一次函数专题---函数性质及图像

学科教师辅导讲义
学员学校：年级：初二课时数：2 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
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课题函数专题----一次函数
授课时间：备课时间：
教学目标
1．理解一次函数和正比例函数的概念及关系，掌握其一般形式。

2．会用两个条件求出一次函数的表达式，掌握待定系数法。

3．能通过一次函数的图象及性质解决相关问题，进一步体会数学结合的思想。

重点及难点
重点：一次函数、正比例函数的定义及其图象的性质；确定一次函数表达式的方法。

难点：一次函数表达式图象及其性质的综合运用。

考点及考试要求一次函数、正比例函数的定义及其图象的性质一次函数表达式图象及其性质的综合运用。

知识精要
第一讲 一次函数
1．在某个变化过程中，有两个变量y x 和，如果给定一个x 值，那么我们称y 是x 的函数.
2．若两个变量y x ,间的关系式可以表示成 .（b k ,为常数，0≠k ）的形式，那么我们称x y 是
的一次函数，特别地，当b=0,称x y 是的 ,
◆图像
【典型例题】
1、已知函数35+-=x y ，当x ＝_________时，函数值为0；
2、当x= 时，P （1+x ，1-2x ）在x 轴上。

3、在同一坐标系内画出下列函数的图像： ①3+-=x y ②7+-=x y
步骤一：列表 X 0 Y
X 0 Y
画图像三步骤：列表、描点、连线
①
②
一次函数
k
b
步骤二：描点 步骤三：连线
【随堂练习】
1、在同一坐标系内画出下列函数的图像：
①3+=x y ②7+=x y
步骤一：列表 X 0 Y 0
步骤二：描点
步骤三：连线
X 0 Y
备用图
备用图
①
②
小结:
◆图像与X 、Y 轴的交点坐标
【典型例题】 1、 直线1
22
y x =
+与X 轴和Y 轴的交点坐标分别为_________，_________；若点(m,2m+7)在这个函数的图象上,则m = ___ _
2、（提高）已知函数23y x =-+，找出到y 轴距离等于1.5的点的坐标为___________
3、直线2
23
y x =
-，分别交x ，y 轴于A,B 两点，O 是原点，求AOB ∆的面积。

（请把图像画在上面的 备用图）
【随堂练习】
1、直线43y x =-过点（_______,0），（0，_______）；直线1
23
y x =-+过点（______,0），（0，______） 2、分别求出下列直线与x,y 轴的交点坐标。

（1）2y x =-+
（2）32y x =-
（3）33-=x y
3、直线y=2x －2与x,y 轴围成的三角形的面积是多少?
1、与X 轴交点坐标为（ ，0）
2、与Y 轴交点坐标为（0， ）
◆待定系数法求解析式
【典型例题】
1、一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象经过点（3，3）和（1，-1）.求它的函数关系式，并画出图象.
2、根据条件写出相应的函数关系式
（1）直线5y kx =+经过点（-2，-1） （2）一次函数中,当1x =时，3;y =当1x =-时，7y =
小结:
【随堂练习】
1、已知一次函数y kx b =+的图像经过点(-1,-1)和（1，-5），求当x =5时，函数y 的值？
2、（提高）写出两个一次函数，使它们的图像都经过点(-2,3)。

1、设)0(≠+=k b kx y ；
2、把点坐标分别代入
3、联立求解
【综合提升】
1、（提高）已知一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0），当x ＝1时，y ＝3；当x ＝0时，y ＝2．则函数解析式为___________，函数不经过第_____象限，
2、（提高）一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>的解集是（ ）
A ．2x >-
B ．0x >
C ．2x <-
D ．0x <
3、（提高）直线y=－2x+b 与x 轴交于(－1,0),则不等式－2x+b<0的解集是____________
4、画出直线23y x =-+，借助图像找出：
（1）直线上横坐标是2的点 （2）直线上纵坐标是-3的点 （3）直线上到Y 轴距离等于2的点
5、已知一次函数的图象经过点)2,1()1,2(--和。

x
y
y kx b
=+
o 2
2
-
（1）求此一次函数的解析式（2）求此函数与x 轴、y 轴的交点坐标
（3）作出此一次函数的图象（4）求出此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积（提高）
第二讲 一次函数的性质
知识精要
◆性质1: k>0,b>0
【典型例题】
1、已知一次函数y=kx+b 的图象过第一、二、三象限,则k,b 的符号是( ) A 、k>0,b>0
B 、k>0,b<0
C 、k<0,b>0
D 、k<0,b<0 2、若函数y=mx+4m －3的图象过第一、二、三象限，则m 的取值范围为________。

