《辅助角公式》专题(更新版)

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辅助角公式专题五星级训练100题(详细答案word版)

辅助角公式(也称收缩公式，化一公式)

专项五星级训练题100道

3．(***)将函数f (x )＝

32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos 2⎝⎛⎭

⎫x ＋π

6的图像向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数g (x )的图像关于x ＝π

对称，则φ的最小值为( )

A ．π6

B ．π4

C ．π3

D ．5π6

4．(***)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 满足f ⎝⎛⎭⎫π 5＝f ⎝⎛⎭

⎫2π

15，则实数a 的值为( )

A ． 3

B ．33

C ．－ 3

D ．－3

5．(***)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫a 2－3sin x ＋

⎝⎛⎭

⎫3a 2＋1cos x ．将f (x )的图象向右平移π 3个长度单位得到函

数g (x ) 的图象，若对任意x ∈R ，都有g (x )≤⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫π

4成立，则a 的值为( )

A ．－1

B ．1

C ．－2

D ．2

6．(****)设函数f (x )＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)(0＜φ＜π )的图象的一条对称轴是x ＝1，则sin(2φ)＝

( )

A ．－45

B ．－35

C ．45

D ．3

7．(****)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)，若函数f (x )在⎝⎛⎭

⎫π

2，π上单调递减，则实数ω

的取值范围是( )

A ．⎣⎡⎦⎤13，32

B ．⎣⎡⎦⎤13，23

C ．⎝⎛⎦⎤0，13

D ．⎝⎛⎦⎤0，23

8．(*****)若α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π

3，则cos(α＋β)＋2cos(α－β)的最小值为( )

辅助角公式专题

所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
题型三、链接高考题
, x 3 cos
(2016·全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 ysin
极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
(sαin为(参数))．以2坐2标原点为
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
＝1512sin
x＋
3 2 cos
x＋
23cos
x＋12sin
x
＝110sin
x＋
3 10 cos
x＋
3 2 cos
x＋12sin
x
＝35sin x＋353cos x＝65sinx＋π3，
∴当 x＝π6＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值65.
[知识拓展] 从近几年高考题看，和差角公式、二倍角公
因为C
是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C
2
2的距离d
(
)的最小值，..8分
d ( ) | 3cos sin 4 | 2 | sin( ) 2 |,
2
3
当且仅当 =2k + (k z)时，d ( )取得最小值，最小值为 2，
6
此时P的直角坐标为( 3 ,1 ).....................10分 22
4、系数提取问题：若为 a2 b2 1,直接用公式；若为 a2 b2 1，需认真计算.

辅助角公式练习题

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辅助角公式练习题

地点：__________________

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20200628手动选题组卷3

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

函数y=5sinx−π6−12cosx−π6的最大值是( )

A. 13

B. 17

C. −13

D. 12

已知函数f(x)=4sin(ωx−π4)sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期与函数

y=2sin2x+cos2x的最小正周期相同，且tanα=34，α∈(0,π2)，则f(α)等于( )

A. 725

B. −1425

C. 2425

D. −1225

设函数f(x)=sin(2x+3π4)−cos(2x+3π4)，则( )

A. f(x)在(0,π2)单调递增，其图象关于直线x=π4对称

B. f(x)在(0,π2)单调递增，其图象关于直线x=π2对称

C. f(x)在(0,π2)单调递减，其图象关于直线x=π2对称

D. f(x)在(0,π2)单调递减，其图象关于直线x=π4对称

设当x=θ时，函数f(x)=2sinx−cosx取得最大值，则cosθ=()

A. 255

B. 55

C. −255

D. −55

将偶函数f(x)=3sin(2x+φ)−cos(2x+φ)(0

A. (-π3,π6)

B. (π12,7π12)

辅助角公式及三角恒等变换（附答案）

辅助⾓公式及三⾓恒等变换（附答案）

辅助⾓公式与三⾓函数的图像性质

1．已知⾓α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．

(1)求sin 2α－tan α的值；

(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ? ????

π2－2x －

2f 2

(x )在区间?

0，2π3上的值域．解：(1)∵⾓α的终边经过点P (－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－3 3．

∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－

32＋33＝－36

． (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，

∴g (x )＝3cos ? ????π2－2x －2cos 2

x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ?

