【北师大版】2019版同步优化探究文数练习 第八章 第八节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系含解析
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第一节直线的方程含解析
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第一节直线的方程含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练1．直线 x ＋ 3y ＋ a ＝ 0(a 为实常数 )的倾斜角的大小是 ()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°分析：直线 x ＋ 3y ＋a ＝0(a 为实常数 )的斜率为－ 33 ，令其倾斜角为 θ，则 tan θ3＝－ 3 ，解得 θ＝ 150°，应选 D.答案： D2．假如 AB<0，且 BC<0，那么直线 Ax ＋ By ＋C ＝ 0 不经过 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限AC分析：直线 Ax ＋By ＋ C ＝ 0 可化为 y ＝－ B x － B ，A C∵AB<0，BC<0，∴－ >0，－ >0.∴直线过第一、二、三象限，可是第四象限，故BB选 D.答案： D．直线2＋1)y ＋1＝0 的倾斜角的取值范围是 ( )3 x ＋(aπ 3πA ．[0，4]B ．[ 4 ，π)π π π π 3πC ．[0 ，4] ∪(2， π)D ．[4，2)∪[ 4 ，π)分析： 由直线方程可得该直线的斜率为－21，又－ 1≤－21<0，因此倾斜a ＋ 1a＋13π角的取值范围是 [ 4 ，π)．答案： B4．若方程 (2m 2＋ m －3)x ＋(m 2－m)y －4m ＋1＝0 表示一条直线， 则参数 m 知足的条件是()。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第三节 圆的方程
课时作业A组——基础对点练1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是( )11A．以(1，－2)为圆心，为半径的圆11B．以(1,2)为圆心，为半径的圆11C．以(－1，－2)为圆心，为半径的圆11D．以(－1,2)为圆心，为半径的圆11解析：由x2＋y2＋2x－4y－6＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝11，故圆心为(－1,2)，半径为.答案：D2．若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为( ) A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析：因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.答案：A3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋y2＝5C．x2＋(y＋2)2＝5 D．(x－1)2＋y2＝5解析：因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆5的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.答案：B4．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．解析：如图所示，圆心M(3，－1)到定直线x＝－3上点的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：45．(2018·唐山一中调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则Error!，即Error!，代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝16．已知圆C经过点(0,1)，且圆心为C(1,2)．(1)写出圆C的标准方程；(2)过点P(2，－1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长．解析：(1)由题意知，圆C 的半径r ＝＝，(1－0)2＋(2－1)22所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P (2，－1)的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，则＝，|－k －3|1＋k 22所以k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，故所求切线的方程为7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0.由圆的性质易得所求切线长为＝＝2.PC 2－r 2(2－1)2＋(－1－2)2－227．(2018·南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图像与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解析：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图像与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由Error!，解得Error!，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5 y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为(，－)，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不1252过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝－＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综1252上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.B 组——能力提升练1．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，则ab 的最大值是( )A.B.1218C. D.1424解析：由圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，可得圆心(2a ，－b )在直线x －y －1＝0上，故有2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1≥2 ，解得ab ≤，2ab 18故ab 的最大值为，故选B.18答案：B2．(2018·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－＝1的渐y 23，则圆C 的方程为( )3A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －)2＝33C ．x 2＋(y ＋1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋)2＝33解析：依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为，倾斜角为60°，结合图形(图略)3可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1，选A.答案：A3．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋ (y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为＝2，所以r ＝.又因为y ＝－x |4|222与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：D4．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝3D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37解析：如图，易知AC 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0.点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝＝>1，OA ＝|－4|5455＝，OB ＝＝，OC ＝(－2)2＋3213(－2)2＋(－1)2562＋(－1)2＝，37∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点，则公共点为 (0，－1)或(6，－1)，∴圆的半径为1或，37则该圆的方程为x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.故选D.答案：D5．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为2，3求圆C 的标准方程．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以2＝2，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)4b 2－b 232＝4.6．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求·的最小值．PQ → MQ → 解析：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则Error!解得Error!则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，·＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)PQ → MQ → ＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.令x ＝cos θ，y ＝sin θ，22所以·＝x ＋y －2＝(sin θ＋cos θ)－2PQ → MQ → 2＝2sin －2，(θ＋π4)又min ＝－1，[sin (θ＋π4)]所以·的最小值为－4.PQ → MQ →。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第八节曲线与方程含答案解析
x＋ 3a 2 y2
即
2
12a
－4a2＝1.
∴点 P 的轨迹为双曲线．故选 D.
答案： D
4．已知动点 P(x， y)与两定点 M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数 λ(λ≠0)．则动点 P 的轨
迹 C 的方程为
．
解析： 由题设知直线 PM 与 PN 的斜率存在且均不为零，所以
整理得 x2－yλ2＝ 1(λ≠ 0， x≠ ±1)． 即动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2－ yλ2＝1(λ≠0，x≠ ±1) 答案： x2－yλ2＝1(λ≠0，x≠±1)
2，所以
mn＝ 4，又直线
AC 与 BD 的交点
为 M，
所以
y y－m x＋2＝ x－2 ，
y y－n x－2＝x＋2，
所以
4y m＝x＋2，
－4y n＝x－2，
16y2 所以－ x2－4＝4，所以点
M
的轨迹方程为
x2 4＋
y2＝
1(y≠0)． 答案： x42＋y2＝1(y≠0)
x2 y2 4．过椭圆 a2＋b2＝ 1(a＞ b＞ 0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，则线段 MN 中点的轨迹方
∵Q→P·Q→F＝F→P·F→Q，
∴(0， y＋1) ·(－ x,2)＝(x，y－1) ·(x，－ 2)， 即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得 x2＝4y， ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝ 4y.
