初中数学开放探索题课件
初中数学探索“一线三等角”——初三专题复习课微课ppt课件
E BD
F C
初步运用（二）
如图,已知Rt△ABC, ∠ACB=90°,AC=BC=1,点P在 斜边AB上移动(点P不与点A、B重合),以点P为顶点作 ∠CPQ=45°,射线PQ交BC边与点Q,设AP=x，BQ=y，求 出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
C
Q
A
P
B
拓展延伸
4、如图，抛物线y=（x-m-1）²-1，（m＞0），图象 交。x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点 C。以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D 落在抛物线的对称轴上时，求抛物线的解析式。
y
C
D
OA B
x
A
“一线三等角”课堂小结
知识聚焦
模型
a
αα Bb C
E
d α
c
D
用相似求点的坐标
边长
面积
方法聚焦
由特殊到一般 分类思想、方程思想 类比、猜想、归纳
探索“一线三等角”
－－－初三专题复习课
福州民族中学 许族生
1、如图:在△ABC中，∠BAC=90°直线m经过
点A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为点D、E,
求证：△ABD∽△CAE
C
4
B
3
12
DA
E
探索“一线三等角”基本图形：
A
F
α
1 α2
α
BCΒιβλιοθήκη D△ABC∽△CDE
初步运用（一）
如图，已知等边△ABC的边长为6，D是BC边上一 动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD （2）当BD=1，CF=3时，求BE的长
中考数学复习 专题2 规律探索型问题数学课件
2．解图形规律探索题的方法： 第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； 第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数； 第三步：寻找图形数量与序号数 n 的关系：针对寻找第 n 个图形表示的数量时，先将后 一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化， 然后按照定量变化推导出第 n 个图形的个数； 函数法：若当图形变化规律不明显时，可把序号数 n 看作自变量，把第 n 个图形的个数 看作函数，设函数解析式为 y＝an2＋bn＋c(初中阶段设二次函数完全可以解决)，再代入三组 数值进行计算出函数解析式(若算出 a＝0 就是一次函数)即可．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图 形外格点的数目．
[对应训练] 4．在由 m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小 正方形个数 f， (1)当 m，n 互质(m，n 除 1 外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：
[对应训练] 2．(2015·咸宁)古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规 律性．若把第一个三角数记为 a1，第二个三角数记为 a2…，第 n 个三角数记为 an，计算 a1＋ a2，a2＋a3，a3＋a4，…由此推算 a399＋a400＝__1.6×105 或 160_000__．
1．(2015·德州)一组数 1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的 两个数之和”，那么这组数中 y 表示的数为( A )
A．8 B．9 C．13 D．15 2．(2015·河南)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，
初中数学开放型试题含答案-
开放型试题开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。
观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。
例1．（2005年梅州）如图，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC上的点。
（1）如果 ，则ΔDEC ≌ΔBFA （请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论。
分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件。
解：（1）AE=CF （OE=OF ；DE ⊥AC ；BF ⊥AC ；DE ∥BF 等等）（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∠DCE=∠BAF 又∵AE=CF ，∴AC －AE=AC －CF ，∴AF=CE ，∴ΔDEC ≌ΔBAF 说明:考查了矩形的性质及三角形全等的判定。