2x －π6－1，

∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6．∴－12≤sin ? ????2x －π6≤1，∴－2≤2sin ? ?

2x －π6－1≤1，

故函数g (x )＝3f ? ????π2－2x －2f 2

(x )在区间0，2π3上的值域是[－2,1]． 2、已知函数f (x )＝sin 2

x －sin 2

x －π6，x ∈R ．

(1)求f (x )的最⼩正周期；(2)求f (x )在区间

－π3

，π4上的最⼤值和最⼩值．

解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ?

(完整版)必修4之《辅助角公式》

高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》

一．知识点回顾

对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =++++a b x a

a b x b a b 222222(sin cos )··。记a a b 22+=cos θ，b

a b 22+=sin

θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+

由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*

cos ,θ=

sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问

题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。

二．训练

1.化下列代数式为一个角的三角函数

（1

）

1sin 2αα+；（2

cos αα+；

（3）sin cos αα- （4

）

sin()cos()6363

ππαα-+-．

（5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +

2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( )

A ．－3

B ．－2

C ．－1

D ．－ 5

3.若函数()(1)cos f x x x =，02x π≤<

，则()f x 的最大值为 ( )

A ．1

B ．2

C 1

D 2

4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2

y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212

(2021年整理)第二课时三角函数倍角辅助角公式

第二课时三角函数倍角辅助角公式

编辑整理：

尊敬的读者朋友们：

这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（第二课时三角函数倍角辅助角公式）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为第二课时三角函数倍角辅助角公式的全部内容。

和，辅，倍角公式

一、和差公式：

1、sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+；sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-；

cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；cos()cos cos +sin sin αβαβαβ-=;

tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

--=+ 二、辅助角公式

:sin cos )a x b x x ϕ+=+，

其中：tan ,sin b

a ϕϕϕ===证明过程：

三、二倍角公式：

1、二倍角：

2、降幂

sin 22sin cos ααα=; 1sin cos sin 22

ααα= 22

22cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 2222cos sin cos 21cos 2cos 21cos 2sin 2ααααααα-=+=-= 22tan tan 21tan ααα

必修4之《辅助角公式》

必修4之《辅助角公式》(总2页)

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高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》

一．知识点回顾

对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =++++a b x a a b x b a b 222222(sin cos )·

·。记a

a b 22+=cos θ，b a b 22+=sin

θ，则

cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+

由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*

）其中θ由cos ,θ=

sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式

的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。

二．训练

1.化下列代数式为一个角的三角函数

（1

）1sin 2αα；（2

cos αα+；

（3）sin cos αα- （4

）sin()cos()6363ππαα-+-．

（5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +

2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭

⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－5

3.若函数()(1)cos f x x x =+，02x π

≤<，则()f x 的最大值为 ( )

A ．1

B ．2

C 1

D 2

4.（2009安徽卷理）已知函数

()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],12

必修4之《辅助角公式》

高一数学期末复习————必修 4 之《辅助角公式》一．知识点回顾

对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：

y=asinx+bcosx a2b2(sin x·

2 cos x·

2 ) 。记

=cos 2

b a

a b

θ，b=sin θ，则

ya2b2 (sin x cos cosx sin )a2b2 sin( x ) a2b2

由此我们得到结论：asinx+bcosx=a2b2sin( x) ，（*）其中θ由a

cos,

a2b2 sin来确定。通常称式子（* ）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问

a2b2

题，最终化为y=Asin(x)+k 的形式。二．训练

1.化下列代数式为一个角的三角函数

（1）1

sin3cos ；（ 2）3sin cos ；22

（3）sincos （4）

sin(

)

cos() ．663

（5）5sin12cos（6）a sin x b cos x

2 ．函数

y ＝ 2sin

－ x － cos

π ＋x ( x ∈ R) 的最小值等于

(

)

A ．－ 3

．－ 2

C ．－ 1

D ．－ 5

3. 若函数 f ( x) (1

3 tan x)cos x ， 0 x

，则 f (x) 的最大值为

(

) 2

A ． 1

． 2

． 3 1

D ． 3 2

4.（ 2009 安徽卷理）已知函数 f (x)

