. 叶甫根尼知道队伍的冲锋已经刹不住闸,再者敌人的重炮再次装填有几十秒的间隔,那几十秒只怕就是部队的最后机会.他高呼 着口号,率领后续部队,以身先士卒的姿态奋勇冲锋. 战士们的士气被再次鼓舞,加上狙击手的掩护,冲锋继续. ------------ 第一百零七章 攻占教堂 战士们前赴后继的冲锋,他们势如破竹,已经全然不顾地上横七竖八的碎尸,还有燃烧的火焰. 李桃和娜塔莎趴在伞兵坑里,她们的小心脏还 在急速的跳着,以至于娜塔莎亲自瞄准的时候,狙击镜中的准星都晃动的厉害. 因为双手在下意识的都懂,娜塔莎硬着头皮的射击,弹着点都在敌人掩体的沙袋上. 一发不中,二发不中,到了第五发了,还是没有个满意的结果.李桃注意到她额头的酣睡,不由的为之担忧."干脆,让我试试吧." "好 吧！"娜塔莎自诩是很沉稳的狙击手,她自己都难以相信现在的自己怎么会那么紧张.那个借坡下驴的机会岂能错过,步枪也就爽快的送到李桃那里. 李桃接过步枪,又给调整了一下望远镜的焦距,目标就是敌人正在射击的步兵,他们的钢盔就是很好的
高一数学直线方程知识点归纳及典型例题
直线的一般式方程及综合 【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表 示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题 . 【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x 和y 的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A 、B 不全为零)叫做直线方程的一般式． 要点诠释：1．A 、B 不全为零才能表示一条直线，假设 A 、B 全为零那么不能表示一条直线 .当B ≠0时，方程可变形为yA xC，它表示过点 0, C，斜率为A的直线．BBBB当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即xC x 轴垂直的直线． ，它表示一条与A由上可知，关于 x 、y 的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于 x 、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于 x 、y 的一次方程〔如斜率为 2，在y 轴上的截距为 1的直线，其方程可以是2x―y+1=0， 也可以是x 1y 1 0，还可以是4x―2y+2=0等．〕2 2要点二：直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表：名称 方程的形式 常数的几何意义适用范围点斜式y―y 1=k(x―x 1) 〔x1，y1〕是直线上一定点， k 是斜率 不垂直于x 轴斜截式y=kx+b k 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不垂直于x 轴两点式y y 1 x x 1 〔x1，y1〕，〔x2，y2〕是直线上两定点 不垂直于x 轴和y 轴y 2 y 1 x 2 x 1截距式x y a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直 不垂直于x 轴和y 轴，a 1 线在y 轴上的非零截距b 且不过原点 一般式 Ax+By+C=0〔A 2+B 2≠0〕 A 、B 、C 为系数任何位置的直线要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要 求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多〔x 1≠x 2，y 1≠y 2〕，应用时假设采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零〞这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．假设一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 要点三：直线方程的综合应用1．所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．1〕从斜截式考虑直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2,l1//l212k1k2(b1b2)；l1l2tan cot 1k1k2112212k1k2于是与直线y kx b平行的直线可以设为y kx b1；垂直的直线可以设为y1x b2．〔2〕从一般式考虑：kl1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20l1l2A1A2B1B20l1//l2A1B2A2B10且A1C2A2C10或B1C2B2C10，记忆式〔A1B1C1〕A2B2C2 l1与l2重合，A1B2A2B10，A1C2A2C10，B1C2B2C10于是与直线Ax ByC0平行的直线可以设为AxByD0；垂直的直线可以设为BxAyD0.