3、已知一次函数y=kx+k,若y 随x 的增大而增大,则该函数的图象不经过第_____象限。

4、对于一次函数y=3
5x+4,函数值y 随x 的增大而__________。

【随堂练习】
1、如果直线y=ax+b 第一、二、三象限，那么ab 0(填“﹥”，“﹤”，“﹦”)
K ≠0 K ＞0
K ＜0
1、k>0，决定y 随x 的增大而增大且图像必过一、三象限
2、b>0，决定直线与y 轴的交点在y 正半轴
2、已知一条直线12+=x y ，那么直线不经过第_____象限。

3、若函数1)2(-+-=b x a y 的图象过第一、二、三象限，则a ，b 的取值范围为________。

◆性质2: k>0,b<0
【典型例题】
1、如果直线y=kx+b 经过一、三、四象限，那么有（ ）
A ．k ＞0，b ＞0
B ．k ＞0，b ＜0
C ．k < 0，b ＜0
D ．k ＜0，b ＞0 2、对于一次函数y=3
5
x －4,函数值y 随x 的增大而__________。

3、已知一次函数y=kx-k,若y 随x 的增大而增大,则该函数的图象不经过第_____象限。

【随堂练习】
1、已知一次函数32-=x y 的大致图像为 ( )
◆性质3: k<0,b>0
1、k>0，决定y 随x 的增大而增大且图像必过一、三象限
2、b<0，决定直线与y 轴的交点在y
1、k<0，决定y 随x 的增大而减小且图像必过二、四象限
2、b>0，决定直线与y 轴的交点在y 正半轴
o
y
x
o y
x y
x
o
o
y x
【典型例题】
1、如果直线y=kx+b 经过一、二、四象限，那么有（ ）
A ．k ＞0，b ＞0
B ．k ＞0，b ＜0
C ．k < 0，b ＜0
D ．k ＜0，b ＞0 2、已知A(a,b),B(c,d),C(e,f)是函数y=－x+3的图象上的点,且a<c<e,则b,d,f 的大_____________。

3、已知一次函数y=kx －k,若y 随x 的增大而减小,则该函数的图象不经过第_____象限。

【随堂练习】
1、在平面直角坐标系中，函数y=－x+3的图象经过( ) A ．一、二、三象限 B ．二、三、四象限
C ．一、三、四象限
D ．一、二、四象限
2、一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ） A ．0x >
B ．0x <
C ．2x >
D ．2x <
◆性质4: k<0,b<0
【典型例题】
1、一次函数y=－5x －3的图象不经过第______象限。

2、已知一次函数y=kx+k,若y 随x 的增大而减小,则该函数的图象不经过第__ ___象限。

3、一次函数5)62(--=m y 中，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是___ _______。

【随堂练习】
1、已知一次函数y=-kx-k,若y 随x 的增大而减小,则该函数的图象不经过第_____象限。

2、已知关于x 的函数y=(m －2)x ＋n 的图象经过第一、二、四象限，则 m 、n 的取值围 。

1、k<0，决定y 随x 的增大而减小且图像必过二、四象限
2、b<0，决定直线与y 轴的交点在y 负半轴 2
3 第2题图
y x
O
◆两直线位置关系: ①平行②相交③重合
【典型例题】
1、分别在同一直角坐标系内画出下列直线，并指出每一小题中两条直线的位置关系，并求出它们的交点标。

