2021届高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件文北师

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高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第二节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题课件理

第二节
二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
课前双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
过基础知识
1．一元二次不等式(组)表示的平面区域
不等式
得A(0,2)，B(2,2)，C(2,7)，D(0，5)，所
以AD＝3，AB＝2，BC＝5.故所求区域
的面积为S＝12×(3＋5)×2＝8. 答案：8
[题型技法] 解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．
(二)迁移考——根据平面区域满足的条件求参数
3．已知约束条件 xx＋≥y1－，4≤0， kx－y≤0
表示面积为1的直角三角
形区域，则实数k的值为 A．1 C．0
B．－1 D．－2
()
解析：作出约束条件表示的可行域如图中
阴影部分所示，
要使阴影部分为直角三角形，
当k＝0时，此三角形的面积为
1 2Biblioteka ×3×3＝3．简单的线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件由变量x，y组成的_不__等__式__(_组__)
线性约束条件由变量x，y组成的_一__次__不等式(组)
目标函数关于x，y的函数_解__析__式__，如z＝2x＋3y等
线性目标函数关于x，y的_一__次___函数解析式可行解满足线性约束条件的解_(_x_，__y_)

高考数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6_2二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件理新人教A版

4．求平面区域面积的方法 (1)画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，再作出平面区域； (2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．
答案：C
解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件 36x＋60y≥900，
为yx－＋xy≤≤72，1， x，y∈N，
作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin＝ 36 800(元)．
考点三|数形结合法求目标函数的最值 (方法突破)
线性约束条件由x，y的一次不等式组成的不等式(组)
目标函数关于x，y的函数解析式
线性目标函数关于x，y的一次解析式
可行解可行域
满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合
最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解
在线性约束条件下求线性目标函数的线性规划问题最大值或最小值问题
y－x≤2
表示的平面区域是△AOB，动直线x＋y＝a(即y＝－
x＋a)在y轴上的截距从－2变化到1.
知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形，△OEC是直角边为1等腰直角三角形，
所求区域的面积S＝S△ACD－S△OEC＝12×3×32－12×1×1＝74.
[答案] (1)B (2)D
名师点拨 1.确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．需要将特殊点的坐标代入f(x，y)计算并判断符号． 2．求平面区域面积，需要解方程组求区域端点的坐标，要计算边长或角度、高度． 3．根据图形特点选取面积计算方法．

高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件文

夹在两条斜率
为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( 3 5 A． 5 3 2 C． 2 B． 2 D． 5
)
【解析】 (1)两直线方程分别为 x－2y＋2＝0 与 x＋y－1＝0. 由(0,0)点在直线 x－2y＋2＝0 右下方可知 x－2y＋2≥0，又(0,0)点在直线 x＋y－1＝0 左下方可知示的可行域．
线性目标函数关于 x，y 的______解析式
可行解满足线性约束条件的解______ 可行域所有可行解组成的______ 最优解使目标函数取得________或 ________的可行解
线性规划在线性约束条件下求线性目标问题函数的______或________问题
2.会用求二元一次函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法 a z 将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式：y＝－ x＋，通过 b b z 求直线的截距的最值间接求出 z 的最值． b z z (1)当 b>0 时，截距取最大值时，z 也取最大值；截距取最 b b 小值时，z 也取最小值； z z (2)当 b<0 时，截距取最大值时，z 取最小值；截距取最小 b b 值时，z 取最大值．
3．(必修⑤P86 练习第 2 题改编)在平面直角坐标系中，不等式 x＋y－2≤0，组x－y＋2≥0， y≥0
表示的平面区域的面积是________．
解析：不等式组表示的平面区域是三角形( 如图所示)，则该 1 三角形的面积是2×4×2＝4.
答案：4
知识点二
简单的线性规划
1．线性规划中的基本概念名称约束条件线性约束条件意义由变量 x，y 组成的__________ 由 x， y 的______不等式(或方程) 组成的不等式(组) 目标函数关于 x，y 的函数________，如 z＝2x＋3y 等