练习一1. (2005年黑龙江课改）如图, E 、F 是□ABCD 对角线BD 上的两点，请你添加一个适当的条件: ___________ ，使四边形AECF 是平行四边形.2、（2005年金华）如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，BD ＝BE. （1）请你再添加一个条件，使得△BEA ≌△BDC ，并给出证明.你添加的条件是： . 证明：A D E FO F EDCBA（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： . （只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程） 3、（2005年玉溪）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ＝CD ，AB ＜CD 且∠ABC 为锐角，若AD ＝4，BC ＝12，E 为BC 上一点。
问：当CE 分别为何值时，四边形ABED 是等腰梯形？直角梯形？请分别说明理由。
例2、（2005年长沙）己知点E 、F 在ABC ∆的边 AB 所在的直线上，且AE BF =，FH EG AC ，FH 、EG 分别交边BC 所在的直线于点H 、G ．⑴如图l ，如果点E 、F 在边AB 上，那么EG FH AC +=；⑵如图2，如果点E 在边AB 上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是_______________ ；⑶如图3，如果点E 在AB 的反向延长线上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是_________ ； 对⑴⑵⑶三种情况的结论，请任选一个给予证明． 分析：这是一道探索、确定结论的开放型试题，解决这类问题的方法是根据条件，结合已学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解。
北师大版八年级数学上册《1-1 探索勾股定理(第1课时)》课堂教学课件PPT初中公开课
北师大版 数学 八年级 上册同学们，在我们美丽的地球王国上，原始森林，参天古树带给我们神秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给我们以美的享受.你知道吗？在古老的数学王国，有一种树木它很奇妙，生长速度大的惊人，它是什么呢？下面让我们带着这个疑问一同到数学王国去欣赏吧！A B勾股树导入新知素养目标3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的应用.2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳”的教学过程，将形与数密切联系起来.1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.知识点做一做abca 2,b 2,c 2之间关系问题1你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?CAB图1（图中每个小方格代表一个单位面积）ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）正方形A中含有个小方格,即A的面积是个单位面积.同理:正方形B的面积是个单位面积.999思考1用什么办法能求出图1中A,B的面积?数格子图1分割成若干个直角边为整数的三角形（单位面积）思考2 怎样求出C 的面积?ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1S 正方形C = 4×12×3×3 =18练一练 通过对图1的学习，求出图2正方形A ,B ,C 中面积各是多少?ABC ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图 1图 2解：正方形A 的面积是4个单位面积，正方形B 的面积是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.（1）观察图3、图4：（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：A的面积B的面积C的面积图3图44 916 9？ABCCBA图3图4做一做（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.图3ABCCBA图4“补”“割”“拼”分割为四个直角三角形和一个小正方形补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形（4）分析填表数据AB CCBA图4图3A的面积B的面积C的面积图3图44 916 91325问题2通过以上观察分析，你能发现三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？S A + S B = S C结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和， 等于以斜边为边长的正方形的面积.做一做如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数2.4量关系还成立吗？说明你的理由. 1.6问题4你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？a2+ b2= c2勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a 、b ,斜边为c ，那么即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.abc表示为：Rt △ABC 中，∠C =90°, 则a 2 + b 2 = c 2.在西方又称毕达哥拉斯定理a 2 +b 2 =c 2勾较短的直角边称为 ，股较长的直角边称为 ，直角三角形中弦斜边称为 .