北京2013届昌平区二模数学理科试题及答案

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北京2013届昌平区二模数学理科试题及答案

侧视图俯视图EDCBA 昌平区2012－2013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测数学试卷（理科）2013.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．) 1、已知集合{|21}x A x =>，{|1}B x x =<，则A B =A. {|1}x x >B. {|0}x x >C. {|01}x x <<D. {|1}x x < 2、已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么下列结论正确的是A. 命题:2p x x ⌝∀∈R ≤， B ．命题:2p x x ⌝∃∈<R ， C ．命题:2p x x ⌝∀∈-R ≤， D ．命题:2p x x ⌝∃∈<-R ，3、圆22(2)1x y +-=的圆心到直线3,2x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离为A.24、设0,x y x y +≥⎧⎨-≥⎩与抛物线24y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，),(y x P 为D 内的一个动点，则目标函数2z x y =-的最大值为A. 1-B. 0C. 2D. 3 5、在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为 A. 13 B. 12 C.23 D. 346、已知四棱锥P ABCD -则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 A ．3 B．C ．6 D ．87、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅的值为CBAA．1 BC8、设等比数列}{n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-.给出下列结论：① 01q <<； ② 9910110a a ⋅->；③ 100T 的值是n T 中最大的；④ 使1n T >成立的最大自然数n 等于198. 其中正确的结论是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④第Ⅱ卷（非选择题共110分）一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9、二项式51(2)x x+的展开式中3x 的系数为___________.10、双曲线2221(0)yx b b-=>的一条渐近线方程为y =b = .11、如图，AB 切圆O 于点A ,AC 为圆O 的直径，BC 交圆O 于点D ，E 为CD 的中点，且5,6,BD AC ==则CD =__________； AE =__________.12、执行如图所示的程序框图，若①是6i <时，输出的S 值为；若①是2013i <时，输出的S 值为 .13、已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩ 若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .14、曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数()20k k >的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C 过点(1,1)-；图1P FEDCB A②曲线C 关于点(1,1)-对称；③若点P 在曲线C 上，点,A B 分别在直线12,l l 上，则PA PB +不小于2.k④设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1x =-、点(1,1)-及直线1y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k .其中，所有正确结论的序号是 .三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15、（本小题满分13分）已知函数2()sin(2),R f x x x x π=-+∈. （Ⅰ）求()6f π；（Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间.16、（本小题满分14分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形, 侧面PAD ⊥底面ABCD，且PA PD AD ==, E 、F 分别为PC 、BD 的中点． (Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：面PAB ⊥平面PDC ；(Ⅲ) 在线段AB 上是否存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为13？说明理由. 17、（本小题满分13分）某市为了提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，对市民进行了“生活满意”度的调查．现随机抽取40位市民，对他们的生活满意指数进行统计分析，得到如下分布表：（I ）求这40位市民满意指数的平均值；（II ）以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数，若从全市市民（人数很多）中任选3人，记ξ表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数．求ξ的分布列；（III ）从这40位市民中，先随机选一个人，记他的满意指数为m ，然后再随机选另一个人，记他的满意指数为n ，求60n m ≥+的概率．18、本小题满分13分）已知函数21()ln (0).2f x x a x a =-> （Ⅰ）若2,a =求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[1,e]上的最小值；（III ）若()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，求a 的取值范围.19、本小题满分13分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率2e =F 为椭圆的左焦点，且1AF BF =g .（I ）求此椭圆的方程；（II ）设P 是此椭圆上异于,A B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =. 连接AQ 并延长交直线l 于点,M N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．20、本小题满分14分）设数列{}n a 对任意*N n ∈都有112()()2()n n kn b a a p a a a +++=++ (其中k 、b 、p 是常数) ．（I ）当0k =，3b =，4p =-时，求123n a a a a ++++ ；（II ）当1k =，0b =，0p =时，若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式；（III ）若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当1k =，0b =，0p =时，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，212a a -=，试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a ，使得对任意*N n ∈，都有0n S ≠，且12311111111218n S S S S <++++< ．若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由．昌平区2012－2013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测数学试卷参考答案（理科）2013.04一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9、80 ； 10 11、4 ；；12、5；2013； 13、 (1, 2)； 14、 ②③④三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15、(本小题满分13分)解：（Ⅰ）2()sin(2)sin 222sin(2)3f x x x x x x ππ=-+=+=++分∴()2sin()2633f πππ=+==分（Ⅱ）()2sin(2)3f x x π=++22T ππ==.…………………………8分又由5222(Z)2321212k x k k x k k πππππππππ-≤+≤+⇒-≤≤+∈可得函数)(x f 的单调递增区间为5,(Z)1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.………13分16、(本小题满分14分)(Ⅰ)证明：连结AC BD F = ，ABCD 为正方形，F 为AC 中点，E 为PC 中点.∴在CPA ∆中，EF //PA ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ∴//EF PAD 平面．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 (Ⅱ)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 面ABCD AD =ABCD 为正方形，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD 所以CD ⊥平面PAD .∴CD PA ⊥ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分又2PA PD AD ==，所以PAD ∆是等腰直角三角形，且2APD π∠=即PA PD ⊥CD PD D = ，且CD 、PD ⊂面PDC∵PA PD =, ∴PO AD ⊥. ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,PAD ABCD AD ⋂=平面平面, ∴PO ABCD ⊥平面,而,O F 分别为,AD BD 的中点,∴//OF AB ,又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥.∵2PA PD AD ==,∴PA PD ⊥,1OP OA ==. 以O 为原点,直线,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, 则有(1,0,0)A ,(0,1,0)F ,(1,0,0)D -,(0,0,1)P . 若在AB 上存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为13，连结,.PG DG 设(1,,0)(02)G a a ≤≤.由(Ⅱ)知平面PDC 的法向量为(1,0,1)PA =-.设平面PGD 的法向量为(,,)n x y z = .∵(1,0,1),(2,,0)DP GD a ==--,∴由0,0n DP n GD ⋅=⋅= 可得00200x y z x a y z +⋅+=⎧⎨-⋅-⋅+⋅=⎩,令1x =,则2,1y z a =-=-,故2(1,,1)n a =--∴1cos ,3n PA n PA n PA ⋅<>===,解得，12a =. 所以，在线段AB 上存在点1(1,,0)2G ,使得二面角C PD G --的余弦值为13. .．．．．．．．．．．．．．14分 17、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记X 表示这40位市民满意指数的平均值，则1(9015601730602)63.7540X =⨯+⨯+⨯+⨯=（分）…………………2分（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3.1251)51()54()0(3003===C P ξ ，12512)51()54()1(2113===C P ξ 12548)51()54()2(1223===C P ξ ，12564)51()54()3(0333===C P ξ ∴ξ……………8分（Ⅲ）设所有满足条件60+≥m n 的事件为A①满足600==n m 且的事件数为：1121734A A = ②满足900==n m 且的事件数为：1121530A A =③满足9030==n m 且的事件数为：1161590A A =24034309077()780P A A ++∴== 所以满足条件60+≥m n 的事件的概率为77780.……………………13分 18、（本小题满分13分）解：（I ）2,a =212()2ln ,'(),2f x x x f x x x =-=-1'(1)1,(1),2f f =-= ()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为2230.x y +-=………………………..3分（Ⅱ）由2'().a x af x x x x-=-=由0a >及定义域为(0,)+∞，令'()0,f x x =得1,01,a <≤即在(1,e)上，'()0f x>，)(x f 在[1,e]上单调递增，因此,()f x 在区间[1,e]的最小值为1(1)2f =. ②若21e,1e ,a <<<<即在（上，'()0f x <，)(x f单调递减；在上，'()0f x >，)(x f 单调递增，因此()f x 在区间[1,e]上的最小值为1(1ln ).2f a a =- 2e,e ,a ≥即在(1,e)上，'()0f x <，)(x f 在[1,e]上单调递减，因此,()f x 在区间[1,e]上的最小值为21(e)e 2f a =-. 综上，当01a <≤时，min 1()2f x =；当21e a <<时，min 1()(1ln )2f x a a =-；当2e a ≥时，2min 1()e 2f x a =-. ……………………………….9分 (III) 由（II ）可知当01a <≤或2e a ≥时，)(xf 在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点. 当21e a <<时，要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，则∴21(1ln )0,21(1)0,21(e)e 0,2a a f f a ⎧-<⎪⎪⎪=>⎨⎪⎪=->⎪⎩即2e1e 2a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，此时，21e e 2a <<. 所以，a 的取值范围为21(e,e ).2…………………………………………………………..13分 19、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，(,0)A a -, (,0)B a ，(,0)F c -， ()()1AF BF a c a c =+-=g2221a c b ∴-==又e = 22222222134c a b a e a a a --==== ，解得24a = 所求椭圆方程为2214x y +=…………………………5分（Ⅱ）设00(,)P x y ，则00(,2)Q x y 00(2,2)x x ≠≠- 由(2,0),A -得0022AQ y k x =+ 所以直线AQ 方程002(2)2y y x x =++由(2,0),B -得直线l 2,x =的方程为 008(2,)2y M x ∴+ 004(2,)2y N x ∴+由 0000200422224NQy y x x y k x x -+==--又点P 的坐标满足椭圆方程得到：2200+44x y = ，所以 220044x y -=- 000002200022442NQ x y x y x k x y y ===--- ∴直线NQ 的方程：00002()2x y y x x y -=-- 化简整理得到：220000244x x yy x y +=+= 即0024x x yy += 所以点O 到直线NQ的距离2d O ===圆的半径∴直线NQ 与AB 为直径的圆O 相切.……………………………………. 13分20、（本小题满分14分）解：（I ）当0k =，3b =，4p =-时，1123()42()n n a a a a a +-=++ ， ①用1n +去代n 得，111213()42()n n n a a a a a a +++-=+++ ， ②②—①得，113()2n n n a a a ++-=，13n n a a +=，……………………………2分在①中令1n =得，11a =，则n a ≠0，∴13n na a +=， ∴数列{}n a 是以首项为1，公比为3的等比数列，∴123n a a a a ++++ =312n -…………….4分（II ）当1k =，0b =，0p =时，112()2()n n n a a a a a +=++ ， ③ 用1n +去代n 得，11121(1)()2()n n n n a a a a a a ++++=+++ ， ④④—③得， 11(1)0n n n a na a +--+=， ⑤. 用1n +去代n 得，211(1)0n n na n a a ++-++=， ⑥⑥—⑤得，2120n n n na na na ++-+=，即211n n n n a a a a +++-=-，. ∴数列{}n a 是等差数列.∵33a =，915a =， ∴公差93293a a d -==-，∴23n a n =-…………………………………………9分（III ）由（II ）知数列{}n a 是等差数列，∵212a a -=，∴12(1)n a a n =+-. 又{}n a 是“封闭数列”，得：对任意*,N m n ∈，必存在*N p ∈使1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-，得12(1)a p m n =--+，故1a 是偶数，………………10分又由已知，111111218S <<，故1181211a <<.一方面，当1181211a <<时，1(1)n S n n a =+-0>，对任意*N n ∈，都有123111111112n S S S S S ++++≥> . 另一方面，当12a =时，(1)n S n n =+，1111n S n n =-+，则1231111111n S S S S n ++++=-+ ，取2n =，则1211121113318S S +=-=>，不合题意. 当14a =时，(3)n S n n =+，1111()33n S n n =-+，则 1231111111111()183123n S S S S n n n ++++=-+++++ 1118<，当16a ≥时，1(1)n S n n a =+-(3)n n >+，1111()33n S n n <-+， 123111*********()18312318n S S S S n n n ++++<-++<+++ ，又1181211a <<，∴14a =或16a =或18a =或110a =……………………….14分。