高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时分

课时分层训练(三十三)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )【导学号：31222205】A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B [根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )【导学号：31222206】A.32 B.23 C.43D.34C [平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43， |BC |＝4－43＝83，∴S △ABC ＝12×83×1＝43.]3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5C [根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4.]4．(2017·广州综合测试(二))不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2的解集记为D ，若(a ，b )∈D ，则z ＝2a －3b 的最大值是( )A ．1B ．4C ．－1D ．－4A [由题意得a ，b 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a －b ≤0，a ＋b ≥－2，a －2b ≥－2，以a 为横轴，b 为纵轴建立平面直角坐标系，则不等式组表示的平面区域为以(－2,0)，(－1，－1)，(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图易得当目标函数z ＝2a －3b 经过平面区域内的点(－1，－1)时，z ＝2a －3b 取得最大值z max ＝2×(－1)－3×(－1)＝1，故选A.]5．(2017·贵阳适应性考试(二))若函数y ＝kx 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，则实数k 的最大值为( )A ．1B ．2 C.32D.12B [约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，－1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线y ＝kx 经过点(1,2)时，k 取得最大值2，故选B.]二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为__________．【导学号：31222207】4 [根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.]7．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25，所以d 2的最小值为45，最大值为13，所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.]8．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________．10 [画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝12x－b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.]三、解答题9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)，Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．【导学号：31222208】[解] 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，5分则点P ，Q 在同一区域内，于是⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以m 的取值范围是m <－12.12分10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．[解] (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0).2分平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1，所以z 的最大值为1，最小值为－2.6分(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.10分故所求a 的取值范围为(－4,2).12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·重庆高考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1C.43D ．3B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C ⎝⎛⎭⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．]2．(2017·东北三省三校二模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤2，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝yx的最大值为__________．1 [不等式组对应的可行域是以点(1,1)，(1，－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫53，13为顶点的三角形及其内部，z ＝y x 可看作可行域内的点与原点所连线的斜率，当目标函数z ＝y x经过点(1,1)时，z 取得最大值1.]3．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ [解] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.5分 (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .8分目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.所以最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.12分。

高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第2节二

第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题————————————————————————————————[考纲传真] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )(4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )C [x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方的平面区域，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]3．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．32[不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.当直线z ＝x ＋y 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z max ＝1＋12＝32.] 4．(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P (m,1)在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝__________.6 [由题意得|4m －3－1|5＝4及2m ＋1≥3，解得m ＝6.]5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是__________. 【导学号：31222202】1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x ＝1，x ＋y ＝0得A (1，－1)，由x ＝1，x －y －4＝0得B (1，－3)，由x ＋y ＝0，x －y －4＝0得C (2，－2)， ∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.](1)(2016·浙江高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2 C.322D. 5(2)(2016·衡水中学调研)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )【导学号：31222203】A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a <7D ．a <5或a ≥7(1)B (2)C [(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.(2)如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件，故选C.][规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．[变式训练1] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为__________．4 [不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－2，∴A (0,2)，B (2,0)，C (8，－2)．直线x ＋2y －4＝0与x 轴的交点D 的坐标为(4,0)．因此S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＝4.]☞角度1 求线性目标函数的最值(1)(2016·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y的最小值为________．(2)(2017·福州质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x ，且数列4x ，z,2y 为等差数列，则实数z 的最大值是__________．(1)－5 (2)3[(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3,4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z ＝2x ＋y ，所以当目标函数z ＝2x ＋y 经过平面区域内的点(1,1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值z max ＝2×1＋1＝3.]☞角度2 求非线性目标函数的最值(1)(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12(2)(2017·湖北七市4月联考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8，则z ＝yx －2的取值范围是__________．(1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 [(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8所表示的区域，如图中△ABC 所表示的区域(含边界)，其中点A (1,1)，B (－1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，115.z ＝y x －2表示△ABC 区域内的点与点M (2,0)的连线的斜率，显然k MA ≤z ≤k MB ，即11－2≤z ≤－1－1－2，化简得－1≤z ≤13.]☞角度3 线性规划中的参数问题(2016·河北石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( ) 【导学号：31222204】A ．－209B ．1C ．2D ．5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m >0，∴当z ＝y －mx 经过点A时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B.][规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值时常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. 易错警示：注意转化的等价性及几何意义.(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.5分(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大.7分解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.12分[规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．[变式训练2] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )C ．17万元D ．18万元D [设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.][思想与方法]1．确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．利用线性规划求最值的步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数求最值．[易错与防范]1．画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y ＝－ab x ＋z b的截距z b 的最值间接求出z 的最值，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b取最小值时，z 也取最小值．当b <0时，结论与b >0的情形恰好相反．课时分层训练(三十三)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )【导学号：31222205】A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B [根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )【导学号：31222206】A.32 B.23 C.43D.34C [平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43， |BC |＝4－43＝83，∴S △ABC ＝12×83×1＝43.]3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C [根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4.]4．(2017·广州综合测试(二))不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2的解集记为D ，若(a ，b )∈D ，则z ＝2a －3b 的最大值是( )A ．1B ．4C ．－1D ．－4A [由题意得a ，b 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a －b ≤0，a ＋b ≥－2，a －2b ≥－2，以a 为横轴，b 为纵轴建立平面直角坐标系，则不等式组表示的平面区域为以(－2,0)，(－1，－1)，(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图易得当目标函数z ＝2a －3b 经过平面区域内的点(－1，－1)时，z ＝2a －3b 取得最大值z max ＝2×(－1)－3×(－1)＝1，故选A.]5．(2017·贵阳适应性考试(二))若函数y ＝kx 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，则实数k 的最大值为( )C.32D.12B [约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，－1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线y ＝kx 经过点(1,2)时，k 取得最大值2，故选B.]二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为__________．【导学号：31222207】4 [根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.]7．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25，所以d 2的最小值为45，最大值为13，所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.]8．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________．10 [画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.]三、解答题9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)，Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．【导学号：31222208】[解] 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，5分则点P ，Q 在同一区域内，于是⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以m 的取值范围是m <－12.12分10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．[解] (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0).2分平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1，所以z 的最大值为1，最小值为－2.6分(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.10分故所求a 的取值范围为(－4,2).12分B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2015·重庆高考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C ⎝⎛⎭⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．]2．(2017·东北三省三校二模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤2，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝yx的最大值为__________．1 [不等式组对应的可行域是以点(1,1)，(1，－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫53，13为顶点的三角形及其内部，z ＝y x 可看作可行域内的点与原点所连线的斜率，当目标函数z ＝y x经过点(1,1)时，z 取得最大值1.]3．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？[解] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.5分(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋－x －y ，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .8分目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.所以最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.12分。

