最新中考培优班复习——圆的综合应用

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中考培优班复习——圆的综合应用
【例1】已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若DE =2，tan C =
1
2
，求⊙O 的直径．
【例2】已知：如图，O 为ABC ∆的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D . （1）求证：DA 为O 的切线； （2）若1BD =，1
tan 2
BAD ∠=
，求O 的半径.
【例3】已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交 于点
F ，且8BE =，tan BFA ∠ 求⊙O 的半径长.
【例4】如图，等腰三角形ABC 中，6AC BC ==，8AB =．以BC 为直径作O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O 的切线； （2）求sin E ∠的值．
A
F
C
G F
E
D
C
B
A
【例5】如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .
（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.
发散思考
【思考1】如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，
∠
C =∠BA
D ，且BD ⊥AB 于B .
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长. 【思考2】已知：如图，AB 为⊙O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交
⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB .
（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若⊙O 的半径等于4，4
tan 3
ACB ∠=，求CD 的长.
【思考3】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE
于点M,经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径.
（1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC=时，求⊙O 的半径.
【思考4】如图，等腰△ABC 中，AC=BC ，⊙O 为△ABC 的外接圆，
D 为BC 上一点， C
E ⊥AD 于E .
求证：AE= BD +DE ．
【思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。

此题的关键在于如何在图形中找到和BD 相等的量来达到转化的目的。

如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段
关系。

【思考5】如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线的一点，AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ． （1） 求证：DE 是⊙O 的切线；
（2） 若AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长．
【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。

题目中虽未给出AC 评分角EAD 这样的条件，但是通过给定CE=CF ，加上有一个公共边，那么很容易发现△EAC 和△CAF 是全等的。

于是问题迎刃而解。

第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。

1
3
A
D。