北师大版数学八年级下册数学课件：第一章1等腰三角形第二课时
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北师大版数学八年级下册1.1.1全等三角形和等腰三角形的性质课件(共39张)
几何语言：
∵△ABC ≌△DEF ∴∠A =∠D，∠B =∠E， ∠C =∠F， AB = DE，AC = DF， BC = EF
A BC
D EF
例1 如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，
AC∥EF，∠C=∠F.求证：BC=DF. C
A
D
E
B
F
证明：∵AD=BE，
∴AD－BD=BE－BD，即AB=ED.
第一章 三角形的证明 1 等腰三角形
第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
北师版八年级数学下册
学习目标
1、巩固全等三角形的判定及性质 2、了解并掌握等腰三角形的性质定理及推论
回顾复习
我们已经学了哪些判定三角形全等的方法？
边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等.
边角边（SAS）：两边及其夹角分别相等的两个三 角形全等.
如图，BC=CD=DE=AE,∠A=20°. (1)求∠DEC的度数； (2)求∠B的度数.
解：
练习
知识点三：等腰三角形性质定理的推论
想一想
A
在图中，线段 AD 还具有怎
样的性质？为什么？由此你能得
到什么结论？
B
C
D
推论 等腰三角形顶角的平分线、底边 上的中线及底边上的高线互相重合.
可分解成下面三个方面来理解：
角边角（ASA）：两角及其夹边分别相等的两个三 角形全等.
新课导入
建筑工人在建造房子时,为了确定房梁是否水平,常用 这样的方法:把一块等腰三角形板放在梁上,从顶角顶点系 一重物,如果系重物的绳子刚好经过三角形的底边中点,则 认为房梁就是水平的。你知道为什么吗？
新课探究
知识点一：全等，∴∠A=∠E.
北师大版数学八下1.等腰三角形的判定与反证法课件
点作这两个角的公共边的平行线，如图，EF与BE，CF
三者有何数量关系？
A
分析：可证BE=DE,CF=DF
E
F
D
∴EF=DE-DF=BE-CF B
G C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式4 若过△ABC的两个外角平分线的交点作这两个
角的公共边的平行线，则EF与BE，CF三者有何数量
关系？
A
（2）EF,EB,FC 之间有什么关系？
分析：由（1）知，EO=EB,FO=FC
∴EF=EO+FO=EB+FC
E OF
B
C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式2 在△ABC中,∠ABC≠∠ACB，BO平分∠ABC ，CO平
分∠ACB,过O点作EF, 使EF∥BC
A
（1）此时有几个等腰三角形？
（2）BE＋CF=EF仍然成立吗？
（3）在上述条件下当AB=12，AC=8时，
你能求ΔAEF的周长吗？
分析：（1）2个：△BOE、△FOC
E
OF
（2）成立
B
C
（3） C△AEF =AE+BE+CF+AF=AC+AB=20
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式3 若过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交
E
D
（两直线平行，内错角相等） ∴∠ABD=∠EDB（等量代换）
B
C
∴BE=DE（等角对等边）
即△BDE是等腰三角形.
基本构图:角平分线+平行线构造等腰三角形.
新课探索
Part 3 典例Part精1 析
北师大版数学八年级下册1.等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质课件
新课讲授
典例分析
例 如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形． 求证：AE＝CD.
分析：要证AE＝CD，可通过证AE，CD所在的两个三角 形全等来实现，即证△ABE≌△CBD，条件可从 等边三角形中去寻找．
新课讲授
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°. AB＝CB， 在△ABE与△CBD中， ABE＝CBD， BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)． ∴AE＝CD.
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
课时2 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质
学习目标
等腰三角形中相等的线段 等边三角形的性质.（重点、难点）
新课导入
等腰三角形有哪些性质？
1．等腰三角形的性质：等边对等角. 2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形
顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
新课讲授
典例分析
例 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
分析：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写 出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和 三角形全等的知识证明．
新课讲授
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
新课讲授
知识点2 等边三角形的性质
1．等边三角形的定义是什么？ 2．想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角 形的内角有什么特征呢?