（1）2y x =-+ ，y=－x －2
（2）32y x =-，2
23
y x =- 步骤一：列表
步骤一：列表
步骤二：描点
步骤三：连线
步骤二：描点
步骤三：连线
2、直线y=－x －2与y=x+3的交点在( )
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
3、若直线111b x k y +=与222b x k y +=的图象交于y 轴上，则（ ）（提高）
1、平行（k 相等）
2、相交（k 不相等）：求交点必联立
A 、21k k =
B 、21b b =
C 、
2
1
21b b k k = D 、2211b k b k +=+ 4、 直线b kx y +=与15+-=x y 平行，且经过（2，1），则k= ,b= .
【随堂练习】
1、已知直线52-=x y 与4+-=x y ，求它们的交点坐标。

2、已知一直线平行于x y 3
2
-=，根据下列条件求解析式： （1）经过点（3，5）；
（2）与y 轴交点到原点的距离为2。

（提高）
【综合提升】
1、已知函数y ＝4x －3．当x 取何值时，函数的图象在第四象限？（提高）
2、不论b 取什么值，直线y=3x+b 必经过（ ）（提高）
A ．第一、二象限
B ．第一、三象限
C ．第二、三象限
D ．第二、四象限
3、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可）（1）y 随着x 的增大而减小。

（2）图
象经过点（1，-3）（提高）
4、直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式
21k x k x b >+的解集为 ．
（提高）
5、已知直线l 1：49--=x y 交y 轴于点C ，直线l 2：b kx y +=交l 1于点A （-1，m ）且经过点B （3，-1）；（1）求m 的值；（2）求直线l 2和BC 的解析式；（3）求S △ABC 。

6、一次函数()
()m x m y -+-=142与()m x m y 21+-=的图象与y 轴分别交于点P 、Q ，若点P 、
点Q 关于x 轴对称，求m 的值。

课后练习
一、填空题
1．当=m 时，m x y m
2+=是一次函数.
O x
y
l 1
l 2
-13
(第12题图）
2．函数43
1
-=
x y 的图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 3．若点)1,4
1
(在正比例函数的图象上，则该正比例函数的表达式是 4．若直线15--=+=x y kx y 与平行，则=k
5．已知矩形的周长为15cm ，长为ycm ，宽为xcm ，则x y 与的函数关系式为 ． 6．已知一次函数a a x a y (2)32(++-=为常数）的图象与y 轴的交点在x 轴上方，且x y 随的增 大而减小，则a 的取值范围是 7．函数44-=x y 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是
8．若直线l 经过点（-1，6）和（4，1），则l 的代数表达式为
二、选择题
9．下列函数中，不是一次函数的是（ ）． A 、x y 3-=
B 、12-=x y
C 、1
1
+=
x y D 、6
x y =
10．下列各点在一次函数73
1
-=x y 的图象上的是（ ）． A 、（6，-5）
B 、（2，-7）
C 、（0，7）
D 、（-7，0）
11．下列函数中，x y 随的增大而减小的是（ ）. A 、13-=x y
B 、x y 31-=
C 、)2(x y --=
D 、x y 2
1
=
12．一次函数2+=kx y 的图象经过点（1，1），那么这个一次函数（ ）． A 、x y 随的增大而增大
B 、x y 随的增大而减小
C 、图象经过原点
D 、图象与直线x y =平行
13．画出一次函数y ＝3x ＋4的图象，回答下列问题：
(1) 图象通过哪几个象限? (2) 函数值的变化情况如何?
(3) 该图象与两个坐标轴所围成的三角形面积有多大?
【励志故事】
远山
苏格拉底和拉克苏相约，到很远很远的地方去游览一座大山。

据说，那里风景如画，人们到了那里，会产生一种飘飘欲仙的感觉。

许多年以后，两人相遇了。

他们都发现。

那座山太遥远太遥远。

他们就是走一辈子，也不可能到达那个令人神往的地方。

拉克苏颓丧地说：“我用尽精力奔跑过来，结果什么都不能看到，真太叫人伤心了。

”
苏格拉底掸了掸长袍上的灰尘说：“这一路有许许多多美妙的风景，难道你都没有注意到？”
拉克苏一脸的尴尬神色：“我只顾朝着遥远的目标奔跑，哪有心思欣赏沿途的风景啊！”
“那就太遗憾了。

”苏格拉底说，“当我们追求一个遥远的目标时，切莫忘记，旅途处处有美景！”。