高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件文北师大版

2.线性规划中的有关概念名称
意义
约束条件由变量 x，y 组成的_不__等__式__(_组__)_
线性约束条件由 x，y 的一次不等式组成的_不__等__式__(_组__)_ 目标函数关于 x，y 的函数__解__析__式___，如 z＝x＋2y
线性目标函数关于 x，y 的___一__次____解析式
第六章不等式、推理与证明
第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
[基础梳理]
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0 直线 Ax＋By＋C＝0
不包括边界直线
某一侧的所有点组成 Ax＋By＋C≥0
的平面区域
包括_边__界__直__线__
不等式组
各个不等式所表示平面区域的_公__共__部__分__
挖掘 3 非线性目标函数的最值/互动探究
[例 3]
(1)(2020·河南郑州一模)已知变量
x，y
满足xx－ ≥22y，＋4≤0，则 x＋y－6≥0，
k＝xy＋－13的取
值范围是( )
A．k＞12或 k≤－5
B．－5≤k＜12
C．－5≤k≤12
D．k≥12或 k≤－5
[解析]
x－2y＋4≤0，
由约束条件 x≥2，
作出可行
x＋y－6≥0
域，如图中阴影部分所示，其中 A(2，4)，k＝xy＋－13
的几何意义为可行域内的动点(x，y)与定点 P(3，
－1)连线的斜率，由图可知，k≤kPA＝4－2（－－31）
＝－5，或 k＞12.故选 A. [答案] A
x－y＋2≥0， (2)(2020·广州模拟)若 x，y 满足约束条件2y－1≥0 则 z＝x2＋2x＋y2 的最小值

