2.1.1平面学案
2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.1.1向量的概念学案新人教B版必修4
2．1.1 向量的概念1.了解平面向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，两个向量相等的含义． 3.掌握向量的几何表示．1．向量的定义及表示方法 (1)向量：具有大小和方向的量． (2)向量的表示方法2．与向量有关的概念(1)零向量：长度等于零的向量，记作0. (2)向量共线或平行基线：通过有向线段AB →的直线，叫做向量AB →的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．共线向量的方向相同或相反．向量a 平行于b ，记作a ∥b ．(3)相等向量：两个向量a 和b 同向且等长，即a 和b 相等，记作a ＝b . (4)向量的长度(模)如果AB →＝a ，那么AB →的长度表示向量a 的大小，也叫做a 的长(或模)，记作|a |. 3．用向量表示点的位置任给一定点O 和向量a (如图)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →常叫做点A 相对于点O 的位置向量．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模是一个正实数．( ) (2)向量就是有向线段．( ) (3)向量AB →与向量BA →是相等向量．( )(4)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (5)零向量是最小的向量．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 2．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M 答案：D3.如图，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量 答案：C4．若A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．解析：如图所示C 地相对于B 地的位移是西北方向5 2 km.答案：西北方向5 2 km向量的概念[学生用书P34]下列关于向量的说法正确的个数是( )①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同，长度相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同，长度相等的两个非零向量的终点不一定相同，其终点在一个圆上，故②不正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．【答案】 D对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系．给出下列几种说法：①若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ； ②若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ③若两向量有相同的基线，则两向量相等． 其中错误说法的序号是______．解析：①错误．共线向量是指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．③错误．两向量有相同的基线表示两向量共线(或平行)，但两向量的大小和方向都不一定相同．答案：①②③向量的表示[学生用书P34]一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解】 (1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反， 故AB →与CD →共线， 即AB ∥CD . 又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形． 所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量的步骤在如图所示的坐标纸中，每个小正方形的边长为1，画出下列向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向；(2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向； (3)|BC →|＝6，点C 在点B 正东方向． 解：(1)(2)(3)如图：相等向量与共线向量[学生用书P35]如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．【解】 (1)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(3)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，FA →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．如图所示的▱ABCD ，OA →＝a ，OB →＝b .(1)与OA →的模相等的向量有多少个？ (2)与OA →的模相等且方向相反的向量有哪些？ (3)写出分别与OA →、AB →共线的向量．解：(1)与OA →的模相等的向量有OC →，AO →，CO →三个向量． (2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →.(3)与OA →共线的向量有AO →，AC →，OC →，CO →，CA →；与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.1．向量既有大小又有方向，但不能比较大小，向量的模是数量，可以比较大小．对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的．2．平行(共线)概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，与是否在一条直线上无关．向量平行与直线平行的区别1．直线的平行具有传递性，即a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .2．向量的平行不具有传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，则未必有a ∥c ，因为若b ＝0，它与任意向量共线，故a ，c 两向量不一定共线．1．下列物理量：①速度；②位移；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定，具备了向量的两个要素，所以是向量；而路程、密度只有大小没有方向，所以不是向量．故选B.2．下列关于零向量的说法不正确的是( ) A ．零向量是没有方向的向量 B ．零向量的方向是任意的 C ．零向量与任一向量平行 D ．零向量只能与零向量相等解析：选A.零向量的方向是任意的，是有方向的．3．如图，小正方形的边长为1，则|AB →|＝________；|CD →|＝________；|EF →|＝________．解析：根据勾股定理可得|AB →|＝32，|CD →|＝26， |EF →|＝2 2. 答案：3 226 2 24．在四边形ABCD 中，若AB →∥CD →，且|AB →|≠|CD →|，四边形ABCD 为________． 解析：由题意可知，对边AB 与CD 平行且不相等，故四边形ABCD 为梯形．答案：梯形, [学生用书P103(单独成册)])[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等； ④与非零向量a 共线的单位向量是a |a|. A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的． 2．若a 为任一非零向量，b 的模为1，给出下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．①②③D ．②③解析：选B.①中，|a |的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量的方向不确定，故②错误；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误；③正确．选B.3．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则两向量共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．4．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形解析：选C.由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ， 即四边形ABCD 为平行四边形． 又因为|AB →|＝|AD →|， 所以四边形ABCD 为菱形．5．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A ．