复数的运算2
复数的运算
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
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复 数 的 运 算 法 则
复数基础——复数的基本运算_2回顾复数复数的基本运算回顾复数将下列数字写成复数形式：简单复习一下，复数是包含实数部分和虚数部分的数。
如果有a+bi，a是实数，b是实数，这是复数。
a是实部，bi是虚数部分（注：虚部不包括i）。
为什么bi是虚部？因为bi带有特殊系数i，这个虚数单位，这个特殊的数i，在这里乘以了b。
我相信大家都会觉得怪诞，不过根据定义：在此之前，不存在对某个数取平方后得到-1，现在取i的平方，得到-1，关于虚数（单位）的特别的知识点是它的平方是负数。
复数有用之处在于它使我们有能力解决很多方程，这些方程在只允许实数解的情况下无解。
复数在很多方面都有用，特别是在工程领域，还有其他领域，比如物理等等。
现在，我们不会花很多心思讨论复数定义，在大家处理更多数字后，特别是接触到某些工程应用后，希望大家明白虚数的价值。
回到问题中来，把上面的数字写成复数形式。
怎么把它写成复数呢？把它写成实部和虚部的组合。
可以写成：-21 = -21+0i0i等于0，所以它仍等于-21，实际上这里没有虚部，-21本身就是复数形式，很简单。
同样的：7i是虚数形式的，所以这里没有实部，实部是0，虚部是7i，所以等于0 + 7i。
复数的基本运算很多时候解方程都会碰到根号下负数的情况，比如根号下-1或者-9：由于如何实数的平方不是0就是正数，所以以上两个数这些没有定义，为了定义这些数，人们引入i的概念，i是虚数单位，i的定义是：这就是解决了根号下负数的问题，这样一来，根号下-9是多少呢？它等于i乘以根号9，即3i，为什么，想想3i平方是多少？这是指数性质。
所以，这样的定义就拓展到了，所有负数开根号的情况：3i是所谓的虚数，它其实也不比其他数“虚”，某种意义上，负数真的存在吗？只不过是将负号放在前面表示抽象含义，负号只是表示它和大小的关系。
任何数乘以虚数单位i都是虚数。
解二次方程时，你会发现结果有时会实数和虚数并存（有实数部分和虚数部分），举个例子：这不能化简了，因为实数和虚数不能相加，大家可以把这当作不同维度，一个数有实部5，还有虚部2i，这叫做复数。
复数的有关运算
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚 为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算 共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线： 双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线： 射线 |
(7).圆环 圆环: r <| z − z0 |< R 圆环 复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值 （2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)
复数的运算(2)精选教学PPT课件
5. a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
6. 已知z=a2-a+(a3-2a2-a+2)i(aR)，则当a= 1或-1或2 时， z为实数、 当a= 0 时，z为纯虚数.
基础知识
1. 两个复数相等
a c 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，则 z1=z2 b d，
2. 对 虚数单位i 的规定 ① i2=-1；
② i可以与实数一起进行四则运算，并且加、乘法运算律不变.
3. 根据对虚数单位i的规定把下列运算的结果都化为 a+bi（a、bR）的形式. 3(2+i)= 6+3i ； (3-i)i= 1+3i ；i = 0+i ；-5= -5+0i ； 0= 0+0i ；2-i= 2+(-1)i . 4. 我们把形如a+bi（其中 a、bR ）的数 称为 复数 z=a+bi ， 其中a叫做复数 z 的 实部 、 记作： b叫做复数 z 的 虚部 . 全体复数集记为 C .
