高考数学百大经典例题——不等式解法
不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题
典型例题一
解15种典型例题的不等式，需要注意处理好有重根的情况。例如，如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞（或f(x)＜）可用“穿根法”求解。对于偶次或奇次重根，可以转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但要注意“奇穿偶不穿”，其法如图。下面分别解两个例题：
例题一：解不等式2x－x²－15x＞0；(x＋4)(x＋5)(2－x)＜23
1）原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x －3)=0的三个根5，－1，3顺次标上数轴。然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。∴原不等式解集为{x｜－5＜x＜0}∪{x｜x＞3}。
2）原不等式等价于(x＋4)(x＋5)(x－2)＞23.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－5或－5＜x＜－4或x＞2}。
典型例题二
解分式不等式时，要注意它的等价变形。当分式不等式化为f(x)/g(x)＜(或≤)时，可以按如下方法解题。
1）解：原不等式等价于3(x＋2)－x(x－2)－x²＋5x＋
6/3x(x＋2)＜1－2x＋2.化简后得到原不等式等价于(x－6)(x＋1)(x－2)(x＋2)≥0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－2或－1≤x≤2或x≥6}。
2）解法一：原不等式等价于2x²－3x＋1/2x²－9x＋14＞0.化简后得到原不等式等价于(x－1)(2x－1)(3x－7)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或7/3＜x＜1}。
高考数学 百大经典例题 不等式性质
不等式性质典型例题一
例1 比较33
+x 与x 3的大小，其中R x ∈． 解：x x 3)3(2-+
332+-=x x ，
3)23
(])23(3[222+-+-=x x ，
43)23(2+-=x ，
04
3
>≥， ∴ x x 332
>+．
说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①b a b a >⇔>-0； ②b a b a =⇔=-0；③b a b a <⇔<-0．
典型例题二
例2 比较16
+x 与2
4
x x +的大小，其中R x ∈ 解：)()1(2
4
6
x x x +-+
1246+--=x x x ，
)1()1(224---=x x x ， )1)(1(42--=x x ， )1)(1)(1(222+--=x x x ， )1()1(222+-=x x ，
∴ 当1±=x 时，2
4
6
1x x x +=+； 当1±≠x 时，.12
4
6
x x x +>+
说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．
典型例题三
例3 R x ∈，比较)12)(1(2
++
+x x x 与)2
1
(+x （12++x x ）的大小． 分析：直接作差需要将)12)(1(2+++x x x 与)2
1(+x （12
++x x ）展开，过程复杂，
式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差．
高考不等式经典例题
高考不等式经典例题
【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3
－a ＋1)，Q ＝log a (a 2
－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小.
【解析】因为a 3
－a ＋1－(a 2
－a ＋1)＝a 2
(a －1)，
当a ＞1时，a 3
－a ＋1＞a 2
－a ＋1，P ＞Q ；
当0＜a ＜1时，a 3
－a ＋1＜a 2
－a ＋1，P ＞Q ；
综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋
1a －2(a ＞2)，n ＝x －2
(x ≥12
)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n
B.m ＞n
C.m ≥n
D.m ≤n
【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.
m ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2
＋2≥2＋2＝4，而n ＝x －2≤(1
2)－2
＝4.
【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2
－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围.
【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )，
所以⎩⎨⎧-=--=+1,94μγμγ⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
-=38,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8
3(4a －c )∈[－1,20].
题型三 开放性问题
【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d
b
；③bc ＞ad .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？
(完整版)高考不等式经典例题
高考不等式经典例题
【例1】已知a＞0，a≠1，P＝log
a (a3－a＋1)，Q＝log
a
(a2－a＋1)，试比较P与Q的大小.
【解析】因为a3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，当a＞1时，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q；
当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q；综上所述，a＞0，a≠1时，P＞Q.
【变式训练1】已知m＝a＋
A.m＜n
11
－
(a＞2)，n＝x2(x≥)，则m，n之间的大小关系为()
2
a－2
B.m＞n
C.m≥n
D.m≤n
【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.
m＝a＋
111＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，而n＝x－2≤()－2＝4.
2
a－2a－2
【变式训练2】已知函数f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.
【解析】由已知－4≤f(1)＝a－c≤－1，－1≤f(2)＝4a－c≤5.
令f(3)＝9a－c＝γ(a－c)＋μ(4a－c)，
5
⎧γ=-,
⎪
⎧γ+4μ=9,⎪3
所以⎨⇒⎨
⎩-γ-μ=-1⎪μ=8
⎪3
⎩
58
故f(3)＝－(a－c)＋(4a－c)∈[－1,20].