新课讲授
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角 都等于60°.
新课讲授
典例分析
例 已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC. 求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°. ∵AB = AC， ∴∠ B = ∠ C (等边对等角). 又∵AC = BC， ∴∠A= ∠ B (等边对等角). ∴∠A= ∠ B = ∠ C. 在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°. ∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
北师大版八年级数学下册第一章《等腰三角形》优质公开课课件
达标检测二：
1、如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边 上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形。
C
A
B
答：图中的等腰直角三角形有： 等腰Rt△ABC、等腰Rt△ADC和 等腰Rt△ CDB
2、已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC
求证：AB=AD
A
D
B
C
证明：∵AD ∥BC（已知） ∴∠ADB= ∠CBD（两直线平行，内错 角相等）
证法二：作AD⊥BC，垂足为D
在 △BAD和△CAD中，
∠ADB= ∠ADC，
B
D
∠B=∠C, C AD=AD(公共边），
∵△BAD≌△CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边 相等）
请同学们想一想：作等腰三角形底边上的 中线可以证明吗？为什么？
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C 求证：AB=AC=BC A
例 如图，求证：如果三角形一个
外角的平分线平行于三角形的一边，
那么这个三角形是等腰三角形.
E
1
A2
B
已知：如图， D ∠CAE是△ABC
的外角， ∠1=∠2， AD∥BC C 求证：AB=AC
解：∵AD∥BC， ∴∠1= ∠B (两直线平行，同位角相等）， ∠ 2 ＝ ∠C(两直线平行，内错角相等）， ∴ ∠1= ∠2 ∵ ∠1= ∠2 ∴ ∠B ＝ ∠C ∴AB=AC (等角对等边）
1 等腰三角形
请同学们回答下面的问题：
1、等腰三角形的性质是什么？
①有两个相等的角. ②有两条相等的边. ③底边上的中线、高和顶角的平分线重合.
2、什么叫互逆命题，什么叫互逆定理？
答：在两个命题中，如果第一个命题的题设是 第二个命题的结论，而第一个命题的结论 又是第二个命题的题设，那么这两个命题 叫做互逆命题.如果一个定理的逆命题经过 证明是真命题，那么它是一个定理，这两 个定理叫做互逆定理.
北师版八年级数学下册1.1.1 等腰三角形的性质 课件(共28张ppt)
导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三 角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质 求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两 种情况求解．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
例题精析
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角 为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角 为40°或70°.
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
课堂精练
7. 【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB ＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰 AC于点E，则下列结论一定正确的是( C ) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
课堂精练
8. 【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D 为 BC的 中 点 ， ∠ BAD ＝ 35° ， 则 ∠ C 的 度 数 为 () A．35° B．45° C．55° D．60°
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
例题精析
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角 为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角 为40°或70°.
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
课堂精练
7. 【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB ＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰 AC于点E，则下列结论一定正确的是( C ) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
课堂精练
8. 【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D 为 BC的 中 点 ， ∠ BAD ＝ 35° ， 则 ∠ C 的 度 数 为 () A．35° B．45° C．55° D．60°
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
北师大版八年级数学下册等腰三角形和直角三角形复习课件
选一选 你真棒
6.下列关于直角三角形的判定，正确的有（ D） (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形. (定义) (2)两内角互余的三角形是直角三角形。 (3)一条边上的中线等于该边的一半，这条边所对的
角是直角，则这个三角形是直角三角形。 (4)较小两边的平方和等于较大边的平方的三角形是
直角三角形. (勾股定理的逆定理)
则底角度数为______顶角度数为_______。
2 如图，已知在直角△ABC中， ∠C=90 °， BD平分∠ABC交AC于D；
（1）若∠BAC=30 °，则AD=——； A
D
B
C
例1.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，
CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：
BM=CM。 A
▪ 证明：∵AB=AC
▪ ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
▪ ∵ BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ▪ ∴∠BEC=∠CDB=90° ▪ ∴∠1+∠ACB=90°，
∠2+∠ABC=90°（直角三角形 两个锐角互余）
E
Mபைடு நூலகம்
D
1 B
2 C
说明：本题易习惯性地用全等来
▪ ∴∠1=∠2（等角的余角相等） ▪ ∴BM=CM（等角对等边）
（1）求证ME=MF；
课后思考 （2）若CD为AB边上的高， ME+MF与CD有什
么数量关系？
（3）若M在BC上移动,ME+MF为定值吗？试说明理由。
总结：许多问题可以用基本的性质、判定解决，
用探讨研究的精神去看待
3. 如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以 OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直 线a上，这样的等腰三角形能画多少个?
