(完整word)行列式的计算技巧与方法总结,推荐文档

计算技巧及方法总结
一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式
2112221122
2112
11a a a a a a a a -=
2、三阶行列式
33
32
31
23222113
1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式6
01504
321
- 解 =-6
015043
21601⨯⨯)1(52-⨯+043⨯⨯+)1(03-⨯⨯-051⨯⨯-624⨯⨯-
4810--=.58-=
但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。

但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。

以便计算。

计算上三角形行列式
nn nn
n n a a a a a a a a a 22112221121100
0=
下三角形行列式 nn
n n a a a a a a 2122
21
110
00.2211nn a a a =
对角行列式
nn nn
n n a a a a a a a a a
221121
2221110
00=
二、用行列式的性质计算
1、记住性质，这是计算行列式的前提
将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若
,212222111211nn
n n n n a a a a a a a a a D
=
则 nn
n n n n T a a a a a a a a a D
212
22
12
12111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D =
注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.
性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.
推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即
.21
21
112112
1
21
112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn
n n in i i n nn
n n in i i n ===
第i 行(列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或k C i ⨯).
推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,
nn
n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D
2
1
221111211+++=.
则
21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn
n n in i i n nn n n in i i n +=+=
.
性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.
注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.
2、利用“三角化”计算行列式
计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:
如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;
再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
例2若21
10
1321-=D , 则.2
1
3
10201
1D D T =-=
例3（1）01212
1
1
1001211
121
---=--（第一、二行互换）.
（2）1
2
11
02
1101211
121
---=--（第二、三列互换） （3）0725011
11
=（第一、二两行相等） （4）0337
22
4
1
12
=---（第二、三列相等）
例4（1）02222510
2
11
=--因为第三行是第一行的2倍. （2）
07
5414
1
5
3820
141
=---因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.
例5若12
1
013
201
--=D , 则D 21
2
1
01
3201)2(12
1
013402-=---=---- 又 D 41
2
1
01
320141
2
40112
204
=--=--.
例6 设,133
32
31
232221
131211
=a a a a a a a a a 求.5353102633
32
31
232221
131211a a a a a a a a a ---- 解 利用行列式性质，有
3332
31
23222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332
31
2322211312
115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=33
32
31
2322211312
11a a a a a a a a a 15)3(2⋅⋅-⋅-=.30=
例7（1）
.11011
1311
103111
132+
=
++=
（2）()1)2(1272305
)
2(11
12
127230
52
11
--+--++=----+1
2
272052
1112730511---+--=. 例8 因为
,123
1040
3212
213==
++--+而
15)40()29(0
2
213
12
3=+++=-+
-.
因此
2
213
12
3
03212
213-+
-≠++--+.
注: 一般来说下式是不成立的
22
2112
1122
21
121122
2221
2112121111b b b b a a a a b a b a b a b a +
≠
++++.
例9（1）1
3
201
01311
3
2141
1
3112----r r ,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.
（2）3320410311
3
2141
1
3113c c +--,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.
例10计算行列式2
1
5
032
1263
-=D .
解 先将第一行的公因子3提出来：
,21
50324213215
0321263-=-
再计算
.
1623541
00430201541
10470221542
108704212718
908704
2
1
32
1
5
0324213=⨯====----=-=D
例11 计算.3
35111024
3152113------=D
解 2
1c c D
→331511204
3512131
-------
1
4125r r r r +-7216
01120
64802131------
32r r ↔
7216064
8011202
13
1
----- 242384r r r r -+ 15
10001080011202
1
3
1---- 3
445r r +
.40250
01080
01
12021
31＝--- 例12计算.3
1
1113111131
1113=
D 解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.
