点线面关系知识总结和练习题(有答案)

//a α//a b

点线面位置关系总复习

知识梳理

一、直线与平面平行 1.判定方法

（1）定义法：直线与平面无公共点。 （2）判定定理：

（3）其他方法：

//a αβ

β

⊂

2.性质定理：//a a b

α

βαβ⊂⋂= 二、平面与平面平行 1.判定方法

（1）定义法：两平面无公共点。

（2）判定定理：////a b a b a b P

β

β

αα⊂⊂⋂= //αβ

（3）其他方法：

a a αβ

⊥⊥ //αβ;

////a γ

βγ

//αβ

2.性质定理：//a b

αβ

γαγβ⋂=⋂= 三、直线与平面垂直

（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。 （2）判定方法 ① 用定义.

② 判定定理:a b

a c

b c A b c αα

⊥⊥⋂=⊂⊂ a α⊥

③ 推论:

//a a b

α⊥ b α⊥

//a b a b αα⊄⊂//a α//a b

//a b

（3）性质 ①

a b αα

⊥⊂ a b ⊥

②

a b αα

⊥⊥ 四、平面与平面垂直

（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。 （2）判定定理a a αβ

⊂⊥ αβ⊥

（3）性质

①性质定理l

a a l

αβαβα

⊥⋂=⊂⊥ αβ⊥

② l P P A A αβαβα

β⊥⋂=∈⊥垂足为 A l ∈

④ l P PA αβαβαβ

⊥⋂=∈⊥ PA α⊂

● “转化思想”

面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 ● 求二面角

1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.

2.在二面角

的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角

的平面角

例1．如图，在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC 于D ，交SC 于E ，又SA=AB ，SB=BC ，求以BD 为棱，以BDE 和BDC 为面的二面角的度数。 ● 求二面角

分析:找二面角的平面角,有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角. 解：

在RtΔSAC中，SA=1，SC=2，

∴∠ECA=30︒，

在RtΔDEC中，∠DEC=90︒，

∴∠EDC=60︒，

∴所求的二面角为60︒。

●求线面夹角

定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）

方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。

例1：在棱长都为1的正三棱锥S－ABC中，侧棱SA与底面ABC所成的角是________．

例2：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

①BC1与平面AB1所成的角的大小是___________；

②BD1与平面AB1所成的角的大小是___________；

③CC1与平面BC1D所成的角的大小是___________；

⑤BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是___________；

⑥BD1与平面BC1D所成的角的大小是___________；

例3：已知空间内一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两夹角为60°，试求OA与平面BOC所成的角的大小．

●求线线距离

说明：求异面直线距离的方法有：

(1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求．此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键．

(2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a、b距离，先作出过a且平行于b的平面α，则b与α距离就是a、b距离．（线面转化法）．

也可以转化为过a平行b的平面和过b平行于a的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离．（面面转化法）．

(3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求．

(4)（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解．

两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求．

例：在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和C B 1之间的距离。 求线线距离 解法1：（直接法）如图：

取BC 的中点P ，连结PD 、1PB

分别交AC 、1BC 于M 、N 两点， 易证：MN DB //1，AC DB ⊥1，11BC DB ⊥．

∴MN 为异面直线AC 与1BC 的公垂线段，易证：a

DB MN 33311==．

小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解．但通常寻找公垂线段时，难度较大．

解法2：（转化法）如图：

∵//AC 平面B C A 11，

∴AC 与1BC 的距离等于AC 与平面B C A 11的距离，

在1OBO

Rt ∆中，作斜边上的高OE ，则OE 长为所求距离， ∵

a

OB 22=

，a OO =1，

∴a

B O 231=，∴a B O OB OO OE 3311=⋅=．

小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离．

解法3：（转化法）如图：

∵平面1ACD

//平面B C A 11， ∴AC 与1BC 的距离等于平面1ACD

与平面B C A 11的距离． ∵⊥1DB 平面1ACD

，且被平面1ACD 和平面B C A 11三等分；

∴所求距离为a

D B 333

11=． 小结：这种解法是线线距离转化为面面距离．

解法4：（构造函数法）如图：

任取点1BC Q ∈，作BC QR ⊥于R 点，作AC PK ⊥于K 点，设x RC =，

则x a QR BR -==，KR CK =，且222CR CK KR =+