AB →＝OC → B ．AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →|D ．AD →＝FC →解析：选D.由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →不共线，故AD →≠FC →，故选D. 6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22， 所以|OA →|＝ 2. 答案： 27．给出下列三个条件：①|a |＝|b |；②a 与b 方向相反；③|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________．解析：由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向， 即①不能够使a ∥b 成立； 因为a 与b 方向相反时，a ∥b ， 即②能够使a ∥b 成立； 因为零向量与任意向量共线， 所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是②③. 答案：②③8．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线， 所以AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， 所以m ＝0. 答案：09．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么． 解：(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如图所示．10．如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明：因为AB →＝DC →， 所以|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ， 所以四边形ABCD 是平行四边形， 所以|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB .同理可得，四边形CNAM 是平行四边形， 所以CM →＝NA →. 所以|CM →|＝|NA →|， 所以|MB →|＝|DN →|， 又DN →与MB →的方向相同， 所以DN →＝MB →.[B 能力提升]11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C ．BD →的模恰为DA →模的3倍 D ．CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．12．如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8对向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为AO →(OC →)、OA →(CO →)，DO →(OB →)，BO →(OD →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，AC →，CA →，BD →，DB →，由元素的互异性知T 中有12个元素．答案：1213．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求向量AD →的模．解：(1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)．所以|AD →|＝55米．14．(选做题)如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →；(2)求|BC →|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)由第一问所画的图知，①当点C 位于点C 1和C 2时，|BC →|取得最小值12＋22＝5；②当点C 位于点C 5和C 6时，|BC →|取得最大值42＋52＝41.所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5.。
专题2.1.1学案
专题2.1.1植物细胞工程的基本技术【学习目标】1.简述植物组织培养和植物体细胞杂交技术。
2. .尝试、体验进行植物组织培养。
【重点难点】重点：1.植物组织培养的原理和过程。
2.植物体细胞杂交的原理。
难点：植物组织培养的实验【课时安排】二课时第一课时【自主预习及检测】阅读课本33—36页，完成练习册【自主预习】中的内容【合作探究】1. 细胞工程与基因工程有何不同？各举一例。
2. 为什么在正常情况下体内细胞没有表现出全能性，而是分化成为不同的组织、器官？植物的种子发育成完整的植株，是否体现了细胞的全能性？为什么？3.植物组织培养的操作过程是怎样的？在此过程中遗传物质有无发生改变？4.阅读42-43页拓展视野中的内容，回答问题：①在植物组织培养的过程中常用的植物生长调节剂有哪些？各类植物生长调节剂的作用是什么？②如何发挥生长素与细胞分裂素的协调作用？【当堂检测】一、植物组织培养技术1．原理：植物细胞的＿＿＿＿＿，即具有某种生物全部遗传信息的任何一个细胞，都具有发育成完整生物体的潜能。
2．过程：＿＿＿＿再分化＿＿＿＿＿的组织形成＿＿＿＿＿幼根和芽完整植物体（1）细胞脱分化：已＿＿＿＿＿＿的细胞，经过诱导后，失去其特有的＿＿＿＿＿而转变成未分化细胞的过程。
（2）生物的体细胞不能表达全能性的原因：植物体细胞内的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
3．概念：在＿＿＿＿和人工控制的条件下，将离体的植物器官、组织、细胞，培养在人工配制的培养基上，给予适宜的培养条件，诱导其产生愈伤组织、＿＿＿＿，最终形成完整的植株。
【课后训练】练习册24页【课后反思】第二课时【自主预习及检测】阅读课本36—37页，完成练习册【自主预习】中的内容【合作探究】5. 植物体细胞杂交技术的过程是怎样的？6. 根据植物体细胞杂交技术的过程中，回答问题：①你认为两个来自不同植物的体细胞完成融合，遇到的第一个障碍是什么？②有没有一种温和的去壁方法呢？③为什么两个原生质体能发生融合，这与细胞膜的什么特性有关？④如果两个来源不同的原生质体发生了融合，下一步该做何处理？⑤如何将杂种细胞培育成杂种植株？⑥从中可看出应用的原理是什么？【当堂检测】二、植物体细胞杂交技术1．概念：将不同种植物的＿＿＿＿＿，在一定条件下融合成＿＿＿＿＿，并把＿＿＿＿＿培育成新的植物体的技术。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第二章 2.1.1
d(M，P)＝|MN|－|NP|＝5－3＝2. (2)当点 P 在点 M、N 之外时(如图所示)，
d(M，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8.
综上所述，d(M，P)＝2 或 d(M，P)＝8.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
2.1.1
1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪组中的点 C 位
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2.1.1
探究点一
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直线坐标系
问题 1 数轴是怎样定义的？
答 一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数 轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．
问题 2 答 实数集与数轴上的点有怎样的关系？ 实数集与数轴上的点存在着一一对应的关系．
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2.1.1
例 1 (1)如果点 P(x)位于点 M(－2)，N(3)之间，求 x 的取值 范围； (2)试确定点 A(x ＋x＋1)与
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2
3 B4的位置关系．
解 (1)由题意可得，点 M(－2)位于点 N(3)的左侧， 而 P 点位于两点之间，应满足－2<x<3.
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2.1.1
2.1.1
【学习要求】
数轴上的基本公式
1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数
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轴上的几何意义． 2．掌握数轴上两点间的距离公式． 3．掌握数轴上向量加法的坐标运算． 4．理解向量相等及零向量的概念． 【学法指导】 通过数轴上点与实数的一一对应关系拓展到数轴上向量 与实数的一一对应关系，从而得到数轴上两点间的距离公 式，为研究平面解析几何奠定扎实的基础.