勾2 + 股2 = 弦2股勾弦在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.趣味小常识2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案.素养考点 1利用勾股定理求直角三角形的边长方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC =5厘米,AC =12厘米,求斜边AB 的长度. ab c A C B 解：在Rt △ABC 中根据勾股定理,AC²+BC²=AB²，AC =12，BC =5所以12²+5²=AB²，所以AB ²=12²+5²=169，所以AB =13厘米.答：斜边AB 的长度为13厘米.变式训练求下列图形中未知边的长度：所以x =8.解：由勾股定理得：62+x 2=102 ,所以x 2=64,巩固练习1.寻求图形面积之间的关系素养考点 2利用勾股定理求面积问题方法点拨：以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形或半圆，都能形成简单的勾股图，对于勾股图都有相同的结论，即S 1=S 2+S 3（S 1是以斜边为基础向外作的图形的面积，S 2和S 3分别是以直角边基础向外所作图形的面积.例2 如图，以Rt △ABC 的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1+S 2+S 3=16，则S 1的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10探究新知B例3 如图，在△ABC 中，AB =AC =13，BC =10，求△ABC 的面积．方法点拨：当题目中没有直角三角形时，常作垂线（或作高）构造直角三角形，然后利用勾股定理求得线段的长，进而求面积.2.求非直角三角形的面积解：作AD ⊥BC 于D ，在等腰△ABC 中，因为AB =AC =13，BC =10，所以BD =CD =5，所以AD 2=AB 2-BD 2 =132-52 =144，AD =12所以S △ABC =12 BC•AD = 12×10×12=60．探究新知如图，△ABC 中，∠ACB =90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S 1，S 2，S 3，已知S 1=6，S 2=8，则S 3= ．14变式训练巩固练习连接中考1. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）A．5 B．6 C．7 D．82.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为 ．3A基础巩固题ABC 1.判断题（1）△ABC 的两边AB =5,AC =12,则BC =13. ( )（2）△ABC 的a =6,b =8,则c =10. ( )2.在△ABC 中, ∠C =90°,AC =6,CB =8,则△ABC 面积为_____,斜边为上的高为______.⨯⨯24 4.8基础巩固题15 cm17 cm 64 cm²3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .基础巩固题4.求出图中直角三角形第三边的长度.4312xx 1517所以x =8 .解：由勾股定理得：152+x 2=172 ,所以x 2=64 ,所以x =13 .解：由勾股定理得：x 2= 32 +42+152 ,所以x 2=169 ,基础巩固题5.已知∠ACB =90°,CD ⊥AB ,AC =3,BC =4. 求CD 的长.AD BC 解：因为∠ACB =90°，AC =3，BC =4，所以AB 2=AC 2+BC 2=25，即AB =5.根据三角形面积公式， AC ×BC = AB ×CD.1212所以CD = .152能力提升题如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S 1、S 2、S 3,则S 1、S 2、S 3的关系是（ ）A.S 1+S 2=S 3B. S 12+S 22=S 32C. S 1+S 2>S 3D. S 1+S 2<S3A拓广探索题如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第2个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第3个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2018个等腰直角三角形的（2）2018斜边长是___________．勾股定理的探索如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2利用勾股定理进行计算课堂小结作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业谢谢观看 Thank You。
初中数学课件：规律探索问题课件
3
=2,A1B1=OA1×tan30°= 3 ×
3
2
∵OB1=B1A2=2,∴∠B1A2A1=∠O=30°,∴∠B2B1A2=60°,
∵B2A2⊥OM,∴∠B1A2B2=60°,∴△ B1A2B2 为等边三角形,
同理可得△ B2A3B3 为等边三角形,∴B2A2=2=21,
∴A3B3=A3B2=2A2B2=4=22,
△ AnBnCn 依次为同心圆 O 的内接正三角形和外切正三角形,由弦 A1C1 和1 1 围成的
弓形面积记为 S1,由弦 A2C2 和2 2 围成的弓形面积记为 S2,…,以此下去,由弦 AnCn 和