高考数学一轮总复习第6章不等式、推理与证明6.2一元二次不等式及其解法课件理

本例中(2)条件“f(x)<5－m 恒成立”改为
“存在 x，使 f(x)<5－m 成立”，如何求 m 的取值范围．
解由题知 f(x)<5－m 有解，
6 6 即 m< 2 有解，则 m< 2 max， x － x ＋ 1 x －x＋1
又 x∈[1,3] ，得 m<6.即 m 的取值范围为(－∞，6)．
3．若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为 R.( × ) 4．不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－4ac≤0.( × )
二、小题快练 1．[2016· 全国卷Ⅱ]已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}，则 A∩B＝( C．{1,2,3}
第6章不等式、推理与证明
第2讲一元二次不等式及其解法
板块一知识梳理· 自主学习
[ 必备知识] 考点 1 一元二次不等式的解法 1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2 ＋ bx ＋ c>0(a>0) 或 ax2 ＋ bx ＋ c<0(a>0)． 2．计算相应的 3．当
【变式训练 1】 ( ) A．(－∞，－2) C．(－6，＋∞)
判别式．
时，求出相应的一元二次方程的根． 4．利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．
Δ ≥0
考点 2
三个二次之间的关系
[ 必会结论] 1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0 且 b2 －4ac<0(x∈R)． 2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0 且 b2 －4ac<0(x∈R)．注意在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为 0 的情况进行分析，检验此时是否符合条件．

全国高考数学第6章不等式推理与证明第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教师用书文

第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题————————————————————————————————[考纲传真] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )(4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )C [x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方的平面区域，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]3．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．32[不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.当直线z ＝x ＋y 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z max ＝1＋12＝32.] 4．(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P (m,1)在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝__________.6 [由题意得|4m －3－1|5＝4及2m ＋1≥3，解得m ＝6.]5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是__________. 【导学号：31222202】1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x ＝1，x ＋y ＝0得A (1，－1)，由x ＝1，x －y －4＝0得B (1，－3)，由x ＋y ＝0，x －y －4＝0得C (2，－2)， ∴|AB |＝2，∴S △ABC ＝12×2×1＝1.](1)(2016·浙江高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2C.322D. 5(2)(2016·衡水中学调研)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )【导学号：31222203】A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a <7D ．a <5或a ≥7(1)B (2)C [(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.(2)如图，当直线y ＝a 位于直线y ＝5和y ＝7之间(不含y ＝7)时满足条件，故选C.][规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．[变式训练1] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为__________．4 [不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－2，∴A (0,2)，B (2,0)，C (8，－2)．直线x ＋2y －4＝0与x 轴的交点D 的坐标为(4,0)．因此S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＝4.]☞角度1 求线性目标函数的最值(1)(2016·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y的最小值为________．(2)(2017·福州质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x ，且数列4x ，z,2y 为等差数列，则实数z 的最大值是__________．(1)－5 (2)3 [(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3,4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z ＝2x ＋y ，所以当目标函数z ＝2x ＋y 经过平面区域内的点(1,1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值z max ＝2×1＋1＝3.]☞角度2 求非线性目标函数的最值(1)(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12(2)(2017·湖北七市4月联考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8，则z ＝yx －2的取值范围是__________．(1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 [(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8所表示的区域，如图中△ABC 所表示的区域(含边界)，其中点A (1,1)，B (－1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，115.z ＝y x －2表示△ABC 区域内的点与点M (2,0)的连线的斜率，显然k MA ≤z ≤k MB ，即11－2≤z ≤－1－1－2，化简得－1≤z ≤13.]☞角度3 线性规划中的参数问题(2016·河北石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( ) 【导学号：31222204】A ．－209B ．1C ．2D ．5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m >0，∴当z ＝y －mx 经过点A时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B.][规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值时常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. 易错警示：注意转化的等价性及几何意义.(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.5分(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大.7分解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.12分[规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．[变式训练2] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )C ．17万元D ．18万元D [设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.][思想与方法]1．确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．利用线性规划求最值的步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数求最值．[易错与防范]1．画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y ＝－ab x ＋z b的截距z b 的最值间接求出z 的最值，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b取最小值时，z 也取最小值．当b <0时，结论与b >0的情形恰好相反．课时分层训练(三十三)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )【导学号：31222205】A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B [根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )【导学号：31222206】A.32 B.23 C.43D.34C [平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43， |BC |＝4－43＝83，∴S △ABC ＝12×83×1＝43.]3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C [根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4.]4．(2017·广州综合测试(二))不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2的解集记为D ，若(a ，b )∈D ，则z ＝2a －3b 的最大值是( )A ．1B ．4C ．－1D ．－4A [由题意得a ，b 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a －b ≤0，a ＋b ≥－2，a －2b ≥－2，以a 为横轴，b 为纵轴建立平面直角坐标系，则不等式组表示的平面区域为以(－2,0)，(－1，－1)，(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图易得当目标函数z ＝2a －3b 经过平面区域内的点(－1，－1)时，z ＝2a －3b 取得最大值z max ＝2×(－1)－3×(－1)＝1，故选A.]5．(2017·贵阳适应性考试(二))若函数y ＝kx 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，则实数k 的最大值为( )C.32D.12B [约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，－1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线y ＝kx 经过点(1,2)时，k 取得最大值2，故选B.]二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为__________．【导学号：31222207】4 [根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.]7．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25，所以d 2的最小值为45，最大值为13，所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.]8．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________．10 [画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.]三、解答题9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)，Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．【导学号：31222208】[解] 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，5分则点P ，Q 在同一区域内，于是⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以m 的取值范围是m <－12.12分10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．[解] (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0).2分平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1，所以z 的最大值为1，最小值为－2.6分(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.10分故所求a 的取值范围为(－4,2).12分B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2015·重庆高考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C ⎝⎛⎭⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．]2．(2017·东北三省三校二模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤2，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝yx的最大值为__________．1 [不等式组对应的可行域是以点(1,1)，(1，－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫53，13为顶点的三角形及其内部，z ＝y x 可看作可行域内的点与原点所连线的斜率，当目标函数z ＝y x经过点(1,1)时，z 取得最大值1.]3．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？[解] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.5分(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋－x －y ，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .8分目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.所以最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.12分。