33
题型三开放性问题
c d
【例3】已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组
a b
成多少个正确命题？
c d bc－ad
【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:＞⇔＞0.
a b ab
bc－ad
(1)由ab＞0，bc＞ad⇒＞0，即①③⇒②；
ab
bc－ad
(2)由ab＞0，＞0⇒bc－ad＞0⇒bc＞ad，即①②⇒③；
数学百大经典例题—不等式证明
典型例题一
例1 若10<<x ，证明)1(log )1(log x x a a +>-（0>a 且1≠a ）．
分析1 用作差法来证明．需分为1>a 和10<<a 两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明． 解法1 （1）当1>a 时， 因为 11,110>+<-<x x ， 所以 )1(log )1(log x x a a +-- )1(log )1(log x x a a +---=
0)1(log 2
>--=x a ．
（2）当10<<a 时， 因为 11,110>+<-<x x 所以 )1(log )1(log x x a a +-- )1(l o g )1(l o g x x a a ++-=
0)1(l o g 2
>-=x a
． 综合（1）（2）知)1(log )1(log x x a a +>-．
分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号．
解法2 作差比较法．
因为 )1(log )1(log x x a a +-- a
x a x lg )
1lg(lg )1lg(+-
-=
[])1lg()1lg(lg 1
x x a
+--=
[])1lg()1lg(lg 1
x x a
+---=
0)1lg(lg 1
2>--=
x a
， 所以)1(log )1(log x x a a +>-．
说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换
高考数学 百大经典例题——绝对值不等式
典型例题一绝对值不等式
例1 解不等式2321-->+x x
分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念⎩
⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．
解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2
3=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x
∴2>x 与条件矛盾，无解．
（2）当2
31≤
<-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2
30≤
3>x 时，原不等式化为 2321-->+x x ．∴6
说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．
典型例题二
例2 求使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范围．
分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．
解法一：将数轴分为(]),4(],4,3[,3,+∞∞-三个区间
当3<-+-有解的条件为32
7<-a ，即1>a ；
当43≤≤x 时，得a x x <-+-)3()4(，即1>a ；
当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+<
a x ，有解的条件为42
7>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ．
解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解．
高考不等式经典例题
高考不等式经典例题
高考数学中的不等式经典例题通常包括比较两个数（式）的大小、不等式的性质、一元二次不等式恒成立问题、特值法判断不等式等。
以下是一些高考数学中不等式的经典例题：
例1：比较两个数的大小
题目：若a = 1/2, b = 3, c = 2, 请比较a, b, c的大小。
解答：因为a = 1/2 < 1 < 2 < 3 = b < c，所以a < b < c。
例2：不等式的性质
题目：若x > 0, y > 0, 且x + y > 2, 请证明：xy < 1。
解答：根据不等式的性质，可以得到以下推导：
x > 0, y > 0, 则x + y > 2 > 0, 所以xy < (x + y) / 2 < 1。
例3：一元二次不等式恒成立问题
题目：若a, b, c均为实数，且a > 0, b > 0, c > 0。求解不等式：ax2 + bx + c > 0。
解答：首先考虑判别式，由一元二次方程的判别式可知，当判别式小于0时，不等式恒成立。因此，我们需要求解判别式：
Δ= b2 - 4ac < 0，所以不等式ax2 + bx + c > 0恒成立。
例4：特值法判断不等式
题目：若a, b为实数，且a > 0, b > 0。求解不等式：a2 + b2 > ab。
解答：我们可以使用特值法来求解这个不等式。取a = 2, b = 1，则a2 = 4, b2 = 1, ab = 2。因为4 > 2 > 1，所以a2 + b2 > ab。
希望以上例题能够帮助你复习不等式部分的知识，祝你高考取得好成绩！
15百大经典例题——含绝对值的不等式解法(新课标)
例1 不等式|8－3x|＞0的解集是
[ ] 答选C．
例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是
[ ] A．3 B．2
C．－2 D．－5 分析列出不等式．
解根据题意得2＜|x|≤5．
从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5，
答选D．
例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________．
分析利用所学知识对不等式实施同解变形．
解原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7
例4已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A．
分析转化为解绝对值不等式．
解∵2＜|6－2x|＜5可化为
2＜|2x－6|＜5
因为x∈N，所以A＝{0，1，5}．
说明：注意元素的限制条件．
例5 实数a，b满足ab＜0，那么
[ ] A．|a－b|＜|a|＋|b|
B．|a＋b|＞|a－b|
C．|a＋b|＜|a－b|
D．|a－b|＜||a|＋|b||
分析根据符号法则及绝对值的意义．
解∵a、b异号，
∴|a＋b|＜|a－b|．
答选C．
例6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b的值为
[ ] A．a＝1，b＝3
B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3
分析解不等式后比较区间的端点．
解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得．
答选D．
说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．
