《辅助角公式》专题(更新版)
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《辅助角公式》专题
2017年( )月( )日 班级 姓名 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来。 我们知道sin(
)6x π+= 那么sin cos cos sin 66x x ππ+=
1
cos 22
x x - cos x x
cos x x + sin π12-3cos π12
cos )x x -
x x
sin15cos15o o +
【辅助角公式a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +φ)】
问题 请写出把a sin x +b cos x 化成A sin(ωx +φ)形式的过程.
a sin x +
b cos x =a 2+b
2x x ⎛
⎫+⎪⎭ =a 2+b 2(sin x +cos x ) (想想正弦、余弦的定义) =a 2+b 2sin(x +φ)
(其中sin φ=b a 2+b 2,cos φ=a a 2+b 2
). 使a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +φ)成立时,cos φ=
a a 2+
b 2,sin φ=b a 2+b 2, 其中φ
(a ,b )决定.
辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用. 试一试 将下列各式化成A sin(ωx +φ)的形式,其中A >0,ω>0,|φ|<π2
. (1)sin x +cos x = ;(2)sin x -cos x = ;
(3)3sin x +cos x =_____________;(4)3sin x -cos x =_____________;
(5)sin x +3cos x =_____________;(6)sin x -3cos x =_____________.
【当堂训练】
【求周期】
1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=
的最小正周期。
2.求函数y x x x =+
-+24432cos()cos()sin ππ
的最小正周期。
小结:将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式,是求周期的主要途径。
【求值】
1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=
的最大值。
2.函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫π3-x -cos ⎝⎛⎭
⎫π6+x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .- 5
3.2)cos()12123x x ππ+
++=,且 02x π-<<,求sin cos x x -的值。
4.已知)4x y πθ+=
+,)4x y π
θ-=-,求证:221x y +=
【求单调区间】 求函数x x y 4sin 4cos 3+=
的单调递增区间。
已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>,()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π,则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212
k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63
k k k Z ππππ++∈
已知函数()3f x x x =-,求:
(1)求函数()f x 的周期、最大值以及取得最大值自变量x 的取值范围.
(2)求函数()f x 的单调区间、对称中心.
(3)函数()f x 由函数sin y x =的图像如何变换得到的?