2017-2018学年高中数学 第二章 基本初等函数(1) 2.2.1 对数与对数运算 第二课时 对
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第二课时 对数的运算
[提出问题] 问题1：我们知道a
m ＋n
＝a m ·a n
，那么log a (M ·N )＝log a M ·log a N 正确吗？举例说明．
提示：不正确．例如log 24＝log 2(2×2)＝log 22·log 22＝1×1＝1，而log 24＝2. 问题2：你能推出log a (MN )(M >0，N >0)的表达式吗？ 提示：能．令a m
＝M ，a n
＝N ， ∴MN ＝a
m ＋n
.
由对数的定义知log a M ＝m ，log a N ＝n ，log a (MN )＝m ＋n ， ∴log a (MN )＝log a M ＋log a N . [导入新知]
对数的运算性质
若a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a M N
＝log a M －log a N ，
问题1：(1)log 28；(2)log 232；(3)log 832各为何值？ 提示：(1)log 28＝3；(2)log 232＝5； (3)log 832＝log 8853
＝5
3.
问题2：log 832＝log 232
log 28成立吗？
提示：成立．
[导入新知]
换底公式
若c >0且c ≠1，则log a b ＝log c b
log c a
(a >0，且a ≠1，b >0)． [化解疑难] 1．换底公式的推导
设x ＝log a b ，化为指数式为a x
＝b ，两边取以c 为底的对数，得log c a x
＝log c b ，即x log c a ＝log c b ，
所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a .
2．换底公式常用推论
log an b n
＝log a b (a >0，a ≠1，b >0，n ≠0)； log am b n ＝n m
log a b (a >0，a ≠1，b >0，m ≠0，n ∈R)； log a b ·log b a ＝1(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)；
log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，c >0，c ≠1，d >0)．
a >0，且a ≠1，x >y 其中式子成立的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
(2)计算下列各式的值： ①4lg 2＋3lg 5－lg 15
；
②
log 52·log 4981
log 2513
·log 734
；
③2log 32－log 3329＋log 38－55log 3
；
④log 28＋43＋log 28－4 3.
[解] (1)选A 对于①，取x ＝4，y ＝2，a ＝2， 则log 24·log 22＝2×1＝2，而log 2(4＋2)＝log 26≠2， ∴log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )不成立；
对于②，取x ＝8，y ＝4，a ＝2，则log 28－log 24＝1≠log 2(8－4)＝2， ∴log a x －log a y ＝log a (x －y )不成立；
对于③，取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则log 2(4×2)＝log 28＝3，而log 24·log 22＝2×1＝2≠3， ∴log a (xy )＝log a x ·log a y 不成立；
对于④，取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则log 24log 22＝2≠log 242＝1，
∴
log a x log a y ＝log a x
y
不成立； 对于⑤，取x ＝4，a ＝2，n ＝3，则(log 24)3
＝8≠log 243
＝6，∴(log a x )n ＝log a x n
不成立； ⑥成立，由于－log a 1x
＝－log a x －1＝log a (x －1)－1
＝log a x ；
⑦成立，由于log a n
x ＝log a x 1n
＝1
n
log a x ；
⑧成立，由于log a
x －y x ＋y ＝log a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y x －y －1＝－log a
x ＋y x －y .
(2)①原式＝lg 24
×53
15
＝lg 104
＝4.
②原式＝
＝12log 57－12log 53·⎝ ⎛⎭
⎪
⎫23log 72＝－3log 32×log 23＝－3.
③原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝5log 32－(5log 32－2log 33)－3＝－1.
④原式＝log 2(8＋43·8－43)＝log 24＝2. [类题通法]
解决对数运算的常用方法
解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用方法有：
(1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积，再展开； (2)将同底数的对数的和、差、倍合并； (3)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. [活学活用] 求下列各式的值：
(1)lg 52
＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2
； (2)log 2
748＋log 212－1
2
log 242； (3)lg 5·lg 8 000＋
3
2
lg 600－12lg 0.036－1
2lg 0.1
；
(4)lg(3＋5＋ 3－5)．
解：(1)原式＝2lg 5＋lg 2×lg(5×10)＋(lg 5＋lg 2＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 2×(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2lg 5＋＝2.
(2)法一：原式＝12(log 27－log 248)＋log 23＋3＋log 27)＝1
2log 27
lg 6
100
＝4. 3－5＋29－5)＝12lg 10＝12.
[例2] (1)2485251258)． (2)已知log 189＝a,18b
＝5，求log 3645. [解] (1)法一：原式＝