2013北京昌平中考二模数学(含解析)

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三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分）
1 13．计算： 12 4sin 60 ( )1 (1 π)0 ． 3
14．解分式方程：
2 3 1 ． 3x 1 6x 2
15．已知 m2 5m 14 0 ，求 (m 1)(2m 1) (m 1)2 1 的值．
）．
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ B． 1.45 ， 1.40
C． 1.425 ， 1.40
6．将抛物线 y 3x 2 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ A． y 3( x 2)2 3 C． y 3( x 2)2 3 B． y 3( x 2)2 3 D． y 3( x 2)2 3
）．
7．如图，在 △ABC 中，C 90 ， BC 6 ， D ， E 分别在 AB ， AC 上，将 △ADE 沿 DE 翻折后，点 A 落在点 A 处，若 A 为 CE 的中点，则折痕 DE 的长为（ A． 1 B． 6 C． 4 D． 2
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）．
8．正三角形 ABC 的边长为 2 ，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度，沿 A B C A 的方向运动，到达点 A 时停止．设运动时间为 x 秒， y PC 2 ，则 y 关于 x 的函数的图象大致为（）．
22．（1 ）【原题呈现】如图，要在燃气管道 l 上修建一个泵站分别向 A 、 B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？解决问题：请你在所给图中画出泵站 P 的位置，并保留作图痕迹；
（2）【问题拓展】已知 a 0 ， b 0 ，且 a b 2 ，写出 m a2 1 b2 4 的最小值；（3）【问题延伸】已知 a 0 ， b 0 ，写出以 a 2 b2 、 a 2 4b2 、 4a 2 b2 为边长的三角形的面积．

北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题(word版)

北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题(word 版)昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A I 等于 A ．{|2}x x > B ．{}20<<x xC ．{}21<<x xD ．{|01}x x <<（2）“2a =”是“直线214a y ax y x =-+=-与垂直”的 A.充分不必要条件B 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（3）已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是A.（0,1）B. （1,2）C. （2,3）D. （3,4）（4）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤，表示的平面区域为D．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是A. 413B. 513C. 825D. 925（5）设nS 是公差不为0的等差数列{}na 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4（6）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A. 24B. 36C. 48D.60（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为A. 1032+ B ．10342+ C. 1432+ D. 1432+（8）已知函数：①2()2f x x x =-+，②()cos()22xf x ππ=-，③12()|1|f x x =-.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题:p ()f x 是奇函数；命题:q (1)f x +在(0)，1上是增函数；命题:r 11()22f >；命题:s ()f x 的图像关于直线1x =对称A ．命题p q 、B ．命题q s 、C ．命题r s 、D ．命题p r 、第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）若221ai i i =-+-，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是____________. （10）以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____. （11）在ABC △中，若22b =,1c =，tan 22B =，则a = .（12）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为．(13)在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC 的中点，那么()AB AC AD -•=uu u r uu u r uuu r____________;若E 是AB 的中点，P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP⋅uuu r uu r 的取值范围是___________.（14）在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则 ① 到坐标原点O 的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________; ② 坐标原点O 与直线2230x y --=上任意一点的“折线距离”的最小值是_____________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13分）已知函数1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xx x x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.O FED C BA(16) （本小题满分14分）在四棱锥E ABCD-中，底面ABCD是正方形，,AC BD O与交于点EC ABCD F底面，^为BE的中点. （Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD AE^；（Ⅲ）若2,AB CE=在线段EO上是否存在点G，使CG BDE平面^？若存在，求出EG EO的值，若不存在，请说明理由．（17）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：甲厂乙厂9 03 9 6 58 1 8456 9 0 31 5 0 32 1 0 3规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品.（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()Eξ；（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．（18）（本小题满分13分）已知函数32=-+-()4f x x ax（a∈R）.（Ⅰ）若函数)(x fy=的图象在点P（1，)1(f）处的切线的倾斜角为4π，求()f x 在[]1,1-上的最小值；（Ⅱ）若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ，求a 的取值范围．（19）（本小题满分13分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴, 离心率为22且抛物线242y x =的焦点是椭圆M 的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点. 求点O 到直线l 的距离的最小值．（20）（本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a L ，其中等于i的项有ik 个(1,2,3)i =L ，设j jk k k b+++=Λ21(1,2,3)j =L ，12()100m g m b b b m =+++-L (1,2,3).m =L（Ⅰ）设数列1240,30,kk ==34510020,10, 0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g；（Ⅱ）若123100L中最大的项为50，比较,,,,a a a ag m g m+的大小；(),(1)（Ⅲ）若12100200L，求函数)(m+++=a a ag的最小值．昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参考答案（理科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 C A B D C D B C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9）4（10）22x y-+=(5)16（11） 3 （12）4（13）2; [-9,9]（14） 8;3三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z)，故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z}．…………………2分因为1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f(232cos )cos 1x x x =-⋅+32cos 2x x=-π2sin(2)6x =-，………………………………6分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分（II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ挝-? (9)分当G ABC DEFO52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分（16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接OF .由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，所以OF ∥DE ………………….2分又,,OF ACF DEACF 平面平面趟所以DE ∥平面ACF ………….4分 (II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^? 所以,EC BD ^由ABCD 是正方形可知, ,AC BD ^又=,,AC EC C AC EC ACE 平面，翘所以,BD ACE 平面^………………………………..8分又AE ACE 平面，Ì所以BD AE^ (9)分(III)解法一：在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下：如图，取EO 中点G ，连接CG . 在四棱锥E ABCD-中，22,2AB CE CO AB CE ===，所以CG EO^.…………………………………………………………………..11分由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ìz yOFED CBAG所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，^?因为,CG EO CG ACE 平面，^?所以CG BDE平面^…………………………………………………………. 13分故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^.由G 为EO 中点，得1.2EG EO = (14)分解法二：由EC ABCD 底面，^且底面ABCD 是正方形，如图，建立空间直角坐标系,C DBE -由已知2,AB CE =设(0)CE a a =>，则(0,0,0),2,0,0),2,0),(0,0,),C D a B a E a2222,0),2,2,0),(0,2,),,).O BD a a BE a a EO a uu u r uuruu u r =-=-=-设G为线段EO上一点，且(01)EGEOλλ=<<，则22(,,),22EG EO a a a λλuuu r uu u r ==-22,,(1)),22CG CE EO a a a λλλλuuu r uur uu u r =+=-…………………………..12分由题意，若线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^，则CG BD ^uuu r uu u r ，CG BE^uu u r uur.所以，221(1)0,0,12aa λλλ解得，（）-+-==?，故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^，且1.2EG EO =…………………… 14分（17）(本小题满分13分)解：（I ）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为63.105= 乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为51.102=………………..2分（II ）ξ的取值为0，1，2，3.0312555533101015(0),(1),1212C C C C P P C C ξξ⋅⋅====== 21355533101051(2),(3)1212C C C P P C C ξξ⋅======所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P 112512512112故155130123.121212122E ξξ=⨯+⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）……………………9分(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”2200333321127()()()()()5522500P A C C =⨯=331123331181()()()()5221000P B C C =⨯=抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为278127()().5001000200P A P B +=+=…13分（18）(本小题满分13分)解：（I ）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分根据题意，(1)tan1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 …………………3分此时，32()24f x xx =-+-,则2()34f x xx'=-+.令124'()00,.3f x x x===，得x1- (1,0)-(0,1)1()f x ' 7- - 0+ 1()f x1-↘4-↗3-…………………………………………………………………………………………. 6分∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分（II ）).32(3)(a x x x f --='Θ①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分②若220,0,()0;,()0.33a a a x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a ）上单调递增，在（23a ，+)∞上单调递减..4274494278)32()(,),0(333max-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当根据题意，33440,27. 3.27a a a ->>∴>即 …………….............................. 13分综上，a 的取值范围是(3,)+∞. （19）(本小题满分13分) 解：（I ）由已知抛物线的焦点为2,0),故设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则222,,2, 2.2c e a b ====由得所以椭圆M 的方程为221.42x y +=……5分（II ）当直线l 斜率存在时，设直线方程为y kx m=+，则由22,1.42y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y得，222(12)4240k x kmx m +++-=， (6)分222222164(12)(24)8(24)0k m k m k m ∆=-+-=+->，①…………7分设A B P 、、点的坐标分别为1122(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则：012012122242,()21212km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++，…………8分由于点P在椭圆M上，所以2200142x y +=. ……… 9分从而2222222421(12)(12)k m m k k +=++，化简得22212mk =+，经检验满足①式.………10分又点O 到直线l 的距离为：222211122112(1)2211kd k k k +===-≥-=+++ ………11分当且仅当k =时等号成立 ………12分当直线l 无斜率时，由对称性知，点P 一定在x 轴上，从而点P 的坐标为(2,0)(2,0)-或，直线l 的方程为1x =±，所以点O 到直线l 的距离为1 . 所以点O到直线l的距离最小值为22. ………13分（20）(本小题满分14分) 解: (I) 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =，所以123440,70,90,100b bb b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- (4)分(II) 一方面，1(1)()100m g m g m b++-=-，根据jb 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， ① 当且仅当1100m b+=时取等号.因为123100,,,,a a a a L 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100mb=，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===LL L即当149m ≤<时，有()(1)g m g m >+；当49m ≥时，有()(1)g m g m =+ …9分（III ）设M 为{}12100,,,a a a L 中的最大值. 由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M . 根据题意，123100,MM b k k k k =++++=L12312310023....M k kk Mk a a a a ++++=++++L下面计算()g M 的值.123()100M g M b b b b M=++++-L1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++-L233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-L L L L 23[2(1)]M k k M k =-+++-L12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++L L123100()M a a a a b =-+++++L 123100()100a a a a =-+++++L ， ∵123100200a aa a ++++=L ， ∴()100g M =-， ∴()g m 最小值为100-. (1)4分第21页。

