第19讲 采样定理及应用

F n
s

理想低通滤波器的频率特性为
Ts H ( ) 0
C C
所以输出信号频谱为
F Fs H
若选定
s
2
c m
，则有
h (t ) Ts
理想低通滤波器的冲激响应为
C Sa (C t )
Fs ( )
Fs ( ) E Ts

1 F ( ) * p ( ) 2
n s F ( n s ) 2
n
Sa
3 抽样定理
如何从抽样信号中恢复原连续信号、在什么条件下才可以无失真地由抽
样信号恢复原连续信号，著名的抽样定理对此作了明确的回答。 抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十分 重 要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、数字信 号与系统之间架起了一座桥梁。 该定理从理论上回答了为什么可以用数字信号处理手段解决连续时间信 号与系统问题。
其频谱可以利用频域卷积定理求得 1 1 Fs ( j ) F ( j ) P( j ) F ( j ) s ( ns ) 2 2 n
s 2
1 F ( j ns ) Ts n

n
F ( j n )
抽样信号的频谱及频谱混叠现象
f (t )
F ( )
（a）连续信号及其频谱
0
f s (t )
t
(a)
m
0 m

Fs ( )
（b）高抽样频率时的
0
f s (t )
t
(b)
抽样信号及其频谱
s
m
0 m
s

Fs ( )
0
t
(c)
2 s s m
0 m s 2s
本讲主要内容

理想采样与实际采样的概念 采样信号的频谱 采样定理 采样信号的恢复
时域采样化与频域离散化的对应关系
频域采样的概念
带限信号及其频谱
带限信号：其频谱宽度有限的信号
即 F ( j ) 满足
F ( j) 0
>m
工程实际中对于脉冲信号，若忽略其占有频带之外的频率分量， 则脉冲信号也视为限带信号。本讲仅讨论带限信号的采样问题。

（c）低抽样频率时 的抽样信号及其频谱
抽样信号的频谱及频谱混叠现象

观察抽样信号 的频谱随抽样 频率的变化
不满足抽样定理时产生频率混叠现象
f (t )
0
1 Ts
Fs ( )
Ts
t
s m
1 Ts
0
m s F 1 ( )
s F 1 ( )
f (t )
0
s
0
1 Ts

Ts
t
s 2m
s
0
s
3.抽样定理
时域抽样定理：时域抽样定理表明，一个频谱受限的信号 f (t ) ，
如果频谱只占据 m , m 的范围，则信号 f (t ) 可以用等间隔的抽
样值 f n Ts 唯一地表示，只要抽样间隔 Ts
不大于 2 f m
1
，
其中 f m 为信号的最高频率，或者说，抽样频率 f s 满足条件 f s 2 f m 通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率
n
( n
1 Ts

s
)
p( ) 2
P n
n
P ( n
n

s
)
P n
E n s Sa Ts 2
Fs ( )
Fs ( )
1 F ( ) * p ( ) 2
1 F ( n s ) Ts n
Ts
t
FT
s s
0
E s
s s

t
0

2

0


实际抽样信号的傅立叶变换
1 P n Ts

Ts 2 T s 2
p(t )e jn s t dt
1 F ( ) * p ( ) 2

E n s Sa Ts 2
Fs ( )
实际抽样
第3章 信号与系统的频域分析
•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级 数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论 其特点。 •通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变 换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。 •傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变 换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。 •从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统一 用傅里叶变换作为分析工具。
0
p (t )
f s (t )
0
t
1.理想抽样(冲激抽样)及其频谱
f (t )
(1)
T (t )
f s (t )
0
(a)
t
Ts 0
(b)
Ts
t
源自文库 Ts
0
Ts
(c)
t
F ( )
1
0 m m (d)

F [ T (t )]
*
s
(s )

1 Ts
Fs ( )

0
(e)
s

s

时域理想抽样的傅立叶变换
f (t )
FT
0
1
相 卷
p( j ) s
F ( j )
时 域 离 散 化
相 P(t ) 乘 (1)
0
T (t )
n
(t nTs )

t
FT
0
( s )
s
0
n
( n

)
s
f s (t )
Ts
t
FT
n
( n
s
)
2.实际采样（脉冲抽样）及其频谱
f (t ) p (t )
f s (t )
0
(a)
t

Ts 0 Ts (b)
t
Ts Ts 0 (c)
t
F ( )
1
0 m m (d)

P ( ) s

Ts
Fs ( )
*
2
s 0 s
(e)


s
4.采样信号的时域恢复
采用冲激抽样，则
f s (t )
n


f (t ) (t nTs )
n
f (nT ) (t nT )
s s

根据傅里叶变换的时域卷积定理，得连续低通滤波器的输出信号为
f (t ) f s (t ) h(t ) Ts
c
s
n


g (t nTs )
在这种情况下，抽样信号 f s (t )的脉冲顶部不是平的，这种抽样称为自然
抽样或实际抽样。 利用频域卷积定理求得抽样信号的频谱为 1 1 Fs ( j ) F ( j ) P( j ) F ( j) 2 Pn ( ns ) 2 2 n

n
P F [ j( n )] T Sa(
n s s n



ns )F [ j ( ns )] 2
实际抽样信号的傅立叶变换
f (t )
0
FT
1
0
F ( )
相 乘
t
P(t )