围成的弓形面积记为 Sn,其中 S2020 的面积为
图Z1-5
.
4036
2
[答案]
点A,以OA为边作正方形ABCO,点B坐标为(1,1).过B点作EO1⊥MA交MA于点E,交x
轴于点O1,过点O1作x轴的垂线交MA于点A1.以O1A1为边作正方形O1A1B1C1,点B1的
坐标为(5,3).过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1,交x轴于点O2,过点O2作x轴的垂线交
MA于点A2.以O2A2为边作正方形O2A2B2C2,…,则点B2020的坐标为
1
1
∴2×1-2 + 2 − 3 + 3 − 4+…+ − +1 =2020 ,
1
1
+1-1
∴2×1-+1 =2020 ,∴1-+1 = 4040 ,∴ +1 = 4040 ,
解得 n=4039,经检验,n=4039 是分式方程的解,
故答案为0·衢州模拟]如图 Z1-5,小圆 O 的半径为 1,△ A1B1C1,△ A2B2C2,△ A3B3C3,…,
初中数学开放题、探索题典例选编
初中数学开放题、探索题选编1. 写一个一次函数，使它的图象经过点（3，4）.2. 写出一个关于的一次函数，使得当时，当时.3. 写出经过点（0，3）的一条抛物线方程.4. 写出经过两点（0，3）和（3，0）的二次函数解析式.5. 求出一个二次函数，使得当时，当时，当时.提示：以上诸题解法很多，主要有：（1）再添加条件或将条件特殊化转化为常规题.如第1题可以再取一点如（0，0）等；第2题可以取符合条件的两点，如（1，1）（3，－3）等；第3题可以添加两个点；第4题可以添加一个点，第5题可以取三个特殊点；（2）利用数形结合的思想，画出符合题意的草图即可写出其解析式。
（3）可以拼凑出来，当然要会及时调整.6. 写出一个形如“”的方程，使它的解为；7. 写出一个只含字母的代数式,要求(1)要使此代数式有意义,字母必须取全体正数,(2)此代数式的值恒为负数.8. 已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项；（中任选一个数即可）注意：若将此题改为：已知数3，6，若还有数x，能使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，求x. （此题应该有三种可能，四个解.）9. 若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则此正方形边长为；（此题的答案应有两个）10. 已知A，B两点（如图）（1）求作一个圆，使它经过A，B两点（2）在所作的圆中，作一个圆内接等腰三角形ABC；. .11. 四边形ABCD中,如果那么对角线AC和BD互相垂直(只填出使结果成立的一种情况即可)`12. 同学们知道:只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定相等.你如何处理和安排这三个条件,使这两个三角形全等,请你依照方案(1),写出方案(2)、(3)、(4).13. 一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含30的直角三角形组成,利用这副三角板构成一个含有15角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标柱,不写作法.14. 在四边形ABCD中,M,N,P,Q分别是四边形各边AB、BC、CD、DA的中点，当四边形ABCD 满足条件时，四边形MNPQ为矩形；15. 在面积为4的菱形ABCD中,画一个面积为1的ΔABP,使点P在菱形ABCD的边上(不写作法,保留作图痕迹)(取BC或AD中点P,或过对角线的交点,作AB的平行线交BC或AD于点P).16. 某居民小区搞绿化,要在一块矩形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的图案由圆和正方形组成(圆和正方形的个数不限)并且使整个矩形场地成轴对称图形,请在矩形中画出你设计的方案.(北京考题)17. 关于的方程，是否存在负数，使方程的两个实数根的倒数和为？若存在，求出满足条件的负数值，若不存在，请说明理由？18. 研究下列各式，你会发现什么规律？，，，………请将你找出的规律用公式表示出来；19. 1.判断下列各式是否成立,你认为成立的,请在括号内打“√”，不成立的请在括号内打“×”（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）2.你判断完以上各题之后，发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围；()20. 下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花,每个图案的花盆的总数是Sn=2 ,S=3 n=3, S=6 n=4, S=9按此规律推断,S与n的关系式为 ; (3n-3)21. 如图,AB是⊙O的直径,把线段AB分成几条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,设AB=,那么⊙O的周长为,试计算：(1) 把AB分成两条相等的线段,每个小圆的周长(2) 把AB分成三条相等的线段,每个小圆的周长 ;(3) 把AB分成四条相等的线段,每个小圆的周长= ;……(4) 把AB分成n条相等的线段,每个小圆的周长= ;结论:把大圆的直径分成n条线段,以每条线段为直径画小,那么每个小圆周长是大圆周长的；请仿照上面的探索方法和步骤,计算推导出每个小圆面积和大圆面积的关系.(答案:(分别为n等分直径的小圆面积和大圆面积)22.（归纳猜想）已知一个半径为20cm的圆，作该圆内接钝角三角形，求这个钝角三角形面积的取值范围。