2021-2022年高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划

2021年高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时提升作业理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(xx·石家庄模拟)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值为( )A.6B.7C.8D.23【解析】选B.作出不等式组表示的平面区域,得到如图所示的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5).将直线l:z=2x+3y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值,所以z最小值=7.2.(xx·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( )A.3B.4C.18D.40【解析】选C.如图所示,x+2=0与x-y+3=0的交点为(-2,1),x+2=0与2x+y-3=0的交点为(-2,7),x-y+3=0和2x+y-3=0与y轴的交点为(0,3).所以当动直线z=x+6y经过(0,3)时,z取到最大值.z max=0+6×3=18.3.平面区域的面积是( )A. B. C. D.【解析】选A.作出不等式组对应的平面区域如图,则区域是圆心角为的扇形,故面积是×π×2=.4.(xx·太原模拟)点(1,1)在不等式组表示的平面区域内,则m2+n2的取值范围是( )A.[1,4]B.[2,4]C.[1,3]D.[2,3]【解析】选 A.由题意可得:该不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,所以m2+n2=(m-0)2+(n-0)2,表示点(n,m)到原点(0,0)的距离的平方,所以m2+n2∈[1,4].5.(xx·武汉模拟)将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是( )A. B.C.1-D.1-【解析】选C.画出关于x,y的不等式组所构成的三角形区域,如图.△ABC的面积为S1=×3×4=6,S2=π,所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P=1-=1-.【加固训练】1.(xx·南昌模拟)若关于x,y的不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为( )A.1B.2C.3D.-1【解析】选C.当a≤0时,显然不合题意;当a>0时,不等式组所围成的区域如图所示.因为其面积为2,所以|AC|=4,所以C的坐标为(1,4),代入ax-y+1=0,解得a=3.2.变量x,y满足约束条件若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是( )A.{-3,0}B.{3,-1}C.{0,1}D.{-3,0,1}【解析】选B.作出不等式组所表示的平面区域,如图所示.易知直线z=ax+y与x-y=2或3x+y=14平行时取得最大值的最优解有无穷多个,即-a=1或-a=-3,所以a=-1或a=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(xx·日照模拟)若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为.【解析】平面区域A如图所示,所求面积为S=×2×2-××=2-=.答案:7.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是.【解析】如图所示阴影部分为可行域,数形结合可知,原点O到直线x+y-2=0的垂线段长是|OM|的最小值,所以|OM|min==.答案:【加固训练】设D为不等式组所表示的平面区域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为.【解析】作出可行域,如图中阴影部分所示,则根据图形可知,点B(1,0)到直线2x-y=0的距离最小,d==,故最小距离为.答案:8.某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润为元.【解析】设派用甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则目标函数z=450x+350y,画出可行域如图阴影部分的整点,当目标函数所在直线经过A(7,5)时,利润最大,为4900元.答案:4900(15分钟30分)1.(5分)(xx·郑州模拟)已知不等式组表示的平面区域S的面积为4,则z=ax+y的最大值为( )A.4B.6C.8D.12【解析】选B.由题意知a>0,如图,不等式组对应的平面区域为△OBC,其中B(a,a),C(a,-a),所以|BC|=2a,所以△OBC的面积为·a·2a=a2=4,所以a=2.由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x,由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时,直线截距最大,此时z 也最大,把B(2,2)代入z=2x+y得z=2×2+2=6.2.(5分)(xx·郑州模拟)设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则z的最小值为( )A.-3B.-6C.3D.6【解析】选B.可行域如图:由得A(k,k),目标函数z=x+y在x=k,y=k时取最大值,即直线z=x+y在y轴上的截距z最大,此时12=k+k,故k=6,所以得B(-12,6),目标函数z=x+y在x=-12,y=6时取最小值,此时,z的最小值为z=-12+6=-6,故选B.3.(5分)(xx·通化模拟)设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为.【解析】因为=1+,而表示过点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率,易知a>0,所以作出可行域,如图,由题意可知的最小值是,即===,解得a=1.答案:14.(15分)铁矿石A和B的含铁率a、冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表.a b(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,求购买铁矿石的最少费用为多少百万元?【解析】设购买铁矿石A为x万吨,购买铁矿石B为y万吨,总费用为z百万元.根据题意,得整理,得线性目标函数为z=3x+6y,画出可行域如图中阴影部分所示.当x=1,y=2时,z取得最小值.所以z min=3×1+6×2=15(百万元).故购买铁矿石的最少费用为15百万元.【加固训练】变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值.(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.(3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.【解析】由约束条件作出(x,y)的可行域如图阴影部分所示.由解得A.由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)因为z==,所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知z min=k OB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,d min=|OC|=,d max=|OB|=.故z的取值范围是[2,29].(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,d min=1-(-3)=4,d max ==8.故z的取值范围是[16,64].实用文档。

