第19讲 采样定理及应用
抽样定理及应用
抽样定理及应用
一．课程设计的目的
1. 掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法，增加对仿真软件MATLAB 的感性认识，学会该软件的操作和使用方法。
2. 掌握利用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法，加深理解采样与重构的概念。
3 . 初步掌握线性系统的设计方法，培养独立工作能力。
4. 学习MATLAB中信号表示的基本方法及绘图函数的调用，实现对常用连续时间信号的可视化表示，加深对各种电信号的理解。
5. 加深理解采样对信号的时域和频域特性的影响；验证信号与系统的基本概念、基本理论，掌握信号与系统的分析方法。
6. 加深对采样定理的理解和掌握，以及对信号恢复的必要性；掌握对连续信号在时域的采样与重构的方法。
二．课程设计的内容及要求
1.课程设计的内容
离散正弦序列的MATLAB表示与连续信号类似，只不过是用stem函数而不是用plot函数来画出序列波形。命令窗口没打开时，从“Desktop”菜单中选择“Command Window”选项可以打开它。“>>”符号是输入函数的提示符，在提示符后面输入数据和运行函数。
退出MATLAB时，工作空间中的内容随之清除。可以将当前工作中的部分或全部变量保存在一个MAT文件中，它是一种二进制文件，扩展名为.mat。然后可在以后使用它时载入它。
用MATLAB的当前目录浏览器搜索、查看、打开、查找和改变MATLAB路径和文件。在MATLAB桌面上，从“Desktop”菜单中选择“Current Directory”选项，或者在命令窗口键入“filebrowser”，打开当前目录浏览器。使用当前目录浏览器可以完成下面的主要任务：查看和改变路径；创建、重命名、复制和删除路径和文件；打开、运行和查看文件的内容；
简述采样过程和采样定理
简述采样过程和采样定理
采样过程是指将连续信号转化为离散信号的过程。在信号采样过程中，连续信号在时间轴上被等间隔地截断，得到一系列的采样值，这些采样值通常以离散的形式存储或传输。
采样定理是采样过程中的一个重要理论基础。采样定理表明，如果一个信号的最高频率不超过采样频率的一半，那么通过在这个采样频率下进行采样，就可以完整地恢复原始信号。
采样定理的一个常见表述是尼奎斯特-香农采样定理。根据尼奎斯特-香农采样定理，为了保证信号能够完整地恢复，采样频率必须大于信号的最高频率的两倍。也就是说，如果一个信号的最高频率是fmax，那么采样频率必须大于2*fmax。
采样定理的应用十分广泛。在数字音频、图像处理、通信系统等领域中，采样定理被广泛使用来保证信号的高质量采样和重建。它为我们提供了一个有效的基础，使得我们能够在数字领域直接处理连续信号，并且不会丢失重要的信息。
奈奎斯特采样定理
奈奎斯特采样定理
采样定理是美国电信工程师h.奈奎斯特在年提出的，在数字信号处理领域中，采样定理是连续时间信号（通常称为“模拟信号”）和离散时间信号（通常称为“数字信号”）之间的基本桥梁。该定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
1、采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
2、在展开演示/数字信号的切换过程中，当取样频率fs.max大于信号中最低频率fmax的2倍时(fs.max\ue2fmax)，取样之后的数字信号完备地留存了完整信号中的信息，通常实际应用领域中确保取样频率为信号最低频率的2.56～4倍。取样定理又称奈奎斯特定理。
3、如果对信号的其它约束是已知的，则当不满足采样率标准时，完美重建仍然是可能的。在某些情况下（当不满足采样率标准时），利用附加的约束允许近似重建。这些重建的保真度可以使用bochner定理来验证和量化。
采样定理
采样定理，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。
采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。采样定理指出，如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。
带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。采样定理是指，如果信号带宽小于采样频率（即奈奎斯特频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