复 数 的 概 念
第一课 1. 数的发展
基础知识
表示相反意义的量 计数的需要 自然数 (正整数和零) ———————负数 解方程x+3=1
测量、分配中的等分 ————————分数 （分数集 有理数集 循环小数集） 解方程3 x=5 循环小数 _ __________ 度量 ————— 无理数 （实数集 小数集 不循环小数 2 _ 解方程x =2 __________ 2=-1 解方程 x 数轴上的点) ———————— 虚数 表示坐标平面上的点
复数z=a+bi与有序实数对(a，b)形成 一一对应 ； 有序实数对(a，b)与 直角坐标平面上的点形成一一对应. 因此，复数z=a+bi可以用 坐标平面上的点 表示. 记作：Z:a+bi (不可以写成Z=a+bi ) 4. 复平面(高斯平面)
复数运算公式大全(二)2024
复数运算公式大全（二）引言概述：本文旨在介绍复数运算的一系列公式。
复数是由实部和虚部构成的数，可以用于解决许多实际问题，包括电学、物理学和工程学中的许多应用。
通过掌握这些公式，读者将能够更好地理解和应用复数。
正文：I. 复数的加法和减法1. 复数的加法公式：利用实部和虚部的加法规则，将两个复数相加得到一个新的复数。
- 实部相加、虚部相加2. 复数的减法公式：通过复数的加法公式，将减法转换为加法问题。
- 实部相减、虚部相减II. 复数的乘法和除法1. 复数的乘法公式：使用分配律和复数的乘法规则，将两个复数相乘得到一个新的复数。
- 实部乘积减去虚部乘积2. 复数的除法公式：通过将复数相乘的结果除以除数的模长平方，得到一个新的复数作为商。
- 模长平方的乘法逆元III. 复数的模长和共轭1. 复数的模长公式：计算一个复数的模长，即复数到原点的距离。
- 利用勾股定理计算2. 复数的共轭公式：将复数的虚部取相反数，得到一个新的复数。
- 修改虚部的符号IV. 复数的幂和根1. 复数的幂公式：根据欧拉公式和指数的性质，计算复数的任意幂。
- 欧拉公式的应用2. 复数的根公式：求解复数的根，即找到满足幂次方等于给定复数的特定复数。
- 公式和数值计算的结合V. 特殊复数运算1. 复数的逆运算：求解复数的倒数，满足乘积为1的复数。
- 模长平方的倒数2. 复数的幅角运算：计算复数的幅角，即与实轴的夹角。
- 反三角函数和辅助角的应用3. 复数的极坐标形式与直角坐标形式的转换：将复数在直角坐标系和极坐标系之间进行转换。
- 利用三角函数的关系式总结：本文详细介绍了复数运算的一系列公式，包括加法、减法、乘法、除法、模长、共轭、幂、根、逆运算、幅角和坐标系转换。
这些公式是理解和应用复数的基础。
通过掌握这些公式，读者将能够更好地处理涉及复数的问题，并在电学、物理学和工程学等领域中应用复数。
高三数学复数的运算2
复数的运算（2）教学目的：1． 掌握复数的代数式的乘法、除法运算法则，能熟练的进行复数代数形式 的乘法除法运算.2． 理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律.3． 理解复数的乘方是相同复数的积，理解复数集C 中正整数幂的运算律，掌握i 的乘方运算性质.教学过程一、引入新课前面学习了复数的代数形式的加减法，其运算法则与两个多项式相加减的办法一致.那么两个复数的乘法运算是否可按与两个多项式相乘类似的办法进行呢？二、授课1、复数乘法运算法则：类似多项式乘法，但是必须把结果中的i 2换为-1.即：(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi 2=(ac-bd)+(ad+bc)i2、乘法运算律：(1)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 (2)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3 (3)z m z n =z m+n(4)(z m )n =z mn (5)(z 1z 2)m =z 1m z 2m3、几个特殊结论：(1)i 的周期性：i 4n+1=i i 4n+2=-1 i 4n+3=-i i 4n=1(2)如果i 2321+-=ω，则ω= , =ω2 ,=ω3 , 1+=ω+ω2 ,=ω2 ,=ω+ω1 ,||ω= (3) (1-i)2= ,(1+i)2= ,4.复数的除法运算法则(1)定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者dic bi a ++ (2)法则：di c bi a ++=22)(b a i ad bc bd ac di c di c di c bi a +-++=--⋅++=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++ (3)特殊结论：=i 1 ，=+-i i 11 ，=-+ii 11 (a+bi)÷(c+di)=di c bi a ++=))(())((di c di c di c bi a -+-+=22)()(dc i ad bc bd ac +-++ =22d c bd ac +++i d c ad bc 22+- 例1求(a+bi)(a-bi).例2计算)2)(43)(21(i i i +-+-.例3设w =i 2321+-，求证： （I ）1+02=+w w ； （II ）13=w . 例4 计算 (1+2I)÷(3--4I)例5 已知ii z z +=-22，求z 例6 已知R b a i z ∈+=,,1)(I 若,432-+=z z ω求ω(Ⅱ)若i z z b az z -=+-++1122，求b a ,的值. 三、作业 同步练习 X04022。
