第4章 正弦稳态电路分析4.6-4.7

（2）对于发电机、变压器等用电设备，它输出的 功率与负载有关，设备上标定的是视在功率。
4.二端电路(N)的无功功率 二端电路N的无功功率Q(或PQ)定义为
1 Q U m I m sin( u i ) UI sin( u i ) 2 Q 的单位：乏 (var)、千乏(kvar)。
z
工程上把有功功率作为实部，无功功率
~ S P jQ
~ 表示， 即 s
~ S UI cos( u i ) jUI sin( u i )
UI [cos( u i ) j sin( u i )] ~ j ( u i ) ~ j Z Se Se
2 1 1 Um 1 2 P p(U)m m UI cos 2(t ) t I UI 2 R 2 I m R u 瞬时功率： 2 U2 P UI I 2R 平均功率： R
此公式与直流电路中电阻消耗功率的公式相同。
2 电感元件的功率和能量
设电感电压u为
u (t ) U m cos( t u )
电感电流i滞后电压 90°，即
i(t ) I m cos( t u 90) I m sin(t u )
其中I m Um Um X L L
瞬时功率
p(t ) u(t )i(t ) U m I m cos( t u ) sin(t u ) 1 U m I m sin 2(t u ) 2 UI sin 2(t u )
1 U m I m sin 2(t u ) 2
UI sin 2(t u )
电容的平均功率
1 P T

T
0
p( t )dt 0
电容不消耗能量，只与外电路或电源进行能量交换
电容的瞬时储能
利用三角公式
上式可改写成
1 1 2 2 wC Cu CU m cos2 (t u ) 2 2
二端电路的有功功率看作是由电流 I x与电压 U 所产生的， 即
P UI x UI cos( u i ) 无功功率看作是由电流 I y 与电压U 产生的， 即
Q UI y UI sin( u i )
R、L、C 元件的无功功率
设
Z u i
P Pk
k 1
m
Q Qk
k 1
m
~ m ~ S Sk
k 1
~都不是正弦量，不能用相量表示。 P、Q、s
例题
例1：电路如图所示，电流 I 5 A ， 求电路的 P 、 PS和 。 解：此电路为R、L、C组成的单 口网络，求电路的平均功率 P 可 用几种方法。
I 5A
设 则
Z u i
1 P U m I m cos Z UI cos Z 2
阻抗的平均功率P不仅与电流、电压的振幅(或有效 cos 值)大小有关，而且与 cos Z有关。 Z 称为功率因数， 通常用λ表示，故阻抗角 Z也称为功率因数角。
Um Im P UI 2 当阻抗为纯电感或纯电容性时, Z 90; cos Z 0; P 0
电感的平均储能
WLav
1 T 1 2 Ldt LI T 0 2
有效值
p(t ) UI sin 2(t u )
WLav
1 T

T
0
1 2 Ldt LI 2
1 2 1 2 wL (t ) LI LI cos 2(t u ) 2 2
3 电容元件的功率和能量
I 5A
Biblioteka Baidu
XC1 -6W
Z R1 R2 j X L X C1 X C 2
6 3 j 4 6 3
R1 6 W R2 3W XL 4W XC 2 -3W
10.3/ 290W 9 j 5W
P I 2 ReZ 52 9 225 W
设电容电压u为
u (t ) U m cos( t u )
i(t ) I m cos( t u 90) I m sin(t u )
Um 其中I m CU m XC
电容的瞬时功率
p(t ) u (t )i(t ) U m I m cos( t u ) sin(t u )
1 P T
平均功率

T
0
p( t )dt 0
电感不消耗能量，只与外电路或电源进行能量交换。
电感的瞬时储能
利用三角公式sin2
1 2 1 2 wL Li LI m sin 2 (t u ) 2 2
x=(1-cos2x)/2, 上式可改写成
1 2 wL LI m [1 cos 2(t u )] 4 1 2 1 2 LI m LI m cos 2(t u ) 4 4 1 2 1 2 LI LI cos 2(t u ) 2 2
4.6.3功率因数的提高 1.功率因数 cos :对电源利用程度的衡量。
+ U
I Z
U
Z
-

