第1节 导数的概念及运算法则 - 学生版

导数的概念及运算（讲案）
【教学目标】
一、平均变化率与瞬时变化率
【知识点】 1.变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率
一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121
()()
f x f x x x --
要点诠释：
① 本质：如果函数的自变量的“增量”为x ∆,且21x x x ∆=-,相应的函数值的“增量”为y ∆,21()()y f x f x ∆=-,则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为
2121
()()f x f x y x x x -∆=∆-
② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，即递增或递减幅度的大小。

对于不同的实际问题，平均变化率赋予不同的实际意义。

如位移运动中，位移S （m ）从t 1秒到t 2秒的平均变化率即为t 1秒到t 2秒这段时间的平均速度。

高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

3.如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=- ②作商：对所求得的差作商，即
2121
()()
f x f x y x x x -∆=∆-。

要点诠释：
1. x ∆是1x 的一个“增量”，可用1x x +∆代替2x ，同样21()()y f x f x ∆=-。

2.
x 是一个整体符号，而不是与x 相乘。

3. 求函数平均变化率时注意,x y ，两者都可正、可负，但x 的值不能为零，y 的
值可以为零。

若函数()y f x =为常函数，则y =0.
4．函数的瞬时变化率：
设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．
如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．
【例题讲解】
★☆☆例题1．（2020·江苏张家港·高二期中）函数2
()sin f x x x =-在[0,]π上的平均变化
率为( ) A ．1 B ．2 C ．π D ．2π
★☆☆练习1． （2020·武汉市钢城第四中学高二期中）如果函数()f x ax b =+在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a =（ ） A ．3- B ．2 C ．3
D ．2-
★☆☆练习2．（2020·重庆高二月考）函数2
y x x =+在1x =到1x x =+∆之间的平均变化率为（ ） A ．2x ∆+ B ．3x ∆+
C ．()2
2x x ∆+∆
D ．()2
3x x ∆+∆
★☆☆练习3．（2020·皇姑·辽宁实验中学高二月考）函数1
y x
=在1x =到3x =之间的平均变化率为（ ） A ．23
B ．23
-
C ．13
-
D ．
13
★☆☆例题2：函数y =在1x =处的瞬时变化率为( )
A ．2
B ．
12 C ．12
-
D ．1
★☆☆练习1．有一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23s t t =-，求此物体在
2t =时的瞬时速度．
知识点要点总结：
（1）极限思想是趋近的思想，当平均变化率无限接近于瞬时变化率时，这个瞬时变化率就是平均变化率的极限．
（2）求瞬时速度应先求平均速度s v t ∆=
∆，再用公式0lim t s v t
∆→∆=∆求得瞬时速度．如果物
体的运动方程是()s s t =，那么函数()s s t =在0t t =处的导数就是物体在0t t =时的瞬时速度．
二、导数的概念
【知识点】 1.导数定义：
函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim
lim
，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0
x x y ='
()()()x
x f x x f x y
x f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000lim
lim
＝ 要点诠释：
① 增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。

0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数。

② 0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。

即存在一个常数与
00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆无限接近。

③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率。

函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，
可以记作“当0x ∆→时，
000()()
()
f x x f x f x x
+∆-'→∆或
“0000
()()
lim
()x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆”．
2.求导数值的一般步骤：
① 求函数的增量：
00()()
y f x x f x ∆=+∆-；
② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆；
③ 求极限，得导数：00000()()'()lim
lim
x x f x x f x y
f x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆。

也可称为三步法求导数。

3.导函数定义：
由函数()f x 在0x x =处求导数的过程可以看到，当0x ∆→时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为()f x 的导函数.记作：()f x '或y '，
即: 0
()()
()lim x f x x f x f x y x
∆→+∆-''==∆
要点诠释：
函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极
限，它是一个常数，不是变数。

（2）函数的导数，是指某一区间内任一点x 而言的，也就是函数()f x 的导函数。

（3）函数()f x 在点0x 处的导数'
0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值。

导函数也简称导数，所以
所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值。

4.导函数求法：
由导数的定义可知，求函数)(x f y =的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆。