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据以下条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．〔1〕斜率是1，经过点A〔8，―2〕；2〔2〕经过点B〔4，2〕，平行于x轴；〔3〕在x轴和y轴上的截距分别是3，―3；2〔4〕经过两点P1〔3，―2〕，P2〔5，―4〕．【答案】〔1〕x+2y―4=0〔2〕y―2=0〔3〕2x―y―3=0〔4〕x y10【解析】〔1〕由点斜式方程得y(2)1(x8)，化成一般式得x+2y―4=0．2〔2〕由斜截式得y=2，化为一般式得y―2=0．〔3〕由截距式得x y1，化成一般式得2x―y―3=0．332〔4〕由两点式得y2x3，化成一般式方程为xy10．4 (2) 53【总结升华】此题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式 1】直线 l 经过点B(3,1)，且倾斜角是30 ，求直线的点斜式方程和一般式方程.【答案】y13(x 3) 3x 3y33 33【解析】因为直线倾斜角是30 ，所以直线的斜率 ktantan303 ，所以直线的点斜式方程3为：y13(x3)，化成一般式方程为：3x 3y3330 .3例2．ABC 的一个顶点为A(1, 4)，B 、C 的平分线在直线y1 0和xy10上，求直线BC 的方程. 【答案】x 2y 3【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得 A 点关于B 的平分线的对称点A '在BC 上，B 点关于C 的平分线的对称点B ' 也在BC 上．写出直线A 'B '的方程，即为直线BC 的方程. 例3．求与直线3x+4y+1=0平行且过点〔1，2〕的直线l 的方程．【答案】3x+4y ―11=0 【解析】 解法一：设直线l 的斜率为k ，∵l 与直线3x+4y+1=0平行，∴k3 ．4又∵l 经过点〔1，2〕，可得所求直线方程为y23(x1)，即3x+4y ―11=0．4解法二：设与直线3x+4y+1=0平行的直线l 的方程为3x+4y+m=0，l 经过点〔1，2〕，∴3×1+4×2+m=0，解得m=―11．∴所求直线方程为3x+4y ―11=0．【总结升华】〔1〕一般地，直线Ax+By+C=0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0，这是常采用的解题技巧．我们称Ax+By+m=0是与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程．参数m 可以取m ≠C 的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线．当m=C 时，Ax+By+m=0 与Ax+By+C=0重合． 〔2〕一般地，经过点 A 〔x 0，y 0〕，且与直线 Ax+By+C=0平行的直线方程为 A(x ―x 0)+B(y ―y 0)=0． 3〕类似地有：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx ―Ay+m=0〔A ，B 不同时为零〕．举一反三： 【变式1】直线 l 1：3mx+8y+3m-10=0和l 2：x+6my-4=0.问m 为何值时:〔1〕l 1与l 2平行〔2〕l 1与l 2垂直.【答案】〔1〕m2 〔2〕m03【解析】当m0时，l 1：8y-10=0；l 2：x-4=0，l 1l 2当m0时，l 1：y3m 10 3m：y 1x4x 8 ；l 26m86m由3m 1 ，得m 2 ，由 10 3m 4 得m 2或88 6m 38 6m 3 3 而(3m )( 1) 1无解86m2综上所述〔1〕m，l 1与l 2平行．〔2〕m0，l 1与l 2垂直．3【变式2】求经过点A 〔2，1〕，且与直线2x+y ―10=0垂直的直线l 的方程． 【答案】x －2y=0【解析】因为直线l 与直线2x+y ―10=0垂直，可设直线l 的方程为x 2ym0，把点A 〔2，1〕代入直线l 的方程得：m0，所以直线l 的方程为：x －2y=0．类型二：直线与坐标轴形成三角形问题例4．直线l 的倾斜角的正弦值为3，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．5【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在 y 轴上的截距b ，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6，便可求出b ．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6，设截距式直线方程，从而得出1|ab|6，再根据它的斜率，从而得到关于a ，b 的方程组，解之即可．3x2 3x【答案】y3 或y344【解析】解法一：设l 的倾斜角为，由sin3 3，得tan．