信号的重建是对样本进行插值的过程，即，从离散的样本x[n]中，用数学的方法确定连续信号x(t)。
从采样定理中，我们可以得出以下结论：
∙如果已知信号的最高频率f H，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特频率，通常表示为f N
∙相反，如果已知采样频率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。
∙以上两种情况都说明，被采样的信号必须是带限的，即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零，或至少非常接近于零，这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。在第一种情况下，被采样信号的频率成分已知，比如声音信号，由人类发出的声音信号中，频率超过5 kHz的成分通常非常小，因此以10 kHz的频率来采样这样的音频信号就足够了。在第二种情况下，我们得假设信号中频率高于采样频率一半的频率成分可忽略不计。这通常是用一个低通滤波器来实现的。
简述采样定理的基本内容
采样定理的基本内容
1. 什么是采样定理
采样定理（Sampling Theorem）是数字信号处理中的一个基本理论，也被称为奈奎斯特定理（Nyquist Theorem）或香农定理（Shannon Theorem）。它描述了如何在连续时间域中对信号进行采样，以便在离散时间域中能够完全还原原始信号。
2. 采样定理的基本原理
采样定理的基本原理是：当一个信号的带宽不超过采样频率的一半时，我们可以通过对信号进行采样并以一定的频率进行重建，从而完整地恢复原始信号。
3. 采样定理的数学表达
采样定理可以用数学方式表达如下： - 一个信号的最高频率为B，则采样频率Fs 应满足Fs > 2B，即采样频率必须是信号最高频率的2倍以上。 - 采样频率过低会导致混叠现象，也称为折叠现象（Aliasing），即原始信号的高频部分在采样后被混叠到低频部分。 - 采样频率过高不会引起混叠现象，但会浪费存储和计算资源。
4. 采样定理的应用
采样定理在数字信号处理中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：
4.1 通信系统
在通信系统中，采样定理保证了信号的完整传输。发送端将模拟信号进行采样，并通过数字信号处理技术将其转换为数字信号，然后通过传输介质传输到接收端。接收端将数字信号还原为模拟信号，以便接收者能够恢复原始信息。
4.2 数字音频
在数字音频领域，采样定理被广泛应用于音频录制和播放。音频信号在录制过程中通过模拟转换器（ADC）进行采样，并以数字形式存储。在播放过程中，数字音频通过数字转换器（DAC）转换为模拟信号，以便音箱或耳机能够播放出声音。
采样定理的基本内容
采样定理的基本内容
采样定理是数字信号处理中的基础理论，也是数字信号处理在实际应用中必须遵循的重要原则。它描述了在什么条件下，将连续信号转换为离散信号时，可以确保不会丢失任何信息。本文将详细介绍采样定理的基本内容。
一、什么是采样定理？
采样定理，也称为奈奎斯特定理（Nyquist Theorem），是由美国电子工程师哈罗德·奈奎斯特在20世纪20年代提出的。它是数字信号处理的基础理论，指出：如果一个信号的最高频率为f，那么在对该信号进行采样时，采样频率必须大于2f，才能够完整地获取该信号的信息。
换句话说，采样定理告诉我们，在对连续信号进行采样时，采样频率必须足够高，才能够准确地还原原始信号。否则，采样后的离散信号将失去原始信号的一部分信息，导致还原后的信号与原始信号存在误差。
二、采样定理的形式化表述
采样定理可以用数学公式来表述：
若f为信号的最高频率，则采样频率fs必须满足fs>2f才能够完整地获取该信号的信息。
其中，f和fs分别表示信号的最高频率和采样频率。采样频率fs应该是信号的最高频率f的两倍以上。
三、采样定理的实际应用
采样定理在数字信号处理、通信系统、音频处理、图像处理等领域有着广泛的应用。以音频处理为例，CD音质采样频率为44.1kHz，这是因为人耳能够识别的最高频率为20kHz左右，而采样频率必须大于2倍的20kHz，即40kHz以上，才能够完全还原原始信号，因此CD音质的采样频率为44.1kHz。
采样定理还可以用于数字信号处理中的滤波器设计，例如数字低通滤波器的设计。在数字低通滤波器的设计中，采样定理告诉我们，如果一个信号的最高频率为f，则我们需要设计一个通带截止频率为f的低通滤波器，以便将高于f的频率成分滤除，从而得到一个完整的信号。
采样定理
1 采样定理，又称取样定理，香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。
