第四章 误差与实验数据的处理
B678-分析化学-分析化学课件(各章知识点总结_[1]...
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** ka1为两性组分对应共轭酸的解离常数 ka2为两性组分生成共轭碱的解离常数 27
** ka1为两性组分对应共轭酸的解离常数 ka2为两性组分生成共轭碱的解离常数 C mol•L-1 Na2HA
H A Ka2 HA2 Ka3 A3 2 Na2 HA
较精确式：
[H ]
C mol•L-1 HCl
精确式
[H ] C
C2 4K w (C
106 mol L1)
2
HCl
当CHCl 10－6 mol L1，则[OH ] 10－8 mol L1
[H ] CHCl
（近似式）
C mol•L-1 NaOH
精确式 [OH ] C C 2 4Kw (C106 mol L1) 2
2
二、准确度和精密度的含义、表示方法、计算 以及两者的关系。
3
二、准确度和精密度的含义、表示方法、计算 以及两者的关系。
1、精密度是保证准确度的前提，准确 度高一定要精密度高。 2、精密度高，准确度不一定就高。
精密度是保证准确度的必要条件，但不是充分条件。
4
三、有效数字的意义和位数
有效数字——实际上能测量得到的数字。它 由全部能够准确读取的数据和最后一位可疑数字 组成。
nA=(a/b)nB 或 nB=(b/a)nA
CAVA=(a/b)CBVB (A、B均为液体，即液-液反应) (2) mA/MA=(a/b)CBVB (A为固体、B均为液体，即固-液反应) (3)
11
THCl/CaCO3 0.01001g mL，1 表示( 1.00mL)HCL溶液 恰能与 ( 0.01001g)CaCO3完全反应；此HCl标准溶液 的浓度为( 0.2000 )mol·L-1。
第4章 定量分析概论二、三节
分 准确度高低的尺度。 析 误差的表示方式分为绝对误差和相对误差两种。
概 绝对误差：测量值与真实值之差。 Ea x xT
论 相对误差：绝对误差占真实值的百分比。
1
Er
Ea xT
100 %
郑工学院
例：用分析天平直接称量铁粉，其质量分别为5.0000g和
0.5000g，试问哪一个称量值会较准确？
章
溶液溅失；
定 量 分 析 概 论
加错试剂； 读错刻度； 记录和计算错误等。
注意：过失误差必须给予删除。
1
郑工学院
减小误差的方法
第 四 ☆尽可能地减小系统误差和偶然误差 章
减小和消除系统误差
定 量
①选择合适的分析方法 在相同的条件下，对已知准确含量的标
②对照试验：
准样品进行多次测定，将测定值和准确 值进行比较，求出校正系数，用校正系
分
n
4
析
概
论
dr
d x
100 %
0.14 15.82
100 %
0.89%
1
郑工学院
（三）准确度与精密度的关系
第 四 章
定
量
分
析
概 结 论：
论 1. 准确度高，要求精密度一定高，精密度是保证准确度的
前提，但精密度高，准确度不一定高；
2. 准确度反映了测量结果的正确性，精密度反映了测量结
1
果的重现性。
分 ③空白试验（空白值） 数来校正试样的分析结果。
析 分析结果－空白值＝较准确的分析结果
概 指不加待测试样，在相同的条件下，按分析试样所采用的方法进行测 论 定，其测定结果为空白值。
高中物理必修二第四章—误差和有效数字
例题4．如图5－11所示，角游标尺上有30分格，对应于圆盘 刻度盘上29个分格，角游标尺每一格与刻度盘的每一格的差 是________分，此时角度为 ____________．
图5－11 【解析】将圆盘刻度盘类比为游标卡尺的主尺，角游标
1 尺类比为游标卡尺的游标尺，该角游标尺的精度为30 度，所 以其示数为：161＋15×1 ＝161.50°．
如：刻度尺不标准，一毫米的刻度偏大，用此类 刻度测量长度时，测量结果始终_________。
①系统误差的特点：实验结果与真实值的偏差总 是偏 大或偏小.