I

R
X
Z R jX
当cos
1 时,电路中发生能量互换,出现无功 功率 Q UI sin 这样引起两个问题:
•(1) 电源设备的容量不能充分利用
S N U N I N 1000 kV A
电路为感性电路时
电路为容性电路时
Q 0;
Q 0.
设二端电路的端口电压与电流的相量图如图。电流相
量 I 分解为两个分量：一个与电压相量 U 同相的分量 ; 另 一个与U 正交的分量 ， 它们的值分别为 ：
I x I cos( u i ) I y I sin( u i )
100W灯泡是指灯泡的有功功率为100 W。
1 电阻元件的功率
u (t ) U m cos(t u ) u (t ) i (t ) I m cos(t u ) R
p (t ) u (t )i (t ) U m I m cos (t u )
2
1 1 U I [1 cos 2(t )] U mm mm1 cos 2(t u )] I [ u 2 2 11 1 U m IIm U mmm m cos(2(tt u u )] U I I cos 2 ) m m 2 22 2 1 1 Um 1 2 P UI UI m I UI 2 UIIcos 2(t 2u ) m R ) Um u 2 R U2 平均功率： P UI I 2R R
us
解：作相量模型
100/ 00V
200 W
500/ 53.10W Z 300 j 400 (1)电路的总阻抗 U 100 电流有效值 I 0.2 A Z 500 2 200Ω负载消耗的功率 P 0.2 200 8W
(2)不含电源电路的功率因数 cos Z cos 53.10 0.6
电阻 R：z= 0， QR U I sin 0
电感 L：z= /2 ，QL U I sin U I
Q 电容 C：z = －/2 ， C U I sin U I
表示与外电路或电源进行能量交换变化率的幅度.
5.二端电路(N)的复功率
作为虚部，组成复功率，用
~ s
~ s
UI cos( u i ) UI cos(2t u i )
常数（直流） 正弦量（交流）
2.二端电路(N)的平均功率
1 P T

T
0
1 p( t )dt U m I m cos( u i ) 2
UI cos( u i )
p UI cos( u i ) UI cos(2t u i )
求视在功率PS
PS UI 51.5 5 257.5VA
求功率因数
225 P PS 0.87 257.5
例2：电路如图所示， us t 100 2 cos 200tV 求：200Ω负载消耗的功率 P 和不含电源电路的λ。
100 W
2H
100 W j 400 W 200 W
解法三：求网络端口电压有效值， 网络消耗的功率等于端口上电压、 电流有效值相乘，再乘上cos Z 。
2 2
I 5A
XC1 -6W
U Z I 9 5 5 51.5V
R1 6 W R2 3W
P UI cos 29 225W
0
XL 4W XC 2 -3W
R1 5 W
R2 3W
us
L 1H
C=0.05F
4.6 .2一端口网络的功率
设端口电压为
u (t ) U m cos( t u )
电流i是相同频率的正弦量，设为
i(t ) I m cos(t i )
1.二端电路(N)的瞬时功率
p(t ) u(t )i(t ) U m I m cos( t u ) cos( t i ) 1 1 p(t ) U m I m cos( u i ) U m I m cos(2t u i ) 2 2
~ S P2 Q2
复功率只是一个计算用的复数，定义复功率 是为了能直接用电压电流相量来求解功率问题。
~ j ( u i ) j u j i S UIe Ue Ie ~ 1 * * S U m I m UI * I 2
电流相量 的共轭值
如果二端电路的独立源为零，且支路数为m，则 无源二端电路的有功功率、无功功率和复功率分别 为：
4.6 正弦稳态电路的功率
4.6.1 基本元件的功率和能量
基本概念
瞬时功率p ：单位时间所做的功（能量）。 dw pt u (t ) i(t ) 小写 dt 平均功率：瞬时功率在一周期内的平均值，又称为有功
功率，简称为功率。 大写
1 T P p(t )dt T 0
通常，铭牌数据或测量的功率都是指有功功率。 例如，
1 cos 2 x cos x 2
2
1 2 wC CU m [1 cos 2(t u )] 4 1 1 2 2 CU CU cos 2(t u ) 2 2
电容的平均储能
WCav
1 CU 2 2
例1 如图所示正弦稳态电路,已知 us (t ) 10 2 cos(5t )V , 求电阻R1、R2消耗的平 均功率和电感L、电容C的平均储能。
XC1 6W
R1 6 W R2 3W XL 4W XC 2 3W
解法一：网络中只有电阻消耗功率，所有电阻消耗功率 的总和即为单口网络的功率。
P I 2 R1 I 2 R2
52 6 52 3 225W
解法二：求单口网络的阻抗，网 络消耗的功率等于端钮上电流有 效值乘阻抗的实部。
当阻抗为纯阻性时， Z 0; cos Z 1
3.二端电路(N)的视在功率
把UmIm/2 或UI称为视在功率，用PS 表示，即
1 PS U m I m UI 2
单位：伏安 (V· A)、千伏安(KV· A)
视在功率又称为表观功率。视在功率一般并不等 于平均功率，它表示在电压和电流作用下， 电源 可能提供的最大功率。电源设备的容量一般用视 在功率表示。 （1）对于纯阻性的电器，视在功率等于平均功率。
瞬时功率 p
UI cos( u i )
平均功率
p
p
p
p UI cos( u i ) UI cos(2t u i )
功率因数
1 T 1 P p(t )dt U m I m cos( u i ) T 0 2 UI cos( u i )