354 4设l 的方程为yx b ，令y=0，得x4 b ．3∴直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为4 ，〔0，b 〕．b,031 4 2b2 2=9，∴b=±3．∴Sb|b| 36，即b23故所求的直线方程分别为y3x 3或y 3x 3．44解法二：设直线l 的方程为xy 1，倾斜角为 ，由sin3 ，得tan3 ．ab5416|a||b|a 4∴23 ，解得．b b3a 4故所求的直线方程为x y 1或xy 1．4 3 43【总结升华】〔1〕本例中，由于直线的倾斜角〔与斜率有关〕及直线与坐标轴围成的三角形的面积〔与截距有关〕，因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法〞之说．〔2〕在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距；截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．举一反三：【变式1】〔2021春启东市期中〕直线m ：2x ―y ―3=0，n ：x +y ―3=0．〔1〕求过两直线m ，n 交点且与直线l ：x +2y ―1=0平行的直线方程；〔2〕求过两直线m ，n 交点且与两坐标轴围成面积为 4的直线方程． 【思路点拨】〔1〕求过两直线 ， n 交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l ：+2―1=0 mxy 平行的直线方程；2〕设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．【答案】〔1〕x +2y ―4=0；〔2〕2x y 3 0x 2 【解析】〔1〕由y3 ，解得y，x 01即两直线m ，n 交点坐标为〔 2，1〕，设与直线l ：x +2y ―1=0平行的直线方程为 x +2y +c =0，那么2+2×1+c =0，解得c =―4， 那么对应的直线方程为x +2y ―4=0；〔2〕设过〔2，1〕的直线斜率为k ，〔k ≠0〕，那么对应的直线方程为y ―1=k (x ―2)， 令x =0，y =1―2k ，即与y 轴的交点坐标为A 〔0，1―2k 〕令y =0，那么x 2 1 2k 1 ，即与x 轴的交点坐标为 B(2k 1,0)，k kk那么△AOB 的面积S1 |2k1||12k|4，2 k即(2k 1)2 8k ，即4k 24k 8k1 0，假设k ＞0，那么方程等价为4k 212k10，解得k3 2 2或k 3 2222 ，假设k ＜0，那么方程等价为 4k 24k 1 0，解得k1 ．2综上直线的方程为y11(x2) ，或y13 22(x2)，或y1322(x2)222即y1x 2，或y3 223 222x222，或y2x2222类型三：直线方程的实际应用例6．〔2021春湖北期末〕光线从点 A 〔2，3〕射出，假设镜面的位置在直线 l ：x +y +1=0上，反射光线经过 〔1，1〕，求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从 A 到 B 所走过的路线长．B【思路点拨】求出点A 关于l 的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光线方程，可求光线从 A 到B 所走过的路线长．【答案】41【解析】设点A 关于 l的对称点 ＇〔 0，y〕，A xx 0 2 y 0 31 0x 0 4∵＇被l 垂直平分，∴22，解得AAy 0 3y 031x 02∵点A ＇〔―4，―3〕，B 〔1，1〕在反射光线所在直线上，∴反射光线的方程为y 3 x4，即4 ―5+1=0，1 3 1 4x y4x 5y 1 0( 2,1)． 解方程组 x y1 0 得入射点的坐标为3 3y 1x 2由入射点及点 A 的坐标得入射光线方程为3 3，即5x ―4y +2=0，3 1223 3光线从A 到B 所走过的路线长为|A'B|(4 1)2(3 1)241 ．【总结升华】此题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利用对称点的连结被对称轴垂直平分．举一反三：【变式1】〔2021春福建厦门期中〕一条光线从点 A 〔－4，－2〕射出，到直线 y =x 上的B 点后被直线= x 反射到 y 轴上的C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点 〔－1，6〕．求 所在直线的方程． yDBC【答案】10x －3y +8=0【解析】如图，A 〔－4，－2〕，D 〔－1，6〕，由对称性求得A 〔－4，－2〕关于直线y =x 的对称点A ＇〔－2，－4〕，D 关于y 轴的对称点D ＇〔1，6〕， 那么由入射光线和反射光线的性质可得：过 A ＇D ＇的直线方程即为 BC 所在直线的方程．由直线方程的两点式得： y 4 x 2． 整理得：10x －3y +8=0．6 4 1 2例7．