②减小系统误差的方法：改善实验原理；提高实 验仪器的测 量精确度；设计更精巧的实验方法。
说明：任何一次测量，不管仪器如何精密，不管 如何测量，都存在误差。
强调：作为有效数字中的“0”，无论是在数字的中 间，还是在数字的末尾，均不能随意省略．
如：1.0 cm和1.00 cm的意义是不同的，1.0 cm为两 位有效数字，1.00 cm为三位有效数字；两者的误 差也不同，前者cm为准确位，mm为估读位，后 者mm为准确位，mm的十分位为估读位，因此其 准确度也不同．
3．有效数字的读数规则
(1)刻度尺、螺旋测微器：是最小分度为“1”的仪 器，测量误差出现在下一位。读数时要估读到下
一位，估计数字有：0.1、0.2………0.9． 如最小刻度为1 mm 的刻度尺，测量误差出现在
mm的下一位上，估读到十分之几毫米． (2)游标卡尺：直接读出最小分度的准确数，不需
要往下估读。
4.13误差和有效数字
一、误差：测量值与真实值的差异叫做误差．
1、测量值：借助实验仪器，通过实验测量出的物 理量的值。
分析化学中的误差及其数据处理
分析化学中的误差定量分析的目的是准确测定试样中组分的含量，因此分析结果必须具有一定的准确度。
在定量分析中，由于受分析方法、测量仪器、所用试剂和分析工作者主观条件等多种因素的限制，使得分析结果与真实值不完全一致。
即使采用最可靠的分析方法，使用最精密的仪器，由技术很熟练的分析人员进行测定，也不可能得到绝对准确的结果。
同一个人在相同条件下对同一种试样进行多次测定，所得结果也不会完全相同。
这表明，在分析过程中，误差是客观存在，不可避免的。
因此，我们应该了解分析过程中误差产生的原因及其出现的规律，以便采取相应的措施减小误差，以提高分析结果的准确度。
2.6.1 误差与准确度分析结果的准确度（accuracy ）是指分析结果与真实值的接近程度，分析结果与真实值之间差别越小，则分析结果的准确度越高。
准确度的大小用误差（error ）来衡量，误差是指测定结果与真值（true value ）之间的差值。
误差又可分为绝对误差（absolute error ）和相对误差（relative error ）。
绝对误差（E ）表示测定值（x ）与真实值（x T ）之差，即E =x - x T （2-13）相对误差（E r ）表示误差在真实值中所占的百分率，即 %100Tr ⨯=x E E (2-14)例如，分析天平称量两物体的质量分别为 g 和 g ，假设两物体的真实值各为 g 和 g ，则两者的绝对误差分别为：E 1= g E 2= g两者的相对误差分别为：E r1=%1006381.10001.0⨯-= %E r2=%1001638.00001.0⨯-= %由此可见，绝对误差相等，相对误差并不一定相等。
在上例中，同样的绝对误差，称量物体越重，其相对误差越小。
因此，用相对误差来表示测定结果的准确度更为确切。
绝对误差和相对误差都有正负值。
正值表示分析结果偏高，负值表示分析结果偏低。
定量分析误差产生的原因误差按其性质可以分为系统误差（systematic error ）和随机误差（random error ）两大类。
实验数据处理与分析 第四章
某罐头厂生产肉类罐头，其自动装罐机在正常工作
时每罐净重服从正态分布N（500，64）（单位，g） 。某日随机抽查10瓶罐头，得净重为：505，512，
497，493，508，515，502，495，490，510。问装
罐机当日工作是否正常？
为了降低犯两类错误的概率，一般从选取适当的
和增加试验重复次数 n来考虑。因为选取 数值小的显著水平 值可以降低犯Ⅰ类型错误的概率，
著差异。
甲生产线（x1） 71 56 54 71 57 62 69 73 72 65 62 62 54 78 70 58 53 78 63 67 乙生产线（x2） 53 54 60 56 49 51 53 66 58 70 70 66 65 52 71 58 55 53 56 55
74 62 61 77 59
n≥30）。
【例4-1】某罐头厂生产肉类罐头，其自动装罐机在正
常工作时每罐净重服从正态分布N（500，64）（单 位，g）。某日随机抽查10瓶罐头，得净重为：505
，512，497，493，508，515，502，495，490，510
。问装罐机当日工作是否正常？
（1） 提出假设 无效假设H0：μ ＝μ 0＝500g，即当日装罐机每 罐平均净重与正常工作状态下的标准净重一样。 备择假设HA：μ≠μ0，即罐装机工作不正常。 （2）确定显著水平 α ＝0.05（两尾概率）
小或试验误差越大，就越容易将试验的真实
差异错判为试验误差。
显著性检验的两类错误归纳如下：
表4-1 显著性检验的两类错误
客观实际
检验结果 否定 H 0 Ⅰ型错误（ ） 推断正确（1- ） 接受 H 0 推断正确（1- ） Ⅱ型错误（ ）
化学实验中的常见误差与实验数据处理
化学实验中的常见误差与实验数据处理在化学实验中，准确的数据是非常重要的。
然而，由于各种原因，实验数据往往会存在一定的误差。
这些误差可能来自于仪器的精度限制、操作上的不准确、环境因素的影响等。
了解并处理这些常见误差对于得到可靠的实验结果至关重要。
首先，常见的实验误差包括仪器测量误差、人为误差和环境误差。
仪器测量误差是由于仪器本身的精度和灵敏度限制造成的。
例如，在量筒中读取液体体积时，由于视线偏差或者刻度线的不准确而引起的误差。
人为误差则是由实验人员在操作过程中的不准确引起的，例如，加液过程中的滴管滴液数量的不确定性。
而环境误差则包括温度、湿度等因素对实验结果的影响。
然后，处理实验数据时，我们可以采用一些统计方法来评估和纠正误差。
一种常用的方法是求取实验结果的平均值。
当实验数据存在误差时，重复实验并取多组数据可以降低误差的影响，通过计算平均值来获得更准确的结果。
还可以计算实验数据的标准偏差或方差，对数据的稳定性进行评估。
较小的标准偏差表示数据的稳定性较高，较大的标准偏差则可能说明数据存在较大的误差。
在进行数据处理时，还可以采用加权平均值的方法，给予不同数据不同的权重，从而提高数据处理的准确性。
此外，对于实验数据的处理还需要考虑有效数字和显著性数字的规则。
有效数字是指数据中的所有数字，包括最后一位不确定的数字。
而显著性数字则是指在有效数字中真正具有意义的数字，用于表示测量的准确程度。
在进行数据处理和结果报告时，应根据有效数字和显著性数字的规则，决定实验结果的精确度和有效性。
此外，还需要注意误差的来源和影响因素，以便采取相应的纠正措施。
例如，在仪器测量误差方面，可以选择更精确的仪器或使用适当的校准方法来提高测量的准确性。
在人为误差方面，可以通过培训和严格的操作规程来减小误差。
在环境误差方面，可以控制实验室的温度和湿度，以减小这些因素对实验结果的影响。
总之，化学实验中常见的误差是无法避免的，但我们可以通过合理的数据处理方法和纠正措施来减小误差的影响。
研究生 试验设计与数据处理 第四章
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举 例
1. 判断颜色对销售量是否有显著影响，实际上也
就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是 否相等的问题 2. 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近 § 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值
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1. 随机误差
2.