3sin x cos x(

0) ， y

f ( x) 的图像与直线 y

的两个相邻交点的距离等于，则 f (x) 的单调递增区间是

( )

A. [k

辅助角公式专题练习

辅助角公式

一．知识点回忆

对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =

++++a b x a a b

x b a b

222

(sin cos )·

。记

a a b

+=cos θ，

b a b 22

+=sin

θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ=

+=+

由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，〔*

cos ,θ=

sin θ=来确定。通常称式子〔*〕为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终

化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。二．训练

1.化以下代数式为一个角的三角函数〔1

〕1sin 2αα；〔2

cos αα+；

〔3〕sin cos αα- 〔4

〕

sin()cos()6363

ππ

αα-+-．

〔5〕5sin 12cos αα+ 〔6〕sin cos a x b x +

2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5

3.假设函数()(1)cos f x x x =，02

x π

≤<

，则()f x 的最大值为 ( )

A ．1

B ．2

C 1

D 2

4.〔2009安徽卷理〕已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈

辅助角公式》专题(更新版)

XXX高一数学组

辅助角公式》专题

2017年（日期未知）

班级姓名

XXX从磨砺出，梅花香自苦寒来。我们知道sin(π/6+x)，那么sin(π/6)cosx+cos(π/6)sinx=13(cosx-sinx)(cosx-

3sinx)/(2sinx+cosxsin(π/12)-3cos(π/12))，这就是辅助角公式asinx+bcosx=a^2+b^2sin(x+φ)。接下来，我们来看如何将asinx+bcosx化为Asin(ωx+φ)的形式。

问题请写出把asinx+bcosx化成Asin(ωx+φ)形式的过程。

asinx+bcosx=a+b(sin x+cos x)/(a^2+b^2)

a^2+b^2(sin x+cos x)/(a(a^2+b^2)+b(a^2+b^2))

a^2+b^2(sin x+cos

x)/(a^2+b^2)^0.5(a/(a^2+b^2)^0.5+b/(a^2+b^2)^0.5)

a^2+b^2(sin x+cos x)/(a^2+b^2)^0.5(sin φ+cos φ)

a^2+b^2sin(x+φ)，其中sinφ=b/(a^2+b^2)，

cosφ=a/(a^2+b^2)。

辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用。接下来，我们来试一试将下列各式化成Asin(ωx+φ)的形式，其中A>0，ω>0，|φ|<π。

1)sinx+cosx

2^0.5/2)sin(x+π/4)+ (2^0.5/2)cos(x+π/4)

A sin(x+φ)，其中A=2^0.5/2，ω=1，φ=π/4.

辅助角公式专题训练

教学目标

1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式

2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式

教学重点与难点辅助角公式的推导与辅助角的选取

教学过程

一、复习引入

（1）两角和与差的正弦公式

()sin αβ+=_______________________； ()sin αβ-=________________________.

（2）利用公式展开sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=___________________；

αα=____________. 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式

（1

1cos 2

αα+ （2

）sin αα

二、辅助角公式的推导

对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？

)sin()cos sin (cos sin 2

2222222βααααα++=++++=+b a b a b b a a

b a b a 其中辅助角β

由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b ，我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角.

三、例题反馈

例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.

（1

1cos 2αα- （2）ααcos sin +

（3

αα （4）ααcos 4sin 3-

例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式.

必修4之《辅助角公式》

高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》

一．知识点回顾

对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =

++++a b x a a b

x b a b

222

(sin cos )·

。记

a a b

+=cos

θ，

b a b 22

+=sin θ

，则cos cos sin ))y x x x θθθ=

+=+

由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*）其中θ

cos ,θ=

sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问

题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。二．训练

1.化下列代数式为一个角的三角函数（1

）

1sin 22

αα+；（2

cos αα+；（3）sin cos αα- （4

）

sin()cos()6363

ππ

αα-+-．（5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +

2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( )

A ．－3

B ．－2

C ．－1

D ．－ 5 3.