初中数学 最短距离的探索 课件
一、在同一平面内最短距离的探索
（一）两点一线最短距离的探索 (1)两点在直线的异侧
案例 1 某供电部门准备在输电主干线 L 上连接一个
分支点为 M，同时向新落成的 A、B 两个居民小区 送电。如果居民小区 A、B 在主干线 L 的两旁，如 下图所示，那么分支点 M 在什么地方时总线路最 短？
B
初中数学
最短距离的探索
随着课改的深入，数学越来越贴近生 活，更着眼于解决实际生活中的问题，于 是就出现了为省时、省财力、省物力而希 望寻求最短路径的数学问题。这类问题的 解答依据是“两点之间，线段最短”或 “垂线段最短”，证明的时候也用到了 “三角形三边关系定理”，由于所给的条 件的不同，解决方法和策略又有所差别， 现分几种情况举例说明：
（三）两线两点最短距离的探索
4 • 案例 在一条河的两岸分别有 A、B两个村庄， 一直河岸L1与L2相互平行，现在要在这段河 道上修建一座与河岸垂直的桥，使从A村到B 村所走的路程最短，画出示意图。
A
l1 C l2
E
D
B
通过平移， 除去固定部分 的长，使其余 几段的和正好 为两定点之间 的距离。
B
b c
B
b
A
a
1
a c b
AB AB AB
a c 2 b2 b c 2 a 2 a b 2 c2
B
2 3
A
（三）圆柱体中最短路线问题 通过展开立体图形的表面或侧面，化 立体为平面，化曲线或折线为直线，利用 两点之间线段最短解决问题。
二、关于空间中的最短距离的探索
空间中的最短距离的求法，通过展开 立体图形的表面或侧面，化立体为平面， 化曲线或折线为直线，利用“两点之间线 段最短”或“点到直线的垂线段最短”及 “勾股定理”的有关知识来解决问题，这 类问题涉及的几何体主要有正方体、长方 体、圆柱体、圆锥体等。在将几何体的表 面展开时可能有几种不同的结果，这就需 要通过分析比较选出适合题意的答案。
北师大版七年级数学上册《3-5 探索与表达规律(第2课时)》课堂教学课件PPT初中公开课
北师大版 数学 七年级 上册小明：你在心里想好一个两位数，将十位数字乘以2，然后加上3，再把所得新数乘以5，最后把得到的新数加上个位数字,把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数.小亮：怎么知道的呢?你知道小明是怎么算出来的吗？我的结果是93那你心里想的是78我的结果是27那你心里想的是12素养目标1.能根据整式的意义以及整式的相关运算找出实际问题的规律.2.运用整式的运算对规律进行探索，并能解释规律.3.能按照规律写出代数式.知识点规律：结果为原两位数与15的和.如果用a ，b 分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 ,则可得，5（2a +3）+b =10a +b +1510a +b方法归纳用代数式表示数的变化的规律：（1）数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存在 规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律;（2）数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系；（3）若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对应写好， 然后比较每一行每一列数字之间的关系，从而找出规律.例将棱长为1的正方体层层叠放如图所示，问第(5)个、第(6)个图形各需多少个正方体？素养考点数字中的规律解：第(5)个图形需1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5) =35(个)正方体．同理，第(6)个图形需56个正方体．方法点拨：不易求解时，可以先动手摆几个图形，再从中找出规律．巩固练习变式训练如图，用灰、白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案(3n+2)中白色瓷砖有________块．第1个图案第3个图案第2个图案连接中考现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（ ）DA．（1，2，1，2，2） B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3） D．（1，2，1，1，2）课堂检测基础巩固题1．观察以下一列数的特点：0，1，-4，9，-16，25，…，B则第11个数是( )A．-121 B．-100C．100 D．121B 2．观察如图的“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a 的值为( )A ．23B ．75C ．77D ．139基础巩固题3. 已知a 1=3+1，a 2=3×2+2，a 3=3×3+3，a 4=3×4+4 ，…… ，则a n =()A.3n +n B.3n C.3n +3 D.3+3n A 基础巩固题4.观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，通过观察，用所发现的规律确定215的个位数字是________．8 基础巩固题5.观察下列各式：1×5=5，而5=32-22；2×6=12，而12=42-22；3×7=21，而21=52-22；……则10×14的值为________，写出与题目相符合的形式：________________．140 140=122-22 基础巩固题能力提升题已知1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，…，根据前面各式的规律可猜测：A101+103+105+…+199=( )A．