北师大版八年级数学下册课件 1.1.2等腰三角形课件(新版)北师大版(共17张PPT)
A
D C
想一想, 做一做
刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中 比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还 有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什 么启示?
把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线 段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?
想一想, 做一做
1．在等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD= 1∠ABC，∠ACE= ∠1ACB，那么BD=CE
证法2：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和 CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． 又∵∠3=∠4． 在△ABC和△ACE中， ∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A． ∴△ABD≌△ACE(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
在等腰三角形中作出一些线段(如 角平分线、中线、高等)，你能发现其 中一些相等的线段吗?你能证明你的结 论吗?
探究相等线段
（一）证明“等腰三角形两底角的平分线相等”
证法1：已知：如图，在△ABC中， AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分 线． 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵∠1=∠ABC，∠2=∠ABC， ∴∠1=∠2． 在△BDC和△CEB中， ∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
（三）证明“等腰三角形两腰上的高线相等”
方法二： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD 和CE是△ABC两腰上的高线． 求证：BD=CE． 证明：∵BD和CE是△ABC两腰上的高线 ∴∠AEC=∠ADB=90°（垂直的定 E
义）． 在△AEC和△ADB中， ∠A=∠A，AB=AC，∠AEC=∠ADB．B ∴△AEC≌△ADB (AAS)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
北师版数学八年级下册第1章第1节等腰三角形课件
A
N
M
B
C
1.如图,在△ABC中,AB=AC，点D，E分别在边AC和AB上.
（1）如果∠ABD=
1 3
ABC
,
∠ACE=
1 3
ACB，那么BD=CE
吗?如果∠ABD= 1 ABC ,∠ACE=
4
1 ACB 4
呢?
由此你能得到一
个什么结论?
A
（2）如果AD= 1 AC,AE= 1 AB,那么
∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC=90°. ∴CD= 1 AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于
2
30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. ∴CD= 1 AB.
2
A
B
C
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等.反过来，有
两个角相等的三角形是等腰三角形吗? A
如图, 在△ABC中, ∠B＝∠C.要想证
明AB=AC，只要能构造两个全等的三角形，
使AB与AC成为对应边就可以了.你是怎样构
B
C
造的？
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
这一定理可以简单叙述为：等角对等边.
一个三角形满足什么条件时是等边三角形? 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形? 请证明自己的结论，并与同伴交流.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°. 求证：△ABC是等边三角形.
A
B
C
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
A
B
C
小明是这样想的:
在 △ ABC 中 , 已 知 ∠ B≠∠C, 此 时 ,AB 与 AC 要 么相等,要么不相等.