如图，某房地产公司要在荒地 ABCDE 上划出一块长方形土地〔不改变方向〕建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．〔精确到1m 2〕【答案】6017【解析】建立坐标系，那么B〔30，0〕，A〔0，20〕．∴由直线的截距方程得到线段AB的方程为x y1〔0≤x≤30〕．30202设点P的坐标为〔x，y〕，那么有y20x．3∴公寓的占地面积为S(100x)(80y)(100x)(80202x)2x250323∴当x=5，y时，S取最大值，最大值为S523503即当点P的坐标为)时，公寓占地面积最大，最大面积为(5,320x6000〔0≤x≤30〕．3560006017(m2)．36017m2．【总结升华】此题是用坐标法解决生活问题，点P的位置由两个条件确定，一是A、P、B三点共线，二是矩形的面积最大．借三点共线寻求x与y的关系，利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．。
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高一数学—直线方程一、选择题：1．经过点),2(m P -和)4,(m Q 的直线的斜率等于1，则m 的值是 （ ）A ．4B ．1C ．1或3D ．1或42．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足 （ ） A ．0≠m B ．23-≠mC ．1≠mD ．1≠m ，23-≠m ，0≠m3．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为 M （1，－1），则直线l 的斜率为 （ ） A ．23B ．32 C ．－23D ． －32 4．△ABC 中，点A(4，－1),AB 的中点为M(3，2),重心为P(4，2)，则边BC 的长为（ ）A ．5B ．4C ．10D ．8 5．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）A ．(0，0)B ．(0，1)C ．(3，1)D ．(2，1) 6．如果AC ＜0且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．下列说法的正确的是（ ）A ．经过定点()P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示 B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程x a yb+=1表示D ．经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121表示8．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位 置，那么直线l 的斜率是 （ ）A ．-13B ．－3C ．13D ．3 9．直线x a y b 221-=在y 轴上的截距是 （ ）A ．bB ．－b 2C ．b 2D ．±b10．若()()P a b Q c d ，、，都在直线y mx k =+上，则PQ 用a c m 、、表示为 （ ）A ．()a c m ++12B ．()m a c -C ．a c m -+12D ． a c m -+12二、填空题：11．直线l 过原点，且平分□ABCD 的面积，若B (1, 4)、D (5, 0)，则直线l 的方程是 ． 12．一直线过点（－3，4），并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_____ _____． 13．若方程02222=++-y x my x 表示两条直线，则m 的取值是 ． 14．当210<<k 时，两条直线1-=-k y kx 、k x ky 2=-的交点在 象限． 三、解答题：15．已知直线Ax By C ++=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x 轴相交； （4）系数满足什么条件时是x 轴；（5）设()P x y 00，为直线Ax By C ++=0上一点，证明：这条直线的方程可以写成()()A x x B y y -+-=000．16．过点()--54，作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．17．把函数()y f x =在x a =及x b =之间的一段图象近似地看作直线，设a c b ≤≤，证明：()f c 的近似值是：()()()[]f a c ab af b f a +---．18．已知：A （－8，－6），B （－3，－1）和C （5，7），求证：A ，B ，C 三点共线．19． ∆OAB 的三个顶点是O （0，0），A （1，0），B （0，1）. 如果直线l ：y kx b =+ 将三角形OAB 的面积分成相等的两部分，且k >1.求k 和b 应满足的关系．20．已知∆ABC 中，A (1, 3)，AB 、AC 边上的中线所在直线方程分别为x y -+=210 和y -=10，求∆ABC 各边所在直线方程．参考答案（七）一、BCDAC CDABD ． 二、11．yx =23；12．x y +-=390或0164=+-y x ；13．1=m ；14．二； 三、15．解：（1）采用“代点法”，将O （0，0）代入0=++C By Ax 中得C =0，A 、B 不同为零. （2）直线0=++C By Ax 与坐标轴都相交，说明横纵截距b a 、均存在.设0=x ，得BC b y -==；设0=y ，得AC a x -==均成立，因此系数A 、B 应均不为零.（3）直线0=++C By Ax 只与x 轴相交，就是指与y 轴不相交——平行、重合均可。