有机化学学案3：2.1.1 有机化学反应的主要类型——加成反应、取代反应
有机化学反应的主要类型——加成反应、取代反应考纲点击了解加成反应、取代反应梳理整合一、重要的有机反应类型及规律反应类型特点实例结构变化形式取代反应有机分子里的某些______或______被其他______或______所______的反应苯、苯酚、甲苯、醇、羧酸等价替换式加成反应有机分子里________的碳原子跟其他原子或原子团______结合生成别的物质烯烃、炔烃、苯环、醛、酮、油脂等开键加合式一、有机反应类型的判断1．有机反应类型的特征(1)取代反应特征：A—B＋C—D―→A—C＋B—D(2)加成反应特征：①双键加成：＋X—Y―→X Y②开环加成：2．根据试剂和条件判断有机化学反应的类型试剂有机反应类型(或条件)Na 醇、酚、羧酸、氨基酸等含—OH物质的取代反应H2/催化剂烯烃、炔烃、芳香烃、醛(酮)等加成反应(还原反应)Cl2/光饱和烃或苯环侧链上的烷基取代反应Br2(液溴)/催化剂芳香烃苯环上的取代反应二、新物质化学性质的判断由新物质的结构判断存在的官能团，联系官能团所属物质类别判断物质的性质。
官能团主要化学性质烷烃(无官能团) ①在光照下发生卤代反应②高温分解③不能使酸性KMnO4溶液退色①跟X2、H2、HX、H2O的加成②加聚③易被氧化，可使酸性KMnO4溶液退色①发生卤代反应②硝化反应③与H2加成—X ①与NaOH溶液共热发生取代反应巩固提高一、加成反应及判断1．下列有机物与HBr 或HCN 都能发生加成反应的是 ( )A ．CH 2===CHCH 3B ．CH ≡CHC ．CH 3CHOD ．CH 3C ≡N2．下列各反应中属于加成反应的是( )①CH 2===CH 2＋H 2O ――→催化剂CH 3CH 2OH ②H 2＋Cl 2=====光照2HCl③CCH 3OH ＋H 2――→催化剂△CH 3CH 2OH ④CH 3CH 3＋2Cl 2――→光照CH 2ClCH 2Cl ＋2HCl A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．②④3．某气态烃1 mol 最多能和2 mol HCl 加成，生成1 mol 氯代烷，此氯代烷能和4 mol Cl 2发生取代反应，生成物分子中只含C 、Cl 两种元素。
有机化学学案6：2.1.1有机化学反应的主要类型——加成反应、取代反应
第2章官能团与有机化学反应烃的衍生物第1节有机化学反应类型第1课时有机化学反应的主要类型——加成反应、取代反应【学习目标】1．根据有机化合物组成和结构特点理解加成反应、取代反应。
(重点)2．了解从化合物结构特点分析可发生何种反应、预测产物的方法。
【基础梳理】1．加成反应(1)定义：有机化合物分子中两端的原子与其他或原子团结合，生成饱和的或比较饱和的有机化合物的反应。
(2)常见反应2．取代反应(1)定义：有机化合物分子中的某些被其他原子或原子团所的反应。
(2)常见反应【自我检测】(1)能发生加成反应的有机物一定含不饱和键。
()(2)丙烯与氯气只能发生加成反应。
()(3)甲醇或(CH3)3C—CH2OH都不能发生加成反应。
() 【归纳总结】1．三大有机反应类型的比较类型取代反应加成反应反应物数目两种一种或多种有机物结构特征分子中存在极性单键分子中存在双键、叁键或苯环等有机物种类烷烃、芳香烃、卤代烃、醇、羧酸、酯等烯烃、炔烃、芳香烃、醛、酮、腈等生成物种类两种(一般是一种有机物和一种无机物)一种(有机物)碳碳键变化无变化2.从反应条件或试剂判断反应类型反应条件或试剂反应类型NaOH水溶液、加热卤代烃或酯类的水解反应稀硫酸、加热酯或糖类的水解反应浓硫酸、140℃乙醇的取代反应1．下列反应中，属于取代反应的是()A．①②B．③④C．①③D．②④2．下列各化合物中，能发生取代、加成反应的是()3．下面列出了一些常见的有机化合物和试剂。
(1)请将彼此间能发生加成反应的物质和试剂连线。
有机化合物：①乙烯②乙炔③乙醛④丙烯试剂：a.H2SO4b．HCN c．HCl(2)写出下列指定反应物或产物的化学方程式(不需注明条件)。
①丙烯和HCl反应：_____________________________________________。
②乙醛和HCN反应：_____________________________________________。
2020版化学新教材人教必修一同步学案：2.1.1活泼的金属单质——钠和答案
第1课时 活泼的金属单质——钠核心微网络素养新目标,1．分析实验现象，认识钠的物理性质和化学性质。
2．学会用钠原子结构分析钠的化学性质的思维方式。
3．领会微观辨析和宏观辨识的关系。
学 业 基 础[预习新知]一、钠元素1．存在：钠在自然界中以化合物的形式存在，如NaCl 、Na 2CO 3、Na 2SO 4等。
2．钠的原子结构：钠原子结构示意图为，最外层只有1个电子；易失去，化学性质非常活泼，表现很强的还原性。
二、钠的物理性质1．钠是银白色有金属光泽，密度比H 2O 小，质软、易切割，熔点低的金属。
2．保存：少量的钠保存在煤油中，大量的钠保存在固体石蜡中。
三、钠的化学性质1．钠与氧气的反应(1)常温下：4Na ＋O 2===2Na 2O 。
(2)加热或点燃时：2Na ＋O 2=====△Na 2O 2。
2．钠与水的反应把一小块金属钠投入盛有水(滴入几滴酚酞溶液)的烧杯中：反应的化学方程式：2Na ＋2H 2O===2NaOH ＋H 2↑[即学即练]1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”(1)钠元素在自然界以游离态形式存在( )(2)金属元素在自然界都以化合态形式存在( )(3)钠与氧气反应产物是唯一的( )(4)钠与水反应是置换反应( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．下列关于钠的性质叙述中，不正确的是( )A ．切下一小块钠，投入水中，钠熔成小球，说明钠与水反应有热量放出B ．从钠能与水反应可推知钠也能与盐酸反应C ．钠在空气中燃烧生成氧化钠D ．切开一块钠，呈银白色，很快变暗，说明钠常温下能与氧气反应解析：钠在空气中燃烧时发生反应：2Na ＋O 2=====点燃Na 2O 2，故C 选项错误。
答案：C3．金属钠投入水中发生剧烈反应，并有氢气生成，装运金属钠的包装箱应贴的图标是( )答案：C4．根据你对金属钠性质的了解，回答下列问题。
2.1.1 平面教案
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系§2.1.1 平面一、教材分析平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.二、教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.三、重点难点三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.四、课时安排1课时五、教学过程（一）导入新课思路1.初中《几何》中我们认识了哪些平面几何图形？三角形、四边形、多边形、圆形、椭圆等。
平面内基本图形：点、线思路2.高中《几何》中我们认识了哪些立体几何图形？棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等。
空间中基本图形：点、线、面（二）推进新课、新知探究、提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念；②平面的画法与表示方法；③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示；⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？⑧自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点？⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性.②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图1.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图2.图1 图2平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图3)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图4）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图4）.