复数的基本运算与性质
复数的基本运算与性质复数是由实数与虚数部分组成的数字系统。
在数学中，复数可以进行各种基本的运算，如加法、减法、乘法和除法。
理解复数的基本运算和性质对于深入学习更高级的数学和物理学概念至关重要。
本文将详细讨论复数的基本运算与性质。
一、加法的基本运算与性质复数的加法规则是将实部和虚部分别相加。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，则它们的加法规则为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i加法的性质如下：1. 交换律：复数加法满足交换律，即a+bi + c+di = c+di + a+bi。
2. 结合律：复数加法满足结合律，即(a+bi + c+di) + (e+fi) = a+bi + (c+di + e+fi)。
二、减法的基本运算与性质复数的减法规则是将实部和虚部分别相减。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，则它们的减法规则为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i减法的性质如下：1. 非交换律：复数减法不满足交换律，即a+bi - c+di ≠ c+di - a+bi。
2. 结合律：复数减法满足结合律，即(a+bi - c+di) - (e+fi) = a+bi -(c+di - e+fi)。
三、乘法的基本运算与性质复数的乘法规则是按照分配律进行运算。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，则它们的乘法规则为：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i乘法的性质如下：1. 交换律：复数乘法满足交换律，即(a+bi)(c+di) = (c+di)(a+bi)。
2. 结合律：复数乘法满足结合律，即[(a+bi)(c+di)](e+fi) =(a+bi)[(c+di)(e+fi)]。
四、除法的基本运算与性质复数的除法规则是通过乘以共轭复数再进行分子分母的乘法运算。
复数的四则运算
练习、计算
• 1.
(1).(3 4i)( 2 3i) (2).(7 6i)( 3i) (3).(1 2i)(3 4 i)( 2 i) (4).( 3 2i)( 3 2 i) (5).(1 i)
2
• 2
1 i (1). 1 i 1 (2). i 7i (3). 3 4i ( 1 i )(2 i ) (4). i
复数除法的法则是: ac bd bc ad a bi c di 2 2 2 2 i c di 0. c d c d
由此可见 , 两个复数相除 除数不为 0 , 所得的商 是一个确定的复数 .
在进行复数除法运算时通常先把 a bi c di , a bi 写成 的形式, 再把分子与分母都乘于 分母的 c di 共轭复数 c di , 化简后就可得到上面的 结果.这与 作根式除法时的处理是 很类似的在作根式除法时 . , 分子分母都乘以分母的有理化因式 , 从而使分母 " " " 有理化 " .这里分子分母都乘以分 母的 " 实数化因 式" (共轭复数), 从而使分母"实数化".
例2 计算1 2i3 4i 2 i.
解
例3
1 2i3 4i 2 i 11 2i 2 i 20 15i. 2 计算 : 13 4i3 4i; 21 i .
分析 本例可以用复数乘法法 则计算 也可以用乘法 , 公式计算.
例4 计算 1 2i 3 4i.
解 1 2i 1 2i 3 4i 3 4i 3 8 6i 4i 2 2 3 4
1 2i3 4i 3 4i3 4i
复数的运算(2)最新版
数轴上的点) 表—解示—方坐—程标x—2平=—-面1 —上—的点— 虚数
2. 对 虚数单位i 的规定 ① i2=-1； ② i可以与实数一起进行四则运算，并且加、乘法运算律不变.
3. 根据对虚数单位i的规定把下列运算的结果都化为 a+bi（a、bR）的形式. 3(2+i)= 6+3i ； (3-i)i= 1+3i ；i = 0+i ；-5= -5+0i ； 0= 0+0i ；2-i= 2+(-1)i .
z=a+bi
•Z
用来表示复数的直角坐标平面
其中， x轴 叫实轴，
(a，b)
y轴除去原点 叫虚轴
O
x
注意：虚轴不包含原点
复数的几何意义 复数集C与 复平面上的点集是一一对应的.
5. 口答P1795、6、7 6. 共轭复数 实部相同，虚部相反的两个复数
复数z=a+bi的共轭复数记为 zabi 口答P1798、9
复 数 的 概 念
第一课
基础知识
1. 数的发展 计数的需要 自然数 (正整数和零) —表示—解相方—反程—意x—+义3—=的1—量负数
—测量—解、—方分—程配—3中x—的=5—等分—分数（分数集 有理数集循环小数集）
—解度—方量—程—x2=—2 无理数（实数集 小数集
_循__环_小__数____ 不__循__环__小__数__
4 3
、y=
3 2
3. 全体实数集与 数轴上的点集 形成一一对应； 复数z=a+bi与有序实数对(a，b)形成 一一对应 ；
有序实数对(a，b)与 直角坐标平面上的点形成一一对应.