在因素的 同一 水平 ( 同一 个总体 ) 下 ，样本的 各观 察值之间的差异 § 比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量 是不同的 § 不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影 响 ，或者 说是 由 于 抽样的随 机 性 所 造 成 的， 称 为 随机误差 系统误差 § 在因素的不 同 水平 ( 不 同 总体 ) 下 ， 各观 察值之 间 的差异 § 比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是 不同的 § 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也 可能 是由 于颜色本 身所造成 的，后者 所形成的 误 差是由系统性因素造成的，称为系统误差
什么是方差分析?
（例子的进一步分析）
① 检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就 是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同 ② 设µ1为无色饮料的平均销售量，µ2粉色饮料的 平均销售量，µ3为橘黄色饮料的平均销售 量， µ 4 为绿色饮料的平均销售量， 也就是检 验下面的假设 ① H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 ② H1: µ1 , µ2 , µ3 , µ4 不全相等 ③ 检验上述假设所采用的方法就是方差分析
1 2 3 4 5
该饮料在五家超市的销售情况 无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
定量分析误差和数据处理
定量分析误差和数据处理第四章定量分析概述一、知识目标本章要求熟悉误差的来源及减小误差的方法；理解准确度、精密度的概念，准确度与精密度的关系；掌握有效数字的概念及运算方法，掌握误差的表示方法；了解系统误差特点和偶然误差的分布规律，了解误差及偏差的计算方法，了解可疑值的取舍方法。
熟悉滴定分析基本概念，理解滴定分析法对化学反应的要求，理解常见的滴定分析的方式；掌握滴定分析的标准溶液的配制方法，标准溶液浓度的表示方法和基准物质应具备的条件；了解滴定度的概念，ip[物质的量浓度与滴定度之间的换算关系。
二、能力目标通过对本章的学习，能根据误差特点判别误差类别和进行误差的减免，能正确表示误差；能熟练地运用有效数字进行数据记录和运算，树立“量”的概念；能对分析数据进行简单处理，能用Q值检验法和四倍法对分析数据中的可疑值进行取舍；初步具备评价数据的能力。
通过对本章的理论知识和实验技能学习，能根据滴定分析要求选择滴定反应、滴定方式；能根据测定要求正确选择滴定分析仪器；能较熟练使用容量瓶、移液管、吸量管、滴定管等常用仪器；能熟练运用直接法和间接法配制标准溶液；能正确表示滴定分析标准溶液的浓度；能熟练进行滴定分析的有关计算。
三、本章小结定量分析的任务是在已知物质组成的基础上准确测定试样中有关组分的含量测定，就不可避免地会产生误差。
欲对定量分析数据的可靠性和准确程度做出判断，以准确表达定量分析的结果，就要了解分析测定中误差产生的原因及误差出现的规律，并采取相应措施，减少测量误差，使测定值尽量接近其真值。
（一）定量分析的误差及减免方法1、误差的分类及产生原因：(1) 系统误差、偶然误差的定义。
26方法误差仪器误差（2）系统误差产生的主要原因试剂误差操作误差对照实验空白实验（3）系统误差减小或校正的措施标准仪器校正方法 2、误差的表示方法：（1）准确度与误差、精密度与偏差的关系，（2）准确度与精密度的关系，（3）提高分析准确度的方法（二）有效数字及分析数据的处理1、有效数字的意义2、有效数字的修约规则：四舍六入五留双加减运算3、有效数字的运算规则乘除运算4、定量分析数据处理及分析结果的表示方法4d检验法 5、可疑值的取舍 Q检验法以元素表示6、定量分析结果的表示方法以离子表示以氧化物表示以特殊形式表示（三）滴定分析的基本概念：滴定分析法；标准溶液；滴定；化学计量点；滴定终点；终点误差。
分析化学课件(课前练习)(全)
六、写出c mol·L-1 KHP的MBE、CBE和PBE （零水准法）
2020/9/28
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五、试求HCO3-、CO32-的pKb值。已知：H2CO3的
pKa1、pKa2分别为6.38、10.25。
解： H2CO3 Ka1 HCO3- Ka2
CO32-
Kb2
Kb1
HCO3- Kb2，Ka1·Kb2=Kw pKa1+pKb2=pKw=14 所以， pKb2=14-pKa1=14-6.38=7. 62
第四章 误差与实验数据的处理
1、误差可分为哪两类？各有什么特点？可采用 何种方法减免？
2.下列情况各引起什么误差？如果是系统误差， 采用什么方法减免？
a.砝码腐蚀；
b.试剂中含有微量的被测组分； c.天平零点稍有变动； d.读取滴定管读数时，最后一位数字估测不准；
2020/9/28
1
1、误差可分为哪两类？各有什么特点？可采用何 种方法减免？
a.砝码腐蚀；
会引起仪器误差，属系统误差。 减免方法：校准砝码或更换砝码。
b.试剂中含有微量的被测组分； 会引起试剂误差，属系统误差。 减免方法：做空白试验。
c.天平零点稍有变动； 会引起随机误差。
d.读取滴定管读数时，最后一位数字估测不准；
会引起随机误差。
2020/9/28
