2020-2021初三数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)含答案解析

2020-2021初三数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)含答案

解析

一、锐角三角函数

1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

【答案】6.4米

【解析】

解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°．

∴DC=BC•cos30°=36392

==米， ∵CF=1米，

∴DC=9+1=10米，

∴GE=10米，

∵∠AEG=45°，

∴AG=EG=10米，

在直角三角形BGF 中，

BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米，

∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，

答：树高约为6.4米

首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高

2．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为»AC 上的动点，且10cos B =

(1)求AB 的长度；

(2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由.

(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.

【答案】(1) 10AB (2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长；

（2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG=13

，继而即可求得AD•AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD.

【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，

∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=

12

BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10cos 10

BF B == （2）连接DG ，

∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，

又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ，

∴AD ：AF=AG ：AE ，

∴AD•AE=AF•AG ，

连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ，

∵22AB BF -=3， ∴FG=13

， ∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG ）=3×

103=10； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，

∵∠ADB=∠ACB=∠ABC ，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，

∴∠ADC=∠ADN ，

∵AD=AD ，CD=ND ，

∴△ADC ≌△ADN ，

∴AC=AN ，

∵AB=AC ，∴AB=AN ，

∵AH ⊥BN ，

∴BH=HN=HD+CD.

【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.

3．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交E e 于点D ，连接OD .

（1）求证：直线OD 是E e 的切线；

（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E e 于点G ，连接BG ：

①当1an 7t ACF ∠=

时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求BG CF

的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12. 【解析】

【分析】

（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；

（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ∆∆，得

12

BG CF ≤，从而得解. 【详解】

（1）证明：连接DE ，则：

∵BC 为直径

∴90BDC ∠=︒

∴90BDA ∠=︒

∵OA OB =

∴OD OB OA ==

∴OBD ODB ∠=∠

∵EB ED =

∴EBD EDB ∠=∠

∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠

即：EBO EDO ∠=∠

∵CB x ⊥轴

∴90EBO ∠=︒

∴90EDO ∠=︒

∴直线OD 为E e 的切线.

（2）①如图1，当F 位于AB 上时：

∵1~ANF ABC ∆∆ ∴

11NF AF AN AB BC AC

== ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x == ∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠=

==-，解得：1031x = ∴150531

AF x == 1504333131

OF =-= 即143,031F ⎛⎫

⎪⎝⎭