昌平区二模参考答案及评分标准

2013年北京市昌平区高三二模物理试题参考答案及评分标准13.A 14.B 15.D 16.D 17.C 18.B 19.B 20.C21．（18分）（1）①C （2分） ②1.62×10-2（2分） ③222)2(4tdL n +π （2分）（2）①1.45 （1分） ②0～0.6A ，0～3 V ，1Ω，0～10Ω （4分） ③连线略（1分） ④连线略（1分）⑤1.45，1.37（2分） ⑥＜，＜（2分） ⑦C （1分）22. （16分）（1）A 做匀减速运动g mmga μμ==（2 分） ax v v A 2202-=- （2分）求出v A ＝6m/s （1分）（2）以A 、B 为研究对象，根据动量守恒定律mv A ＝2mv （2分） △E ＝2222121mv mv A ⨯- （2分）求出△E ＝0.9J （1分）（3）以A 、B 为研究对象，从b 到c ，根据机械能守恒定律R mg mv mv C 2222122122⨯+⨯=⨯ （2分）在c 点，根据牛顿第二定律F ＋2mg ＝2m Rv c 2（2分）求出F =8N （2分）23．（18分）（1）2121mv qU =（2分）解得：mqUv 21=（2分）（2）粒子绕行第n 圈时，nqU=221n mv （2分）粒子受到的洛伦兹力提供向心力， qv n B n =Rv m n2（2分）解得：qnmUR B n 21=（2分）（3）粒子受到的洛伦兹力提供向心力， qv n B n =R Tm 2)2(π 得：T ＝qBmπ2 （2分）粒子绕行第1圈，所用时间为t 1t 1＝12qB m π，qmUR B 1211⨯= 粒子绕行第2圈，所用时间为t 2t 2＝22qB m π，qmUR B 2212⨯= 粒子绕行第3圈，所用时间为t 3 t 3＝32qB m π，qmUR B 3213⨯= 以此类推，粒子绕行第n 圈，所用时间为t n t n ＝n qB m π2，qnmUR B n ⨯=21 （4分）解得：t n 总＝t 1＋t 2＋t 3＋……＋t n＝)131211(22nqU m R+++π （2分）24．（20分）（1）小球A 在电场力的作用下做匀加速直线运动，L ＝2121at （1分） mqEa = （1分）解得：qEmLt 21=（1分）（2）小球A 与小球B 发生完全弹性碰撞，设A 球碰前速度为v A1，碰后速度为v A1＇，B 球碰前速度为0，碰后速度为v B1＇，m v A1＝m v A1＇＋m v B1＇（2分）212121'21'2121B A A mv mv mv += （2分）联立得：v A1＇＝0 v B1＇＝ v A1 v A1＝at 1＝mqEL2 所以：v A1＇＝0 （2分） v B1＇＝mqEL2 （2分）（3）第一次碰撞后，小球A 做初速度为0的匀加速直线运动，小球B 以 v B1＇的速度做匀速直线运动，两小球发生第二次碰撞的条件是：两小球位移相等。

【Word版解析】北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题

昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1考生须知： 1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 A ．{|2}x x > B ．{}20<<x xC ．{}21<<x xD ．{|01}x x <<【答案】C【解析】{}|(2)0{02}B x x x x x =-<=<<,所以{12}A B x x =<<，选C.（2）“2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的 A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线214a y ax y x =-+=-与垂直，则有=14aa -⨯-，即24a =，所以2a =±。

所以“2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的充分不必要条件，选A.（3）已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是A.（0,1）B. （1,2）C. （2,3）D. （3,4）【答案】B【解析】函数的导数为1'()f x x =，所以1()=()'()ln g x f x f x x x-=-。