（2）.求平均变化率x
x f x x f x y ∆-∆+=
∆∆)
()(。

（3）.取极限，得导数/
y ＝x
y x ∆∆→∆0lim 。

5.导数的定义的几种形式：
割线的极限即为切线，即为导数，从这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如：
()()'lim
x f x x f x y x ∆→+∆-=∆；或：0()()'lim x f x f x x y x ∆→-+∆=-∆；0()()
'lim x f x x f x y x
∆→-∆-=-∆；）
000
()()''()lim
x x f x f x y f x x x →-==-。

要点诠释：只要是0x ∆→时，极限式所表示的是割线的斜率（或其若干倍），就能表示为导数式。

【例题讲解】
★☆☆例题1．求函数24
y x
=
在x=2处的导数。

★☆☆练习1.（2020·全国高二单元测试）已知()03f x '=，则()()
000
3lim m f x m f x m
→+-=
（ ） A ．13
B ．1
C ．3
D ．9
★☆☆练习2.（2020·伊美区第二中学高二期末（文））设()f x 在0x x =处可导，则
000
()()
lim
x f x x f x x
∆→-∆-=∆（ ）
A ．0()f x -'
B ．0()'-f x
C ．0()f x '
D ．02()'f x
三、导数的运算
【知识点】
1.常用函数()()()()(
)21
f x C f x x f x x f x f x x
=====，，，， 常用函数的导数推导过程如下： ()()
00lim
lim
0x x f x x f x C C
C x
x ∆→∆→+∆--'===∆∆；
()()()00lim lim 1
x x f x x f x x x x x x x
∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆；
()()()
()
()2
2
2
lim
lim
lim 22x x x f x x f x x x x x x x x x
x
∆→∆→∆→+∆-+∆-'===+∆=∆∆；
()()()20
00111111lim lim lim x x x f x x f x x x x x x x x x x x ∆→∆→∆→'+∆--⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪∆∆+∆+∆⎝⎭⎝
⎭；
()(
)
00lim lim x x x f x x f x x ∆→∆→∆→+∆-'
====
∆ 2.基本初等函数的导数公式
⑴若()f x C =（C 为常数），则()0f x '=； ⑵若()()f x x αα*=∈Q ，则()1f x x αα-'=；
⑶若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；特别地， 若()e x f x =，则()e x f x '=；
⑷若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；特别地，若()ln f x x =，则()1
f x x
'=； ⑸若()sin f x x =，则()cos f x x '=；
⑹若()cos f x x =，则()sin f x x '=-．
3. 导数的四则运算，其中()()f x g x ，都是可导函数，C 为常数： （1）(()())()()f x g x f x g x '''±=± （2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）[()]()Cf x Cf x ''=；
（4）2
()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦
（()0g x ≠）． 4.复合函数的导数
复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦的导数与函数()(),y f u u g x ==的导数之间具有关系,x u
x y y u '''=⋅该关系用语言表述就是“y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积”，也就是先把
()g x 当作一个整体，把()y f g x =⎡⎤⎣⎦对()g x 求导，再把()g x 对x 求导，这两者的乘积就是
复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦对x 的导数，即()()
()()f g x f g x g x '''=⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
（一） 初等函数求导
【例题讲解】
★☆☆例题1． 用导数公式表求下列函数的导数：
（1）5y x =； （2）ln7y =； （3）5x y =； （4）tan y x =．
★☆☆练习1． 求下列函数的导数
（1)2020y x = (2)2x y = (3)e x y = (4)ln y x = （5）cos y x =
★☆☆练习2．求下列函数的导数： (1) 3x (2)
21
x
(3)x （4）sin y x = （二） 求函数的和、差、积、商的导数
★☆☆例题1．（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））求下列函数的导函数. （1）()3
2
24f x x x =-+
（2）
()321
13
f x x x ax =-++
（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ （4）2
()3ln f x x x x =-+-
（5）sin y x = （6）1
1
x y x +=-
★☆☆练习1．（2020·西藏高二期末（文））求下列函数的导数. （1）2
sin y x x =； （2）n 1l y x x
=+
； （3）32
2354y x x x =-+-.
★☆☆练习2．（2020·通榆县第一中学校高二月考（理））求下列函数的导数： （Ⅰ）2
2ln cos y x x x =++； （Ⅱ）3e x
y x =. .
★☆☆练习3．（2020·山东师范大学附中高二期中）求下列函数在指定点的导数： （1
）4ln(31)y x =
++ ，1x =； （2
）2cos 1sin x x y x
=-
+，π
2x =．
（三） 复合函数
【例题讲解】
★☆☆例题1.求下列函数的导数：
（1）4
)31(1x y -=； （2）)6
3cos(π-=x y ； （3）2ln(231)y x x =++； ★☆☆练习1. 求下列函数导数.
（1）ln(2)y x =+； （2）21
e x y +=； （3）2
cos(21)y x =+.
★☆☆练习2. 求下列函数导数.
(1)8
2)21(x y +=； （2）2
1x x y +=；
★☆☆例题2． 求下列函数的导数 （1）cos(2)y x x =
（2）23
()(9)()f x x x x
=+-
（3）()2(51)x f x ln x =+-
★☆☆练习1． 已知函数sin cos ()sin cos x x
f x x x
+=-．
（Ⅰ）若()3f x =，求tan x ； （Ⅱ）证明：2
()sin 21
f x x '=-．
★☆☆练习2． 求下列函数的导数： （1）3()(1cos )(1)f x x x =+-； （2）()21
x x
f x x =-+．
知识点要点总结：
①分解的函数通常为基本初等函数；
②求导时分清是对哪个变量求导； ③ 计算结果尽量简洁．
④ 同一个问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导。