初中数学北师大版八年级下册《等腰三角形的性质》课件
谢谢大家
7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是角平分线，BE＝CF， 则下列说法正确的有( ) ①DA 平分∠EDF；②△EBD≌△FCD； ③BD＝CD；④AD⊥BC． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【点拨】∵AB＝AC，AD 平分∠BAC， ∴BD＝CD，AD⊥BC.故③④正确．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 又∵BD＝CD，BE＝CF，∴△EBD≌△FCD.故②正确． ∵AB＝AC，EB＝CF，∴AE＝AF. 又∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△AED≌△AFD. ∴∠EDA＝∠FDA，即 DA 平分∠EDF.故①正确． 【答案】D
4．【2019·衢州】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人 提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一 角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒 在 O 点相连并可绕 O 转动，C 点固定，OC＝CD＝DE，点 D， E 可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠CDE 的度数是( D ) A．60° B．65° C．75° D．80°
(1)请你解答以上的变式题．
解：若∠A 为顶角，则∠B＝(180°－80°)÷2＝50°； 若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝80°. 故∠B＝50°或 20°或 80°.
(2)解(1)后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数 也可能不同．如果在等腰三角形 ABC 中，设∠A＝x°，当∠ B 有三个不同的度数时，请你探索 x 的取值范围．
10．【2019·杭州】如图，在△ABC 中，AC＜AB＜BC． (1)已知线段 AB 的垂直平分线与 BC． 证明：∵点 P 在 AB 的垂直平分线上， ∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠B. ∵∠APC＝∠PAB＋∠B，∴∠APC＝2∠B.
北师大版八年级数学下册课件：等腰三角形(1)
6.【例3】(人教8上P76改编)如图,在△ABC中,AB＝AC,点D 在线段BC上,AD＝BD. (1)求证:∠BAD＝∠C; (2)若CA＝CD,求△ABC三个内角的度数.
(1)证明:∵AB＝AC,∴∠B＝∠C. ∵AD＝BD,∴∠B＝∠BAD. ∴∠BAD＝∠C.
(2)解:∵CA＝CD,∴∠CAD＝∠CDA, 由(1)得∠B＝∠C＝∠BAD, 设∠B＝x,则∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2x, ∴∠CAD＝∠CDA＝2x, ∠BAC＝∠CAD＋∠BAD＝3x,
∴在△ABC中,有∠B＋∠C＋∠BAC＝x＋x＋3x＝180°, 解得x＝36°, ∴在△ABC中,∠BAC＝108°,∠B＝∠C＝36°.
★9.(创新题)如图,在△ABC中,AB＝AC. (1)如果∠BAD＝30°,AD是BC上的高,AD＝AE, 则∠EDC＝ 15° ; (2)如果∠BAD＝40°,AD是BC上的高,AD＝AE, 则∠EDC＝ 20° ; (3)通过以上两题,你发现在AD＝AE的条件下, ∠BAD与∠EDC之间有什么关系?并给予证明.
5.【例2】如图,在△ABC中,AB＝AC,AD是BC边上的中 线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE＝∠BAD. 证明:∵AB＝AC,AD是BC边上的中 线,BE⊥AC, ∴AD⊥BC,∠BAD＝∠CAD. ∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°. ∴∠CBE＝∠CAD. ∴∠CBE＝∠BAD.
8.(核心教材母题:北师8下P5、)如图,已知AB＝AC,AD＝AE. 求证:BD＝CE.
证明:如图,过A点作AF⊥BC于点F. ∵AB＝AC,∴BF＝CF. 又∵AD＝AE,∴DF＝EF. ∴BF－DF＝CF－EF, ∴BD＝CE.
答案图
核心教材母题:教材是新中考命题的依据,近年来广东省中考 数学卷中都有较多题的素材来源于北师大版和人教版教材. 本书将两个版本重合的教材母题进行汇总,作为课堂例习题 呈现.
北师大版八年级数学下1.1 等腰三角形的性质课件
3.下列各图中，已知AB＝AC，写出x的值. x＝___7_0____ x＝___3_0____ x＝___3_5____
4.(例2)如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，
BD＝CE.求证：AD＝AE. 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C(等边对等角)．
AB AC（已知） 在△ABD与△ACE中，B C（已证）
第3关 12.在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线
上一点，点E在BC上，且BE＝BF.