因此，复数z=a+bi可以用 坐标平面上的点 表示.
复数的四则运算
复数的四则运算1. 复数简介复数是实数的扩展，由实数和虚数构成。
复数的通用形式为a + bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。
2. 复数的表示在数学中，复数可以用不同的形式表示，包括：•直角坐标形式：用(a, b)表示复数a + bi，其中a是实部，b是虚部。
•极坐标形式：用r(cosθ + isinθ)表示复数a + bi，其中r是模长，θ是辐角。
•指数形式：用re^(iθ)表示复数a + bi，其中r 是模长，θ是辐角。
3. 复数的四则运算法则3.1 加法复数的加法遵循以下法则：•实部相加，虚部相加。
例如，对于复数a + bi和c + di的相加结果为(a + c) + (b + d)i。
3.2 减法复数的减法遵循以下法则：•实部相减，虚部相减。
例如，对于复数a + bi和c + di的相减结果为(a - c) + (b - d)i。
3.3 乘法复数的乘法遵循以下法则：•实部相乘，虚部相乘。
例如，对于复数a + bi和c + di的相乘结果为(ac - bd) + (ad + bc)i。
3.4 除法复数的除法遵循以下法则：1.将除数和被除数都乘以除数的共轭复数的倒数。
2.将乘法的结果进行化简，得到商的实部和虚部。
例如，对于复数a + bi和c + di的除法结果为：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i]/ (c^2 + d^2)其中，(c^2 + d^2)表示除数的模长的平方。
4. 复数的应用复数在数学和工程领域具有广泛的应用，包括：•信号处理：复数可以用于描述信号的频率和相位。
•电路分析：复数可以用于描述电路中的电流和电压。
•控制系统：复数可以用于描述控制系统的稳定性和动态响应。
5. 总结复数的四则运算是基本的复数运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。
复数可以用不同的形式表示，包括直角坐标形式、极坐标形式和指数形式。
复数在数学和工程领域有广泛应用，在信号处理、电路分析和控制系统等方面起着重要的作用。
复数的运算和性质
复数的运算和性质复数是数学中一个重要的概念，它由实数和虚数的和构成。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，同时具有一些特殊的性质。
本文将对复数的运算和性质进行探讨。
一、复数的定义复数可以写成a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位（i^2=-1）。
实部a和虚部b分别表示复数的实数部分和虚数部分。
二、复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的运算类似。
两个复数相加时，实部和虚部分别相加；两个复数相减时，实部和虚部分别相减。
例如，设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，则它们的和为z1+z2=(a+c)+(b+d)i，它们的差为z1-z2=(a-c)+(b-d)i。
三、复数的乘法和除法复数的乘法和除法是按照公式进行计算的。
两个复数相乘时，实部和虚部的计算采用分配律。
例如，设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，则它们的乘积为z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i，它们的商为z1/z2=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
四、复数的性质1. 加法和乘法都满足交换律和结合律。
即对于任意两个复数z1和z2，有z1+z2=z2+z1和z1*z2=z2*z1，以及对于任意三个复数z1、z2和z3，有(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)和(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)。
2. 复数的乘法满足分配律。
即对于任意三个复数z1、z2和z3，有z1*(z2+z3)=z1*z2+z1*z3。
3. 复数的加法和乘法都有零元素。
即对于任意复数z，有z+0=0+z=z和z*0=0*z=0。
4. 复数的加法有负元素。
即对于任意复数z，存在一个复数-x，满足z+(-x)=x+(-z)=0。
5. 复数的乘法有倒数。
即对于任意非零复数z，存在一个复数w，满足z*w=w*z=1。
五、应用复数的运算和性质在数学和物理等领域中有广泛的应用。
在电路分析中，复数可用于表示电压和电流的幅值和相位关系；在信号处理中，复数可用于表示频谱和振幅调制等问题。
复数的运算(二)
练习.1.计算 练习.1.计算 ⑴ (7 + i ) ÷ (3 + 4i )
1+ i 2 ) ⑵( 1− i
1 1 − ⑶ 3 − 2i 3 + 2i
1- i -
-1
4 i 13
复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、 注 :复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、 复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分 化简等. 化简等
有两种方法考虑: 有两种方法考虑 法一:直接代入计算 直接代入计算. 法一 直接代入计算 2 法二 :由 x = 1 − 2 i 得 x − 2 x + 5 = 0 由
整体代入妙! 整体代入妙! 代入妙