3
第四章 误差与实验数据的处理
Ka·Kb=Kw。
（×）
2、在共轭酸碱对中，若酸的酸性越强，则其共轭碱的
碱性也越强；若碱的碱性越弱，则其共轭酸的酸性
也越弱。
（ ×）
3、 HA有三种型体：HA、A-、H+。 （ ）×
4、弱酸HnA在水溶液存在(n+1)种型体
随机误差的正态分布
系统误差与随机误差的比较
项目
系统误差
随机误差
产生原因 固定的因素
不定的因素
分类
方法误差、仪器与试剂 误差、主观误差
性质
重现性、单向性（或周 服从概率统计规律、
期性）、可测性
不可测性
影响 准确度
精密度
消除或减 小的方法
校正
增加测定的次数
系统误差的检查与校正方法
（1）方法误差：检查与校正 对照试验选择、改进实验方法。 （2）仪器和试剂误差：检查与校正，空白试验-空白值，空白 校正。
第四章 误差与实验数据的处理
上饶师范学院化学化工学院
• 定量分析பைடு நூலகம்准确获取试样中物质的含量
分析方法 仪器和试剂 工作环境 分析者等
误差：分析结果与真值之差。 误差是客观存在不可避免
对试样准确测量
分析工作者的任务
对分析结果的可靠性 和准确性作出评价
对产生误差的原因进 行分析提出改进措施
第一节 误差的基本概念
23%
1.805 1.835 16
16%
1.835 1.865
6
6%
1.865 1.895
2
2%
∑
100
100%
频率
0.3
0.2
0.1
0.0
测定值
频率分布直方图
二、正态分布
正态分布N (, 2) 的概率密度函数：
y f (x)
1
e
(
x)2 2 2
2
特点： 总体平均值:无限次测量值集中的趋势。y
绝对误差为：Ea=X-T
相对误差（Er）:表示误差在真实值中所占的百分率
分析化学 第四章 误差与实验数据的处理
Xi 10.0 10.1 9.3 10.2 9.9 9.8 10.5 9.8 10.3
9.9
X i- X ± 0.0 +0.1 -0.7* +0.2 -0.1 -0.2 +0.5* -0.2 +0.3
-0.1 ∑0 ∑|Xi- X|=2.4
(Xi-X)2 0.00 0.01 0.49 0.04 0.01 0.04 0.25 0.04 0.09
4
Ea 0.5617 0.5623 6 10
6 10 Er 100% 0.1% 0.5623
2014年10月30日星期四 分析化学教研室
例4-1
第7页
2. 误差的绝对值与绝对误差是否相同？
答：不相同。误差的绝对值是 Ea 或 Er ，绝对误差是Ea。
3. 常量滴定管可估计到±0.01 mL，若要求滴 定的相对误差小于0.1%，在滴定时，耗用体积 应控制为多少？
2014年10月30日星期四
分析化学教研室
第2页
本章知识结构
表征
准确度 精密度 误差 偏差 系统误差
绝对误差、相对误差
各类偏差：平均偏差，标准偏差等 两者的意义、关系
误
表示
特点
产生原因
差
分类
随机误差
过失
消除或减免方法
消除或减免——提高分析结果准确度的方法
2014年10月30日星期四 分析化学教研室 第3页
1.74 1.49 0.03 9
2014年10月30日星期四 分析化学教研室 第27页
每组数据相差0.03，如1.481.51,1.511.54 为了避免一个数据分在两个组内，将组界数据的精 度定提高一位，以5为界值 即1.4851.515, 1.5151.545。这样1.51就分在1.4851.515组 频 数：落在每个组内测定值的数目 相对频数：频数与样本容量总数之比
第四章 误差与实验数据的处理-答案
第四章误差与实验数据的处理练习题参考答案1. 下列各项定义中不正确的是( D)（A）绝对误差是测定值和真值之差（B）相对误差是绝对误差在真值中所占的百分率（C）偏差是指测定值与平均值之差（D）总体平均值就是真值2. 准确度是（分析结果）与（真值）的相符程度。
准确度通常用（误差）来表示，（误差）越小，表明分析结果的准确度越高。
精密度表示数次测定值（相互接近）的程度。
精密度常用（偏差）来表示。
（偏差）越小，说明分析结果的精密度越高。
3. 误差根据其产生的原因及其性质分为系统误差和（随机误差）两类。
系统误差具有（重复性）、（单向性）和（可测性）等特点。
4. 对照试验用于检验和消除（方法）误差。
如果经对照试验表明有系统误差存在，则应设法找出其产生的原因并加以消除，通常采用以下方法：（空白试验），（校准仪器和量器），( 校正方法)。
5. 对一个w(Cr)=%的标样，测定结果为%，%，%。
则测定结果的绝对误差为（－%），相对误差为（－%）。
\6. 标准偏差可以使大偏差能更显著地反映出来。
（√）7. 比较两组测定结果的精密度（B）甲组：％，％，％，％，％乙组：％，％，％，％，％（A）甲、乙两组相同（B）甲组比乙组高（C）乙组比甲组高（D）无法判别8. 对于高含量组分（>10%）的测定结果应保留（四）位有效数字；对于中含量组分（1%～10%）的测定结果应保留（三）位有效数字；对于微量组分（<1%）的测定结果应保留（两）位有效数字。
9. 测定的精密度好，但准确度不一定好，消除了系统误差后，精密度好的，结果准确度就好。
（√）10. 定量分析中，精密度与准确度之间的关系是( C)（A）精密度高，准确度必然高（B）准确度高，精密度也就高（C）精密度是保证准确度的前提（D）准确度是保证精密度的前提"11. 误差按性质可分为（系统）误差和（随机）误差。