2013北京市昌平区期末考试数学(理科)和(文科)试题和答案汇编

昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 A ．{|2}x x > B ．{}20<<x xC ．{}21<<x xD ．{|01}x x <<（2）“2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的 A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件（3）已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是A.（0,1）B. （1,2）C. （2,3）D. （3,4）（4）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤，表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是A.413B.513C.825D.925（5）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4（6）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A. 24B. 36C. 48D.60（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为A. 10+B ．10+C. 14+D. 14+（8）已知函数：①2()2f x x x =-+，②()cos()22xf x ππ=-，③12()|1|f x x =-.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题:p ()f x 是奇函数；命题:q (1)f x +在(0)，1上是增函数；命题:r 11()22f >；命题:s ()f x 的图像关于直线1x =对称A ．命题p q 、B ．命题q s 、C ．命题r s 、D ．命题p r 、第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）若221aii i=-+-，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是____________.（10）以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.（11）在ABC △中，若b =1c =，tan B =，则a = . （12）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为．(13)在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC的中点，那么()AB AC AD -∙=uu u r uu u r uuu r____________;若E 是AB 的中点，P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅uuu r uu r的取值范围是___________.（14）在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则① 到坐标原点O 的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________;OFEDCBA② 坐标原点O与直线20x y --=上任意一点的“折线距离”的最小值是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13分）已知函数1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.(16) （本小题满分14分）在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,AC BD O 与交于点EC ABCD F 底面，^为BE 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ；（Ⅱ）求证：BD AE ^；（Ⅲ）若,AB =在线段EO 上是否存在点G ，使CG BDE 平面^？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．（17）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：甲厂乙厂93 9 6 5 8 18 4 5 6 9 0 31 5 0 3 21 0 3规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品. （Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()E ξ；（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．（18）（本小题满分13分）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.（19）（本小题满分13分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴, 且抛物线2y =的焦点是椭圆M 的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点. 求点O 到直线l 的距离的最小值．（20）（本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =+++-(1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)gg g g；（Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50，比较(),(1)g m g m +的大小；（Ⅲ）若12100200a a a +++=，求函数)(m g 的最小值．G BCEF昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参考答案（理科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9）4 （10）22(5)16x y -+=（11） 3（12）4 （13）2; [-9,9] （14）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z )，故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z }．…………………2分因为1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f 2cos )cos 1x x x =-⋅+ 2cos 2x x -π2sin(2)6x =-，………………………………6分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分（II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ挝-?…………..9分当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分（16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接OF .由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，所以OF ∥DE ………………….2分又,,OF ACF DEACF 平面平面趟所以DE ∥平面ACF ………….4分(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^? 所以,EC BD ^由ABCD 是正方形可知, ,AC BD ^又=,,AC EC C AC EC ACE 平面，翘所以,BD ACE 平面^………………………………..8分又AE ACE 平面，Ì所以BD AE ^…………………………………………..9分(III)解法一：在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下：如图，取EO 中点G ，连接CG .在四棱锥E ABCD -中，,2AB CO AB CE ===，所以CG EO ^.…………………………………………………………………..11分由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ì 所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，^?因为,CG EO CG ACE 平面，^?所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^.由G 为EO 中点，得1.2EG EO =…………………………………………… 14分解法二：y由EC ABCD 底面，^且底面ABCD 建立空间直角坐标系,C DBE -由已知,AB =设(0)CE a a =>，则(0,0,0),,0,0),,0),(0,0,),C D B E a(,,0),,,0),(0,,),,,).2222O a a BD BE a EO a a uu u r uuruu u r =-=-=-设G 为线段EO 上一点，且(01)EGEOλλ=<<，则,),22EG EO a a a λλλλuuu r uu u r ==-,,(1)),22CG CE EO a a a λλλλuuu r uur uu u r =+=-…………………………..12分由题意，若线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^，则CG BD ^uuu r uu u r ，CG BE ^uu u r uur.所以，221(1)0,0,12a a λλλ解得，（）-+-==?，故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^，且1.2EG EO =…………………… 14分（17）(本小题满分13分)解：（I ）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为63.105= 乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为51.102=………………..2分（II ）ξ的取值为0，1，2，3.0312555533101015(0),(1),1212C C C C P P C C ξξ⋅⋅======21355533101051(2),(3)1212C C C P P C C ξξ⋅====== 所以ξ的分布列为故155130123.121212122E ξξ=⨯+⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）……………………9分(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”2200333321127()()()()()5522500P A C C =⨯=331123331181()()()()5221000P B C C =⨯=抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为278127()().5001000200P A P B +=+=…13分（18）(本小题满分13分)解：（I ）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分根据题意，(1)tan1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 …………………3分此时，32()24f x x x =-+-,则2()34f x x x '=-+. 令124'()00,.f x x x ===，得 …………………………………………………………………………………………. 6分∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分（II ）).32(3)(a x x x f --='①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分②若220,0,()0;,()0.33a aa x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a ）上单调递增，在（23a，+)∞上单调递减..4274494278)32()(,),0(333max-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当根据题意，33440,27. 3.27a a a ->>∴>即 …………….............................. 13分综上，a 的取值范围是(3,)+∞. （19）(本小题满分13分)解：（I ）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则22, 2.2c e a b ====由得所以椭圆M 的方程为22 1.42x y +=……5分（II ）当直线l 斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，则由22,1.42y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得，222(12)4240k x kmx m +++-=， …………………6分222222164(12)(24)8(24)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ①…………7分设AB P 、、点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则： 012012122242,()21212km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++，…………8分由于点P在椭圆M上，所以2200142x y+=. ……… 9分从而2222222421(12)(12)k m mk k+=++，化简得22212m k=+，经检验满足①式.………10分又点O到直线l的距离为：2d===≥=………11分当且仅当0k=时等号成立………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为(2,0)(2,0)-或，直线l的方程为1x=±，所以点O到直线l的距离为1 . 所以点O到直线l的距离最小值为2. ………13分（20）(本小题满分14分)解: (I) 因为数列1240,30,k k==320,k=410k=，所以123440,70,90,100b b b b====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g=-=-=-=-…………………4分(II) 一方面，1(1)()100mg m g m b++-=-，根据j b的含义知1100mb+≤，故0)()1(≤-+mgmg，即)1()(+≥mgmg，①当且仅当1100mb+=时取等号.因为123100,,,,a a a a中最大的项为50，所以当50m≥时必有100mb=，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g>>>===即当149m≤<时，有()(1)g m g m>+；当49m≥时，有()(1)g m g m=+…9分（III ）设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值.由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M . 根据题意，123100,M M b k k k k =++++=L123123123....M k k k M k a a a a ++++=++++L 下面计算()g M 的值.123()100M g M b b b b M =++++-1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++- 233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++123100()M a a a a b =-+++++123100()100a a a a =-+++++，∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-，∴()g m 最小值为100-. ………………………………………….14分昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1考生须知： 1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

【2013昌平一模】北京市昌平区2013届高三上学期期末考试理科数学试题_New

【2013昌平一模】北京市昌平区2013届高三上学期期末考试理科数学试题昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间120分钟）2013.1 考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共40分）的距离大于2的概率是A. 413B. 513C.825D.925（5）设nS 是公差不为0的等差数列{}na 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4（6）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 A. 24 B. 36C. 48D.60（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为A. 104342+B ．1032+C. 1432+D. 1432+（8）已知函数：①2()2f x x x =-+，②()cos()22xf x ππ=-，③12()|1|f x x =-.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题:p ()f x 是奇函数；命题:q (1)f x +在(0)，1上是增函数；命题:r 11()22f >；命题:s ()f x 的图像关于直线1x =对称A ．命题p q 、B ．命题q s 、C ．命题r s 、D ．命题p r 、第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）若221ai i i =-+-，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是____________. （10）以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____. （11）在ABC △中，若22b =,1c =，tan 22B =，则a = .（12）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为．(13)在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC 的中点，那么()AB AC AD -•= ____________;若E 是AB 的中点，P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅的取值范围是___________.（14）在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则OFEDCBA① 到坐标原点O 的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________; ② 坐标原点O 与直线2230x y --=上任意一点的“折线距离”的最小值是_____________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13分）已知函数1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xx x x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.(16) （本小题满分14分）在四棱锥EABCD中，底面ABCD 是正方形，,AC BD O 与交于点ECABCD F底面，为BE 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ；（Ⅱ）求证：BD AE；（Ⅲ）若2,ABCE 在线段EO 上是否存在点G ，使CG BDE平面？若存在，求出EG EO的值，若不存在，请说明理由．（17）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：甲厂乙厂9 03 9 6 58 1 8456 9 0 31 5 0 32 1 0 3规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品.（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数的分布列及其数学期望()E ξ；（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．（18）（本小题满分13分）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.（Ⅰ）若函数)(x f y =的图象在点P （1，)1(f ）处的切线的倾斜角为4π，求()f x 在[]1,1-上的最小值；（Ⅱ）若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ，求a 的取值范围．（19）（本小题满分13分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴, 离心率为22且抛物线242y x =的焦点是椭圆M 的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点. 求点O 到直线l 的距离的最小值．（20）（本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i的项有ik 个(1,2,3)i =，设j jk k k b+++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =+++-(1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,kk ==34510020,10, 0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ；（Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50，比较(),(1)g m g m +的大小；（Ⅲ）若12100200a a a +++=，求函数)(m g 的最小值．昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参考答案（理科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案CABDCDBC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9）4 （10）22(5)16x y -+=（11）3 （12）4 （13）2;[-9,9]（14）8;3三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z)，故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z}．…………………2分因为1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xx x x x f(232cos )cos 1x x x =-⋅+32cos 2x x=-π2sin(2)6x =-，………………………………6分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分G ABC DEFO（II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x xπππππππ (9)分当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分（16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接OF .由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，所以OF ∥DE ………………….2分又,,OFACF DEACF 平面平面所以DE ∥平面ACF ………….4分 (II) 证明：由ECABCD BD ABCD 底面，底面，所以,EC BD由ABCD是正方形可知, ,AC BD又=,,平面，AC EC C AC EC ACE所以平面………………………………..8分BD ACE,又AE ACE平面，所以BD AE…………………………………………..9分(III)解法一：在线段EO上存在点G，使CG BDE平面. 理由如下：如图，取EO中点G，连接CG.在四棱锥E ABCD中，2AB CE CO AB CE，2,2所以CG EO.…………………………………………………………………..11分由（II）可知，,平面BD BDEBD ACE平面而,所以，,平面平面且平面平面，ACE BDE ACE BDE EOz yOFED CBAG因为,CG EO CG ACE 平面，所以CGBDE平面…………………………………………………………. 13分故在线段EO 上存在点G ，使CGBDE平面.由G 为EO 中点，得1.2EG EO (14)分解法二：由ECABCD 底面，且底面ABCD 是正方形，如图，建立空间直角坐标系,CDBE由已知2,ABCE 设(0)CEa a，则(0,0,0),(2,0,0),C D a B 2222,,0),(2,2,0),(0,2,),(,,).2222O a BD a a BE a a EO a a a 设G为线段EO上一点，且(01)EGEOλλ，则22(,,),22EGEOa a a λλλλ22(,,(1)),22CG CE EO a a a λλλλ…………………………..12分由题意，若线段EO 上存在点G ，使CGBDE平面，则CGBD ，CGBE.所以，221(1)0,0,12a a λλλ解得，（），故在线段EO 上存在点G ，使CGBDE平面，且1.2EG EO…………………… 14分（17）(本小题满分13分)解：（I ）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为63.105= 乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为51.102=………………..2分（II ）ξ的取值为0，1，2，3.0312555533101015(0),(1),1212C C C C P P C C ξξ⋅⋅====== 21355533101051(2),(3)1212C C C P P C C ξξ⋅======所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P112512512112故155130123.121212122E ξξ=⨯+⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）……………………9分(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”2200333321127()()()()()5522500P A C C =⨯=331123331181()()()()5221000P B C C =⨯=抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为278127()().5001000200P A P B +=+=…13分（18）(本小题满分13分)解：（I ）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分根据题意，(1)tan1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 …………………3分此时，32()24f x xx =-+-,则2()34f x xx'=-+.令124'()00,.3f x x x===，得x1- (1,0)-0 (0,1)1 ()f x ' 7- - 0+ 1()f x1-↘4-↗3-…………………………………………………………………………………………. 6分∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分（II ）).32(3)(a x x x f --='①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分 ②若220,0,()0;,()0.33a a a x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a ）上单调递增，在（23a ，+)∞上单调递减..4274494278)32()(,),0(333max-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当根据题意，33440,27. 3.27a a a ->>∴>即 ……………..............................13分综上，a 的取值范围是(3,)+∞. （19）(本小题满分13分) 解：（I ）由已知抛物线的焦点为2,0),故设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则222,2, 2.c e a b ====由得所以椭圆M 的方程为221.42x y +=……5分（II ）当直线l 斜率存在时，设直线方程为y kx m=+，则由22,1.42y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y得，222(12)4240k x kmx m +++-=， (6)分222222164(12)(24)8(24)0k m k m k m ∆=-+-=+->，①…………7分设A B P 、、点的坐标分别为1122(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则：012012122242,()21212km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++，…………8分由于点P在椭圆M上，所以2200142x y +=. ……… 9分从而2222222421(12)(12)k m m k k +=++，化简得22212mk =+，经检验满足①式.………10分又点O 到直线l 的距离为：222211122112(1)2211kd k k k +===-≥-=+++ ………11分当且仅当k =时等号成立 ………12分当直线l 无斜率时，由对称性知，点P 一定在x 轴上，从而点P 的坐标为(2,0)(2,0)-或，直线l 的方程为1x =±，所以点O 到直线l 的距离为1 . 所以点O到直线l的距离最小值为22. ………13分（20）(本小题满分14分) 解: (I) 因为数列1240,30,kk ==320,k =410k =，所以123440,70,90,100b bb b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- (4)分(II) 一方面，1(1)()100m g m g m b++-=-，根据jb 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， ①当且仅当1100m b +=时取等号.因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100mb=，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===即当149m ≤<时，有()(1)g m g m >+；当49m ≥时，有()(1)g m g m =+ …9分（III ）设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值.由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M .根据题意，123100,MM b k k k k =++++=12312310023....M k k k Mk a a a a ++++=++++下面计算()g M 的值.123()100M g M b b b b M=++++-1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++123100()M a a a a b =-+++++123100()100a a a a =-+++++， ∵123100200a aa a ++++= ， ∴()100g M =-， ∴()g m 最小值为100-. (14)分。