7 500 B．10 000C．12 500 D．2 500拓广探索题观察下列等式：12×231=132×21；13×341=143×31；23×352=253×32；34×473=374×43；……以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：①52×______=______×25；②______×396=693×______．275 572 63 36 拓广探索题(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，且2≤a +b ≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的等式(用含a ，b 的等式表示)．解：“数字对称等式”一般规律的等式为：=[100a +10(a +b )+b ]×(10b +a )．拓广探索题(10a +b )×[100b +10(a +b )+a ]数字中的规律探索规律问题,要从给出的几个有限的数据着手,认真观察其中的变化规律,尝试猜想、归纳其规律,并取特殊值代入验证在探索规律的过程中,要善于变换思维方式,这样才能收到事半功倍的效果课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看 Thank You。
初中数学专题规律探索型问题课件
（三）猜想数值结果
当一些条件改变的前提下，结果的数值不变，或者其变 化规律呈现出某种特征时，可以猜想在新的条件下，数 值仍然不变，或者仍然按照原来的特征变化，依此猜想 到结果的数值。
例如：1、如图，在梯形ABCD中AB∥CD,AB=b,CD=a,E为AD边上 的一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时， 发现如下事实： (1)当DE/AE=1时，有EF=(a+b)/2；
(2)当DE/AE=2时，有EF=(a+2b)/3；
(3)当DE/AE=3时，有EF=(a+3b)/4；
当DE/AE=k时，参照上述结论，请你猜想用k表示EF的一般结论，并 证明之
（四）阅读理解型探究规律
阅读理解类型的问题和一般试题相比较，不仅考察学生对 数学知识的理解水平，而且考察学生的阅读能力，因而试 题的篇幅较长，信息量较大。
黄店镇中学九年级数学组 王志海
规律探索型问题:就是对材料信息的加工
提炼和运用，从而得出数学概念和规律，或者将 实际问题抽象为数学问题，建立数学模型的一类 问题。 对规律归纳和发现能反映出一个人的应用数 学、发展数学和进行数学创新的意识和能力。求 解规律探索型问题要求学生有敏锐的观察力，能 从特殊的情况出发，经过周密的思考，全面的分 析，去推得一般的结论。这类试题意在检测解题 者驾驭数学的创新意识和才能，因此，成为了这 几年的热点内容。
2
3
…
N
探索问题。
若你是一家餐厅的大堂经理，由你负责在一个宽 敞明亮的大厅里组织一次规模盛大的西式冷餐会，你 会选择哪种餐桌的摆法？ 说明：新颖的问题可以立刻吸引学生的注意力，我们 需要的是等待学生讨论后的完美答案。因此要一步步 加大题目的开放性，不仅在探索过程中培养了学生的 创造能力，也使之对数学的生活化和生活的数学化都 有较好的体验。
初中数学精品课件：双半RT三角形的探索3
实际应用
方程思想
求弦长
知
求半径
二 求
一
求弦心距
∵半径O2C.要⊥解AB决于半点径D还，需知道哪些量？
1
∴AD= AB =4,
2
在Rt△AOD中， AD2+OD2=OA2，
即42+（x－2）2=x2 解得x=5, ∴ OA=5.
双半Rt △
勾股定理
建立方程
问题拓展
变式1. 已知：如图，⊙O的半径为1，⊙O的直径PQ ⊥BC 垂 足为D，△PBC是⊙O的内接正三角形，求△PBC的边长a1.
半径
求弦长
D
弦心距
问题拓展
变式1. 已知：如图，⊙O的半径为1，⊙O的直径PQ ⊥BC 垂 足为D，△PBC是⊙O的内接正三角形，求△PBC的边长a1.
思路：
△PBC的边长a1
PD=
3 2
a1
OD=PD-OP
3
D
OD= 2 a1 1
求弦长 连半径 构Rt△
OB12 B1D 2 OD2
12
(
1 2
温馨提示：1.你觉得本题与变式1有何联系？ 2.能用变式1类似的方法来解决吗？
问题拓展
变式2. 已知：如图，⊙O的半径为1，PQ为⊙O的直径，两个相 同的正三角形都关于PQ对称，其中第一个△ A1B1C1的顶点 A1与点P重 合，第二个△ A2B2C2的顶点 A2是 B1C1与PQ的交点，其余两个顶点在 圆上，求此时正三角形的边长a2 .
第 1 章 基本图形探索
0103 双半Rt△的探索
认识问题
问题1.一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB=10， 水面宽AB=16．求截面圆心O到水面的距离．
北师大版初中数学七年级上 册 综合与实践 -探索神奇的幻方 课件 优品课件ppt
游戏一：取牌游戏
有9张扑克牌，正面分别标有1到9，正面放在桌子上， 两人轮流取牌，（已取走的牌不能放回），谁先取到点 数之和为15的3张牌，谁先赢.先拿牌的人应首先拿哪张 牌？
冯诺依曼 （1903—1957) “计算机之父” “博弈论之父”
游戏2：爱因斯坦填数题
将1到9这九个数字填入圆圈， 要求这7个三角形中每个三角 形顶点的数字之和相等.
在三阶幻方中你还有什么发现？
所有数的和=幻和×3 幻和=中间数×3
活动二：开动脑筋 构造幻方
请你将下面数填入3×3的方格中，使得每行、 每列、每条对角线上的三个数之和相等。 （1）- 4，- 3，-2，-1，0 ，1 ，2 ，3 ，4.