2 采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。取样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（或称样本值）表示。这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以。。。。。。。
采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。
3 所谓“取样”就是利用取样脉冲序列乘以连续时间信号，从中“抽取”一系列离散样本值的过程。如果脉冲序列是周期冲激序列，则称为冲激取样；如果脉冲序列是矩形脉冲序列，则称为矩形脉冲取样。取样的模型取样信号图
4 1924年奈奎斯特(Nyquist)就推导出在理想低通信道的最高码元传输速率的公式:
理想低通信道的最高码元传输速率W=2B Baud (其中W是理想)理想信道的极限信息速率（信道容量）
C = B * log2 N ( bps )
在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>=2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5～10倍。从下图中取样信号的频谱可以看出，。。。。。
简述采样定理的基本内容
简述采样定理的基本内容
一、引言
采样定理是数字信号处理中的基础概念，它告诉我们如何将连续时间的信号转换成离散时间的信号，并保证在这个过程中不会丢失任何信息。采样定理的应用非常广泛，涉及到音频、视频、图像等领域。本文将从以下几个方面来详细介绍采样定理的基本内容。
二、什么是采样定理？
采样定理又称为奈奎斯特-香农采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem），它是由美国工程师哈里·尼科拉斯·奈奎斯特和克劳德·香农于20世纪初提出的。采样定理是指：如果一个连续时间信号在一段时间内没有任何频率成分超过其最高频率的两倍，则可以通过对该信号进行等间隔抽样，得到一个离散时间信号，这个离散时间信号可以完全还原原始连续时间信号。
三、采样频率与最高频率
为了满足采样定理，我们需要知道原始连续时间信号中最高频率的大小，并根据最高频率来确定采样频率。在实际应用中，我们通常将采
样频率设置为最高频率的两倍以上，以确保信号可以被完全还原。如果采样频率低于最高频率的两倍，则会发生混叠现象，导致原始信号无法恢复。
四、采样定理的数学表达式
采样定理的数学表达式如下：
若x(t)是一个带限信号，其最高频率为fmax，则它可以由在等间隔时间Ts下进行的抽样所确定，当Ts≤1/(2fmax)时，由抽样得到的离散时间序列x(nTs)可以唯一地表示连续时间信号x(t)，即：
x(t)=Σn=-∞∞x(nTs)sinc((t-nTs)/Ts)
其中sinc函数定义为：sinc(x)=sin(πx)/(πx)
五、采样定理的应用
第19讲 采样定理及应用
o m
(f)
s
在周期矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复的，但在重复过 程中，幅度不再是等幅的，而是随着
Ts Sa (
2
)
变化的。
2.实际采样（脉冲抽样）及其频谱
抽样脉冲是周期矩形脉冲 其傅里叶变换
p (t )
n
P( j ) 2
n
P ( n )
本讲主要内容
理想采样与实际采样的概念 采样信号的频谱 采样定理 采样信号的恢复
时域采样化与频域离散化的对应关系
频域采样的概念
带限信号及其频谱
带限信号：其频谱宽度有限的信号
即 F ( j ) 满足
F ( j) 0
>m
工程实际中对于脉冲信号，若忽略其占有频带之外的频率分量， 则脉冲信号也视为限带信号。本讲仅讨论带限信号的采样问题。
第3章 信号与系统的频域分析
•本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的 概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频谱为达到特 定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系 统对任意信号的响应。
•通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。
•本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常 重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信 号的调制与解调等等。