(1)求证：△ABE≌△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数. (1)证明：∵∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点
∴∠CBF＝∠ABE＝90°在△ABE与△CBF中 AB CB ABE CBF BE BF
11.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F. 求证：DE＝DF. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝ 90°∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∵D是BC边上的中点，∴BD ＝CD在△BDE与△CDF中
DEB DFC B C ∴△BDE≌△CDF(AASB)D， C∴DDE＝DF
2
2
中，
AE AF
∴△AEC≌△AFC(SAS)∴1EC＝2FC，∴这两根彩线
的长相等；
AC AC
AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：∠A＝∠D.
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，
即BC＝EF.
AB DE（已知）
在△ABC与△DEF中，
BC AC
EF DF（已知）
∴△ABC≌△DEF(SSS)．∴∠A＝∠D.
2.如图，AB平分∠CAD，∠1＝∠2. 求证：△ABC≌△ABD. 证明：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB＝ ∠DAB∵∠1＝∠2∴∠CBA＝∠DBA(等 角的补角相等)在△ABC与△ABD中，
北师大版八年级数学下册第一章第1节等腰三角形课件
北师大版数学八年级下册
1 你能证明它们吗
回顾与思考
几何的三种语言
B
判断公理:
三边对应相等的两个三
角形全等（SSS）.
A
C B′
在△ABC与△A′B′C′中
∵ AB=A′B′
A′
BC=B′C′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
C′
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考
几何的三种语言
B
判断公理:
（全等三角形的对应边相等）A;′ ●
●●
● C′
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
（全等三角形的对应角相等）.
驶向胜利 的彼岸
三角形全等
判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（ＳＳＳ） 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
1.将下面证明中每一步的理由写在括号内: 已知:如图,AB=CD,AD=CB. 求证:∠A=∠C.
证明:连接BD,
在△BAD和△DCB中,
A
∵ AB=CD(
)
AD=CB(
)B
BD=DB(
)
∴ △BAD≌ △DCB( )
∴ :∠A=∠C (
)
D C
2.已知:如图,点B,E,C,F在同一条直线 上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。
你能用上面的公理证明下面的推论吗？
推论：两角及其中一角的对应边相等 的两个三角形全等(AAS)
命题的证明
推论:两角及其一角的对边对应相等的
两个三角形全等（AAS）.
已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中,
1 你能证明它们吗
回顾与思考
几何的三种语言
B
判断公理:
三边对应相等的两个三
角形全等（SSS）.
A
C B′
在△ABC与△A′B′C′中
∵ AB=A′B′
A′
BC=B′C′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
C′
驶向胜利 的彼岸
回顾与思考
几何的三种语言
B
判断公理:
（全等三角形的对应边相等）A;′ ●
●●
● C′
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
（全等三角形的对应角相等）.
驶向胜利 的彼岸
三角形全等
判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（ＳＳＳ） 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
1.将下面证明中每一步的理由写在括号内: 已知:如图,AB=CD,AD=CB. 求证:∠A=∠C.
证明:连接BD,
在△BAD和△DCB中,
A
∵ AB=CD(
)
AD=CB(
)B
BD=DB(
)
∴ △BAD≌ △DCB( )
∴ :∠A=∠C (
)
D C
2.已知:如图,点B,E,C,F在同一条直线 上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。
你能用上面的公理证明下面的推论吗？
推论：两角及其中一角的对应边相等 的两个三角形全等(AAS)
命题的证明
推论:两角及其一角的对边对应相等的
两个三角形全等（AAS）.
已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中,
北师大版数学八年级下册1.1第2课时等边三角形的性质课件
探究新知
1 等腰三角形的重要线段的性质
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、
高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 能证明你的
结论吗? A
A
A
ED
B
C
猜想1：底角的两
条平分线相等
NM
B
C
猜想2：两条腰
上的中线相等
Q
P
B
C
猜想3：两条腰 上的高线相等
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
这是由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.
2 等边三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三
角形的内角有什么特征呢？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都
等于 60°.
可以利用等腰 三角形的性质 进行证明.