想一想：各组的9个数与原来9个数有什么关系？ 这9个数可以由原来9个数怎么变过来？
综合与实践
探寻神奇的幻方
探寻神奇的幻方
练习1 它们是幻方么？你怎样来判别？
267 84 3 9 15
6 11 4 57 9 10 3 8
活动一：自主学习、合作探究 （1）将1，2，3，4，5，6，7，8，9 填入3×3的方格中，使得每 行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
—— 在旋转中看
归纳升华
三阶幻方新发现
幻方中每一个数加（减）同一个数字，或者同 时扩大（缩小)相同的倍数所得方格仍是幻方.
构造幻方
1）三阶幻方构成方法
九子斜排 上下对易 左右更替 四维挺出
活动三：学以致用 巧填幻方
1）这只龟姐姐背上的有些图案看不清了，你能帮它 找出来吗？
2 4 356
1
练习2 填幻方：
2）看！又来了一只龟弟弟，背上的图案缺得 更多了，请你帮帮它好吗？
课堂小结
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情况二：将矩形纸片沿对角 线AC对折，此时折痕即为AC. 设MK=AK=CK=x，则DK=5-x. 同理可得MK=NK=2.6, S△MNK=S△ACK=
1 2.6 =1.3. 2
△MNK面积的最大值为1.3.
结论开放探索问题是指题目中的结论不确定或题目中的结论
需类比、引申、拓广，或改变题目的条件，探究原有的结论
2.把可能产生结论的条件全部列举出来，然后逐一分析 .
结论开放探索问题 【例2】如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在 矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折 叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK.
(1)若∠1=70°,求∠MKN的度数; (2)△MNK的面积能否小于 1 ?若能,求出此时∠1的度数;若不
2k 1 的左侧,y随x的增大而增大. 2k 根据题意,得 m 2k 1,而当k＜0时, 2k 1 1 1 ＞ 1， 2k 2k 2k x
所以m≤-1.
解题策略： 1.当题目中的结论不唯一时，要明确造成结论不唯一的原因， 如条件不完备，解题时可以添加符合题意的条件，结合原有 条件推出结论.注意审题，要求写出所有结论时不要遗漏，同 时注意分情况讨论思想方法的应用；
(2)不能.
过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1.
由(1)知:∠KNM=∠KMN.
∴MK=NK 又MK≥ME,∴NK≥1. ∴S△MNK= 1 NK·ME≥ 1 . △MNK的面积最小值为 1 ,不可能小于 1 .
2 2 2 2
(3)分两种情况:
情况一：将矩形纸片对折，使点B
与点D重合，此时点K也与D重合. 设MK=MD=x,则AM=5-x， 由勾股定理，得12+(5-x)2=x2. 解得,x=2.6.MD=ND=2.6.S△MNK= 1 2.6 =1.3.写出你的结论并予以证明. 再探究：当AE= 1 AD(n＞2),而其余条件不变时，线段AB、BC、
n
CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不 必证明.
【解析】(1)∵AB∥CD,∴△KCD∽△KBA,∴ CD CK 2．
BA BK 5
(2)连接CE,并延长CE交AB于点M，∴△ECD≌△EMA, ∴MA=CD,EA=ED, 又∵∠EBM=∠EBC,∴△EBM≌△EBC,∴BC=BM,又∵BM=BA-AM, ∴BC=BA-AM=BA-CD.当AE= 1 AD(n>2)时,AB= 1 (BC+CD).
是否成立，或题目给出特例，要求探究归纳总结出一般性的
结论.常与化归思想方法结合应用.
3.已知三角形的两边长为4,8，则第三边的长度可以是 _____(写出一个即可). 【解析】设第三边为x，根据三角形的三边关系可知， 8-4＜x＜8+4.
答案:5(答案不唯一),在4到12(不含4和12)之间的数都可.
【解析】(1)①作图:作图痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC) 的垂直平分线，或作∠ACD=∠A(或∠BCD=∠B)两类方法均可,
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求.
②猜想：∠A+∠B=90°,
③验证：如在△ABC中，∠A=30°,∠B=60°时，有
∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等 腰三角形的直线.
(2)①作图：作AB的中垂线交AC于D.
过D作直线BD,则直线BD即为所求. ②猜想：∠B=3∠A. ③验证：如在△ABC中，∠A=24°， ∠B=72°,有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割 成两个等腰三角形的直线.
