高考数学一轮复习课时规范练31数列求和理北师大版

课时规范练31 数列求和
基础巩固组
1.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和S n的值等于()
A.n2+1-
B.2n2-n+1-
C.n2+1-
D.n2-n+1-
2.(2018河北衡水中学金卷十模,3)已知数列{a n}是各项为正数的等比数列,点M(2,log2a2),N(5,log2a5)都在直线y=x-1上,则数列{a n}的前n项和为()
A.2n-2
B.2n+1-2
C.2n-1
D.2n+1-1
3.(2018山东潍坊二模,4)设数列{a n}的前n项和为S n,若S n=-n2-n,则数列的前40项的和为()
A. B.- C. D.-
4.已知函数f(x)=x a的图像过点(4,2),令a n=,n∈N+.记数列{a n}的前n项和为S n,则S2 018=.
5.(2018浙江余姚中学4月模拟,17)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S5=30,S10=110.
(1)求S n;
(2)记T n=+…+,求T n.
6.(2018山西晋城月考)已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=2a n+(-1)n(3n+1).
(1)求证:数列{a n+(-1)n n}是等比数列;
(2)求数列{a n}的前10项和S10.
7.(2018山东潍坊一模,17)公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S4=10,且a1,a3,a9成等比数列.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)求数列的前n项和T n.
综合提升组
8.(2018广东中山期末)等比数列{a n}中,已知对任意自然数n,a1+a2+a3+…+a n=2n-1,则+…+等于()
A.2n-1
B. (3n-1)
C. (4n-1)
D.以上都不对
9.(2018湖北重点中学五模)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a4=4,S5=15,若数列的前m项和为,则m=()
A.8
B.9
C.10
D.11
10.(2018山东潍坊三模,17)已知数列{a n}的前n项和为S n,且1,a n,S n成等差数列.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)若数列{b n}满足a n·b n=1+2na n,求数列{b n}的前n项和T n.
11.(2018江西上饶三模,17)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且6S n=3n+1+a(n∈N+).
(1)求a的值及数列{a n}的通项公式;
(2)若b n=(3n+1)a n,求数列{a n}的前n项和T n.
创新应用组
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案已知数列
1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()
A.440
B.330
C.220
D.110
13.(2018云南玉溪月考)数列{a n}满足:a1=,a2=,且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=对任何的正整数n都成立,则+…+的值为()
A.5 032
B.5 044
C.5 048
D.5 050
参考答案
课时规范练31 数列求和
1.A该数列的通项公式为a n=(2n-1)+,则S n=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-.
2.C由题意log2a2=2-1=1,可得a2=2,log2a5=5-1=4,可得a5=16,=q3=8⇒⇒S n==2n-1,故选C.
3.D∵S n=-n2-n,∴a1=S1=-2.
当n≥2时,a n=S n-S n-1=-n2-n+(n-1)2+(n-1)=-2n,
则数列{a n}的通项公式为a n=-2n,
==--,
数列的前40项的和为
S40=-1-+-+…+-=-.
4.-1由f(4)=2,可得4a=2,解得a=,则f(x)=.
∴a n===-,
S2 018=a1+a2+a3+…+a2 018=(-)+(-)+(-)+…+(-)=-1.
5.解 (1)设{a n}的首项为a1,公差为d,由题意得解得所以S n=n2+n.
(2)==-,
所以T n=1-+-+…+-=1-=.
6.(1)证明∵a n+1=2a n+(-1)n(3n+1),
∴
=
==2.
又a1-1=3-1=2,
∴数列{a n+(-1)n n}是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)解由(1)得a n+(-1)n n=2×2n-1=2n,∴a n=2n-(-1)n n,
∴S10=(2+22+…+210)+(1-2)+(3-4)+…+(9-10)=-5=211-7=2 041.
7.解 (1)设{a n}的公差为d,由题设可得,
∴解得∴a n=n.
(2)令c n=,则T n=c1+c2+…+c n=+++…++, ①
T n=++…++, ②
①-②得:T n=++…+-
=-=--,∴T n=-.
8.C当n=1时,a1=21-1=1,
当n≥2时,a1+a2+a3+…+a n=2n-1,a1+a2+a3+…+a n-1=2n-1-1,
两式做差可得a n=2n-2n-1=2n-1,且n=1时,21-1=20=1=a1,∴a n=2n-1,故=4n-1,
∴+++…+==(4n-1).
9.C S n为等差数列{a n}的前n项和,设公差为d,则解得d=1,则a n=4+(n-4)×1=n.
由于==-,
则S m=1-+-+…+-=1-=,解得m=10.
10.解 (1)由已知1,a n,S n成等差数列,得2a n=1+S n, ①
当n=1时,2a1=1+S1=1+a1,∴a1=1.
当n≥2时,2a n-1=1+S n-1, ②
由①-②,得2a n-2a n-1=a n,
∴=2,
∴数列{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列,
∴a n=a1q n-1=1×2n-1=2n-1.
(2)由a n·b n=1+2na n得b n=+2n,
∴T n=b1+b2+…+b n
=+2++4+…++2n
=+(2+4+…+2n)
=+
=n2+n+2-.
11.解 (1)∵6S n=3n+1+a(n∈N+),
∴当n=1时,6S1=6a1=9+a;
当n≥2时,6a n=6(S n-S n-1)=2×3n,即a n=3n-1,
∵{a n}为等比数列,∴a1=1,则9+a=6,a=-3,
∴{a n}的通项公式为a n=3n-1.
(2)由(1)得b n=(3n+1)3n-1,
∴T n=b1+b2+…+b n=4×30+7×31+…+(3n+1)3n-1,
3T n=4×31+7×32+…+(3n-2)3n-1+(3n+1)3n,
∴-2T n=4+32+33+…+3n-(3n+1)3n,
∴T n=.
12.A设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为.第n组的和为=2n-1,前n组总共的和为-n=2n+1-2-n.
由题意,N>100,令>100,得n≥14且n∈N+,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N>100且前N项和为2的整数幂,则S N-应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N+,n≥14),所以k=log2(n+3),解得
n=29,k=5.所以N=+5=440,故选A.
13.B∵a1a2+a2a3+…+a n a n+1=n, ①
a1a2+a2a3+…++=(n+1), ②
①-②,得-=n-(n+1),
∴-=4,同理得-=4,
∴-=-,
整理得=+,
∴是等差数列.
∵a1=,a2=,
∴等差数列的首项为4,公差为1,=4+(n-1)×1=n+3,
∴++…+==5 044.。