若函数()(1)cos f x x x =，02

x π

≤<，则()f x 的最大值为

( )

A ．1

B ．2 C

1 D

2 4.（2009安徽卷理）

已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈

高三C专题(辅助角公式3星)

专题：妙用辅助角公式 ★★★

【教案中有一定比重的2星题目，备选题中皆3星的题目，供大家选用。题目的选择主要从辅助角公式用于解决问题的不同角度出发，分别为用于解决三角函数的定义域、单调区间、最小正周期、奇偶性、最值、对称性等。】

教学目标

掌握辅助角公式。

【解读：辅助角公式常用于求最值、单调区间、周期、判断奇偶性等。】

知识梳理

3 min.

1．辅助角公式：

22sin cos sin()a b a b αααϕ+=++，

其中，ϕ (通常取02ϕπ≤<)由2

cos a a b

ϕ=+，2

sin b a b

ϕ=

+确定,

称上述公式为辅助角公式，角ϕ为辅助角． 2．运用公式时注意的问题：

在运用公式时，因为常常只记住ϕ的取值由tan =b

ϕ确定，所以当tan ϕ为正时ϕ就可能出现在一、三象限，而为负时可能出现在第二、四象限，这给求解某闭区间上的取值范围、取最值时x 的集合等问题时造成了困惑。

要解决此类困惑还是得从公式的推导过程来看，因为tan =

a ϕ是由22

cos a a b

ϕ=+，

sin b a b

ϕ=+得

到，所以实际上a 与b 的取值确定了ϕ为第几象限角，很容易发现当(,)a b 点落在第几象限时，ϕ为第几象限角。

典例精讲

35 min.

例1. （★★）求函数x x y cos 3sin +=

的定义域。

【分析：要使函数有意义，只需根式内为非负数即可。】解：sin 3cos 2sin 03x x x π⎛

⎫

+=+

≥ ⎪⎝

⎭

Q ， 223

k x k π

πππ∴≤+

≤+,

k Z

∈, 即

辅助角公式专题训练

辅助角公式专项训练

(1)若 COSX 石，X i ，，求 f (X )的值;

求m 的值。

(1 )求函数f (X)的最小正周期及取得最大值时

X 的取值集合; (2)求函数f (X)图像的对称轴方程。

4.已知函数 f (x) 2acos 2 x bsinxcosx 3，且 f (0) 3

， f(-)-。

2 2 4 2

(1 )求f(x)的单调递减区间；

(2)函数f (X)的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？

1.已知函数f(x)

73 . in x 4

1 COS X 。 4 (2)将函数f (X)的图像向右平移

m 个单位，使平移后的图像关于原点对称, 2.已知函数 f(X )

sin 2XS in 2 2 COS XCOS 」si n(— )(0 2 2 )，其图像过点

(6,2)。

(1)求的值; ⑵ 将y f (X )的图像上各点的横坐标缩短到原来的

1 一，纵坐标不变，得到函数y g(x)的

2 图像，求函数 y g(x)在区间0,— 上的最值。

3.已知函数f (x)

2cos xsin(x ——。

对称，求当x 0, 时，y g(x)的最大值。

9.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。

(1 )求f(§)的值；(2)求f (x)的最值。

10.已知向量 mn (si nA,cosA)，n (、_3, 1)，rrnign 1，且 A 为锐角。

(1)求角A 的大小；(2)求函数f(x) cos2x 4cos xsin A(x R)的值域。

5.设 f (x) COS (X 2cos 2 X

辅助角公式专题训练

辅助角公式专项训练

已知函数31()sin cos 44f x x x =

-。对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下：

y=asinx+bcosx =++++a b x a

a b x b a b 222222(sin cos )··。

由于上式中的a

a b 22+与b a b

22+的平方和为1，故可记a a b 22+=cos θ，b

a b 22+=sin θ，则。)x sin(b a )

sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=

由此我们得到结论： asinx+bcosx=a b x 22++sin()

θ，（*）其中θ由a a b b

a b 2222+=+=cos ,sin θθ来确定。

通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。

1、（1）若5cos 13x =-，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，求()f x 的值；（2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值。

2.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222

f x x x πϕϕϕ=+-+(0)ϕπ<<，其图像过点1(,)62

π。 (1)求的ϕ值；

(2)将()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12

，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,

4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值。

3.已知函数3()2cos sin()32