12. 下列叙述中错误的是( C)（A）方法误差属于系统误差（B）终点误差属于系统误差（C）系统误差呈正态分布（D）系统误差可以测定13. 下列几种误差属于系统误差的是( C)(1)方法误差(2)操作误差(3)仪器和试剂误差(4)环境的温度、湿度、灰尘等造成的误差（A）1,3,4 (B)1,2,4 (C)1,2,3 (D)2,3,4`14. 下列（D）情况不属于系统误差（A）滴定管未经校正（B）所用试剂中含有干扰离子（C）天平两臂不等长（D）砝码读错15. 偶然误差具有（C）（A）可测性（B）重复性（C）非单向性（D）可校正性16. 下列有关随机误差的论述中不正确的是( B)(A) 随机误差具有随机性(B) 随机误差具有单向性(C) 随机误差在分析中是无法避免的(D) 随机误差是由一些不确定的偶然因素造成的;17. 在进行样品称量时，由于汽车经过天平室附近引起天平震动是属于（B）（A）系统误差（B）偶然误差（C）过失误差（D）操作误差18. 指示剂的变色点与化学计量点不一致所引起的终点误差属于（系统误差）；每次滴定判断终点的不确定性属于（随机误差）。
误差理论与数据处理 第四章 测量不确定度考试重点
1、测量不确定度
是指测量结果变化的不肯定，是表征被测量的真值在某个量值范围的一个估计，是测量结果含有一个参数，用以表示被测量值的分散性。
（一个完整的测量结果应包含被测量值的估计与分散性参数两部分）
2、测量不确定度的分类
A类评定：一些分量由一系列观测数据的统计分析来评定
B类评定：一些分量是基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定。
3、测量不确定度与误差
相同点：
都是评价测量结果质量高低的重要指标，都可作为测量结果的精度评定参数
不同点：
从定义上
（1）误差是测量结果与真值之差，它以真值或约定真值为中心，而测量不确定度是以被测量的估计值为中心。
（2）误差是一个理想概念，难以定量，测量不确定度是可以定量估计的。
从分类上
误差按自身特征和性质分为系统误差，随机误差，粗大误差。
测量不确定度按评定方法分为A类评定和B类评定。
4、不确定度的自由度
每个不确定度都对应着一个自由度，并将不确定度计算表达式中总和所包含的项数减去各项之间存在的约束条件数，所得差值称为不确定度的自由度。
5、标准不确定度的自由度
A类评定：其自由度v即为标准差o的自由度。
B类评定：其自由度v=（1/[2(ou/u)平方]）。
分析化学(各章知识点总结)
（动画）
强碱（酸）滴定强酸（碱）时，pH突跃范围与滴定剂浓度、被滴定物的浓度有关。
当CNaOH=CHCl=0.1000mol•L-1时，pH突跃范围为4.30～9.70 当CNaOH=CHCl=1.000mol•L-1时，pH突跃范围为3.30～10.70 当CNaOH=CHCl=0.01000mol•L-1时，pH突跃范围为5.30～8.7206
5后面不为0，入
3.6085000013.609 3.6075000013.608
2.5
4. 修约数字一次到位 将2.5491修约为2位 2.552.6 5
五、有效数字的运算规则——只能保留1位不确定（可 疑）数字；先修约，后计算
+、- 法：以小数点后位数最少者为依据(定位) 、 法：以有效数字位数最少者为依据(定位)
共轭酸碱对中，酸碱解离常数Ka、Kb的乘 积等于溶剂的质子自递常数Kw。
Ka Kb [H ][OH ] Kw 1014 pKa pKb pKw 14
13
已知H3PO4在水中的解离常数分别为：Ka1= 7.6×10-3，Ka2= 6.3×10-8，Ka3= 4.4×10-13。 试求：H2PO4-的Kb值为（ 1.3×10-12 ）， HPO42-的Kb值（ 1.6×10-7 ）。
2 δ 仅是[H+]和Ka 的函数，与酸的分析浓度
c无关。对于给定弱酸，δ 仅与pH有关
3 δHA＋ δA- ＝ 1
16
分布分数的总结
n元弱酸HnA
δn
[H+]n = [H+]n + [H+]n-1Ka1 +…+Ka1 Ka2..Kan
δn-1
=
误差理论与数据处理课件(全)
个数K 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
+△ 频率K/n 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
（四）复杂规律变化的系统误差
（一）实验对比法 （二）残余误差观测法
（五）计算数据比较法
（一）从产生误差根源上消除系统误差 （二）用修正方法消除系统误差 （三）不变系统误差消除法 1。替代法 2。抵消发 3。交换法
一、粗大误差产生的原因 （1）测量人员的主观原因 （2）客观外界条件的原因
第一节：研究误差的意义 1、始终存在着误差 意义：
1）正确认识误差的性质，分析误差产生 的原因，以消除和减少误差。
2）正确处理测量和实验数据 3）正确组织实验过程
由于误差的存在，使测量数据之间产生矛 盾。
( )实际 180
( )理论 180
测量仪器：i角误差、2c误差 观测者：人的分辨力限制 外界条件：温度、气压、大气折光等
……
2.40~2.60 >2.60
和
个数K 40 34 31 25 20 16 …… 1 0 210
—△ 频率K/n 0.095 0.081 0.074 0.059 0.048 0.038
(4)( AT )1 ( A1)T
(5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。
(6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且：
A1 (diag (a11, a22,ann ))1 diag( 1 , 1 1 )
a11 a22 ann
（1）伴随矩阵法：