例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R)
分析分类讨论．
x＜m．
{x|1－m＜x＜m}．
说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．
高中数学不等式解法15种典型例题
典型例题七
∴原不等式解集是{x x −2，或1 x 5，或x 6} ． 说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解． 解法二中，“定符号”是关键．当每个因式 x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决 定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
例 8 解不等式 4x2 −10x − 3 3 ．
分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可．
解答：去掉绝对值号得 − 3 4x2 −10x − 3 3 ，
∴原不等式等价于不等式组
− 3 4x2 −10x
4x
2
− 10 x
−
3
−3
3
4x2
4
x
2
−10x −10x
典型例题二
例 2 解下列分式不等式：
（1） 3 1 − 2 ； x−2 x+2
（2）
x2 3x2
− 4x +1 − 7x + 2
1
分析：当分式不等式化为 f (x) 0(或 0) 时，要注意它的等价变形 g(x)
①
f (x) g(x)
0
f (x) g(x) 0 ②
f (x) g(x)
0
f (x) g(x)
不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题 典型例题一 例1 解不等式：〔1〕01522
3>--x x x ；〔2〕0)2()5)(4(32<-++x x x ．
分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，如此一元高次不等式0)(>x f 〔或0)(<x f 〕 可用“穿根法〞求解，但要注意处理好有重根的情况．
解：〔1〕原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x
把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根 3,2
5,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如如下图的阴影局部．∴原不等式解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
><<-3025x x x 或 〔2〕原不等式等价于 0)2()5)(4(32>-++x x x
⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔2
450)2)(4(05x x x x x x 或∴原不等式解集为 {}2455>-<<--<x x x x 或或 说明：用“穿根法〞解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法〞，但注意“奇穿偶不穿〞，其法如图．
典型例题二
例2 解如下分式不等式：〔1〕22123+-≤-x x ； 〔2〕12
731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)
()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ； ②⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0
高考数学百大经典例题 一元二次不等式解法课标 试题
高考数学百大经典例题——一元二次不等式解法(新课标)
例若＜＜，则不等式－－＜的解是
1 0a 1(x a)(x )01
a
[ ]
A a x
B x a
．＜＜
．＜＜1
1
a
a
C x a
D x x a
．＞或＜．＜或＞x a
a
1
1
分析比较与的大小后写出答案． a 1
a
解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．
选．
0a 1a a x A 11
a a
例有意义，则的取值范围是
．2 x x 2--x 6
分析 求算术根，被开方数必须是非负数．
解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外〞，所以x ≥3或者x ≤－2．
例3 假设ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，那么a ＝________，b ＝________．
分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．
解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，那么由韦达定理知
-=-+=-=-=-⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪b
a
a
()()1211122×得 a b =
=-121
2
，． 例4 解以下不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)
(4)3x 2-+-
-+-3132
511
3
12
2x x x x x x ＞＞()()
分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式〞给出答案(过程请同学们自己完成)．
答 (1){x|x ＜2或者x ＞4}
高中数学不等式解法15种典型例题
又0
cc
1 ，∴
1，
∴ ( x 1 )( x 1 ) 0 的解集为
1
1
x
x
．
(解法 2)由题意可判断出 ， 是方程 ax2 bx c 0 的两根，
∴
c ．又 ax2 bx c 0 的解集是 x
x
，说明 a 0 ．
a
而 0， 0
0 c 0 c 0． a
对方程 cx2
bx
a
0 两边同除以 x2 得 a ( 1 )2
由 x 2 x 1 0 恒成立，知原不等式等价于
( x 2)
0．
( x 3)( x 1)
解之，得原不等式的解集为 { x 1 x 2或 x 3} ．
说明： 此题易出现去分母得 x2 2x 2 x(3 2x x 2 ) 的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解． 另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．
3
（1）
x2
1
2
；
x2
（ 2）
x2 3x2
4x 1 7x 2
1
分析 ：当分式不等式化为 f (x) 0(或 0) 时，要注意它的等价变形 g( x)
① f ( x) 0 g ( x)
f (x) g ( x) 0 ② f ( x) 0 g ( x)
数学百大经典例题——绝对值不等式(新课标)
典型例题一
例1解不等式x+1 A|2X—3 —2
a（a 启0）
分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念a=丿' ，将不等式中的绝对符号去
-a（a c 0）
掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解.去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值
等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论.