怎样证明这 一定理呢？
证一证
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.
当堂小结 等腰三角形两底角上的角平分线、两腰上的高、两 腰上的中线的相关性质：
底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等. 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都 等于 60°.
课堂练习 1.如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，若△ABC
的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是
八年级下册数学（北师版）
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第2课时 等边三角形的性质
情景导入 在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边 三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台 球室的三角架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明了等腰三角形的两底角相等， 那等边三角形的各角之间有什么关系呢？
北师版八年级数学下册1.1. 等腰三角形(第2课时) 课件(共24张ppt)
折痕为BE；两边AC，BC重叠在一起，折痕为CF，如图所
示，你能发现什么现象吗？
A
A ∠A=∠B=∠AC=60°．
F E
B
CB
CB
C
D
D
探究新新知知探究
结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
探究新新知知探究
已知：在△ABC中，AB=AC=BC， 求证：∠A=∠B=∠C=60°．
同理可证， 等腰三角形两腰上的中线相等， 两腰上的高相等.
探究新新知知探究
议一议 如图，在△ABC中，AB=AC，
点D，E分别在边AC和AB上.
A
（1）如果∠ABD= 1 ∠ ABC ，
∠ACE= 1∠ACB,那3么BD=CE吗？如果
E
D
3
∠ABD= 1 ∠ABC，∠ACE= 1 ∠ACB B
C
4
呢？由此能得到一个什么结论？
A
E
D
B
C
探究新新知知探究
解：（2）BD=CE.
证明：∵AB=AC，AD= 1 AC，AE= 1
2
2
AB,
∴AD=AE.
在△ABD和△ACE中
∵AD=AE,∠A=∠A，AB=AC,
∴△ABD≌△ACE.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等）.
A
E B
D C
探究新新知知探究
那么 BD=CE.
n
n
在△ABC中，AB=AC，AD= 1AC，AE= 1AB,那么 BD=CE.
n
n
3．等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
再见
北师版八年级数学下册
第一章 三角形的证明 1.1 等腰三角形 第 2 课时
新北师大版八年级数学下册.1等腰三角形第二课时ppt课件PPT35页
新北师大版八年级数学下册.1等腰三角形 第二课时ppt课件
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，பைடு நூலகம் 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，பைடு நூலகம் 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
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第一章 三角形的证明
1 等腰三角形 第 2 课时 等腰三角形（二）
课前预习
1. 等边三角形的三个内角都____相__等____，并且每个角都 等于____6_0_°____. 2. 等边三角形的边长为2，则它的周长为_____6_____. 3. 下列条件中，不能得到等边三角形的是
（A） A. 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 B. 三边都相等的三角形是等边三角形 C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D. 有两个内角等边△ABC剪去一个角后，则
∠1+∠2的大小为
（D ）
A. 120° B. 180° C. 200°
D. 240°
课后作业
4. 如图1-1-24，D是等边△ABC的边AC上一点，E是等
边△ABC外一点，若BD=CE，∠1=∠2，则△ADE的形
状是
（B）
A. 等腰三角形
课后作业
夯实基础
新知 等边三角形的性质定理
1. 在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的
平分线长等于
（ C）
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
2. 如图1-1-22,在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，
则∠APE的度数是 A. 45° B. 55°
（C ）
C. 60° D. 75°
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 不等边三角形
课后作业
5. 如图1-1-25，已知等边△ABC的边长为2，AD平分∠BAC. （1）求BD的长； （2）求△ABC的面积.
解：（1）∵等边△ABC的边长为2，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，且BD= BC=1. （2）在Rt△ABD中， AD=AB2-BD2 = 3， 则S△ABC= BC·AD= ×2× 3 = 3
8. 如图1-1-28，已知在等边△ABC中，AD⊥BC，AD=AC，
连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数.
解：∵在等边△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴∠CAD= ∠BAC. ∵∠BAC=60°， ∴∠CAD=30°. ∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC. ∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°， ∴∠ACD=75°. ∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E=180°， ∴∠E=45°.