那么复数的除法又应怎样进行呢? 那么复数的除法又应怎样进行呢? 除法运算是乘法的逆运算, 注意到, 实数的除法运算是乘法的逆运算 注意到, 实数的 除法运算是乘法的逆运算,类 比思考,我们可 定义复数的除法: 比思考,我们可 定义复数的除法:
分母实数化
例 4.计算 (1 + 2i ) ÷ (3 − 4i ) 先写成分式形式 解: (1 + 2i ) ÷ (3 − 4i ) 1 + 2i = 然后分母实数化 然后分母实数化 3 − 4i 即可运算.(一般分子 即可运算 一般分子 (1 + 2i )(3 + 4i ) = 分母同时乘以分母的 (3 − 4i )(3 + 4i ) 2 3 + 6i + 4i + 8i 共轭复数) 共轭复数 = 2 2 3 +4 化简成代数形式 1 2 −5 + 10i = =− + i 就得结果. 就得结果 25 5 5 练习. 练习.计算 1+ i 2 1 1 ) − ⑴ (7 + i ) ÷ (3 + 4i ) ⑵( ⑶ 1− i 3 − 2i 3 + 2i
复数的四则运算(2)
zm zn (z
m
z m n
mn
)
n
z
n
(z1 z 2 )
2
n n z1 z 2
易知:
i 1, i 1, i i, i 1.
1
3
4
一般地，如果
n N ，有
i 4 n 1, i 4 n1 i , i 4 n2 1, i 4 n3 i
由于
c di 0, 所以c d 0,
2 2
可见,两个复数的商仍是一个复数.
分层训练:
必做题:P110 练习 2
3
选做题P111习题7
走进高考
4 3i 1.复数 的实部是（ 1 2i
）
A. 2
B.2
C.3
D.4
2.若复数 (1 bi )(2 i) 是纯虚数（b是实数）， 则b等于（ ）
§3.2复数的四则运算
学习目标:
掌握复数的乘方和除法运算.
自习指导:
1.实数范围内正整数指数幂的运算律在复数 范围内成立吗?如何表达? 2.关于虚数i的正整数指数幂有什么规律吗?你 发现的规律是什么? 3.复数的除法是怎样定义的?求两个复数的商 有几种方法?
自主检测:P110练习1
复数的乘方
复数的乘方运算是指几个相同复数相乘. 对任意复数z, z1 ,z2 以及正整数m,n有
A.2
作业:P111 习题 3
1 B. 2
1 C. 2
D. 2
例4 设
(1)
1 3 i ,求证: 2 2
2
1 0;
(2)
1.
3
思考:如果把例4中的 换 , 那么,欲证的两个等式 成 x 3 1 的三个根吗? 还成立吗?在复数范围内,你能写出方程 复数除法的运算法则： 把满足(c +di）(x +yi) = a +bi (c+di≠0) 的复数 x +yi 叫做复数 a+bi 除以复数c +di的商
复数的运算与性质
复数的运算与性质复数是数学中的一个重要概念，在实际应用中有着广泛的使用。
复数由实部和虚部组成，可以进行加、减、乘、除等运算。
本文将从复数的定义和性质、复数的加减运算、复数的乘法和除法以及复数的应用等几个方面进行详细讨论。
一、复数的定义和性质复数是由一个实数和一个与之相乘的虚数组成的数。
复数可以表示为a + bi的形式，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i² = -1。
实部和虚部都是实数，且复数的表示形式不唯一。
复数具有以下几个重要的性质：1. 复数的加法满足交换律和结合律。
即对于任意两个复数z1 = a1 +b1i和z2 = a2 + b2i，有z1 + z2 = z2 + z1和(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)。
2. 复数的乘法满足交换律和结合律。
即对于任意两个复数z1 = a1 +b1i和z2 = a2 + b2i，有z1 × z2 = z2 × z1和(z1 × z2) × z3 = z1 × (z2 × z3)。
3. 复数的乘法满足分配律。
即对于任意三个复数z1 = a1 + b1i、z2 = a2 + b2i和z3 = a3 + b3i，有z1 × (z2 + z3) = z1 × z2 + z1 × z3。
二、复数的加减运算复数的加法可以通过实部相加，虚部相加来完成。
例如，对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的和可以表示为z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。
复数的减法可以通过实部相减，虚部相减来完成。
例如，对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的差可以表示为z1 - z2 = (a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2) + (b1 - b2)i。
复数的四则运算
a + bi 记做(a + bi ) ÷ (c + di )或 . c + di
(a + bi) ÷ (c + di) = a + bi ac + bd bc − ad = 2 + 2 i 2 2 c + di c + d c +d
例ห้องสมุดไป่ตู้、计算
1− i (1) 1+ i
13 + 9i (2) 2 (2 + i)
是____________. ____________. 解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆. 答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆
【练习】 练习】 1、在复数范围内解方程 、 (1) x2+4=0 (2) z2=2i
2、在复数范围内分解因式 、 (1) x2 + 4 (2) x4 - y4
Cz2-z1 B
z1+z2
2 、 | z 1+ z 2| = | z 1- z 2| 平行四边形OABC OABC是 平行四边形OABC是 矩形
