第5章 大学物理 石油大学出版社

而1＋ 2＋ 3 100 2
1t1
2
1t 2
1t 3
2
200
t2
200 1 (t1 t3 ) / 2
1
200 / 1 (t1 t3 ) / 2 182.9s
t t1 t 2 t 3 193.9s
求: 1) 棒自水平静止开始运动，θ = π / 3 时, 角速度ω ? 2) 此时端点A 和中点B 的线速度为多大? 解： 1) 棒做变加速运动：
外力矩的作用。
5.2.4、定轴转动定律 设刚体以角速度 和角加速度 绕 Oz 轴转动， P 点表示刚体上的一质元, 质量为
m i ,
O
,
fi ri Fi
i
P
i
P 点的矢径为
ri
，此质元所受的外力为
+
Fi ，内力为 f i ,且均在转动平面内
由牛顿第二定律得:
Fi f i mi ai
a n r 2

v
a r 2 4
线速度与角速度之间的矢量关系为:
v r
o r
例题5-1一半径为R = 0.1m 的砂轮作定轴转动，其角位置随时 间t 的变化关系为 = ( 2 + 4 t 3 ) rad ，式中 t 以秒计。试求： 1）在 t = 2s 时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大 小。2）当角 为多大时，该质点的加速度与半径成 45 o。 d d 24t 12t 2 解： 1) dt dt
d 3 g cos dt 2L
d d d d d t d
O
3g cos , L 为棒长。 例题补 一细棒绕O 点自由转动，并知 2L

B
3g d cosd 2L


0
d


3
0
3g cosd 2L
A
3g 3 3 sin g L 3 2L
定义：刚体对转轴的转动惯量：
J m i ri
i 1
n
2
SI单位：kg . m 2
即：
E k转
1 J 2 2
注意：转动动能实质与平动动能相同，表达式不同。
5.2.2、转动惯量的计算： 描述刚体转动惯性大小的物理量。 1、定义：刚体对转轴的转动惯量：
J m i ri
i 1
m1

R
M J
1)
R
对m 2分析受力。取向下为正方向。 T
T R J

m1
m2
由牛顿运动定律： m2 g T m2a
T
2)
m2 g
关联方程： a R
T T
联合解得：
2m2 g R(m1 2m2 )
( m2 m1 ) g M f / r m1 m2 m / 2
Mf 1 m1[(2m2 m) g ] 2 r T1 m1 ( g a ) m1 m2 m / 2
Mf 1 m2 [(2m1 m) g ] 2 r T2 m2 ( g a ) m1 m2 m / 2
类比
F ma
3、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。 应用时应注意以下问题： ① 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。 ② 选定转轴的正方向，以确定力矩或角加速度、 角速度的正负。 ③ 当系统中既有转动物体，又有平动物体时，用 隔离法解题。 对转动物体应用转动定律建立方 程， 对平动物体则用牛顿第二定律建立方程。
an R 2 0.1 482 230.4( m/s2 )
o
at R 0.1 48 4.8( m/s2 )
2 4 2) an R 14.4t at R 2.4t

tan45 at / an 1
此时砂轮的角度：
14.4t 4 2.4t
t 0.55s ( 舍去t = 0 和 t = -0.55 )
dm dl
2R 0
J R dm
2
R 2 d l
o
R
dm
R2 2R mR2 质点作圆周运动、圆筒
解: 设质量面密度为σ
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴的转动惯量。
d m d s 2 r d r
r 的薄圆盘）
m
T1 m1 g m1a （1）
m1
T1
m1
m2
m2 g T2 m2a （2）
T2
m2
m2 g
m1 g
a1
a2
T1 T1, T2 T2
Mf
O

（4） （5）
a r
T1
T2
联立（1）,（2），（3），（4），(5)式可解得
a
J r dm r 2 2rdr
2 0 R
R
o
r
dr
1 1 4 R mR2 2 2
圆柱、滑轮等
例题5-4 求长为L、质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。
解: 1）取A 点为坐标原点。在距A 点为x 处取dm= λdx 。
d J x 2 d m x 2 d x L mL2 J A x 2 d x 0 3
n
2
J
r2 dm
SI单位：kg . m
2 、转动惯量的计算：