课堂讲练
新知 等边三角形的性质定理
典型例题
【例1】如图1-1-19，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2=
（ C）
A. 60° B. 90°
C. 120°
D. 180°
课堂讲练
【例2】如图1-1-20，在等边△ABC中，AN=BM， 求证： （1）△BMC≌△ANB； （2）∠MOB=∠ACB.
课堂讲练
课后作业
6. 已知：如图1-1-26，在等边△ABC中，D是AC中点， 过点C作CE∥AB，且AE⊥CE. 求证：BD=AE. 证明：∵在等边△ABC中，D是AC中点， ∴AB=CA，BD⊥AC. ∵AE⊥CE，∴∠ADB=∠E. ∵CE∥AB，∴∠BAD=∠ACE.
在△BAD和△ACE中，
∴△BAD≌△ACE（AAS）. ∴BD=AE.
证明：（1）∵在等边△ABC中，AN=BM， ∴AB=BC，∠A=∠CBM.
∵在△BMC和△ANB中，
∴△BMC≌△ANB（SAS）. （2）由（1）知△BMC≌△ANB， ∴∠BCM=∠ABN. ∵∠ABN+∠NBC=60°， ∴∠BCM+∠OBC=60°. ∴∠MOB=∠ACB=60°.
课堂讲练
课后作业
9. 如图1-1-29，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角 ∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角 两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN. 探究线段BM， MN，NC之间的关系，并加以证明.
课后作业
解：MN=BM+NC. 理由如下. 如答图1-1-3，延长AC至点E，使得CE=BM（或延长AB至点E，使 得BE=CN），并连接DE. ∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形， ∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°. 又∵∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°. ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°. ∴∠MBD=∠ECD=90°.
模拟演练
1.等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ D ）
A. 30° B. 40° C. 50°
D. 60°
2. 如图1-1-21，等边△ABC中，∠1=∠2=∠3.
（1）求证：DE=EF=DF；
（2）求∠BEC的度数.
课堂讲练
（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°, AB=BC=AC. 又∵∠1=∠2=∠3， ∴∠CAF=∠ABD=∠ECB. ∴△ADB≌△BEC≌△CFA. ∴AD=BE=CF,BD=CE=AF. ∴DE=EF=DF. （2）解：由（1）可知△DEF为等边三角形， ∴∠DFE=∠DEF=∠EDF=60°. ∵∠BEC=∠FDE+∠EFD， ∴∠BEC=120°.
课后作业
能力提升
7. 如图1-1-27所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，
点B，C，E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD
交于点F，连接FG，则下列结论：
①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④CF=CG.
其中正确结论的个数为
（ D）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
课后作业
在△MBD和△ECD中，
∴△MBD≌△ECD（SAS）. ∴MD=DE,∠BDM=∠CDE. ∵∠BDC=120°,∠BDM=∠CDE, ∴∠MDE=120°-∠BDM+∠CDE=120°. 又∵∠MDN=60°,∴∠NDE=60°. ∴∠MDN=∠NDE.∴△DMN≌△DEN（SAS）.
1 等腰三角形 第 2 课时 等腰三角形（二）
课前预习
1. 等边三角形的三个内角都____相__等____，并且每个角都 等于____6_0_°____. 2. 等边三角形的边长为2，则它的周长为_____6_____. 3. 下列条件中，不能得到等边三角形的是
（A） A. 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 B. 三边都相等的三角形是等边三角形 C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D. 有两个内角等边△ABC剪去一个角后，则
∠1+∠2的大小为
（D ）
A. 120° B. 180° C. 200°
D. 240°
课后作业
4. 如图1-1-24，D是等边△ABC的边AC上一点，E是等
边△ABC外一点，若BD=CE，∠1=∠2，则△ADE的形
状是
（B）
A. 等腰三角形
课后作业
夯实基础
新知 等边三角形的性质定理
1. 在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的
平分线长等于
（ C）
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
2. 如图1-1-22,在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，
则∠APE的度数是 A. 45° B. 55°
（C ）
C. 60° D. 75°
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 不等边三角形
课后作业
5. 如图1-1-25，已知等边△ABC的边长为2，AD平分∠BAC. （1）求BD的长； （2）求△ABC的面积.