采样定理及在语音变采样(DOC)
进一步加深了对语音信号的了解和熟练了对Matlab的使用, 让我对通信原理这门课程有了更加浓厚的兴趣。因为以前都是基于课本上所学的理论知识，然而通过这次课程设计之后才能真正理解其意义。
在这次课程实验的过程中，我遇到不少的问题,比如刚开始,要录音的时候，没有选择正确的频率，导致在运行程序的时候，无法调用声音，经过后来的改正才可以。还有刚开始由于对滤波器的滤波原理并不是很了解, 于是我又翻出学过的数字信号处理课本,认真研究起各种滤波器
实验卡和实验报告
信息科学与工程学院
采样定理课件
采样定理
在数字信号处理领域中，采样定理是连续时间信号（通常称为“模拟信号”）和离散时间信号（通常称为“数字信号”）之间的基本桥梁。
1.采样定理的定义
采样定理又称为抽样定理、那奎斯特定理，是利用等时距的采样脉冲序列)(t
p，从连续时间信号)(t x中抽取一系列离散样值，使之成为采样信号)
(nTs
x的过程。
n=0,1,2,...。Ts称为采样间隔，或采样周期。
fs
Ts
/1称为采样频率。
图1 模数转换
2.采样信号的频谱
采样是将采样脉冲序列)(t p与连续时间信号)(t x相乘，取离散点)
(nt
x值得过程。
图2 理想采样过程
抽样定理及应用
抽样定理及应用
一．课程设计的目的
1. 掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法，增加对仿真软件MATLAB 的感性认识，学会该软件的操作和使用方法。
2. 掌握利用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法，加深理解采样与重构的概念。
3 . 初步掌握线性系统的设计方法，培养独立工作能力。
4. 学习MATLAB中信号表示的基本方法及绘图函数的调用，实现对常用连续时间信号的可视化表示，加深对各种电信号的理解。
5. 加深理解采样对信号的时域和频域特性的影响；验证信号与系统的基本概念、基本理论，掌握信号与系统的分析方法。
6. 加深对采样定理的理解和掌握，以及对信号恢复的必要性；掌握对连续信号在时域的采样与重构的方法。
二．课程设计的内容及要求
1.课程设计的内容
离散正弦序列的MATLAB表示与连续信号类似，只不过是用stem函数而不是用plot函数来画出序列波形。命令窗口没打开时，从“Desktop”菜单中选择“Command Window”选项可以打开它。“>>”符号是输入函数的提示符，在提示符后面输入数据和运行函数。
退出MATLAB时，工作空间中的内容随之清除。可以将当前工作中的部分或全部变量保存在一个MAT文件中，它是一种二进制文件，扩展名为.mat。然后可在以后使用它时载入它。
用MATLAB的当前目录浏览器搜索、查看、打开、查找和改变MATLAB路径和文件。在MATLAB桌面上，从“Desktop”菜单中选择“Current Directory”选项，或者在命令窗口键入“filebrowser”，打开当前目录浏览器。使用当前目录浏览器可以完成下面的主要任务：查看和改变路径；创建、重命名、复制和删除路径和文件；打开、运行和查看文件的内容；
采样定理及应用
谱中无失真地选出。
fs (t)
Fs( j)
0
t
(a)
s
m 0 m
s
Ts
C
h(t )
Ts
C
Sa (C t)
H( j) Ts
0
f (t)
t
(b)
c 0
c
F( j)
0
t
(c)
m 0 m
采样信号的频域恢复
因为
Fs j
1 Ts
F j
n
ns
理想低通滤波器的频率特性为
H(
j)
Ts
0
所以输出信号频谱为 Fj Fs jH j
f (nTs )Sa[c (t nTs )]
n
只要满足抽样定理 s 2m ，就可以由原连续信号各抽样值， 唯一地确定原信号。
f s (t)
Fs ( j)
0
h(t )
c Ts
Ts
Ts
卷
0
f (t)
积
t
t 包络
t
0
s m
m s
H ( j)
1
c 0 c
F ( j) 相
乘
m 0 m
思考与练习
(e)
Fs( j)
Ts
s om s
(f)
在矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复的，但在重
采样定理简介
一、采样定理简介
采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker（1915年发表的统计理论），克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。
采样定理的条件