图3 图4③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：点A在直线a上（或直线a经过点A）A∈a元素与集合间的关系点A在直线a外（或直线a不经过点A）A∉a点A在平面α内（或平面α经过点A）A∈α点A在平面α外（或平面α不经过点A）A∉α④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图5）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.图5 图6请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且A∉α,B∈α,则a⊄α.如图（图6）.⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图7）.图7公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图8），用符号语言表示为：P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.图8公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.名称作用公理1 判定直线在平面内的依据公理2 确定一个平面的依据公理3 两平面相交的依据（三）应用示例思路1例1 如图9，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图9活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.例2：求证两两相交于不同点的三条直线必在同一个平面内(共面问题)已知: AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C.求证:直线AB、BC、AC共面.证明：∵AB ∩AC=A ∴AB 和AC 确定一平面a,,B AB C AC BC ααα∈⊂∈⊂∴⊂Q ∴直线AB 、BC 、AC 共面于α。
必修二导学案《2.1.1 平面》
2.1.1平面导学案一、学习目标:知识与技能：利用生活中的实物对平面进行描述；掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的基本性质及作用；培养学生的空间想象能力。
过程与方法：通过共同讨论，增强对平面的感性认识；归纳整理本节所学知识情感态度与价值观：认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
二、学习重、难点学习重点:1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
学习难点:平面基本性质的掌握与运用。
三、使用说明及学法指导:通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的学习目标。
四、导学过程:问题1、平面含义问题2、平面的画法问题3、平面的表示法平面通常用希腊字母等表示，如等;也可以用表示平面的平行四边形的来表示，如，或者相对的两个顶点的大写英文字母表示，如。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住部分画成。
问题４、点与平面的位置关系：平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，符号表示为，图形表示为点B在平面α外，符号表示为，图形表示为例1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打√，否则打× :1）、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )2）、平面有边界； ( )3）、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )4）、菱形的面积是 4 cm 2； ( )5）、一个平面可以把空间分成两部分. ( )变式11、水平放置的平面通常画成一个，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．2、平面的表示法上图的表示平面可表示为、、或问题5如果直线l与平面α有一个公共点，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢？问题6公理1：图形表示为公理1作用：判断直线是否在平面内点P在直线l上，符号表示为；点P在直线l外，符号表示为；直线l上所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l，用符号表示为；否则，就说直线l在平面α外，用符号表示为公理1的符号表示练习：点、直线、平面之间基本关系的符号表示，完成下列表格点P在直线AB上（或直线AB经过点P）点C不在直线AB上（或直线AB不经过点C）点M在平面α内（或平面α经过点M）点N不在平面α内（或平面α不经过点N）直线AB与直线BC交于点B直线AB在平面α内（或平面α经过直线AB）直线CD不在平面α内（或平面α不经过直线CD）问题7公理2：图形表示为公理2作用：确定一个平面的依据。
学案7：2.1.1 平 面
2.1.1平面【学习目标】1.利用生活中的实物对平面进行描述；2.掌握平面的表示法及水平放置的直观图；3.掌握平面的基本性质及作用；4.培养学生的空间想象能力.【合作学习】一、设计问题，创设情境请你从适当的角度和距离观察桌面、黑板或者门的表面，它们呈现出怎样的形象?二、自主探索，尝试解决问题1：以上实物都给我们以平面的印象，那么，平面的含义是什么呢?三、信息交流，揭示规律根据学生讨论结果，教师引导，得出平面的含义：1.平面含义问题2：在平面几何中，怎样画平面?2.平面的画法问题3：清楚了平面的含义，会画水平放置的平面，那么平面如何表示呢?3.平面的表示问题4：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内?问题5：如果直线l与平面α有两个公共点呢?问题6：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等……自行车要放稳需几个点?问题7：把一个三角板的一个角立在课桌上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点B，为什么?四、运用规律，解决问题【例1】用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系.【例2】不共面的四点可以确定几个平面?共点的三条直线可以确定几个平面?【例3】点A∉平面BCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，若EH与FG 交于点P(这样的四边形ABCD就叫做空间四边形).求证：P在直线BD上.五、变式演练，深化提高1.判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”.(1)可画一个平面，使它的长为4cm，宽为2cm.()(2)一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分.()(3)一个平面的面积为20cm2.()(4)经过面内任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面.()2.(1)一条直线与一个平面会有几种位置关系?.(2)如图所示，两个平面α，β，若相交于一点，则会发生什么现象?(3)几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，有一同学提议可将几根一样长的木棍在等高处用绳捆扎一下作桌脚(如图所示)，问至少要几根木棍才可能使桌面稳定?六、反思小结，观点提炼请同学们总结一下本节课所学习内容：1.平面的概念；2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法；3.点、直线、平面间基本关系的文字语言、图形语言和符号语言之间关系的转换；4.平面的基本性质.七、作业精选，巩固提高试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：(1)点A在平面α内，但不在平面β内；(2)直线a经过不属于平面α的点A，且a不在平面α内；(3)平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P；(4)直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M.【参考答案】【合作学习】二、问题1：几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的.但是，几何里的平面是无限延展的.平面的两个特征：①无限延展；②平的(没有厚度).三、问题2：(1)一个平面画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于邻边长的2倍(如图).