解：（1）∵等边△ABC的边长为2，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，且BD= BC=1. （2）在Rt△ABD中， AD=AB2-BD2 = 3， 则S△ABC= BC·AD= ×2× 3 = 3
8. 如图1-1-28，已知在等边△ABC中，AD⊥BC，AD=AC，
连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数.
解：∵在等边△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴∠CAD= ∠BAC. ∵∠BAC=60°， ∴∠CAD=30°. ∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC. ∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°， ∴∠ACD=75°. ∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E=180°， ∴∠E=45°.
课堂讲练
新知 等边三角形的性质定理
典型例题
【例1】如图1-1-19，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2=
（ C）
A. 60° B. 90°
C. 120°
D. 180°
课堂讲练
【例2】如图1-1-20，在等边△ABC中，AN=BM， 求证： （1）△BMC≌△ANB； （2）∠MOB=∠ACB.
课堂讲练
课后作业
6. 已知：如图1-1-26，在等边△ABC中，D是AC中点， 过点C作CE∥AB，且AE⊥CE. 求证：BD=AE. 证明：∵在等边△ABC中，D是AC中点， ∴AB=CA，BD⊥AC. ∵AE⊥CE，∴∠ADB=∠E. ∵CE∥AB，∴∠BAD=∠ACE.
在△BAD和△ACE中，
∴△BAD≌△ACE（AAS）. ∴BD=AE.
证明：（1）∵在等边△ABC中，AN=BM， ∴AB=BC，∠A=∠CBM.
∵在△BMC和△ANB中，
∴△BMC≌△ANB（SAS）. （2）由（1）知△BMC≌△ANB， ∴∠BCM=∠ABN. ∵∠ABN+∠NBC=60°， ∴∠BCM+∠OBC=60°. ∴∠MOB=∠ACB=60°.
课堂讲练
课后作业
9. 如图1-1-29，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角 ∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角 两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN. 探究线段BM， MN，NC之间的关系，并加以证明.
课后作业
解：MN=BM+NC. 理由如下. 如答图1-1-3，延长AC至点E，使得CE=BM（或延长AB至点E，使 得BE=CN），并连接DE. ∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形， ∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°. 又∵∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°. ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°. ∴∠MBD=∠ECD=90°.
模拟演练
1.等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ D ）
A. 30° B. 40° C. 50°
D. 60°
2. 如图1-1-21，等边△ABC中，∠1=∠2=∠3.
（1）求证：DE=EF=DF；
（2）求∠BEC的度数.
课堂讲练
（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°, AB=BC=AC. 又∵∠1=∠2=∠3， ∴∠CAF=∠ABD=∠ECB. ∴△ADB≌△BEC≌△CFA. ∴AD=BE=CF,BD=CE=AF. ∴DE=EF=DF. （2）解：由（1）可知△DEF为等边三角形， ∴∠DFE=∠DEF=∠EDF=60°. ∵∠BEC=∠FDE+∠EFD， ∴∠BEC=120°.
课后作业
能力提升
7. 如图1-1-27所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，
点B，C，E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD
交于点F，连接FG，则下列结论：
①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④CF=CG.
其中正确结论的个数为
（ D）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
课后作业
在△MBD和△ECD中，
∴△MBD≌△ECD（SAS）. ∴MD=DE,∠BDM=∠CDE. ∵∠BDC=120°,∠BDM=∠CDE, ∴∠MDE=120°-∠BDM+∠CDE=120°. 又∵∠MDN=60°,∴∠NDE=60°. ∴∠MDN=∠NDE.∴△DMN≌△DEN（SAS）.