设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式，则由 n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵 的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。
分析化学第四章误差与实验数据的处理
二、正态分布（高斯分布）
大量不含系统误差的测量数据一般遵从正态分布规律，这种 分布特性就是满足高斯方程的正态概率密度函数。
y f ( x)
1 2
( x )2
e 2 2
Y表示概率密度，x为单次测定值，µ为无限次测量的算术平 均值，即总体平均值（没有系统误差时，就是真值），ơ为 无限次测量的标准偏差
第三章误差与实验数据的处理
由统计学可得平均值的标 准偏差与单次测量的标准 偏差关系为：
对于有限次测量，则
第三章误差与实验数据的处理
式中
s x
称样本平均值的标准偏差。由以上两式
可以看出，平均值的标准偏差与测定次数的平
方根成反比。因此增加测定次数可以提高测定
的精密度。
第三章误差与实验数据的处理
(五）准确度和精密度的关系(p81图4-3）
偏差越大，精密度越低
偏差
绝对偏差
相对偏差
第三章误差与实验数据的处理
1.绝对偏差（d）=个别测定值—多次平均值= Xi X
2.相对偏差（dr)=
d
x
*100
0 0
偏差是用来衡量某个别测定值与平均值 的接近程度
若要衡量总体测定值与平均值 的接近程度，可用平均偏
差（均差）
3.3 平均偏差( d )= x1 x x2 x ........ xn x d1 d2 ....... dn
第三章误差与实验数据的处理
平均值1.62% 所在的组（第 五组）具有最 大的频率值， 处于它两侧的 数据组，其频 率值仅次之。 统计结果表明： 测定值出现在 平均值附近的 频率相当高， 具有明显的集 中趋势；而与 平均值相差越 大的数据出现 的频率越小。
华中师范大学等六校合编《分析化学》(第4版)(上册)【章节题库】误差与实验数据的处理【圣才出品】
第4章误差与实验数据的处理1．何为准确度和精密度，两者有什么关系？答：（1）准确度和精密度的定义①准确度表示测量值与真实值的接近程度，可用误差来衡量。
误差越小，分析结果的准确度越高；反之，误差越大，准确度越低。
②精密度表示几次平行测定结果之间的相互接近程度，可用偏差来衡量。
偏差越小表示精密度越好。
（2）准确度和精密度的关系①精密度很高，测定结果的准确度不一定高，可能有系统误差存在。
精密度低，说明测定结果不可靠；②准确度高一定要求精密度高，即精密度是保证准确度的前提。
2．指出在下列情况下，各会引起哪种误差？如果是系统误差，应该采用什么方法减免？（1）电子天平未经校准；（2）容量瓶和移液管不配套；（3）试剂中含有微量的被测组分；（4）天平的零点有微小变动；（5）滴定时从锥形瓶中溅出一滴溶液；（6）标定HCl溶液用的NaOH标准溶液中吸收了CO2。
答：（1）会引起系统误差中的仪器误差。
减免的方法：校正天平。
（2）会引起系统误差中的仪器误差。
减免的方法：容量瓶与移液管进行相对校正。
（3）会引起系统误差中的试剂误差。
减免的方法：通过空白试验测定出空白值进行校正；或改用合格试剂。
（4）会引起随机误差。
（5）会引起过失误差，也可归为系统误差。
减免的方法：重新进行实验。
（6）会引起系统误差中的试剂误差。
减免的方法：通过空白试验测定出空白值进行校正；或使用含CO 32－的NaOH 标准溶液进行标定。
3．滴定管的读数误差为±0.02mL 。
如果滴定中用去标准溶液的体积分别为2.00mL 和20.00mL ，读数的相对误差各是多少？从相对误差的大小说明了什么问题？答：（1）滴定管读数的相对误差因滴定管读数的绝对误差为±0.02mL ，因此体积读数读数的相对误差分别为2200.02100%1%2.000.02100%0.1%20.00mL r mLr mL E mL mL E mL±=⨯=±±=⨯=±（2）相对误差的意义对给定测定准确度的分析仪器（绝对误差恒定），当量取的溶液体积较大时，其体积读数的相对误差就小，测定的准确度程度比较高；反之，当量取的溶液体积较小时，体积读数的相对误差就较大，测定的准确度程度就较低。
第四章数据处理技术第五节零点漂移与增益误差处理
① 零点校准：先令输入端短路（开关S1闭合），此时 有x=0，得到输出为y0，按式（4-4） , 有
式4-5
五、零点漂移与增益误差处理
1．误差模型
② 增益校准 ：令输入端接上一个已知的标准电压（开 关S2闭合），此时有x=E，得输出为y1, 于是有
式4-6
③ 联立求解式（4-5）和式（4-6） ，可得两个误差 因子为
温度 变送器
压力 变送器
紫外 光源
样气分析池 排出
三通阀
臭氧滤除器
紫外光 检测器
多路 模拟 开关
AB
A/D
DB 微型 CB 计算机
阀控制
显示器
图4.22 臭氧分析仪结构示意图
五、零点漂移与增益误差处理
4．环境因素综合补偿技术与程序设计
(2)环境因素补偿技术
按式（4-9），吸收系数α是一个多变量函数，
当环境温度为0℃与大气压为0.101325MPa时，
吸收系数为α0。
五、零点漂移与增益误差处理
4．环境因素综合补偿技术与程序设计
(1)臭氧测量仪的工作原理 显然，由于吸收系数与环境因素有关，按式（4-8 ）测量样气光强还不能准确知道臭氧浓度，还需要弄
清α随环境变化的规律，并进行补偿，才能真正解决问 题。现已知α与α0、T、p之间有下列近似关系：
其中
图4.17
x是输入的被测量（例如直流放大器的输入电压）
y是是带有误差的测量结果（例如放大器的输出电压）
ε是影响量（例如零点漂移或干扰） i是偏置量（例如直流放大器的偏置电流 ） k是影响特性（例如放大器增益的变化）