2021届高考数学人教版一轮创新课件：第6章+第2讲+二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第六章　不等式
第2讲　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
[考纲解读]　1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(重点)
2．从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考必考内容．预测2021年的考查，主要命题方向为：在约束条件下求目标函数的最值或根据最值情况求参数，同时能用线性规划解决实际问题．试题以客观题形式呈现，属中档题型.
1基础知识过关PART ONE
边界直线边界直线公共部分
一次
最大值最小值
一次
线性约束条件
可行解
最大值最小值
最大值最小值
答案
解析答案
2经典题型冲关PART ONE
题型一　二元一次不等式（组）表示的平面区域
3课时作业PART THREE
A组基础关。

高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第2讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题知能训练轻松闯关

第 2讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题x ＋y ≥ 2， 2x －y ≤ 4，1．(2016·忻州一模)不等式组{x －y ≥ 0)所围成的平面区域的面积为( ) A ．3 2 B ．6 2 C ．6 D ．3解析：选 D.如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC ，其中 A (2，0)，B (4，4)，C (1，1)，1 所求平面区域的面积为 S △ABO －S △ACO ＝ (2×4－2×1)＝3.2x ＋y －2 ≤ 0， x ＋2y －2 ≥ 0，2．(2015·高考重庆卷)若不等式组{x －y ＋2m ≥ 0)表示的平面区域为三角形，且其面积等 4于，则 m 的值为( ) 3 A ．－3 B ．1 4 C. D ．3 3 解析：选 B.作出可行域，如图中阴影部分所示，易求 A ，B ，C ，D 的坐标分别为 A (2，0)，B (1 2－4m 2＋2m－m ，1＋m )，C(3)，D (－2m ，0)．， 31 12＋2mm －2 4S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝ |AD |·|y B －y C |＝ (2＋2m )·＝(1＋m )·＝，2(1＋m － 3 ) (1＋ 3 )23解得 m ＝1或 m ＝－3(舍去)．x ＋y ≥ a ，3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设 x ，y 满足约束条件{x －y ≤ －1，)且 z ＝x ＋ay 的最小值为 7，则 a ＝( ) A ．－5 B ．3 C ．－5或 3 D ．5或－3解析：选 B.当 a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．1x －y ＝－1，由{x ＋y ＝－5 )得交点 A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过 A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除 A ，C 选项．当 a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．x －y ＝－1，由{x ＋y ＝3 )得交点 B (1，2)，则目标函数 z ＝x ＋3y 过 B 点时取得最小值．zmin ＝1＋3×2＝7，满足题意．y ≥ x ，4．(2016·江西省红色六校模拟)设变量 x ，y 满足{x ≥ －2，)则 z＝|x －3y |的最大值为x ＋3y ≤ 4，( ) A ．3 B ．8 13 9 C. D. 4 2解析：选 B.作出不等式组满足的平面区域，如图，法一：令 m ＝x －3y ，作出目标线，当目标线过 A (－2，2)时，m min ＝－2－3×2＝－8.当目标线过 B (－2，－2)时，m max ＝－2－ 3×(－2)＝4.所以－8≤m ≤4，所以 0≤|m |≤8，即 z max ＝8. |x －3y | |x －3y | 法二：令 m ＝，则由点到直线的距离公式知 m ＝表示区域内的点到直线 x －3y ＝ 10 100的距离，而 m 取得最大值时，z 取得最大值，由图可知点 A (－2，2)到直线 x －3y ＝0的距离最大，故 z ＝|x －3y |的最大值为|－2－3×2|＝8，故选 B. 3x －y －2 ≤ 0， 5．(2016·邢台摸底考试)设 x ，y 满足约束条件{x ≥ 0，y ≥ 0，)若目标函数 z ＝ax ＋x －y ≥ 0，2by (a >0，b >0)的最大值为 4，则 a ＋b 的值为( )1 A. B ．2 4 C ．4 D ．0解析：选 C.作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点 A (1，1)时取最大值，所以 a ＋b ＝4.x －y ＋1 ≥ 0， 6．(2016·江西省重点学校联盟)实数 x ，y 满足{（x －2y ）（x －2y ＋6） ≤ 0，)若 t ≤y ＋2x恒成立，则 t 的取值范围是( ) A ．t ≤13 B ．t ≤－5 C ．t ≤－13 D ．t ≤5 x －y ＋1 ≥ 0，解析：选 B.作出不等式组{（x －2y ）（x －2y ＋6） ≤ 0) 的可行域如图中的阴影部分所示，设 z ＝2x ＋y ，结合图形可得当目标线过点 A (－2，－1)时z 取得最小值，最小值为－2×2－1＝－5，而 t ≤y ＋2x 恒成立，则有 t ≤－5.0 ≤ x ≤ 2，7．(2016·景德镇一模)设不等式组{0x ＋≤2yy －≤2 ≥3，0)所表示的平面区域为 S ，若 A ，B 为区域 S 内的两个动点，则|AB |的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，则由图可知 A (0，3)，B (2，0)两点的距离最大，|AB |的最大值为 13. 答案： 13x －y ＋1 ≥ 0，8．若实数 x ，y 满足{x ＋≤y ≥0，0，)则 z ＝3x ＋2y的值域是________． 1 t解析：令 t ＝x ＋2y ，则 y ＝－ x ＋，作出可行域， 2 231 平移直线 y ＝－ x ，2由图像知当直线经过 O 点时，t 最小，当经过点 D (0，1)时，t 最大，所以 0≤t ≤2，所以 1≤z ≤9，即 z ＝3x ＋2y 的值域是[1，9]．