北京市昌平区2013届高三仿真模拟数学理科试卷5 Word版含答案

北京市昌平区2013届高三仿真模拟数学理科试卷5一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{}01|2<-=x x M ，{}0lg |<=x x N ，则N M ⋃等于A {}11|<<-x xB {}10|<<x xC {}01|<<-x xD {}0|<x x2.已知21,e e 是不共线向量，212e e +=，21e e -=λ，当∥时，实数λ等于A 1-B 0C 21-D 2- 3.设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是A 若α⊂⊥n n m ,，则α⊥mB 若m n m //,α⊥，则α⊥nC 若αα//,//n m ，则n m //D 若γβγα⊥⊥,，则βα// 4.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则9876a a a a ++等于 A 21+ B 21- C 223+ D 223-5.设抛物线x y 82-=的焦点为F,准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3，那么=PFA 34B 38C 8D 16 6.极坐标方程θρsin 2=和参数方程⎩⎨⎧--=+=t y tx 132（t 为参数）所表示的图形分别为A 圆，圆B 圆，直线C 直线，直线D 直线，圆7.已知点),(y x P 的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥0321y x x y x ，那么点P 到直线0943=--y x 的距离的最小值为 A514 B 56C 2D 1 8.已知定义在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π上的函数)(x f y =的图像关于直线43π=x 对称，当43π≥x 时，Cx x f cos )(=，如果关于x 的方程a x f =)(有解，记所有解的和为S, 则S 不可能．．．为 Aπ45 B π23 C π49D π3 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9.在复平面内，复数ii++121对应的点的坐标为________________________. 10.在二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，含4x 项的系数为______________________. (用数字作答）11.如图，AB,CD 是半径a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，a CP 89=，︒=∠60AOP ,则=PD ________________.是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是38，则12.如图=a ____________________.13.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量mm)的重要指标）。

北京昌平区2013高三第二次质量抽测-数学文理(word解析版).

昌平区2012－2013学年第二学期高三年级第二次质量抽测数学试卷（文科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.4考生须知： 1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．) （1）i 是虚数单位，则复数21=i z i-在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A 【解析】2211=222i iz iii i-=-=-=+，所以对应的点的坐标为(2,1)，在第一象限，选A.（2）已知集合{|21}x A x =>，{|1}B x x =<，则AB =A. {|1}x x >B. {|0}x x >C. {|01}x x <<D. {|1}x x < 【答案】C【解析】{|21}{0}x A x x x =>=>，所以AB ={|01}x x <<，选C.（3）已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么下列结论正确的是A. 命题:2p x x ⌝∀∈R ≤， B ．命题:2p x x ⌝∃∈<R ， C ．命题:2p x x ⌝∀∈-R ≤， D ．命题:2p x x ⌝∃∈<-R ，【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题:2p x x ⌝∃∈<R ，，选B.（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．102B ．81C ．39D ．21 【答案】A【解析】第一次循环，133,2S n =⨯==.第二次循环，232321,3S n =+⨯==. 第三次循环，32133102,4S n =+⨯==.此时不满足条件，输出102S =，选A.（5）在区间(0,)2π上随机取一个数x ，则事件“tan cos x x ≥g ”发生的概率为A. 34B. 23C. 12D. 13【答案】C 【解析】由tan cos x x ≥gsin x ≥解得42x ππ≤≤，所以事件“tan cos x x ≥g 发生的概率为12422πππ-=，选C.（6）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x 年，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则()y f x =的图像大致为【答案】D【解析】设某地区起始年的绿化面积为a ，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x 年，绿化面积()(118%)x g x a =+，因为绿化面积与原绿化面积之比为y ，则()()(118%) 1.18x xg x y f x a===+=，则函数为单调递增的指数函数。

北京市昌平区2013届高三仿真模拟数学理科试卷1含答案

xyO π2π1-1北京市昌平区2013届高三仿真模拟数学理科试卷1一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数121iz i-=+对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限(D) 第四象限2．下列四个命题中，假命题为(A) x ∀∈R ，20x>(B) x ∀∈R ，2310x x ++>(C) x ∃∈R ，lg 0x >(D) x ∃∈R ，122x =3．已知a >0且a ≠1，函数log a y x =，xy a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数)和极坐标方程4sin ρθ=所表示的图形分别是(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆 5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是(A) 120 (B) 84 (C) 60(D) 486．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A) 441sin()555y x =+(B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =-(D)41sin(2)55y x =+本题就是考查正弦函数的图象变换。

最好采用排除法。

考查的关键是A ，ω，φ每一个字母的意义。

7．已知直线l ：0Ax By C ++=(A ，B 不全为0)，两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，若1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++>++，则OO O O x x xxy y y y1 11 1111 1(A) 直线l 与直线P 1P 2不相交(B) 直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交 (C) 直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交 (D) 直线l 与线段P 1P 2相交本题就是考查线性规划问题。

北京市昌平区2013年中考数学二模试卷(解析版)