(2)直线与平面相交，如图(2)(3)；(3)两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮挡部分的线段画成虚线或不画(如图).问题3：(1)平面通常用希腊字母α，β，γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母来表示，如平面ABCD、平面AC等.(2)空间图形的基本元素是点、直线、平面，从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.问题4：学生思考容易发现，直线l不一定在平面α内.问题5：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.问题6：自行车放稳需要3个点.引导学生得到公理2.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.问题7：两个平面不是只相交于一点B，而是交于过B点的一条直线.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.四、【例1】解：图1中，α∩β=l，a∩α=A，a∩β=B.图2中，α∩β=l，a⊂α，b⊂β，a∩l=P，b∩l=P.【例2】解：不共面的四点可以确定4个平面(如三棱锥)；共点的三条直线可以确定1个或3个平面.【例3】证明：∵EH∩FG=P，∴P∈EH，P∈FG，∵E，H分别属于直线AB，AD，∴EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD，同理：P∈平面CBD，又∵平面ABD∩平面CBD=BD，所以，P在直线BD上.五、1.(1)×(2)√(3)×(4)√2.(1)3种(2)相交于经过这个点的一条直线(3)至少3根。
2.1.1-2平面学案2
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3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分． ． 4．判断下列命题的真假，真的打“√” ，假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （ ） （2）两条直线可以确定一个平面 （ ） （3）两条相交直线可以确定一个平面 （ ） （4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （ ） （5）三条平行直线可以确定三个平面 （ ） （6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ） （7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 （ ） （8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 （ ）
课后延伸拓展： 课后延伸拓展：
在正方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中， AA1 与 CC1 是否在同一平面内？②点 B, C1 , D 是否在同一平面内？③画出平 ① 面 AA1C1C 与平面 BC1 D 的交线。
C1 B C D
B1 D1
A1 A
2
连南民族高级中学“学案导学”课堂教学活页学案 执笔人：王多涛 审阅人：王凤传 时间:09年11月21日
学案(2) §2.1.1 平面学案(2) 2.1. 平面学案
教学目的： 教学目的：
1 理解公理二,并能运用它形成面 2 理解公理二的三个推论，并会使用它们构成面
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教学重点： 教学重点：三个推论的使用． 教学难点： 教学难点：公理二的三个推论的证明． 自学设计： 自学设计：
公理 2 ： 确定平面； 作用：①确定平面；②证明两个平面重合 推论 1： ： 推论 2： ： 推论 3： ：
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高中数学二 2.1.1 平面 导学案
第二章 点、直线、平面之间的位置关系【学习目标】（1）掌握平面的表示法及水平放置的直观图 （2）掌握平面的基本性质及作用； （3）培养学生的空间想象能力。
【学习重点、难点】学习重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.学习难点:平面基本性质的掌握与运用.【学法指导】自主探究，合作交流。
学习过程一、课前准备预习理解教材4043P P -的内容。
1。
如何理解“平面”？平面的主要特点有哪些?2.怎样画平面(图形语言）？怎样表示平面（符号语言）？3。
请叙述点与平面位置关系，并用符号来表示。
(2)αACBHG(3)FEADCBβα练习：判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打√，否则打×：1）、一个平面长4 米，宽2 米；( ) 2）、平面有边界；（) 3)、一个平面的面积是25 cm 2；（）4）、菱形的面积是4 cm 2；（）5）、一个平面可以把空间分成两部分. ( ）二、新课导学（一）思考、探究1.根据你的经验,要固定一根木棍在板面上只需钉_ ____个钉子!公理1:（文字语言）如果一条直线上的___ __点在一个平面内，则这条直线在此__ ___ 。
图形语言：符号语言：.2.根据经验，要摆稳一个架子，至少要_____个支点，请举例说明！公理2：（文字语言)过不在一条直线上的______点，___ ____一个平面。
图形语言：符号语言：。
推论1:经过，有且只有一个平面；推论2：经过，有且只有一个平面;推论3：经过，有且只有一个平面。
3。
将三角板的一角立在课桌上，三角板所在平面与桌面交于__ ___点?你认为其相交部分是什么? .公理3：（文字语言)如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过给该点的_ _。
图形语言：符号语言: .（二）合作交流【例1】用符号表示下列图形中的点、直线、平面之间的位置关系。
【例2】空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点,已知EF 和GH 交于P 点，判断EF 、GH 、AC 三线是否共点，说明理由。
2.1.1平面的教学设计.doc
2.1.1平面的教学设计一、教材分析本节课选自人教版《数学》必修二的 2.1.1平面第一课时，主要内容是平面的概念及三个公理。
平面的基本性质虽然在高考中一般以选择和填空题型为主，但是它是研究立体几何的理论基础，也是以后论证推理的逻辑依据。
这节内容是学生已有的平面几何观念的拓展，帮助学生观念逐步从平面转向空间。
因此，掌握平面的三条基本性质至关重要。
二、设计思想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题串为导向设计教学情境，以“平面及其基本定理”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
三、教学目标根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标：【知识目标】1）掌握平面的概念、画法、表示方法；（（2）通过联想、观察图形，用图形和符号语言表示平面；（3）准确的理解并表述平面的三个基本性质、正确运用平面的基本性质进行共面、共线、共点问题的证明。
【能力目标】（1）通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力；（2）通过对生活中平面实例及其性质的举例、分析、解释过程，培养学生逻辑思维能力。
【情感目标】让学生在发现中学习，增强学习的积极性，提高学生的学习兴趣。
四、教学的重点难点重点：1、平面的概念及表示方法。
2、平面的基本性质，注意其条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
五、教法与学法本节课是一节较为抽象的数学几何概念课。
因此，1 、教法上应注意：（1）通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动了学生主动参与的积极性；（2）在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，具体表现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰地思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达；（3）采用直尺、三角板直观地表示平面的基本性质，以及运用计算机多媒体等教学手段，是学生更容易地理解教学内容。