五、零点漂移与增益误差处理
1．误差模型
无误差的理想情况下： 系：
物理实验技术使用中常见的误差与处理方法
物理实验技术使用中常见的误差与处理方法引言：物理学作为一门实验科学，实验技术的准确性和精确度对于实验结果的可靠性和有效性起着至关重要的作用。
然而，在物理实验过程中，各种误差不可避免地会出现。
本文将讨论物理实验中常见的误差类型及其处理方法，以期提高实验的可靠性和准确性。
一、系统误差系统误差是指在相同条件下，测量结果偏离真实值的固定差异。
它的存在会导致实验结果的偏离和不准确。
1. 仪器误差修正仪器固有误差是指由于仪器本身设计、制造或使用中产生的误差，如零点偏移和灵敏度不一致等。
修正这些误差可以通过校正仪器来实现，例如使用已知稳定量来校准仪器，并进行零点和灵敏度调整。
2. 环境及操作误差控制环境和操作误差是指实验条件的不确定性和不稳定性所导致的误差。
为了控制环境误差，可以选择稳定的实验环境，并使用保持温度、湿度和压力稳定的设备。
操作误差可以通过培训实验人员、规范实验步骤和标准化操作来降低。
3. 实验设备的选择在进行物理实验时，选择适合实验目的和要求的设备非常重要。
使用高质量的仪器和设备可以降低系统误差的发生概率，提高实验结果的准确度。
二、随机误差随机误差是指在相同条件下，多次重复测量所得到的结果的差异。
它是由于诸多随机因素的综合作用引起的。
1. 多次重复测量为了减小随机误差的影响，可以进行多次重复测量，并计算平均值以获得更准确的结果。
2. 统计分析通过统计分析可以确定随机误差的范围和分布规律。
例如，使用标准差和误差棒来表示数据的离散程度，以便更好地了解测量结果的准确程度。
3. 统计显著性检验统计显著性检验可帮助确定实验结果是否具有统计学上的显著性。
例如，使用t检验或F检验来进行假设检验，并计算P值以确定实验结果的可靠性和有效性。
三、人为误差人为误差是指由于实验人员主观因素引起的误差，包括读数误差、操作误差和判断误差等。
1. 仪器读数的精确性正确读取仪器上的数据是避免读数误差的关键。
为了提高读取的准确性，应注意读数精度并使用合适的测量单位。
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三、 准确度与精密度的关系
精密度 好 好 差 很差 准确度 好 稍差 差 偶然性
21:16
精密度是保证准确度的先决条件； 精密度高不一定准确度高； 两者的差别主要是由于系统误差的存在。
13
四、系统误差与随机误差
21:16
14
（1）系统误差
系统误差是定量分析误差的主要来源。 性质：
重现性：同一条件下的重复测定中，结果重复出现； 单向性：测定结果系统偏高或偏低；对测定结果影 响固定。 可测性：其大小可以测定，可对结果进行校正。
合计
频率密度直方图
3.0 2.5
频率密度
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 98.8
99.0
99.2
99.4
99.6
99.8
100.0
100.2
23
测 定 值
21:16
21:16
3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
频率密度直方图和频率密度多边形
测量值（%）
87%(99.6%±0.3)
含量的置信区间（P = 0.95） 解： P = 0.95，u=1.96
0.002 0.087 1.96 4 (0.087 0.002 )%
置信区间：0.085～0.089
21:16 40
2、已知样本标准偏差s时
查表P 88，得|u|＝0.4773
21:16
P＝2×0.4773＝0.955
33
§4.3 有限测定数据的统计处理
总体 抽样 样本 观测 数据
统计处理
目的：通过对随机样本的有限次数的测定，
推测有关总体的情况
21:16 34
一、t 分布曲线
x t s
t 分布曲线反映了有限次测定数 据及其误差的分布规律。 纵坐标－－概率密度
(1) 小误差出现的概率大, 大误差出现的概率小, 特大误差概率极小; (2) 正、负误差出现的概率相等。
对称性、单峰性、有界性
21:16
32
例题：测得某钢样中磷的百分含量为0.099，已知
σ＝0.002，问测定值落在区间0.095～0.103的概率
是多少？（无系统误差）
解：
0.103 0.099 u1 2 0.002 0.095 0.099 u2 2 0.002
0.0001 Er1 100% 0.006% 1.6381
0.0001 Er2 100% 0.06% 0.1638
21:16
4
平均值与中位数
讨论:
(1) 误差的大小是衡量准确度高低的标志。 (2) 误差是有正负号之分。 (3) 实际工作中真值实际上是难以获得。
21:16 5
第四章 误差及实验数据的处理
§4.1 误差的基本概念
§4.2 随机误差的正态分布
§4.3 有限测定数据的统计处理
§4.4 提高分析结果准确度的方法
§4.5 有效数字及其运算规则
§4.6 Excel在实验数据处理的应用
21:16 1
§4.1 误差的基本概念
一、准确度与误差
准确度:
1、测定值与真值接近的程度; 2、准确度高低常用误差大 小表示,误差小，准确度高。
99% 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3,500 3.355 3.250 3.169 2.846 2.576
37
一般选P＝0.90，0.95
二、平均值的置信区间
置信度 ：
在某一定范围内测定值或误差出现的概率 。
置信区间 ：
在一定的置信度下，以测定结果为中心，估 计总体平均值的取值范围, 称置信区间.