FT
2
P ( ) E s

2

卷 积

2
0
f s (t )
2 s s
0
(f)
s
2 s
理想采样（冲激抽样）信号的频谱是原信号频谱以 1 幅度变成原来的 T s
s 为周期等幅地重复。
1.理想抽样(冲激抽样)及其频谱
若抽样脉冲是冲激序列
T (t )
n
(t nT )
s

其傅里叶变换
P( j )
2 Ts
n
( ns ) s

n
( n )
s
s s

在这种情况下，抽样信号是由一系列冲激信号构成
f s (t ) f (t ) T (t )
n

f (t ) (t nTs )
n
f (nT ) (t nT )
n
f (nT ) Sa [
s

c
(t nTs )]
上式表明，连续信号 f (t )可以展成 Sa 函数的无穷级数，级数的系数等于抽样值f (nTs ) 即在抽样信号 f s (t ) 的每个样点处，画出一个峰值为 f (nTs ) 的 Sa函数波形，其合成 的信号就是原连续信号 f (t ) 。 只要满足抽样定理 s 2m 的条件，就可以由原连续信号各抽样值，唯一地确定原信
1 1
f s 2 f m 称为奈奎斯特频
率，把最大允许的抽样间隔 Ts f 2 f 称为奈奎斯特间隔。 s m
4.采样信号的恢复
连续时间信号的重建就是
如何从抽样信号 f s (t ) 恢复 原连续信号 f (t ) 。
Ts
f s (t )
Fs ( )
0
t
从图可见，在满足抽样 定理的条件下，为了从频谱 中无失真地选出，可用一个 截止频率为
E Fs ( ) Ts
n s Sa F ( n s ) 2 n
理想抽样与实际抽样的对比分析
p (t ) T (t )
n
(t nTs )

p (t )
n
G (t n Ts )

p( ) s
本章主要内容


3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
本章主要内容


3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
周期信号的频谱 系统的频域分析 无失真传输系统与理想低通滤波器 取样定理及其应用 频域分析用于通信系统
s
Fs ( j )
频 域 周 期 化
1 Ts
0
t
s
0
s
时域理想抽样的傅立叶变换
f (t )
F ( j )
FT
FT
相乘
1 Fs ( j) Ts
n
F[ j( n )]
s

1 2
相卷积

T (t )
n
(t nTs )

FT
p( j ) s
s
2 c m
C
0
h(t ) Ts C Sa ( C t )
(a)
s
m
0 m
s

Ts
H ( )
t
(b)
c
0
c
F ( )

f (t )
的理想低通滤波器。
0
t
(c)
m
0 m

4.采样信号的频域恢复
因为
Fs 1 Ts
n
第3章 信号与系统的频域分析
•本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的 概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频谱为达到特 定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系 统对任意信号的响应。
•通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。
•本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常 重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信 号的调制与解调等等。
取样过程示意图
从连续信号 f (t ) 中“抽取”一系列离散样本得到采样信号，
可直观想象为：让连续信号通过一个开关K，开关K每隔时间Ts
闭合长为 的一段时间
。
信号的抽样过程
用抽样脉冲序列 p(t ) 表示开关的数学模型 f s (t ) f (t ) p(t )
0
f (t )
t
所谓抽样(取样或采样)，就是利用抽样脉冲序 列 p(t )从连续信号 f (t ) 中抽取一系列的离散 样值，通过抽样过程得到的离散样值信号称为 抽样信号，以 f s (t )表示。 抽样过程还可以看成是抽样脉冲序列 p(t ) 被连续信号 f (t ) 调幅的过程。
o m
(f)
s

在周期矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复的，但在重复过 程中，幅度不再是等幅的，而是随着

Ts Sa (

2
)
变化的。
2.实际采样（脉冲抽样）及其频谱
抽样脉冲是周期矩形脉冲 其傅里叶变换
p (t )
n
P( j ) 2
n
P ( n )
第 19 讲
取样定理及其应用
取样的目的与意义


工程中多数物理量都是连续变化的，取样就是 每隔一定时间对连续信号进行采样（抽样）而 获得的一些样本值。 通过讨论对连续信号进行采样所引起的信号在 频域的变化，从而得出著名的采样定理，它在 理论和实际中都有重要意义。
信号抽样的几个问题
（1）采样信号仅是原连续信号的一些样本，采样信号能否保 留了原信号的全部信息？ （2）在什么条件下可以由采样信号恢复原连续信号。 （3）利用傅里叶变换这个工具，从频域来回答这些问题。 （4）因采样序列不同，得到的采样信号 f s (t ) 也不同。 著名的抽样定理对此作了明确的回答。 下面讨论冲激采样和脉冲采样两种情况下采样信号的频谱。