3
x = -1，令2x _3 = 0 ,••• x = 2，如图所示.
(1 )当x _ -1时原不等式化为-(X • 1) • _(2x -3) - 2
•x - 2与条件矛盾，无解.
3
（2 ）当-1：：：x 时，原不等式化为xT・-（2x-3）-2 .
2
3
•x 0 ,故0 ：x _
2
3
（3）当x 时，原不等式化为
2
3
x 1 2x -3 - 2 . • x 6，故x ：6 .
2
综上，原不等式的解为*0 ：：：x ：：：
说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、
不重不漏.
典型例题二
例2求使不等式x -4 + x -3 va有解的a的取值范围.
分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便.
解法一：将数轴分为- ：：,3,[3,4],（4「：）三个区间
7 — a 7 — a
当x 3时，原不等式变为（4 -X）■ （3 -X）：：：a,x 有解的条件为3，即a 1 ;
2 2
当3 - x - 4时，得（4 -X）■ （x -3）：：：a，即a 1 ；
+ 7 a+ 7
a
当x - 4时，得（x -4厂（x -3）：：： a，即x ，有解的条件为 4 • a 1 .
不等式的解集典型例题
（4）x≤2；（5）x≥－3；（6）x≤a（a＞0）
解：（1）如图
（2）如图
（3）如图
（4）如图
（5）如图
（6）如图
说明：在数轴上表示不等式的解集时，要特别注意画线的方向和起点：大于向右画，小于向在画；不等号中含有等号起点画实心圆点，不含有等号起点画圆圈．
例3分别用x的不等式表示下列用数轴表示的不等式的解集：
解：（1）x≥－2；（2）x＜－2
例4求不等式x+3＜6的正整数解．
解：由不等式的基本性质1，得x＜6－3，即x＜3是不等式x+3＜6的解集，因此不等式x+3＜6的正整数解为1，2，共两个．
说明：本例是求不等式的特殊解（正整数解），可先利用不等式的基本性质求出不等式的所有解（即不等式的解集），然后从所有解中筛选出特殊解．
典型例题
例1判断下列说法是否正确？为什么？
（1）x=1是不等式2x+1＜7的解；
（2）x=1是不等式2x+1＜7的解集；
（3）不等式2x+1＜7的解集为x＜1；
（4）不等式2x+1＜7的解集为x＜3
解：（1）正确．因为1能使不等式2x+1＜7成立．
（2）不正确．因为不等式2x+1＜7有无数个解，而ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=1仅是其中的一个，因此不能称为解集．
数学百大经典例题
典型例题一
例1 解不等式2321-->+x x
分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念⎩⎨
⎧<-≥=)
0()
0(a a a a a ，将不等式中的
绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．
解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2
3
=
x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾，无解．
（2）当2
3
1≤
<-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2
3
0≤
（3）当2
3
>x 时，原不等式化为
2321-->+x x ．∴6
3
<
综上，原不等式的解为{}
60<
说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．
典型例题二
例2 求使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范围．
分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便． 解法一：将数轴分为(]),4(],4,3[,3,+∞∞-三个区间 当3
<-+-有解的条件为
32
7<-a
，即1>a ；
当43≤≤x 时，得a x x <-+-)3()4(，即1>a ；
当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+<
a x ，有解的条件为42
7
>+a ∴1>a ．
以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ．
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典型例题一
例1 解不等式：（1）01522
3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3
2
<-++x x x ．
分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或
0)( 解：（1）原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3 ,2 5 , 0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于 ⎩⎨ ⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<-- 说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或 奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图． 典型例题二 例2 解下列分式不等式： （1）2 2 123+-≤-x x ； （2）1273142 2<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为 )0(0) () (≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ⋅ ⇔ < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ⋅ = ⇔ ≤ ⎩ ⎨ ⎧ ≠ ≤ ⋅ ⇔ ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ⎩ ⎨ ⎧ ≠ - + ≥ + - + - ⇔ ≥ + - + - ⇔ ≤ + - + + - ⇔ ≤ + - - - + ⇔ ≤ + - - ⇔ + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ⋃ - ⋃ - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < + - < + - ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > + - > + - ⇔ > + - + - ⇔ x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ⋃ ⋃ -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ⋅ - - - ⇔x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ⋂ ⋃ -∞ 典型例题三