答案：[1，9]x ≥ 0，y ＋39．(2016·郑州预测)若变量 x ，y 满足约束条件{y ≥ 0，则 z ＝的取值范围是x ＋14x ＋3y ≤ 12，)________．y ＋3解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝表示可行域内一点 P (x ，y )与点x ＋13(－1，－3)的连线的斜率，由图像可知当点 P 在点(3，0)时，z min ＝，43 在点(0，4)时，z max ＝7，所以 ≤z ≤7.43答案：[，7]410．(2016·郑州质检)若 x ，y 满足条件 3x －5y ＋6 ≥ 0，{y ≥ 0，)2x ＋3y －15 ≤ 0，当且仅当 x ＝y ＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数 a 的取值范围是 ________．解析：画出可行域，如图，直线 3x －5y ＋6＝0与 2x ＋3y －15＝0交于点 M (3，3)，由目标函数 z ＝ax －y ，得 y ＝ax －z ，纵截距为－z ，当 z 最小时，－z 最大．欲使纵截距－z 最大，则 2 3 － <a < . 3 52 3答案：(－5)，311.已知D是以点A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(－1，－6)，C(－3，2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．解：(1)直线AB、AC、BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝0.原点47x－5y－23 ≤0，{4x＋y＋10 ≥0. )(0，0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为x＋7y－11 ≤0，(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，得a的取值范围是－18<a<14.12．(2014·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．→→→→(1)若PA＋PB＋PC＝0，求|OP|；→→→(2)设OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．→→→解：(1)法一：因为PA＋PB＋PC＝0，→→→又PA＋PB＋PC＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，6－3x＝0，所以{6－3y＝0，)x＝2，解得{y＝2，)→→即OP＝(2，2)，故|OP|＝2 2.→→→法二：因为PA＋PB＋PC＝0，→→→→→→则(OA－OP)＋(OB－OP)＋(OC－OP)＝0，→ 1 →→→所以OP＝(OA＋OB＋OC)＝(2，2)，3→所以|OP|＝2 2.(2)→→→因为OP＝mAB＋nAC，所以(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，x＝m＋2n，所以{y＝2m＋n，) 两式相减得，m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.y ≥－1，1．(2016·东北三校联合模拟)变量x，y满足约束条件{x－y ≥2，若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是()3x＋y ≤14，)A．{－3，0} B．{3，－1}C．{0，1} D．{－3，0，1}解析：选B.作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示．5易知直线z＝ax＋y与x－y＝2或3x＋y＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a＝1 或－a＝－3，所以a＝－1或a＝3.2．(2015·高考浙江卷)已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．解析：因为x2＋y2≤1，所以2x＋y－4＜0，6－x－3y＞0，所以|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.令z＝10－3x－4y，4如图，设OA与直线－3x－4y＝0垂直，所以直线OA的方程为y＝x.343 4y＝x，联立{x2＋y2＝1，)得A(－，－)，35 53 4 所以当z＝10－3x－4y过点A时，z取最大值，z max＝10－3×(－)－4×(－)＝15.5 5答案：15x＋y ≥1，3．若x，y满足约束条件{2x－y ≤2，)x－y ≥－1，1 1(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；2 2(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．1 1平移初始直线x－y＋＝0，过A(3，4)时z取最小值－2，过C(1，0)时z取最大值1.2 2所以z的最大值为1，最小值为－2.a(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1，0)处取得最小值，由图像可知－1<－<2，2解得－4<a<2.故a的取值范围是(－4，2)．4．某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A，B，C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：原材料甲(吨) 乙(吨) 资源数量(吨)6A 1 1 50B 4 0 160C 2 5 200如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？解：设工厂一周内安排生产甲产品x吨、乙产品y吨，所获周利润为z元．依据题意，得目标x＋y ≤50，4x ≤160，函数为z＝300x＋200y，约束条件为{x≥0. )2x＋5y ≤200，y ≥0，欲求目标函数z＝300x＋200y＝100(3x＋2y)的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图50 100中阴影部分所示，则点A(40，0)，B(40，10)，C(，，D(0，40)．3 )3作直线3x＋2y＝0，当移动该直线过点B(40，10)时，3x＋2y取得最大值，则z＝300x＋200y 取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得)．故z max＝300×40＋200×10 ＝14 000.所以工厂每周生产甲产品40吨，乙产品10吨时，才可获得最大周利润，为14 000 元．7。