（四） 求导数值
【例题讲解】
★☆☆例题1. （2020·广东湛江·高二期末（文））已知函数()cos x f x x =，则2f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
'（ ） A ．2
π
- B ．
2
π
C ．
3π
D ．3
π
-
★☆☆练习1．（2020·广西桂林·高二期末（文））已知函数2()f x x x =+，则()1f '=
（ ） A ．3 B ．0
C ．2
D ．1
（五） 利用导数求函数式中的参数
【例题讲解】
★☆☆例题1．已知函数()()sin cos 6f x f x x π='+，则()6f π
的值为( )
A ．1
B ．2
C ．2-
D ．1-
★☆☆练习1．已知321
()(1)3
f x x f x x '=-+，则f '（1）的值为( )
A ．1-
B ．0
C ．
23
D ．
32
★☆☆练习2． 若函数()f x 的导数()f x '满足()2f x f ='（1）1
lnx x
+，则1()(2f '= )
A ．e
B ．2
C ．1
D ．0
★☆☆例题2．（1）32
()32f x ax x =++，若'(1)4f -=，则a 的值为（ ）
A ．
103 B ．133 C ．163 D ．19
3
（2）设函数()cos(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，若()'()f x f x +是奇函数，
则ϕ=________。

★☆☆练习1．已知函数3
2
()f x ax bx cx =++过点（1，5），其导函数'()y f x =的图象如图所示，求()f x 的解析式。

★☆☆练习2．已知()f x 是关于x 的多项式函数，
（1）若2
()2(1)f x x xf '=+，求(0)f '；
（2）若2
()36f x x x '=-且(0)4f =，解不等式()0f x >.
知识点要点总结：
导数运算在考试中基本不会单独考察，但是它是导数应用的基础，需要牢记基础形式的公式和复合函数的求导。