学案3：2.1.1 倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率【学习目标】1.直线的倾斜角当直线l与x轴相交时，我们取作为基准，x轴正向与直线l方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．直线的倾斜角α的取值范围是{}，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为．注意三个条件：①x轴正向；①直线向上的方向；①小于180°的非负角．2.斜率的概念及斜率公式定义：倾斜角α(α≠90°)的．记法：k＝．3.斜率与倾斜角的对应关系其对应情况如下表所示．由上表可见，当直线的斜率k ＝0，±33，±1，±3或斜率k 不存在时，其倾斜角均是特殊角． 4.斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式：k ＝ ． 注意：当x 1＝x 2时，斜率不存在． 【小试牛刀】1．只给出一个倾斜角能确定一条直线吗？2．当一条直线的倾斜角为0°时，这条直线一定与x 轴平行吗？3.如图所示，直线l 的倾斜角为( ) A ．45°B ．135°C ．0°D ．不存在4．已知一条直线的倾斜角α＝45°，则该直线的斜率等于( ) A.22 B ．－22 C ．1 D ．－1 【题型探究】 题型一 直线的倾斜角 例1 下列命题正确的是( )A ．两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行B ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αC ．若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α的度数可以大于60°D ．若α是直线l 的倾斜角，且tan α＝22，则α＝45° [跟踪训练] 1 (1)已知直线l 的倾斜角为θ－25°，则角θ的取值范围为( ) A.25°≤θ<155° B.－25°≤θ<155° C.0°≤θ<180°D.25°≤θ<205°（2）已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°，则直线l 的倾斜角为________. 题型二 直线斜率的运算例2 （1）若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为( )A. 3B ．－ 3C.33 D ．－33（2）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.①A (2,3)，B (4,5)；①C (－2,3)，D (2，－1)； ①P (－3,1)，Q (－3,10).[跟踪训练] 2 (1)若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为( ) A. 3 B.－ 3 C.33 D.－33(2)已知过A (3,1)，B (m ，－2)的直线的斜率为1，则m 的值为________. 题型三 利用数形结合求倾斜角或斜率范围涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解.例3 已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点． (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．[跟踪训练] 3 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围.题型四 直线的斜率的应用例4 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．例5 已知三点A (0,1)，B (1,3)，C (2,5)，求证：A ，B ，C 三点共线.[跟踪训练] 4如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求实数m的值.【当堂达标】1．对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；①若k是直线的斜率，则k①R；①任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；①任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．42.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于()A.2B.1C.－1D.－23．一条直线的斜率等于33，则此直线的倾斜角等于________．4．已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线P A的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．5.求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________.(其中m≥1)6．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．(1)(1，1)，(2，4)；(2)(－3，5)，(0，2)；(3)(2，3)，(2，5)；(4)(3，－2)，(6，－2)．7．已知三点A(1,3)，B(5,11)，C(－3，－5)，求证：这三点在同一条直线上．参考答案【自主学习】1.x轴向上α|0°≤α＜180° 0°2.正切值tanα3.90° k＝0 k>0 k<04.y2－y1 x2－x1【小试牛刀】1.不能．倾斜角只能确定直线的方向，要确定直线还需知道直线上的一个点．2.不一定，也可能与x轴重合．3.B4. C【解析】k＝tan α＝tan 45°＝1.【经典例题】例1 A【解析】0°≤α＜180°，当α＝90°，此时直线不存在斜率，B错；α＝60°时，3α＝180°，C错；tan 45°＝1，D错．[跟踪训练] 1 （1）D【解析】因为直线l的倾斜角为θ－25°，所以0°≤θ－25°<180°，所以25°≤θ<205°.（2）60°或120° 解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.①如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.例2（1）A【解析】k＝tan 60°＝ 3.（2）解：①存在.直线AB的斜率k AB＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°. ①存在.直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－－2＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.①不存在.因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，所以倾斜角α＝90°. [跟踪训练] 2 （1）A 【解析】 利用斜率的定义计算 （2） 0【解析】 由斜率公式计算斜率 例3 解：如图所示，由题意，知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1. (2)由题意可知直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. [跟踪训练] 3 解：如图所示.①k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，①k ①(－∞，－3]①[1，＋∞)，①45°≤α≤120°. 例4 解：如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为(2，4)，(3，2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.例5 证明 ①k AB ＝3－11－0＝2，k BC ＝5－32－1＝2，①k AB ＝k BC ，①A ，B ，C 三点共线. [跟踪训练] 4 解：k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74，①A ，B ，C 三点共线，①k AB ＝k AC ，即1－m 4＝74，①m ＝－6. 【当堂达标】 1. C【解析】 ①①①正确． 2. A【解析】 由题意知，tan 45°＝2－31－m，得m ＝2. 3. 30°【解析】 k ＝tan α＝33，又0°≤α＜180°，故α＝30°. 4. (3，0)或(0，3)【解析】 由题意知k P A ＝－1，若P 点在x 轴上，则设P (m ，0)，则0－2m －1＝－1，解得m ＝3；若P 在y 轴上，则设P (0，n )，则n －20－1＝－1，解得n ＝3；故P 点的坐标为(3，0)或(0，3)．5. 0°<α≤90°【解析】 当m ＝1时，倾斜角α＝90°；当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，①0°<α<90°.故0°<α≤90°.6.解：(1)k ＝4－12－1＝3>0，所以倾斜角是锐角；(2)k ＝2－50－（－3）＝－1<0，所以倾斜角是钝角；(3)由x 1＝x 2＝2得：k 不存在，倾斜角是90°； (4)k ＝－2－（－2）6－3＝0，所以倾斜角为0°.7．证明：由斜率公式，得k AB ＝11351--＝2，k AC ＝5331----＝2， ①k AB ＝k AC ，且AB 与AC 都过点A ， ①直线AB ，AC 斜率相同，且过同一点A ， ∴A ，B ，C 这三点在同一条直线上．。