市昌平区2013年中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）（2013•贺州）﹣3的相反数是（）A．﹣B．C．﹣3 D．3考点：相反数．分析：根据相反数的概念解答即可．解答：解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）=3．故选D．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（4分）（2013•昌平区二模）中国公安部副部长3月6日表示，中国户籍制度改革的步伐已经明显加快，力度明显加大.2010年至2012年，中国共办理户口“农转非”2 500多万人．请将 2 500 用科学记数法表示为（）A．250×10B．25×102C．2.5×103D．0.25×104考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将2 500 用科学记数法表示为2.5×103．故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）（2013•昌平区二模）在水平的讲台桌上放置圆柱形笔筒和长方体形粉笔盒（如图），则它的主视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：从正面看易得左边有1个高的长方形，右边有一个矮的长方形．故选B．点评：本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，难度适中．4．（4分）（2008•某某地区）如图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，∠1=80°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．60°考点：平行线的性质；角平分线的定义；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：由角平分线的定义，结合平行线的性质，易求∠2的度数．解答：解：∵EF平分∠CEG，5．（4分）（2013•昌平区二模）在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）6．（4分）（2012•某某）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）考点：二次函数图象与几何变换．专题：探究型．分析：直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．解答：解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3（x+2）2+3．故选A．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．7．（4分）（2013•昌平区二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，D，E分别在AB，AC 上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（）A．1B．6C．4D．2考点：翻折变换（折叠问题）．分析：先由图形翻折变换的性质得出AE=A′E，再根据A′为CE的中点可知AE=A′E=CE，故AE=AC，=，再由∠C=90°，DE⊥AC可知DE∥BC，故可得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可知==，故可得出结论．解答：解：∵△A′DE△ADE翻折而成，∴AE=A′E，∵A′为CE的中点，∴AE=A′E=CE，∴AE=AC，=，∵∠C=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==，=解得DE=2．故选D．点评：本题考查的是图形的翻折变换及相似三角形的判定与性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．8．（4分）（2013•昌平区二模）正三角形ABC的边长为2，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿A→B→C→A的方向运动，到达点A时停止．设运动时间为x秒，y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：需要分类讨论：①当0≤x≤3，即点P在线段AB上时，根据余弦定理知cosA=，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当3＜x≤6，即点P在线段BC 上时，y与x的函数关系式是y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象．解答：解：∵正△ABC的边长为3cm，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3cm．①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP=xcm（0≤x≤3）；根据余弦定理知cosA=，即=，解得，y=x2﹣3x+9（0≤x≤3）；该函数图象是开口向上的抛物线；②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=（6﹣x）cm（3＜x≤6）；则y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6），∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线．故选A．点评：本题考查了动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点P的位置进行分类讨论，以防错选．二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．（4分）（2013•昌平区二模）若分式的值为0，则x的值为﹣2．考点：分式的值为零的条件．专题：计算题．分析：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．解答：解：若分式的值为0，则x2﹣4=0且x﹣2≠0．开方得x1=2，x2=﹣2．当x=2时，分母为0，不合题意，舍去．故x的值为﹣2．故答案为﹣2．点评：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．10．（4分）（2009•凉山州）有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是小林．考点：方差；折线统计图．专题：应用题；压轴题．分析：观察图象可得：小明的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小明的成绩较为稳定；根据题意，一般新手的成绩不太稳定，故新手是小林．解答：解：由于小林的成绩波动较大，根据方差的意义知，波动越大，成绩越不稳定，故新手是小林．故填小林．点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．11．（4分）（2013•昌平区二模）如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为12．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：求出CE=3DE，AB=2DE，求出=，=，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AD ∥BC，推出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，求出=（）2=，=（）2=，求出△CEB的面积是9，△ABF的面积是4，得出四边形BCDF的面积是8，即可得出平行四边形ABCD的面积．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∵CD=2DE，∴CE=3DE，AB=2DE，∴=，=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，∴=（）2=，=（）2=，∵△DEF的面积为1，∴△CEB的面积是9，△ABF的面积是4，∴四边形BCDF的面积是9﹣1=8，∴平行四边形ABCD的面积是8+4=12，故答案为：12．点评：本题考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．12．（4分）（2013•昌平区二模）如图，从原点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为32π，第n个半圆的面积为22n﹣5π．考点：规律型：图形的变化类．分析：根据已知图形得出第5个半圆的半径，进而得出第5个半圆的面积，得出第n个半圆的半径，进而得出答案．解答：解：∵以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，∴第5个半圆的直径为16，∴面积为=32π根据已知可得出第n个半圆的直径为：2n﹣1，则第n个半圆的半径为：=2n﹣2，第n个半圆的面积为：=22n﹣5π．故答案为：32π，22n﹣5π．点评：此题主要考查了数字变化规律，注意数字之间变化规律，根据已知得出第n个半圆的直径为：2n﹣1是解题关键．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）13．（5分）（2013•昌平区二模）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：此题涉及到二次根式、特殊角的三角函数、负整数指数幂、以及零次幂，首先根据各知识点进行计算，再进行实数的加减即可．解答：解：原式=2﹣4×﹣3+1=﹣2．点评：此题主要考查了实数的运算，关键是熟练掌握二次根式、特殊角的三角函数、负整数指数幂、以及零次幂的运算．14．（5分）（2012•某某）解方程：．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：先去分母把分式方程化为整式方程，求出整式方程中x的值，代入公分母进行检验即可．解答：解：方程两边同时乘以2（3x﹣1），得4﹣2（3x﹣1）=3，化简，﹣6x=﹣3，解得x=．检验：x=时，2（3x﹣1）=2×（3×﹣1）≠0所以，x=是原方程的解．点评：本题考查的是解分式方程．在解答此类题目时要注意验根，这是此类题目易忽略的地方．15．（5分）（2013•昌平区二模）已知m2﹣5m﹣14=0，求（m﹣1）（2m﹣1）﹣（m+1）2+1的值．考点：整式的混合运算—化简求值；解一元二次方程-因式分解法．分析：本题涉及化简、整式的加减运算两个考点．解答时先化简，再运用整式加减的运算，去括号合并同类项，最后代入求值．解答：解：（m﹣1）（2m﹣1）﹣（m+1）2+1=2m2﹣m﹣2m+1﹣（m2+2m+1）+1=2m2﹣m﹣2m+1﹣m2﹣2m﹣1+1=m2﹣5m+1．当m2﹣5m=14时，原式=（m2﹣5m）+1=14+1=15．点评：考查了整式的混合运算﹣化简求值，解决此类题目的关键是熟悉去括号法则、化简等考点知识，去括号合并同类项时注意，括号前是负号，括号里的各项要变号．16．（5分）（2013•昌平区二模）如图，AC∥FE，点F、C在BD上，AC=DF，BC=EF．求证：AB=DE．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：先根据AC∥EF，得出∠ACB=∠DFE，即可证出△ABC≌△DEF，从而得出AB=DE．解答：证明：∵AC∥EF，∴∠ACB=∠DFE．在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF，∴AB=DE．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，如果两个三角形中，有两组对应边相等，并且其中一组对应角相等，那么这两个三角形全等．17．（5分）（2013•昌平区二模）已知：如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为A（1，n）．（1）求m与n的值；（2）设一次函数的图象与x轴交于点B，求∠ABO的度数．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）将A坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出A坐标，将A坐标代入一次函数解析式即可求出m的值；（2）过A作AM垂直于x轴，对于直线AB，令y=0求出x的值，确定出OB的长，再由A的坐标求出AM与BM的长，在直角三角形ABM中，利用锐角三角函数定义求出tan ∠ABM的值，利用特殊角的三角函数值求出∠ABO的度数即可．解答：解：（1）∵点A（1，n）在双曲线y=上，∴n=，又∵A（1，）在直线y=x+m上，∴m=；（2）过点A作AM⊥x轴于点M，∵直线y=x+与x轴交于点B，∴点B的坐标为（﹣2，0），∴OB=2，∵点A的坐标为（1，），∴AM=，OM=1，∴BM=3，在Rt△BAM中，∠AMB=90°，∵tan∠ABM==，∴∠ABM=30°．点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与x轴的交点，锐角三角函数定义，以及待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．四、解答题（共5小题，满分25分）18．（5分）（2013•昌平区二模）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，∠DAB=∠ABC=90°，BE⊥BD且BE=BD，连接EA并延长交CD的延长线于点F．如果∠AFC=90°，求∠DAC的度数．考点：全等三角形的判定与性质．分析：求出∠DAB+∠ABC=180°，∠3+∠FAD=90°，推出AD∥BC，根据平行线性质得出∠ADF=∠BCF，求出∠3=∠ADF=∠BCF，∠1=∠2，证△ABE≌△CBD，瑞成AB=BC，推出∠BAC=∠ACB=45°即可．解答：解：∵∠DAB=∠ABC=90°，∴∠DAB+∠ABC=180°，∠3+∠FAD=90°，∴AD∥BC，∴∠ADF=∠BCF，∵∠AFC=90°，∴∠FAD+∠ADF=90°，∴∠3=∠ADF=∠BCF，∵BE⊥BD，∴∠EBD=90°，∴∠1=∠2，在△ABE和△CBD中∴△ABE≌△CBD（AAS），∴AB=BC，∴∠BAC=∠ACB=45°，∴∠DAC=∠BAD﹣∠BAC=45°．