D
4
321r r r r +++3
1111
3111
131111163111131111316666= 1
4131
2r r r r r r ---
.482000020000201
1116=
注：仿照上述方法可得到更一般的结果:
.)]()1([1---+=n b a b n a a
b
b
b
b b a b b b b a
例13 计算
.1
11100000
0332
211a a a a a a --- 解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使4D 中的零元素增多.
4D
1
2c c +
1
1
2
1
0000
00033221a a a a a --
2
3c c +
1
3
2
1
000000003321
a a a a -
3
4c c +.44
3
2
1
0000
000
00321321
a a a a a a = 例14 计算.3610363234232d
c b a c b a b a a d
c b a c
b a b a a d
c b a c
b a b
a a d c b
a
D ++++++++++++++++++=
解 从第4行开始，后一行减前一行：
D
r
r r r r r ---33
41
2 .363023200c b a b a a c b a b a a c
b a b a a d
c b a +++++++++ 342
3r r r r --
.20200b
a a
a
b a a a c
b a b a a d
c b
a +++++
3
4r r -..0
020004a a
b a a c
b a b a a d
c b
a =++++
三、 行列式按行(列)展开（降阶法）
1、行列式按一行(列)展开
定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记
ij j i ij M A +-=)1(
称ij A 为元素ij a 的代数余子式.
引理（常用） 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij A a D =
定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即
),,,2,1(2211n i A a A a A a D in
in i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D nj
nj j j j j =+++=
推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即
,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++
或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++
2、用降价法计算行列式（常用）
直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.
3、拉普拉斯定理（一般少用）
定义 2 在n 阶行列式D 中,任意选定k 行k 列)1(n k ≤≤, 位于这些行和列交叉处的2
k 个元素,按原来顺序构成一个k 阶行列式M , 称为D 的一个k 阶子式,划去这k 行k 列, 余下的元素按原来的顺序构成k n -阶行列式,在其前面冠以符号k
k
j j i i +++++- 1
1
)1(,称为M 的代数
余子式,其中k i i ,,1 为k 阶子式M 在D 中的行标,k j j j ,,,21 为M 在D 中的列标.
注：行列式D 的k 阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质. 定理2 (拉普拉斯定理) 在n 阶行列式D 中, 任意取定k 行(列))11(-≤≤n k ,由这k 行(列)组成的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D .
例15求下列行列式的值:
（1）2
1
4
121
312
-- （2）1
20250723
解 (1) 2
1
3142
1
31)1(2
11222
1
4
121
312
-⨯
+-⨯
--⨯=--
.272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=
(2) .3)45(31
22
531
202507
23=-=⨯
=
例16计算行列式 .5
02101132
1014321---=D
解 5
2
1
01
1321
014321---=
D 313
422r r r r ++
5
20
7
1
1321
014107
----
1
0921
12
065
272
1
1
417
)1()1(2
12
3223-=---⨯-=-++r r r r
.241861
92
6)1(12
2-=--=--⨯=+
例17计算行列式 .0
532004140013202
527
1
02135----=D
解 5
3204
1401
3202
1352
)1(0
53200
4140013
2
02
527
10213552-----=----=+D 5
324141
3
2
52---⋅-=
121
3)2(r r r r -++6
6
270
13210---
.1080)1242(206
6
27)
2(10-=--=--⋅-=
例18求证 21)1(11213112
2
1
1
132114321-+-=---n n x x x x x x x n x x n x
n n .
证 D
3221143r r r r r r r r n
n ----- 1
1
1111111
1000011000
11100
11110
11110
x
x
x
x x x x ---- 1
10
1110011110111
1
111111)1(1
x
x x x
n -----=+
3221143r r r r r r r r n
n ----- .)1(1
10
000000100
010
00010000)1(211-++-=-----n n n x x
x
x x x x x
x
例19设,314231315
0111253------=D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,
求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.
解 注意到14131211A A A A +++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即
3142
3
1
3
150111111
14131211-----=
+++A A A A
341
3r r r r +-
11
20
2
25
0111111
---
1
1
222511---= 1
2c c + .42
05
20
1
202
511
=-=--
又按定义知,
3
1413
1
3
1
50111251
4131211141312111-------=
-+-=+++A A A A M M M M
3
4r r +
3
1
1
501121)1(0
10
31
3
15
0111251
---=----
3
12r r - .03
1
150
15
01=----- 例20 用拉普拉斯定理求行列式
2
10032100
3210
032 的值.
解 按第一行和第二行展开
2
1003
21003210
032=2132)1(21322121+++-⨯2031)1(31023121+++-⨯+2030)1(32033221+++-⨯+ 0121+-=.11-=。