2.1.1 平面优质课教案
铜仁市高一数学优质课教案一、创设情景,引入课题:生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象,你们能举出更多例子吗?那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。
二、新课探究:探究１：平面的含义请同学们思考下面问题:问题１：生活中的平面有大小之分吗？(有）问题２:几何中的“平面”是怎样的？（从物体中抽象出来的）特征：绝对平，无厚薄、无大小之分，是无限延展的．平面含义:像湖面、海面、课桌、黑板等都是我们熟悉的平面形象,几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的。
平面的画法：前面我们学习了用斜二测画法画直观图, 水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成4５0,且横边画成邻边的2倍长，如图①.如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画.如图②.平面的表示法:图①的平面可表示为平面、平面ABCＤ、平面ＡＣ或平面BD.探究2：公理1请同学把木棍边缘上的两个点放在桌面上,木棍边缘上所有点与平面有什么关系?提示：直尺的整个边缘就落在桌面上。
学生归纳总结公理1：公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
公理1 :图形与符号语言:A∈，B∈ ,A∈α,B∈α=> α引导学生观察、思考、举例和互相交流。
通过问题1、2让学生归纳总结出平面的含义。
通过回忆直观图的画法,引导学生画平面。
教师通过展示制作好的教具木棍展示，然后学生归纳总结出公理1。
思考：如何判断一条直线在一个平面内?公理1作用：判断直线是否在平面内。
探究3:公理２1、过两个点能确定几个平面?2、过三个点能确定几个平面?为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车?提示:１、无数个平面;２、过同一条直线的三点有无数个平面,过不在同一条直线的三点有且只有一个平面。
学生归纳总结:公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.公理２：图形与符号语言:符号:A，B,Ｃ三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α公理2的作用:确定一个平面的依据。
2.1.1平面的教学设计.doc
2.1.1平面的教学设计一、教材分析本节课选自人教版《数学》必修二的 2.1.1平面第一课时，主要内容是平面的概念及三个公理。
平面的基本性质虽然在高考中一般以选择和填空题型为主，但是它是研究立体几何的理论基础，也是以后论证推理的逻辑依据。
这节内容是学生已有的平面几何观念的拓展，帮助学生观念逐步从平面转向空间。
因此，掌握平面的三条基本性质至关重要。
二、设计思想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题串为导向设计教学情境，以“平面及其基本定理”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
三、教学目标根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标：【知识目标】1）掌握平面的概念、画法、表示方法；（（2）通过联想、观察图形，用图形和符号语言表示平面；（3）准确的理解并表述平面的三个基本性质、正确运用平面的基本性质进行共面、共线、共点问题的证明。
【能力目标】（1）通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力；（2）通过对生活中平面实例及其性质的举例、分析、解释过程，培养学生逻辑思维能力。
【情感目标】让学生在发现中学习，增强学习的积极性，提高学生的学习兴趣。
四、教学的重点难点重点：1、平面的概念及表示方法。
2、平面的基本性质，注意其条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
五、教法与学法本节课是一节较为抽象的数学几何概念课。
因此，1 、教法上应注意：（1）通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动了学生主动参与的积极性；（2）在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，具体表现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰地思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达；（3）采用直尺、三角板直观地表示平面的基本性质，以及运用计算机多媒体等教学手段，是学生更容易地理解教学内容。
必修2教案2.1.1平面
必修2教案2.1.1平面第一篇：必修2教案2.1.1 平面§2.1.1 平面一、教学目标：1、知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。
3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板四、教学思想（一）实物引入、揭示课题师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。
与此同时，教师对学生的活动给予评价。
师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。
（二）研探新知1、平面含义师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
学案4：2.1.1 平 面
2.1.1平面学习目标1．知道平面的概念，了解平面的基本性质，会用图形与字母表示平面．2．能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系．3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用，并能确定平面的个数．基础知识1．平面________α，β，γ等来表示，如上图a中的平面记为平面________(表示平面的平行四边形的对角线的顶点中的平面记为平面AC或平面BD用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点归纳总结习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面．做一做1 如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不．能记为()A．平面MN B．平面NQP C．平面αD．平面MNPQ 2．点、线、面的位置关系的表示A是点，l，m是直线，α，β是平面．名师点拨从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“”表示；(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“”表示；(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“⊄”表示．做一做2－1 若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为() A．M∈a，a∈αB．M∈a，aαC．M a，aαD．M a，a∈α做一做2－2 平面α与平面β相交于直线m，用符号语言表示为__________．3．公理1A ∈l ，B∈l，且A∈α，B∈α____判断点在平面内名师点拨公理1的内容反映了直线与平面的位置关系．“线上两点在平面内”是公理的条件，结论是“线上所有点都在平面内”．从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线(点集)中有两个点(元素)属于一个平面(点集)，那么这条直线就是这个平面的真子集．