点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△ABE≌△CBD．19．（5分）（2013•昌平区二模）某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．美术社团从九年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．（1）直接回答美术社团所调查的4个班征集到作品共12件，并把图1补充完整；（2）根据美术社团所调查的四个班征集作品的数量情况，估计全年级共征集到作品的数量为42；（3）在全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；列表法与树状图法．分析：（1）根据C班在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据C班的人数是5，列式进行计算即可求出作品的总件数，然后减去A、C、D三个班的件数即为B班的件数；（2）先求出平均每一个班的作品件数，然后乘以班级数14，计算即可得解；（3）先列表，再根据概率公式进行计算即可得解．解答：解：（1）根据题意得：调查的4个班征集到作品数为：5÷=12，B班作品的件数为：12﹣2﹣5﹣2=3．如图：（2）∵美术社团所调查的四个班平均每个班征集作品是：12÷4=3（件），∴全校共征集到的作品：3×14=42（件）；（3）列表如下：男1 男2 男3 女1 女2男1 男1男2 男1男3 男1女1 男1女2男2 男2男1 男2男3 男2女1 男2女2男3 男3男1 男3男2 男3女1 男3女2女1 女1男1 女1男2 女1男3 女1女2女2 女2男1 女2男2 女2男3 女2女1共有20种机会均等的结果，其中一男生一女生占12种，∴P（一男生一女生）=，即恰好抽中一男生一女生的概率为．故答案为12，42．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．20．（5分）（2013•昌平区二模）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，CD是⊙O 的直径，P是CD延长线上的点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若AC=3，求PD的长．考点：切线的判定．分析：（1）连接OA，求出∠AOC，求出∠ACP，得出∠P，求出∠AOD，推出∠PAO=90°，根据切线判定推出即可；（2）根据∠ACD=30°，AC=3求出DC，求出半径，在Rt△PAO中根据勾股定理求出即可．解答：解：（1）证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，即OA⊥AP，∵点O在⊙O上，∴AP是⊙O的切线．（2）解：连接AD，∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°，∴AD=AC∙tan30°=，CD=2AD=2，∴DO=AO=CD=，在Rt△PAO中，由勾股定理得：PA2+AO2=PO2，∴32+（）2=（PD+）2，∵PD的值为正数，∴PD=．点评：本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．21．（5分）（2013•昌平区二模）如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同的速度分别从点A、点D开始在AB、DA上向点B、点A运动．（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离；（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；解直角三角形．分析：（1）首先表示出AN的长，进而得出∠PAN的度数，利用PN=AN•sin∠PAN=（20﹣x）得出即可；（2）首先得出S△AMN=AM•NP，进而得出其最值，利用S五边形BCDNM=S梯形﹣S△AMN，得出当x=10时，五边形BCDNM面积最小，进而得出△AMN的形状．解答：解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P．由已知得，AM=x，AN=20﹣x．∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AD=BC，∴∠D=∠C=30°．∴∠PAN=∠D=30°．在Rt△APN中，PN=AN•sin∠PAN=（20﹣x）．即点N到AB的距离为．（2）根据（1）S△AMN=AM•NP=x（20﹣x）=﹣+5x．∵，∴当x=10时，S△AMN有最大值．又∵S五边形BCDNM=S梯形﹣S△AMN，且S梯形为定值，∴当x=10时，五边形BCDNM面积最小．此时，ND=AM=10，AN=AD﹣ND=10，∴AM=AN．∴当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及二次函数最值问题以及等腰三角形的性质等知识，根据二次函数最值得出五边形BCDNM面积最小时AN、AM的值是解题关键．22．（5分）（2013•昌平区二模）（1）【原题呈现】如图，要在燃气管道l上修建一个泵站分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？解决问题：请你在所给图中画出泵站P的位置，并保留作图痕迹；（2）【问题拓展】已知a＞0，b＞0，且a+b=2，写出的最小值；（3）【问题延伸】已知a＞0，b＞0，写出以、、为边长的三角形的面积．考点：轴对称-最短路线问题．分析：（1）作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接AP，则泵站修在管道的P点处，可使所用的输气管线AP+BP最短；（2）作线段MN=2，过M作MN的垂线段MA，使MA=1，过N作MN的垂线段NB，使NB=2，且A，B在MN异侧，那么m表示线段MN上任意一点到A的距离与这一点到B的距离之和，根据两点之间线段最短可知，这一点在直线AB上时，距离最小．根据勾股定理即可求出m的最小值；（3）作一个长方形ABCD，设AB=2b，AD=2a，取AB中点E，AD中点F，连接EF，FC，CE，得△EFC，则、、是这个三角形的三条边，根据S△CEF=S长方形ABCD﹣S△AEF﹣S△CDF﹣S△CEB即可求解．解答：解：（1）作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接AP，则泵站修在管道的P点处，可使所用的输气管线AP+BP最短．理由如下：在直线l上任取一点E，连接AE、BE、A′E，∵A、A′关于直线l对称，∴AP=A′P，同理AE=A′E，∵AP+BP=A′P+BP=A′B，AE+BE=A′E+BE＞A′B，∴AP+BP＜A′E+BE，∵E是任意取的一点，∴AP+BP最短；（2）作线段MN=2，过M作MN的垂线段MA，使MA=1，过N作MN的垂线段NB，使NB=2，且A，B在MN异侧，那么m表示线段MN上任意一点到A的距离与这一点到B的距离之和，根据两点之间线段最短可知，这一点在直线AB上时，距离最小．连接AB，交MN于P，则此时m的最小值为线段AB的长．过B作AM的垂线，交AM的延长线于点C．在Rt△ABC中，∵AC=1+2=3，BC=2，∴AB==．故m的最小值为；（3）作一个长方形ABCD，设AB=2b，AD=2a，取AB中点E，AD中点F，连接EF，FC，CE，得△EFC，则、、是这个三角形的三条边，S△CEF=S长方形ABCD﹣S△AEF﹣S△CDF﹣S△CEB=2a•2b﹣•a•b﹣•a•2b﹣•2a•b=4ab﹣ab﹣ab﹣ab=ab．点评：本题主要考查轴对称﹣最短路线问题在实际中的应用，能画出符合要求的图形是解题的关键．五、解答题（共3道小题，第23题6分，第24题7分，第25题9分，共22分）23．（6分）（2008•某某）已知点A（a，y1）、B（2a，y2）、C（3a，y3）都在抛物线y=5x2+12x 上．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求△ABC的面积；（3）是否存在含有y1，y2，y3，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）令y=0，得出的关于x的二元一次方程的解就是抛物线与x轴的交点的横坐标，也就求得出了抛物线与x轴的交点坐标．（2）当a=1时，根据抛物线的解析式求出A、B、C三点的坐标，由于三角形的面积无法直接求出，因此通过作辅助线用其他规则图形的面积的“和，差”关系来求．如：分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，S△ABC=S梯形ADFC﹣S梯形ADEB﹣S梯形BEFC由此可求出△ABC的面积．（3）可将A、B、C三点的坐标代入抛物线中，得出y1，y2，y3的值，然后进行比较即可得出它们之间的和差或倍数关系．解答：解：（1）由5x2+12x=0，得x1=0，．∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）．（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有S△ABC=S梯形ADFC﹣S梯形ADEB﹣S梯形BEFC=﹣﹣=5（个单位面积）（3）如：y3=3（y2﹣y1）．事实上，y3=5×（3a）2+12×（3a）=45a2+36a．3（y2﹣y1）=3[5×（2a）2+12×2a﹣（5a2+12a）]=45a2+36a．∴y3=3（y2﹣y1）．点评：本题主要考查了二次函数的应用，根据抛物线的解析式来确定A、B、C三点的坐标是解题的关键．24．（7分）（2013•昌平区二模）（1）如图1，以AC为斜边的Rt△ABC和矩形HEFG摆放在直线l上（点B、C、E、F在直线l上），已知BC=EF=1，AB=HE=2．△ABC沿着直线l向右平移，设CE=x，△ABC与矩形HEFG重叠部分的面积为y（y≠0）．当x=时，求出y的值；（2）在（1）的条件下，如图2，将Rt△ABC绕AC的中点旋转180°后与Rt△ABC形成一个新的矩形ABCD，当点C在点E的左侧，且x=2时，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将矩形HEFG绕着点E逆时针旋转相同的角度．若旋转到顶点D、H重合时，连接AG，求点D 到AG的距离；（3）在（2）的条件下，如图3，当α=45°时，设AD与GH交于点M，CD与HE交于点N，求证：四边形MHND为正方形．考点：几何变换综合题．分析：（1）根据题意画出图形，根据tan∠PCE=tan∠ACB得出．求出PE=，根据三角形面积公式求出即可；（2）作DK⊥AG于点K，得出等边三角形DCE，求出∠CDE=60°，求出∠ADG=120°，求出∠DAK=30°，求出DK即可；（3）根据∠NCE=∠NEC=45°求出∠HND=∠E=90°，得出矩形HNDM，求出HN=DN，根据正方形判定推出即可．解答：（1）解：如图1，当x=时，设AC与HE交与点P．由已知易得∠ABC=∠H EC=90°．∴tan∠PCE=tan∠ACB．∴．∴PE=，∴．（2）解：如图2，作DK⊥AG于点K，∵CD=CE=DE=2，∴△CDE是等边三角形，∴∠CDE=60°．∴∠ADG=360°﹣2QUOTE90°﹣60°=120°，∵AD=DG=1，∴∠DAG=∠DGA=30°，∴DK=DG=，∴点D到AG的距离为．（3）解：如图3，∵α=45°，∴∠NCE=∠NEC=45°，∴∠E=90°，∴∠DNH=90°，∵∠D=∠H=90°，∴四边形MHND是矩形，∵=NE，CD=HE，∴DN=NH，∴矩形MHND是正方形．点评：本题考查了矩形性质和判定，正方形判定，含30度角的直角三角形，三角形内角和定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．25．（9分）（2008•某某）如图，已知半径为1的⊙O1与x轴交于A，B两点，OM为⊙O1的切线，切点为M，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A，B两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM的函数解析式；（3）线段OM上存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO1M相似．请问有几个符合条件的点P并分别求出它们的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）根据圆心的坐标和半径的长即可求出A，B两点的坐标，然后将A，B的坐标代入抛物线中即可得出二次函数的解析式．（2）可先在直角三角形OO1M中求出∠MO1O的度数，然后过M作x轴的垂线，设垂足为F，可在直角三角形MO1F中根据∠MO1O的度数和MO1的长求出MF和O1F的长，即可得出M点的坐标，进而可根据M的坐标求出直线OM的解析式．（3）由于P在OM上，因此∠POA=∠MOO1，因此本题可分两种情况进行讨论：①当AP∥O1M时，②当PA⊥OB时．据此可求出P点的坐标．（①可参照求M点坐标时的方法来解，②可直接将A点横坐标代入直线OM的解析式中，即可求出P的坐标）．解答：解：（1）∵圆心的坐标为O1（2，0），⊙O1半径为1，∴A（1，0），B（3，0），∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A，B，∴可得方程组，解得：，∴二次函数解析式为y=﹣x2+4x﹣3．（2）过点M作MF⊥X轴，垂足为F．∵OM是⊙O1的切线，M为切点，∴O1M⊥OM（圆的切线垂直于经过切点的半径）．在RT△OO1M中，sin∠O1OM==，∵∠O1OM为锐角，∴∠O1OM=30°，∴OM=OO1•cos30°=，在RT△MOF中，OF=OM•cos30°=．MF=OMsin30°=．∴点M坐标为（），设切线OM的函数解析式为y=kx（k≠0），由题意可知=k，∴k=，∴切线OM的函数解析式为y=x（3）两个，①过点A作AP1⊥x轴，与OM交于点P1，可得Rt△AP1O∽Rt△MO1O（两角对应相等两三角形相似），P1A=OA•tan∠AOP1=，∴P1（1，）；②过点A作AP2⊥OM，垂足为，过P2点作P2H⊥OA，垂足为H．可得Rt△OP2A∽Rt△O1MO（两角对应相等两三角形相似），在Rt△OP2A中，∵OA=1，∴P2=OA•cos30°=，在Rt△OP2H中，OH=OP2•cos∠AOP2=，P2H=OP2•sin∠AOP2=，P2（，），∴符合条件的P点坐标有（1，），（，）．点评：本题主要考查了切线的性质，一次函数和二次函数解析式的确定，相似三角形的判定和性质等知识点．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．。