其中有些函数可以先化简再求导，但在化简过程中以不改变函数定义域为前提。

另外就是复合函数的求导，理解较为困难的，要求能够辩别出复合函数并能够分辨出内层函数与外层函数。

求导时把内层函数看作一个整体先视内层函数为整体，整体求导后再乘以内层函数的导数。

【课后练习】
【巩固练习】
★☆☆练习1．已知函数()21f x x =+，则()f x 在区间[0,2]上的平均变化率为___________．
★☆☆练习2. 质点运动规律为221s t =+，则从1t =到1t d =+时间段内运动距离对时间的变化率为______________．
★☆☆练习3. 已知曲线2
()21y f x x ==+在点M 处的瞬时变化率为4-，则点M 的坐标为______________．
★☆☆练习4.（2020·陕西蓝田·高二期末（理））设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则
()()
011lim
3x f x f x
→+-=( ) A ．2 B ．1
C ．
2
3
D ．6
★☆☆练习5.（（2020·贵州威宁·高二期末（理））已知()f x '是()f x 的导函数，且
()14f '=，则0
(1)(12)
lim
h f f h h
→-+=（ ）
A ．4
B ．8
C ．-8
D ．-2
★☆☆练习6．已知函数2()1f x ax x =-+，若0
(1)(1)
lim 3x f x f x
→+-=，
则实数a 的值为( ) A ．2 B ．1
C ．1-
D ．2-
★☆☆练习7．求下列函数的导数：
(1)31y x
= (2)y = （3）32
2354y x x x =-++ （4）222log log y x x =-；
★☆☆练习8. 求下列函数的导函数： （1）3sin cos y x x x =； （2）(1)(2)(3)y x x x =+++
★☆☆练习9. 函数2
(1)(1)y x x =+-在1x =处的导数等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
★☆☆练习10. 求下列函数的导数： （1）2(1)(1)y x x =+-； （2）2sin y x = x ；
（3）1
1
x x e y e +=-
（4）()2
x
e f x x =-．
★☆☆练习11. 求下列各函数的导数： （1）(1)(2)(3)y x x x =+++； （2）2sin (12cos )24x x
y =--；
（3）
y =； （4）(25)y ln x =+
★☆☆练习12.（2019·江苏启东中学高二期中）求下列函数的导函数
（1）y =
（2）2sin y x =.
（3）()cos 32y x =-； （4）31
2x y +=.
★☆☆练习13.．（2019·青海高二月考（理））求下列函数的导数：
(1)(
)*
()2+1n
y x n N ∈＝，
；
(2)(
ln y x =；
(3)11
x x e y e +=-；
(4)2)2(+5y xsin x ＝．
★☆☆练习14. 求下列函数的导数： （1）32(21)(3)y x x x =-+； （2）23(21)4y x x =+-； （3）sin xlnx
y x
=
； （4）tan x y e x =．
★☆☆练习15.（2019·贵州高三月考（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且
()()22ln 22f x x x f x '=-+，则()2f '=（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
★☆☆练习16．（2019·四川高三（文））设函数()f x 的导函数为()f x '，若
()1
ln 1x f x e x x
=+
-，则()1f '=（） A ．3e - B ．2e -
C ．1e -
D ．e
★☆☆练习17．（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（理））已知
2019()ln f x e x x =+，则()1f '=（）
A ．1
B ．20191e +
C ．20191e -
D ．2019e
★☆☆练习18. 函数()sin cos f x x x =+，x R ∈，则()f x '的最大值是( ) A ．B ．1C D ．1
★☆☆练习19．在等比数列{}n a 中，12a =，48a =，函数124()()()()f x x x a x a x a =--⋯-，则(0)(f '= ) A ．0 B ．02 C ．42 D ．82
★☆☆练习20. 已知函数()(1)(2)(3)(2020)f x x x x x x =---⋯-，则(0)f '等于( ) A ．0 B ．22020
C ．2020
D ．2020!
★☆☆练习21． 求下列函数的导数： （1）2()(31)(2)f x x x =+- （2）2()(2)f x x ln x = （3）3()(21)f x ln x =-．
★☆☆练习22.某一运动物体，在
x (单位：s )时离出发点的距离(单位：m )是
32
2()23
f x x x x =
++． （1）求在第1 s 内的平均速度； （2）求在1 s 末的瞬时速度；
（3）经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s ?
【拔高练习】
★★☆练习1．．已知()f x 为R 上的可导函数，且对x R ∀∈，均有()()f x f x >'，则有( ) A ．2013(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f < B ．2013(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f > C ．2013(2013)(0)e f f ->，2013(2013)(0)f e f < D ．2013(2013)(0)e f f ->，2013(2013)(0)f e f >
★★☆练习2．如图所示的是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于( )
A ．2
3
B ．
43 C ．83
D ．
163
★★☆练习3．已知函数()(1)(21)(31)(1)f x x x x nx =+++⋯+，则(0)f '的值为( ) A ．2n C
B ．21n
C +
C ．2n A
D ．21n A +
★★☆练习4．已知函数()()f x x R ∈满足f （1）1=，且()f x 的导数1
()2
f x '<
，则不等式22
1
()22
x f x <+的解集为 ．
★★☆练习5．设2122601212(2)(2)(2)(22)a a x a x a x x x +++++⋯++=--，其中(0i a i =，1，2，12)为常数，则234512*********a a a a a +++++= ．
★★☆练习6．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x 都有()0f x ，则(1)
(0)
f f '的最小值为 ．。