这个结论阐述了两个观点，一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点都在平面内．做一做3 已知直线m平面α，P m，Q∈m，则()A．Pα，Q∈αB．P∈α，QαC．Pα，QαD．Q∈α4．公理2A，B，C三点______有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α确定平面名师点拨(1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”．(2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．做一做4 三点可确定平面的个数是()A．0 B．1 C．2 D．1或无数个5．公理3P∈α∩βα∩β＝l且____判定平面相交证明点共线证明线共点名师点拨公理3反映了两个平面的位置关系．条件可简记为“两面共一点”，结论是“两面共一线，且线过点，线唯一”．公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有一个公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．做一做5 如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点重点难点1．对平面的理解剖析：几何中的平面是一个只描述而不定义的最基本的原始概念．生活中的平面是比较平整、有限的；而几何中所说的平面是从生活中常见的平面中抽象、概括出来的，是理想的、绝对平整的、无限延伸的．几何中的平面无大小、厚薄之分，是不可度量的，可以向四周无限延伸．总结起来，平面应具有如下特点：(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的；(4)平面是由空间点、线组成的无限集合；(5)平面图形是空间图形的重要组成部分．生活中的一些物体通常呈平面形状，如课桌面、黑板面等都给我们以平面的形象．这种借助于实例引入平面的概念是必要的，对几何中平面的无限延展性可以联系直线的无限延伸性来理解，即任何一个平面都把空间分成两部分． 2．公理2的推论剖析：由公理2可以得到三个推论，如下表．A a有且只有一个平面α，使A ∈α，a αa ∩b ＝P有且只有一个平面α，使a α，bα a ∥b有且只有一个平面α，使aα，bα下面仅证明推论2，另两个推论自己证明． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 已知：直线a ∩b ＝P .求证：经过直线a ，b 有且只有一个平面．证明：①如图所示，在直线a ，b 上分别取与P 不同的点A 和B ，则A ，B ，P 是不共线的三点，则过这三点有且只有一个平面α.∵A ∈a ，P ∈a ，A ∈α，P ∈α， ∴aα.同理，bα，∴平面α是经过直线a ，b 的一个平面．②假设经过直线a ，b 还有一个平面β，那么A ，B ，P 三点也一定在平面β内．这样过不共线的三点A ，B ，P 就有两个平面α和β，这与公理2矛盾． ∴经过相交直线a ，b 只有一个平面α.由①和②，知经过直线a ，b 有且只有一个平面．这三个推论与公理2的作用相同，都是确定平面的依据．归纳总结对于两两平行的三条直线，当它们共面时，确定1个平面；当它们不共面时，它们中任意两条直线确定一个平面，则此时可确定3个平面．综上可得，两两平行的三条直线确定1个或3个平面．3．辨析三种数学语言剖析：文字语言比较自然生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明确地叙述出来，教材上的概念、定理等多以文字叙述；图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用；符号语言简洁、精练，能够明确地表达空间中点、线、面之间的关系．符号语言是数学中常用的一种语言，要熟练地掌握符号语言、文字语言、图形语言之间的转化．典型例题题型一：判断确定平面的个数例1 一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是()A．4 B．6 C．7 D．10反思：确定平面的问题要利用公理2及三个推论，要想确定的平面最多，那么条件中每一组能确定平面的元素都要利用起来．本题容易产生的错误是先在已知直线上任取两点，这样共5个点构成了一个四棱锥，四棱锥的4个侧面，2个对角面，再加上底面共有7个平面，误选C；或者是认为这5个点中任取3个点可确定一个平面，一共有10种取法，误选D.错因都是把题中的条件作了转换，由原来的一条直线转换成两个点，那么错解中确定的某些平面只包含这两个点中的一个，这是不符合题意的．题型二：数学语言的转换例2 用文字语言和符号语言表示下图．反思：用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形，有几个平面且位置关系如何，有几条直线且位置关系如何，图中的直线和平面的位置关系如何，有几点且在哪条直线或哪个平面上等，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．本题易误解：符号语言为m∩n＝A，A∈α.此时还表示图a，b，c三种情形．随堂练习1．圆上任意三点可确定的平面有()A．0个B．1个C．2个D．1个或无数个2．两两相交且共点的三条直线可确定________个平面．3．用符号语言和文字语言分别表示下面的图形．4．用文字语言表示下列符号语言，并画图表示：α∩β＝m，aα，bβ，a∩m＝P，b∩m＝P.5．用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)点A在直线l上，点B不在直线l上；(2)平面α与平面β相交于过点A的直线l.参考答案基础知识1．延展平行四边形2虚线(1)希腊字母(2)英文字母(3)BCD(4)顶点做一做1 【答案】A2．A∈l A l A∈αAαlαlαl∩m＝A l∩α＝Aα∩β＝l做一做2－1 【答案】B做一做2－2 【答案】α∩β＝m3．两点lα做一做3 【答案】D4．不在不共线做一做4 【答案】D5．公共点直线P∈l做一做5 【答案】D例1 【答案】A例2 解：文字语言：平面α内两直线m和n相交于点A.符号语言：mα，nα，且m∩n＝A.随堂练习1．【答案】B2. 【答案】1或33．解：符号语言：lα，m∩α＝M.文字语言：直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点M.4．解：用文字语言表示为：分别在两相交平面α，β内的两条直线a和b相交，且交点P 在平面α，β的交线m上．如图所示．5．解：(1)符号语言：A∈l，B l，如图所示．(2)符号语言：α∩β＝l，A∈l，如图所示．。
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§ 2.2,1 平面
编号：001 编写人： 审核人： 使用时间：2013年X 月X 日
【学习目标】： 1.利用生活中的实物对平面进行描述； 2.掌握平面的表示法及水平放置的直观图；
3.掌握平面的基本性质及应用
一.自学引导
1.几何里的平面是无限延展的，我们通常把水平的平面画成一个 ，
平面没有大小，没有厚度。
2.常用符号的规定是：
（1）α∈A ，读作：“ ”；α∉B ，读作：“ ”；
（2）l A ∈，读作：“ ”；l B ∉，读作：“ ”；
（3）α∈l ，读作：“ ”；α∉l ，读作：“ ”；
3.公理1：（1）文字语言：如果 ，
那么 。
（2）符号语言： 。
4.公理2：（1）文字语言：过 的三个点， 一个平面。
（2）符号语言： 。
(1)推论1 经过______________________________，有且只有一个平面．
(2)推论2 经过 ，有且只有一个平面．
(3)推论3 经过 ，有且只有一个平面．
5.公理3：（1）文字语言：如果两个不重合的平面 ，
那么它们 的公共直线。
（2）符号语言： 。
二.预习自测
1．若点M 在直线b 上，b 在平面β内，则M 、b 、β之间的关系用符号可记
作____________．
2. 用符号语言表示下列语句：
（1)点P 在直线l 上，直线l 在平面α内 。
（2)直线l 既在平面α又在平面β内 。
2．已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是
__________(填序号)．
①A ∈a ，A ∈β，B ∈a ，B ∈β⇒a ⊂β；
②M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒α∩β＝MN ；
③A ∈α，A ∈β⇒α∩β＝A ；
④A 、B 、M ∈α，A 、B 、M ∈β，且A 、B 、M 不共线⇒α、β重合．
教，学随笔
※ 第I 部分 自主学习。