o
z1 A
3、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是 平行四边形OABC是 正方形 OABC
三、复数的乘法
o
x
A,说明下列各式所表示的几何意义 例1:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. 1:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. 已知复数
(1)|z－ (1)|z－(1+2i)| (2)|z+(1+2i)| (3)|z－ (3)|z－1| (4)|z+2i|
复数与复数的运算
复数与复数的运算在数学中，复数是由实部和虚部组成的数。
实部是一个实数，虚部则包含一个实数与单位虚数i的乘积。
复数可以进行加法、减法、乘法和除法等运算，下面将详细介绍复数与复数的各种运算。
一、复数加法与减法复数的加法和减法可以通过分别相加或相减实部和虚部来实现。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数。
1. 加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
结果为(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
例子：计算(2+3i)+(4+5i)的结果。
解答：将实部2和4相加，得到6；将虚部3i和5i相加，得到8i。
因此，(2+3i)+(4+5i)=6+8i。
2. 减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
结果为(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
例子：计算(5+6i)-(2+3i)的结果。
解答：将实部5和2相减，得到3；将虚部6i和3i相减，得到3i。
因此，(5+6i)-(2+3i)=3+3i。
二、复数乘法复数的乘法可以通过使用分配律和乘法公式来实现。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数。
乘法法则为：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
例子：计算(2+3i)×(4+5i)的结果。
解答：将实部2和4相乘，得到8；将虚部3i和5i相乘，得到-15。
同时，实部2和5i相乘，得到10i；将虚部3i和4相乘，得到12i。
因此，(2+3i)×(4+5i)=8-15+10i+12i= -7+22i。
三、复数除法复数的除法可以通过乘以共轭复数并进行简化来实现。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数且c+di≠0。
除法公式为：(a+bi)÷(c+di)=((a+bi)×(c-di))/((c+di)×(c-di))。
例子：计算(5+6i)÷(2+3i)的结果。
复数的指数形式运算法则
复数的指数形式运算法则
复数的指数形式运算法则是学习复数运算的重要知识点之一。
在学习复数时，不仅需要掌握复数的基本概念和表示形式，还需要了解复数的四则运算方法。
其中，复数的指数形式运算法则是比较基础和重要的内容，下面将对其进行详细介绍。
一、复数的指数形式表示法
复数的指数形式也称为极形式，通常表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为其幅角。
二、复数的乘法运算法则
1. 两个复数相乘，其模等于两个复数的模的积，幅角等于两个复数的幅角之和。
2. 复数相乘时，需注意幂次相加，即
(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)
三、复数的除法运算法则
1. 单项除法的规则：z1/z2=r1/r2(cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2))
2. 复数除以自身的规则：z1/z1=1
四、复数的加减运算法则
1. 两个复数加减法需要将其实部和虚部分别相加减。
2. 复数的和等于实部的和加上虚部的和，差为实部之差加上虚部之差。
五、总结
1. 复数的指数形式运算包括乘法、除法和加减法。
2. 复数乘法运算法则为两个复数的模相乘，幅角相加。
3. 复数除法运算法则分为单项除法和复数除以自身。
4. 复数加减法运算法则需要将实部和虚部分别相加减。
5. 熟练掌握复数的指数形式运算法则对于学习高等数学和物理等学科
具有重要的帮助作用。
复数的几何表示与运算
复数的几何表示与运算复数是数学中一个重要的概念，可以用于描述实数无法解决的问题。
在复数的运算中，其几何表示方法既直观又方便，能够帮助我们更好地理解和应用复数。
本文将介绍复数的几何表示及相关运算方法。
一、复数的几何表示复数可用平面上的点表示，这个点的横坐标代表复数的实部（实数部分），纵坐标代表复数的虚部（虚数部分）。
这样的表示方式，将复数看作是一个有序对，使得计算和解析变得简单。
例如，复数z=a+bi可以表示为平面上的一个点P(x,y)，其中x=a，y=b。
这个点就是复数在平面上的几何表示。
二、复数的运算1. 加法：两个复数的和等于其实部相加得到的实部加上虚部相加得到的虚部。
即z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i。
2. 减法：两个复数的差等于其实部相减得到的实部减去虚部相减得到的虚部。
即z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i。