2021届高考数学苏教版一轮总复习：6-3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

域．
知识点二简单的线性规划
1．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量 x，y 组成的不等式(组)
线性约束条件由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不
等式(组)
目标函数关于 x，y 的函数解析式，如 z＝2x＋3y 等
线性目标函数
关于 x，y 的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解 (x，y)
y≥－1，
则 z＝2x＋y＋1 的最大值、
最小值分别是( C )
A．3，－3 B．2，－4 C．4，－2
D．4，－4
(3)在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组1－≤1x≤＋xy－≤y3≤，1
表示图形的面积等于( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
x－2y－2≤0， (4)若 x，y 满足约束条件x－y＋1≥0，
02 考点探究明晰规律
课堂升华强技提能
考点一二元一次不等式(组) 表示平面区域
x≥0，【例 1】 (1)在平面直角坐标系中，不等式组x＋y≤2，
x≤y
所表示
的平面区域的面积为( A )

A．1
B．2
C．4
D．8
(2)(2020·广州综合测试 ) 已知关于 x ， y 的不等式组
2x－y＋1≥0，
x＋m≤0，
表示的平面区域内存在点 P(x0，y0)，满足 x0－2y0＝2，
则y＋m2的≥取0 值范围是___－__∞__，___43___．
x≥0，【解析】 (1)画出不等式组x＋y≤2，
x≤y
所表示的平面区域
如图中阴影部分所示，由xx＝＋yy，－2＝0，得 C(1,1)，又 A(0,2)，