采样定理的条件
采样定理的条件是：
1. 信号必须是带限信号，即具有有限的频带宽度。
2. 采样频率必须大于等于信号的最高频率的两倍，即采样频率要满足奈奎斯特(Nyquist)频率。
3. 采样时刻必须均匀地分布在连续时间轴上，即采样间隔是固定且相等的。
4. 采样时刻与信号的相位无关，即采样时刻与信号波形的起始时间无关。
采样定理
采样定理，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。
采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。采样定理指出，如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。
带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。采样定理是指，如果信号带宽小于采样频率（即奈奎斯特频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
信号的重建是对样本进行插值的过程，即，从离散的样本x[n]中，用数学的方法确定连续信号x(t)。
从采样定理中，我们可以得出以下结论：
∙如果已知信号的最高频率f H，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特频率，通常表示为f N
∙相反，如果已知采样频率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。
∙以上两种情况都说明，被采样的信号必须是带限的，即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零，或至少非常接近于零，这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。在第一种情况下，被采样信号的频率成分已知，比如声音信号，由人类发出的声音信号中，频率超过5 kHz的成分通常非常小，因此以10 kHz的频率来采样这样的音频信号就足够了。在第二种情况下，我们得假设信号中频率高于采样频率一半的频率成分可忽略不计。这通常是用一个低通滤波器来实现的。
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F n
s
理想低通滤波器的频率特性为
Ts H ( ) 0
C C
所以输出信号频谱为
F Fs H
若选定
s
2
c m
，则有
h (t ) Ts
理想低通滤波器的冲激响应为
C Sa (C t )
Fs ( )
Fs ( ) E Ts
1 F ( ) * p ( ) 2
n s F ( n s ) 2
n
Sa
3 抽样定理
如何从抽样信号中恢复原连续信号、在什么条件下才可以无失真地由抽
样信号恢复原连续信号，著名的抽样定理对此作了明确的回答。 抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十分 重 要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、数字信 号与系统之间架起了一座桥梁。 该定理从理论上回答了为什么可以用数字信号处理手段解决连续时间信 号与系统问题。
其频谱可以利用频域卷积定理求得 1 1 Fs ( j ) F ( j ) P( j ) F ( j ) s ( ns ) 2 2 n
s 2
1 F ( j ns ) Ts n
n
F ( j n )
抽样信号的频谱及频谱混叠现象
f (t )
F ( )
（a）连续信号及其频谱
0
f s (t )
t
(a)
m
0 m
Fs ( )
（b）高抽样频率时的
0
f s (t )
t
(b)
抽样信号及其频谱
s
m
0 m
s
Fs ( )
0
t
(c)
2 s s m
0 m s 2s
本讲主要内容
理想采样与实际采样的概念 采样信号的频谱 采样定理 采样信号的恢复
时域采样化与频域离散化的对应关系
频域采样的概念
带限信号及其频谱
带限信号：其频谱宽度有限的信号
即 F ( j ) 满足
F ( j) 0
>m
工程实际中对于脉冲信号，若忽略其占有频带之外的频率分量， 则脉冲信号也视为限带信号。本讲仅讨论带限信号的采样问题。
（c）低抽样频率时 的抽样信号及其频谱
抽样信号的频谱及频谱混叠现象
观察抽样信号 的频谱随抽样 频率的变化
不满足抽样定理时产生频率混叠现象
f (t )
0
1 Ts
Fs ( )
Ts
t
s m
1 Ts
0
m s F 1 ( )
s F 1 ( )
f (t )
0
s
0
1 Ts
Ts
t