【VIP专享】2013年昌平区期末高三理科数学试题及答案

A．{x | x 2}
（2）“ a 2 ”是“直线 y ax 2 与 y a x 1垂直”的 4
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．{x | 0 x 2} C．{x |1 x 2}
（3）已知函数 f (x) ln x ，则函数 g(x) f (x) f (x) 的零点所在的区间是
A．命题 p、q
2x
B．命题 q、s
，②
f
(x)
cos(
22
x )
命题 q : f (x 1) 在 (0，1) 上是增函数；
命题 s : f (x) 的图像关于直线 x 1 对称．
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
（9）
ai 若1i
的前
（6）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生，2 位男生．如
果 2 位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为
A． 24
B． 36
（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面
积为
A．10 4 3 4 2
2013.1
昌平区 2012～2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷（理科）
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）设集合 A {x | x 1}, B {x | x(x 2) 0} ，则 A B 等于
2 2i ，其中 i 是虚数单位，则实数 a 的值是
A． (0, 1)

2013北京各区县文科数学理科数学二模汇编：解析几何综合

2013北京模拟：解析几何综合【高三二模题组】1、（2013昌平二模，文19）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>(0,1)（I ）求此椭圆的方程；（II ）已知定点(1,0)E -，直线2y kx =+与此椭圆交于C 、D 两点，是否存在实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过点E ，如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

2、（2013昌平二模，理19）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率2e =，F 为椭圆的左焦点，且1AF BF ⋅= （I ）求此椭圆的方程；（II ）设P 是此椭圆上异于A ，B 的任一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q ，使得HP PQ =，连接AQ 并延长交直线l 于点M ，N 为MB 中点，判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系。

3、（2013丰台二模，文理19）已知椭圆22:14x C y +=，其短轴端点分别为A ，B （如图），直线AM ，BM 分别于椭圆交于E ，F 两点，其中1(,)2M m 满足0m ≠，m ≠（文理I ）求椭圆C 的离心率e ；（文理II ）用m 表示E ，F 两点的坐标；（文III ）证明直线EF 与y 轴交点的位置与m 无关；（理III ）若△BME 面积是△AMF 面积的5倍，求m 的值。

4、（2013海淀二模，文19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点恰好是边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线y kx =交椭圆C 于A ，B ，且直线:30l x y +-=上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值。

5、4、（2013海淀二模，理19）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的四个顶点恰好是边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点（I ）求椭圆M 的方程；（II ）若直线y kx =交椭圆C 于A ，B ，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求△AOB （O 为原点）面积的最大值。

北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题(word版)

昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 A ．{|2}x x > B ．{}20<<x xC ．{}21<<x xD ．{|01}x x <<（2）“2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的 A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件（3）已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是A.（0,1）B. （1,2）C. （2,3）D. （3,4）（4）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤，表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是A.413B.513C.825D.925（5）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4（6）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A. 24B. 36C. 48D.60（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为A. 10432+B ．102342+C. 142342+ D. 14432+（8）已知函数：①2()2f x x x =-+，②()cos()22xf x ππ=-，③12()|1|f x x =-.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题:p ()f x 是奇函数；命题:q (1)f x +在(0)，1上是增函数；命题:r 11()22f >；命题:s ()f x 的图像关于直线1x =对称A ．命题p q 、B ．命题q s 、C ．命题r s 、D ．命题p r 、第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）若221aii i=-+-，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是____________.（10）以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.（11）在ABC △中，若22b =1c =，tan 22B =，则a = . （12）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为．(13)在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC 的中点，那么()AB AC AD -•= ____________;若E 是AB 的中点，P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅的取值范围是___________.（14）在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则① 到坐标原点O 的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________;OFEDCBA② 坐标原点O与直线20x y --=上任意一点的“折线距离”的最小值是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13分）已知函数1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.(16) （本小题满分14分）在四棱锥E ABCD 中，底面ABCD 是正方形，,AC BD O 与交于点EC ABCD F 底面，为BE 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ；（Ⅱ）求证：BD AE ；（Ⅲ）若2,ABCE 在线段EO 上是否存在点G ，使CG BDE 平面？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．（17）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：甲厂乙厂93 9 6 5 8 18 4 5 6 9 0 31 5 0 3 21 0 3规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品. （Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()E ξ；（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．（18）（本小题满分13分）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.（19）（本小题满分13分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴, 且抛物线2y =的焦点是椭圆M 的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点. 求点O 到直线l 的距离的最小值．（20）（本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =+++-(1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ；（Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50，比较(),(1)g m g m +的大小；（Ⅲ）若12100200a a a +++=，求函数)(m g 的最小值．G ABC DEFO昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参考答案（理科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9）4 （10）22(5)16x y -+=（11） 3（12）4 （13）2; [-9,9] （14）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z )，故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z }．…………………2分因为1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xxx x x f 2cos )cos 1x x x =-⋅+ 2cos 2x x =-π2sin(2)6x =-，………………………………6分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分（II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ…………..9分当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分（16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接OF .由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，所以OF ∥DE ………………….2分又,,OFACF DE ACF 平面平面所以DE ∥平面ACF ………….4分 (II) 证明：由ECABCD BD ABCD 底面，底面，所以,EC BD由ABCD 是正方形可知, ,ACBD又=,,ACEC C AC EC ACE 平面，所以,BD ACE 平面………………………………..8分又AEACE 平面，所以BDAE …………………………………………..9分(III)解法一：在线段EO 上存在点G ，使CGBDE 平面. 理由如下：如图，取EO 中点G ，连接CG . 在四棱锥E ABCD 中，22,2ABCE COAB CE ，所以CGEO .…………………………………………………………………..11分由（II ）可知，,BD ACE 平面而,BDBDE 平面所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，因为,CG EO CGACE 平面，所以CGBDE 平面…………………………………………………………. 13分故在线段EO 上存在点G ，使CGBDE 平面.由G 为EO 中点，得1.2EGEO …………………………………………… 14分解法二：y由ECABCD 底面，且底面ABCD 建立空间直角坐标系,CDBE由已知2,ABCE 设(0)CEa a，则(0,0,0),,0,0),,0),(0,0,),C D B E a22(,,0),(2,2,0),(0,2,),(,,).2222O a a BD a a BE a a EO a a a 设G 为线段EO 上一点，且(01)EGEOλλ，则22(,,),22EG EO a a a λλλλ 22(,,(1)),2CG CE EO a a a λλλλ…………………………..12分由题意，若线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面，则CGBD ，CGBE .所以，221(1)0,0,12aa λλλ解得，（），故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面，且1.2EGEO…………………… 14分（17）(本小题满分13分)解：（I ）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为63.105= 乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为51.102=………………..2分（II ）ξ的取值为0，1，2，3.0312555533101015(0),(1),1212C C C C P P C C ξξ⋅⋅======21355533101051(2),(3)1212C C C P P C C ξξ⋅====== 所以ξ的分布列为故155130123.121212122E ξξ=⨯+⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）……………………9分(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”2200333321127()()()()()5522500P A C C =⨯=331123331181()()()()5221000P B C C =⨯=抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为278127()().5001000200P A P B +=+=…13分（18）(本小题满分13分)解：（I ）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分根据题意，(1)tan1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 …………………3分此时，32()24f x x x =-+-,则2()34f x x x '=-+. 令124'()00,.f x x x ===，得 …………………………………………………………………………………………. 6分∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分（II ）).32(3)(a x x x f --='①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分②若220,0,()0;,()0.33a aa x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a ）上单调递增，在（23a，+)∞上单调递减..4274494278)32()(,),0(333max-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当根据题意，33440,27. 3.27a a a ->>∴>即 …………….............................. 13分综上，a 的取值范围是(3,)+∞. （19）(本小题满分13分)解：（I ）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则22, 2.2c e a b ====由得所以椭圆M 的方程为22 1.42x y +=……5分（II ）当直线l 斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，则由22,1.42y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得，222(12)4240k x kmx m +++-=， …………………6分222222164(12)(24)8(24)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ①…………7分设AB P 、、点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则： 012012122242,()21212km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++，…………8分由于点P在椭圆M上，所以2200142x y+=. ……… 9分从而2222222421(12)(12)k m mk k+=++，化简得22212m k=+，经检验满足①式.………10分又点O到直线l的距离为：2d===≥=………11分当且仅当0k=时等号成立………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为(2,0)(2,0)-或，直线l的方程为1x=±，所以点O到直线l的距离为1 . 所以点O到直线l的距离最小值为2. ………13分（20）(本小题满分14分)解: (I) 因为数列1240,30,k k==320,k=410k=，所以123440,70,90,100b b b b====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g=-=-=-=-…………………4分(II) 一方面，1(1)()100mg m g m b++-=-，根据j b的含义知1100mb+≤，故0)()1(≤-+mgmg，即)1()(+≥mgmg，①当且仅当1100mb+=时取等号.因为123100,,,,a a a a中最大的项为50，所以当50m≥时必有100mb=，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g>>>===即当149m≤<时，有()(1)g m g m>+；当49m≥时，有()(1)g m g m=+…9分（III ）设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值.由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M .根据题意，123100,M M b k k k k =++++= 12312310023....M k k k Mk a a a a ++++=++++ 下面计算()g M 的值.123()100M g M b b b b M =++++-1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++123100()M a a a a b =-+++++123100()100a a a a =-+++++， ∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-， ∴()g m 最小值为100-. ………………………………………….14分。

北京2013届昌平区二模数学理科试题及答案