因此直线方程将化成a x =的形式，故0=B 且0≠A 为所求.（4）x 轴的方程为0=y ，直线方程0=++C By Ax 中000≠==B C A ，，即可.注意B 可以不为1，即0=By也可以等价转化为0=y .（5）运用“代点法”. ()00y x P， 在直线0=++C By Ax 上，()00y x ，∴满足方程0=++C By Ax ， 即00000By Ax C C By Ax --=∴=++，，故0=++C By Ax 可化为000=--+By Ax By Ax ，即()()000=-+-y y B x x A ，得证.16．分析：直线l 应满足的两个条件是 （1）直线l 过点（－5, －4）；（2）直线l 与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5. 如果设a ，b 分别表示l 在x 轴，y 轴上的截距，则有521=⋅b a . 这样就有如下两种不同的解题思路：第一，利用条件（1）设出直线l 的方程（点斜式），利用条件（2）确定k ； 第二，利用条件（2）设出直线l 的方程（截距式），结合条件（1）确定a ，b 的值.解法一：设直线l 的方程为()54+=+x k y 分别令00==x y ，，得l 在x 轴，y 轴上的截距为：kk a 45+-=，45-=k b 由条件（2）得ab =±10()104545±=-⋅+-∴k kk得01630252=+-k k无实数解；或01650252=+-k k ，解得525821==k k ，故所求的直线方程为：02058=+-y x 或01052=--y x解法二：设l 的方程为1=+bya x ，因为l 经过点()45--，，则有：145=-+-ba ① 又10±=ab②联立①、②，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧±==-+-1015ab bb a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=425b a 或⎩⎨⎧-==25b a因此，所求直线方程为：02058=+-y x 或01052=--y x .17．证明：设线段AB 上点()c y c C ，，函数()x f y =的图象上相应点为())(c f c ，由AC ACk k =，知()()()ab a f b f ac a f y c --=-- 解得，()()()[]a f b f a b a c a f y c ---+=依题意，()c y c f ≈()c f ∴的近似值是()()()[]a f b f ab ac a f -+-+.18．证明一：由A ，B 两点确定的直线方程为：166388+-+=+-+y x即：02=+-y x ①把C （5，7）代入方程①的左边：左边==+-=0275右边∴C 点坐标满足方程①∴C 在直线AB 上∴A ，B ，C 三点共线 证明二：∵()()25163822=+-++-=AB()()()()21367852817352222=+++==+++=AC BC∵AC BC AB =+∴A ，B ，C 三点共线.19． 解：设l 和AB 交于P ，和x 轴交于Q 点，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-0，kb Q 由⎩⎨⎧=++=1y x bkx y ，有()b k y k +=+1kbk y P ++=∴1依题意：()().0121021112为所求且，且k b k k b k k b k b k k b <-<+=+∴<-<=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+20．分析：B 点应满足的两个条件是：①B 在直线01=-y 上；②BA 的中点D 在直线012=+-y x 上。
由①可设()1，B x B ，进而由②确定B x 值.解：设()1，B x B则AB 的中点⎪⎭⎫⎝⎛+221，Bx D ∵D 在中线CD ：012=+-y x 上∴012221=+⋅-+B x ， 解得5=Bx ，故B (5, 1).同样，因点C 在直线012=+-y x 上，可以设C 为()C C y y ，12-，求出()131---=，，C y C .根据两点式，得ABC ∆中AB ：072=-+y x ， BC ：014=--y x ，AC ：02=+-y x .。