s 2m
s
0
s
3.抽样定理
时域抽样定理：时域抽样定理表明，一个频谱受限的信号 f (t ) ，
如果频谱只占据 m , m 的范围，则信号 f (t ) 可以用等间隔的抽
样值 f n Ts 唯一地表示，只要抽样间隔 Ts
不大于 2 f m
1
，
其中 f m 为信号的最高频率，或者说，抽样频率 f s 满足条件 f s 2 f m 通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率
n
( n
1 Ts
s
)
p( ) 2
P n
n
P ( n
n
s
)
P n
E n s Sa Ts 2
Fs ( )
Fs ( )
1 F ( ) * p ( ) 2
1 F ( n s ) Ts n
Ts
t
FT
s s
0
E s
s s
t
0
2
0
实际抽样信号的傅立叶变换
1 P n Ts
Ts 2 T s 2
p(t )e jn s t dt
1 F ( ) * p ( ) 2
E n s Sa Ts 2
Fs ( )
实际抽样
第3章 信号与系统的频域分析
•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级 数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论 其特点。 •通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变 换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。 •傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变 换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。 •从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统一 用傅里叶变换作为分析工具。
0
p (t )
f s (t )
0
t
1.理想抽样(冲激抽样)及其频谱
f (t )
(1)
T (t )
f s (t )
0
(a)
t
Ts 0
(b)
Ts
t
源自文库 Ts
0
Ts
(c)
t
F ( )
1
0 m m (d)
F [ T (t )]
*
s
(s )
1 Ts
Fs ( )
0
(e)
s
s
时域理想抽样的傅立叶变换
f (t )
FT
0
1
相 卷
p( j ) s
F ( j )
时 域 离 散 化
相 P(t ) 乘 (1)
0
T (t )
n
(t nTs )
t
FT
0
( s )
s
0
n
( n
)
s
f s (t )
Ts
t
FT
n
( n
s
)
2.实际采样（脉冲抽样）及其频谱
f (t ) p (t )
f s (t )
0
(a)
t
Ts 0 Ts (b)
t
Ts Ts 0 (c)
t
F ( )
1
0 m m (d)
P ( ) s
Ts
Fs ( )
*
2
s 0 s
(e)
s
4.采样信号的时域恢复
采用冲激抽样，则
f s (t )
n
f (t ) (t nTs )
n
f (nT ) (t nT )
s s
根据傅里叶变换的时域卷积定理，得连续低通滤波器的输出信号为
f (t ) f s (t ) h(t ) Ts
c
s
n
g (t nTs )
在这种情况下，抽样信号 f s (t )的脉冲顶部不是平的，这种抽样称为自然
抽样或实际抽样。 利用频域卷积定理求得抽样信号的频谱为 1 1 Fs ( j ) F ( j ) P( j ) F ( j) 2 Pn ( ns ) 2 2 n
n
P F [ j( n )] T Sa(
n s s n
ns )F [ j ( ns )] 2
实际抽样信号的傅立叶变换
f (t )
0
FT
1
0
F ( )
相 乘
t
P(t )
FT
2
P ( ) E s
2
卷 积
2
0
f s (t )
2 s s
0
(f)
s
2 s
理想采样（冲激抽样）信号的频谱是原信号频谱以 1 幅度变成原来的 T s
s 为周期等幅地重复。
1.理想抽样(冲激抽样)及其频谱
若抽样脉冲是冲激序列
T (t )
n
(t nT )
s
其傅里叶变换
P( j )
2 Ts
n
( ns ) s
n
( n )
s
s s
在这种情况下，抽样信号是由一系列冲激信号构成
f s (t ) f (t ) T (t )
n
f (t ) (t nTs )
n
f (nT ) (t nT )
n
f (nT ) Sa [
s
c
(t nTs )]