若质量离散分布：
（质点，质点系）
J mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中：
dm dS
d m dV
例题补求质量为m，半径为R 的均匀圆环对中心轴的转动惯量。 解: 设质量线密度为λ
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。
A
A
x dm
B
L
C
x
xdm
L 2
B
L 2
x
JC x 2 d m
说明
L 2 L 2
mL2 x 2 d x 12
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
z
Fz
F
Ft
Fr
r
o
P
3、多个力作用于刚体 各外力作用点各不相同，外力对转 轴的合力矩 Mz M1z M2 z Mnz r1 F1t rn Fnt 刚体所受的合力矩等于各个力矩的矢量和。
可证：刚体中内力对给定轴的力矩的矢量和为零，只需考虑
Fi ri sin i f i ri sin i mi r 2 i
则有：
令
f i ri sin i ( mi r 2 i ) Fi ri sin i
i
i
i
M z Fi ri sin i
i
J mi r
i
2
i
上式便可写成
M z J
刚体的定轴转动定律
的定滑轮（视为半径为 例题5-6 一轻绳跨过一质量为m 绳两端挂质量为 m1 和 m2 两物体，且 m2 m1 滑轮轴间摩擦阻力矩为 M f ，绳与滑轮无相对滑动， 求物体的加速度和绳中的张力。 解：由牛顿第二定律和转动定律得 对 m1 对 m2 对滑轮
1 r T1r M f mr 2 （3） T2 2
(2 4t 3 ) 2 4 0.553 2.67(rad)
例题5-2 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增 加到200rad/min,然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制 动，其角速度均匀减小。又过了5s后，飞轮停止了转动。若飞 轮总共转了100转，求共运转了多少时间？ 解：整个过程分为三个阶段 2 1 1t1 1 1t1 21 0 211 1 ①加速阶段 2 1 2 ②匀速阶段 2 1t 2 2 1t 3 1 2 3 ③制动阶段 1 3 t 3 1 2 3 3 2 3 2
2

3 3g 2L
2)由v r得： A L v
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2定轴转动刚体的功和能
5.2.1、刚体的动能
1 1 1 2 2 2 平动动能 ： Ek平 mi vi mi v mvc 2 i 2 i 2 1 1 1 2 2 转动动能 ：Ek转 mi vi mi (ri ) mi ri 2 2 i 2 i 2 i 2 1 ( mi ri2 ) 2 2 i
当不计滑轮质量m 和摩擦阻力矩Mf时，有
2m1m2 T1 T2 m1 ( g a ) g m1 m2
m2 m1 a g m1 m2
例题5-7 质量为m 1、半径为R 的定滑轮可绕轴自由转动，一质 量为m 2 的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上。求：物体m 2 的下落加 速度a 和 滑轮转动的角加速度β. 解 对m 1 分析力矩；取滑轮转动方向为正方向。 由转动定律：
z
5.2.3、对转轴的力矩
1、F在转动平面内
大小：Mz＝Frsin ＝Fd,
Mz r F
d=rsin 称为力F
o
r
F
d
P

对转轴的力臂。 Mz的方向平行于转轴，由右手螺旋定则确定。 2、F不在转轴平面内 把F分解为三个分量 Fz, Fr, Ft, Fr的力矩为零, Fz的力矩不为零， 但不影响刚体的定轴转动， Ft的力矩沿轴向， 它对角动量有贡献。
它表明：刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加 速度的乘积，等于作用于刚体上所有外力对该轴力 矩的代数和。
1、转动定律适用条件：刚体定轴转动。
2、M 一定：作用不同刚体上，J 大时，β 小， 转速不宜 改变，转动惯性大。反之，J 小，转动惯性小。 — 转动惯量是物体转动惯性大小的量度。
M J
3、平行轴定理： 若有任一轴与过质心的轴平行，且两轴相距为d，刚体 对该轴的转动惯量为J，则有：
J J C md
两轴平行；
2
说明： JC 为刚体绕质心轴的转动惯量 d 为两平行轴间距离。 例 均匀圆盘对O 轴的转动惯量。
1 J C mR 2 2
o
d
C
1 J o mR2 md 2 2
正负两个方向，可以用代数值代替。 刚体作匀变速转动时，相应公式如下： 1 2 0 0 t t 2 0 t
2 2 0 2 ( 0 )
y

r
P

P
S
A
O
A
x
角量与线量的关系： s r , v r
a t r ,
第5章
刚体力学基础
本章重点：5.2；5.3
本章作业：
5 .1 刚体运动学
5.1.1、刚体 平动与转动 1、刚体:在外力作用下形状和大小完全不变的物体为刚体。 刚体是一种理想模型。刚体上任两点间的距离始终保持不变。
2、刚体的平动: 刚体上任意两点的连线在运动中保持平行,这种 运动称为刚体的平动。平动的刚体可当作质点, 质点力学的规律 适用。 特征： 各个质点的位移、速度、加速度相等。
(t )
刚体定轴转动的运动学方程。
y
2 1 平均角速度： ＝
角位移:

t
P r

角速度： （矢量） 角加速度： （矢量）
d ＝ dt
A
2
O

P
S
ຫໍສະໝຸດ Baidu
A
x
d d dt dt2
由于在定轴转动中轴的位置不变，故 , 只有沿轴的
=
，
其切向分量和法向分量方程分别为:
Fi sin i f i sin i mi ait mi ri
( Fi cos i f i cos i )
mi ain
mi ri 2
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零，故只讨论切向方程。
对切向方程两边同乘以 ri ，可得
注意：刚体平动时，运动轨迹不一定是直线。 3、刚体的转动 : 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。
定轴转动 :转轴在空间的位置固定不动。 特征： 1）各点的角位移、角速度、角加速度相同。 2）各点的线位移、线速度、线加速度不同。 4、刚体的一般运动：刚体的一般运动可看成是平动和转动的 叠加。
5.1.2、刚体定轴转动的角量描述 定轴转动只有两个转动方向。 规定 ox 轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。 角位置：