条件开放探索问题解题思路 1.执果索因：从结论出发，逆向推理，逐步探寻结论成立的 充分条件；
又因为当k=0时,函数y=x+1的图象与x轴有一个交点; 当k≠0时,∵Δ=(2k+1)2-4k=4k2+1＞0,所以函数图象与x轴有 两个交点.
所以函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象与x轴至少有1个交点.
(3)只要写出m≤-1的数都可以.
∵k＜0,∴函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象在对称轴
2.变化条件探究原有结论时，要从所给的条件出发，结合原 有的结论及结论推导的方法，辨析新旧条件的差异，分析类
比，逐步得出结论；
3.注意寻求隐含的条件或结论，尤其是在特殊图形特征下的
结论.
n
n 1
2.根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，
把△ABC恰好分割成两个等腰三角形(不写作法，但需保留作
图痕迹)；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量
关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论.
(1)如图①,△ABC中，∠C=90°,∠A=24°.
①作图：
②猜想： ③验证： (2)如图②,△ABC中，∠C=84°， ∠A=24°. ①作图: ②猜想: ③验证:
2
能,试说明理由;
(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大?请你用备用图探究可能
出现的情况,求最大值.
【思路点拨】(1)根据轴对称性质及平行线的性质求∠MKN的 度数. (2)根据MK=NK得出NK大于等于1，得△MNK的面积关系.
(3)分两种情况将纸片对折,①B与D重合,②沿对角线AC折叠.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AM∥DN， ∴∠KNM=∠1， ∵∠KMN=∠1，∴∠KNM=∠KMN. ∵∠1=70°.∴∠KNM=∠KMN=70°.∴∠MKN=40°.
的条件不唯一，一般所给问题的结论明确，需要根据结论探
索其成立的条件.此类问题添加的条件可以是使结论成立的充 分条件，也可以是能够推出这个条件的其他条件 .
1.如图,已知
线段AB∥CD,AD与BC相交于点K, E是线段AD上一动点. (1)若BK=
5 CD KC,求 的值; 2 AB
(2)连接BE,若BE平分∠ABC,则当AE= 1 AD时,猜想线段AB、BC、
4.已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度 数是( )
(A)55°，55°
(C)55°，55°或70°，40°
(B)70°，40°
(D)以上都不对
【解析】选C.当顶角为70°时，则另外两个角的度数为55°，
55°；当底角为70°时，则顶角为40°，即另外两个角的度 数为70°，40°.
出m的一个值.
【解析】(1)如两个函数为y=x+1,y=x2+3x+1,函数图象如图所 示：
(2)不论k取何值,函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象必过定点
(0,1),(-2,-1),
且与x轴至少有1个交点,证明如下: 由y=kx2+(2k+1)x+1,得k(x2+2x)+(x-y+1)=0. 当x2+2x=0,且x-y+1=0,即x=0,y=1, 或x=-2,y=-1时,上式对任意实数k都成立,所以函数的图象必 过定点(0,1),(-2,-1).
5.设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数). (1)写出其中的两个特殊函数,使它们的图象不全是抛物线， 并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图 象；
(2)根据所画图象,猜想出:对于任意实数k函数的图象都具有
的特征，并给予证明;
(3)对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，试求
四边形.
若选取②④,证明如下:∵∠B+∠C=180°,∴AB∥CD,又AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
若选取③④,证明如下:∵∠B+∠C=180°,∴AB∥CD.
又∠A=∠C,∴∠A+∠B=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行
四边形.
条件开放探索问题的特征是指问题的条件不完备或满足结论
【思路点拨】依据平行四边形的判定方法选择条件进行证明 . 【自主解答】(答案不唯一)若选取①③,证明如下: ∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°, ∵∠A=∠C,∴∠B=∠D.∴四边形ABCD是平行四边形. 若选取①④,证明如下:
∵∠B+∠C=180°,∴AB∥CD,又AD∥BC.∴四边形ABCD是平行
条件开放探索问题
【例1】如图，
请在下列四个关系中,选出两个恰 当的关系作为条件,推出四边形 ABCD是平行四边形,并予以证明.(写出一种即可)关系: ①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°. 已知：在四边形ABCD中,_______,_______； 求证:四边形ABCD是平行四边形.