二、正态分布曲线
y f ( x)
y: 概率密度 x: 测量值 μ: 总体平均值 x-μ: 随机误差 σ : 总体标准偏差 (0.607h处半峰宽)
21:16 25
1
( x )2
2
e
2 2
正态分布曲线 N (μ,σ2 )
特点:
1. 极大值在x=μ处.
2. 拐点在x=μ±σ处. 3. 于x=μ对称. 4. x轴为渐近线. 5. y( x )
组距(△s) =1.3/14 = 0.1 (%)
21:16
分14组。
21
频数分布表
组号
1 2 3 4
分
98.85 ～ 98.95 ～ 99.05 ～ 99.15 ～
组
98.95 99.05 99.15 99.25
频数ni
1 2 2 5
频率 ni/n
0.006 0.012 0.012 0.029
频率密度 (ni/n÷△s)
21:16
38
1、已知总体标准偏差σ时
x u
测定值出现在该区间的概率由u决定
x u
由单次测定值来估计µ可能存在的范围。
x u x
以平均值来估计µ可能存在的范围。
21:16 39
例题：用标准方法测定钢样中磷的含量，测定4次，
平均值为0.087％，且σ = 0.002％。求该钢样中磷
21:16 10
相对标准偏差( sr ) :
s s r 100% x
又称为变异系数 CV (coefficient of variation)
21:16
11
4、平均值的标准偏差
x
n
1.0 0.8
0.6
s sx n
0.4 0.2 0.0
1
21:16
5
10
15
20
n
12
增加测量次数可以减小随机误差的影响，提高测定的精密度
21:16 36
t 值表
测定次数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 ∞
21:16
90% 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.725 1.645
置 信 度 95% 12.706 4.303 3,182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.086 1.960
24
99.60%（平均）
98 8..8 85 5 98 8..9 95 5 99 9..0 05 5 99 9..1 15 5 99 9..2 25 5 99 9..3 35 5 99 9..4 45 5 99 9..5 55 5 99 9..6 65 5 99 9..7 75 5 99 9..8 85 5 99 9..9 9 1 0 55 00 0.00 . 55 10 00 0.11 . 55
二、精密度与偏差
1、精密度：
是指在确定的条件下，将测试方法实施 多次，求出所得结果之间的一致程度。 精密度的大小常用偏差表示。
21:16
6
2、偏差(Deviation)：
绝对偏差 di：测定结果(xi)与平均值( x )之差。 相对偏差 dr：绝对偏差在平均值中所占的百分率。
di xi x
1 2
26
21:16
标准正态分布曲线
令： u
x
du
1
dx
u2 2
1 y f ( x) e 2
f ( x ) dx
1 e 2
u 2 2
du Φ (u ) du
1 2
即 : y (u )
21:16
e
u2 2
27
Φ (u )
xi x dr 100% x (有正偏差：
各偏差值绝对值的平均值，称为单次测定的平均
偏差，又称算术平均偏差（Average Deviation）。
1 n 1 n d d i xi x n i 1 n i 1
相对平均偏差：
d d r 100% x
（4）人为误差（Personal Errors）：如观察颜色偏深或偏浅，
第二次读数总是想与第一次重复等造成。
21:16 16
系统误差的校正方法： 标准方法、提纯试剂、校正仪器。 对照试验、空白试验、使用校正值。
21:16
17
（二）随机误差
产生的原因：
由一些无法控制的不确定因素引起的。 1、如环境温度、湿度、电压、污染情况等变化引 起样品质量、组成、仪器性能等的微小变化； 2、操作人员实验过程中操作上的微小差别； 3、其他不确定因素等所造成。
21:16 2
误差： 测定值 xi 与真实值 T 之差。
绝对误差 (Absolute Error)：
Ea = xi－T
相对误差 (Relative Error)：
21:16
xi T Er 100% T
3
例题：分析天平称量两物体的质量各为1.6380 g 和0.1637g，假定两者的真实质量分别为1.6381 g 和0.1638 g，计算其误差？ 解： E1=(1.6380－1.6381) = －0.0001 g E2=(0.1637－0.1638) = －0.0001 g
50
26 15 8 2 1 1 173
0.289
0.150 0.087 0.046 0.012 0.006 0.006 1.001
2.89
1.50 0.87 0.46 0.12 0.06 0.06
22
99.65 ～
99.95 ～ 100.05 100.05 ～ 100.15 100.15 ～ 100.25
0.06 0.12 0.12 0.29
5
6 7
99.25
99.35 99.45
～
～ ～
99.35
99.45 99.55