上式表明，连续信号 f (t )可以展成 Sa 函数的无穷级数，级数的系数等于抽样值f (nTs ) 即在抽样信号 f s (t ) 的每个样点处，画出一个峰值为 f (nTs ) 的 Sa函数波形，其合成 的信号就是原连续信号 f (t ) 。 只要满足抽样定理 s 2m 的条件，就可以由原连续信号各抽样值，唯一地确定原信
1 1
f s 2 f m 称为奈奎斯特频
率，把最大允许的抽样间隔 Ts f 2 f 称为奈奎斯特间隔。 s m
4.采样信号的恢复
连续时间信号的重建就是
如何从抽样信号 f s (t ) 恢复 原连续信号 f (t ) 。
Ts
f s (t )
Fs ( )
0
t
从图可见，在满足抽样 定理的条件下，为了从频谱 中无失真地选出，可用一个 截止频率为
E Fs ( ) Ts
n s Sa F ( n s ) 2 n
理想抽样与实际抽样的对比分析
p (t ) T (t )
n
(t nTs )
p (t )
n
G (t n Ts )
p( ) s
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
本章主要内容
3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
周期信号的频谱 系统的频域分析 无失真传输系统与理想低通滤波器 取样定理及其应用 频域分析用于通信系统
s
Fs ( j )
频 域 周 期 化
1 Ts
0
t
s
0
s
时域理想抽样的傅立叶变换
f (t )
F ( j )
FT
FT
相乘
1 Fs ( j) Ts
n
F[ j( n )]
s
1 2
相卷积
T (t )
n
(t nTs )
FT
p( j ) s
s
2 c m
C
0
h(t ) Ts C Sa ( C t )
(a)
s
m
0 m
s
Ts
H ( )
t
(b)
c
0
c
F ( )
f (t )
的理想低通滤波器。
0
t
(c)
m
0 m
4.采样信号的频域恢复
因为
Fs 1 Ts
n
第3章 信号与系统的频域分析
•本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的 概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频谱为达到特 定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系 统对任意信号的响应。
•通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。
•本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常 重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信 号的调制与解调等等。
取样过程示意图
从连续信号 f (t ) 中“抽取”一系列离散样本得到采样信号，
可直观想象为：让连续信号通过一个开关K，开关K每隔时间Ts
闭合长为 的一段时间
。
信号的抽样过程
用抽样脉冲序列 p(t ) 表示开关的数学模型 f s (t ) f (t ) p(t )
0
f (t )
t
所谓抽样(取样或采样)，就是利用抽样脉冲序 列 p(t )从连续信号 f (t ) 中抽取一系列的离散 样值，通过抽样过程得到的离散样值信号称为 抽样信号，以 f s (t )表示。 抽样过程还可以看成是抽样脉冲序列 p(t ) 被连续信号 f (t ) 调幅的过程。
o m
(f)
s
在周期矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复的，但在重复过 程中，幅度不再是等幅的，而是随着
Ts Sa (
2
)
变化的。
2.实际采样（脉冲抽样）及其频谱
抽样脉冲是周期矩形脉冲 其傅里叶变换
p (t )
n
P( j ) 2
n
P ( n )
第 19 讲
取样定理及其应用
取样的目的与意义
工程中多数物理量都是连续变化的，取样就是 每隔一定时间对连续信号进行采样（抽样）而 获得的一些样本值。 通过讨论对连续信号进行采样所引起的信号在 频域的变化，从而得出著名的采样定理，它在 理论和实际中都有重要意义。
信号抽样的几个问题
（1）采样信号仅是原连续信号的一些样本，采样信号能否保 留了原信号的全部信息？ （2）在什么条件下可以由采样信号恢复原连续信号。 （3）利用傅里叶变换这个工具，从频域来回答这些问题。 （4）因采样序列不同，得到的采样信号 f s (t ) 也不同。 著名的抽样定理对此作了明确的回答。 下面讨论冲激采样和脉冲采样两种情况下采样信号的频谱。