3. 乘法：两个复数相乘时，实部分别相乘减去虚部分别相乘，并将两个结果相加得到新的实部；实部与虚部相乘得到的结果加上虚部与实部相乘得到的结果，并将两个结果相加得到新的虚部。
即z1*z2=(a1*a2-b1*b2)+(a1*b2+a2*b1)i。
4. 除法：两个复数相除时，首先将除数分子和分母同时乘以分母的共轭复数，然后进行乘法运算，最后将结果的实部除以共轭复数的模的平方得到新的实部，虚部除以共轭复数的模的平方得到新的虚部。
即(z1/z2)=((a1*a2+b1*b2)/(a2^2+b2^2))+((a2*b1-a1*b2)/(a2^2+b2^2))i。
三、复数的模和共轭1. 复数的模：复数z=a+bi的模等于实部的平方加上虚部的平方，再开平方。
即|z|=sqrt(a^2+b^2)。
2. 复数的共轭：复数z=a+bi的共轭等于实部不变，虚部取负。
即z的共轭为z*=a-bi。
复数的模和共轭可以帮助我们进行复数的运算、求解与分析。
四、复数的几何运算1. 平移：将复数z的坐标平移（a,b）个单位，即z'=(x+a,y+b)。
复数运算规则
复数运算规则复数的乘法法则规定复数的乘法按照以下的法则进⾏：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是⼀个复数.复数的除法法则规定复数的乘法按照以下的法则进⾏：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是⼀个复数.复数除法定义：满⾜(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di 的商运算⽅法：可以把除法换算成乘法做,在分⼦分母同时乘上分母的共轭. 所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数.除法运算规则：①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx －dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知cx-dy=a dx+cy=b 解这个⽅程组，得x=(ac+bd)/(c^2+d^2) y=(bc-ad)/(c^2+d^2) 于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i ②利⽤(c+di)(c－di)=c^2+d^2.于是将的分母有理化得：原式= c^2-cdi+cdi-d^2×i^2 =c^2+d^2 ∴(a+bi)÷(c+di)= (ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i 点评：①是常规⽅法，②是利⽤初中我们学习的化简⽆理分式时，都是采⽤的分母有理化思想⽅法，⽽复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，⽽(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种⽅法叫做分母实数化法复数的除法法则。
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复数的运算（二）
【知识梳理】
1. 几个特殊结论：规定i 0= (1)i 的周期性：
i 4n +1= i 4n +2= i 4n +3= i 4n =
【典型例题】 例1.计算
(1) i+i 2+i 3+……i 2006
(2) 2000)1(i +
(3) 8
11⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+i i
例2.
若1z i
=-,那么10050
1z z ++的值是
【课堂练习】
1、i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3
＝（ ）
A.－1
B.1
C.i -
D.i 2、i 是虚数单位,4
1i ()1-i
+等于 ( ) A ．i
B ．-i
C ．1
D ．-1
3.复数z ＝－3+i
2+i
的共轭复数是（ ）（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i
4.复数
=+-i i 22（ ）（A ）i 5453- （B ）i 5453+ （C ）i 5
4
1- （D ）i 531+ 5.下面是关于复数2
1z i
=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）
1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-
()A 23,p p ()B 12,p p （C ）,p p 24 ()D ,p p 34
6.i
= （ ）
A.
14
B.
14+
C.
12+
D.
12- 7.在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
8.已知
1i
Z
＋=2+i,则复数z=（B ）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
9.已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则
5i
z
=（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ．2i -+
10.若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 。
虚部为
11.已知2
()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．
12.设复数z 满足i i z 46)32(+=-（其中i 为虚数单位），则z 的模为 .。