答案： A
2．已知两定点 A(－2,0)， B(1,0)，如果动点 P 满足 |PA|＝2|PB|，则动点 P 的轨迹是 ( )
x－2 2＋y2－3，
故曲线 E 的方程为 y2＝6x.
(2)设直线 AB 的方程为 my＝x－2，
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习第八章 第九节 第三课时 定点、定值、探索性问题 Word版含解析
课时作业组——基础对点练．已知动点到点()的距离比到直线＝－的距离小，动点的轨迹为.()求曲线的方程；()若直线：＝＋(<)与曲线相交于，两个不同点，且·＝，证明：直线经过一个定点．解析：()由题意可得动点到点()的距离等于到直线＝－的距离，∴曲线是以点()为焦点，直线＝－为准线的抛物线，设其方程为＝(>)，∴＝，∴＝，∴动点的轨迹的方程为＝.()证明：设(，)，(，)，由(\\(＝＋，＝，))得＋(－)＋＝，∴＋＝，·＝.∵·＝，∴＋＝(＋)＋(＋)＋＝＝，∴＋－＝，∴＝或＝－.∵<，∴＝舍去，∴＝－，满足Δ＝(－)>，∴直线的方程为＝(－)，∴直线必经过定点()．．(·昆明市检测)已知点，的坐标分别为(－，)，(，)，直线，相交于点，且它们的斜率之积是－，点的轨迹为曲线.()求曲线的方程；()过点()作直线交曲线于，两点，交轴于点，若＝λ，＝λ，证明：λ＋λ为定值．解析：()设点(，)，由已知得·＝－(≠±)，化简得曲线的方程：＋＝(≠±)．()证明：设点，，的坐标分别为(，)，(，)，(，)．由＝λ，得(，－)＝λ(－，－)，所以＝，＝，因为点在曲线上，所以()＋()＝，化简得λ＋λ＋－＝①，同理，由＝λ，可得＝，＝，代入曲线的方程化简得λ＋λ＋－＝②，由①②可知λ，λ是方程＋＋－＝的两个实数根(Δ>)，所以λ＋λ＝－，即λ＋λ为定值．．在平面直角坐标系中，已知点(－，)，(，)，直线，交于点，它们的斜率之积为常数(≠)，且△的面积最大值为，设动点的轨迹为曲线.()求曲线的方程；()过曲线外一点作的两条切线，，若它们的斜率之积为－，那么·是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由．解析：()设(，)，则由已知得·＝，即＝(－)，即－＝(≠±)．(*)①当>时，方程(*)表示双曲线，此时△面积不存在最大值(不符合)；②当＝－时，方程(*)表示圆，此时△的面积最大值为(不符合)；③当<且≠－时，方程(*)为椭圆，此时△的面积最大值为，所以＝－.此时所求的方程为＋＝(≠±)．()设(，)，过点的切线为＝(－)＋，由(\\(＝(－(＋，,()＋＝，))消去得(＋)＋(－)＋(－)－＝，则Δ＝(－)－(＋)·[(－)－]＝，化简得(－)＋＋－＝，于是·＝，由已知斜率之积为－，则＝－，则＋＝(≠±)，所以＝，于是·＝[()－]＝.．已知椭圆：＋＝(>>)的焦点为，，离心率为，点为其上一动点，且三角形的面积最大值为，为坐标原点．()求椭圆的方程；()若点，为上的两个动点，求常数，使·＝时，点到直线的距离为定值，求这个定值．。
(北师大版)2019探究文数练习：第八章 第八节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 【含答案】
课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·西安模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( ) A ．4 B ．3 3 C ．4 3D ．8解析：∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3,23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.答案：C2．已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3； ④y ＝－2x ＋3. A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7. 答案：C3．(2018·郴州模拟)过点P (－3，0)作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，设∠AOB ＝θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，当△AOB 的面积为34时，直线l 的斜率为( ) A.33B ．±33C. 3D ．±3解析：∵△AOB 的面积为34， ∴12×1×1×sin θ＝34， ∴sin θ＝32. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ＝π3，∴圆心到直线l 的距离为32. 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)， 即kx －y ＋3k ＝0， ∴32＝|3k |1＋k2， ∴k ＝±33.答案：B4．已知过定点(1,0)的直线与抛物线x 2＝y 相交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则(x 1－1)(x 2－1)＝________. 解析：设过定点(1,0)的直线的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程x 2＝y 得x 2－kx ＋k ＝0，故x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝k ，因此(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1. 答案： 15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，则双曲线的渐近线方程为______________．解析：抛物线x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p 2，与双曲线的方程联立得x 2＝a 2(1＋p 24b 2)，根据已知得a 2(1＋p 24b2)＝c 2①.由|AF |＝c ，得p 24＋a 2＝c 2②.由①②可得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以所求双曲线的渐近线方程是y ＝±x .答案：y ＝±x6．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条，则λ＝________.解析：∵使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条． ∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直． 此时A ，B 的横坐标为3，代入双曲线方程， 可得y ＝±2，故|AB |＝4.∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4， 综上可知|AB |＝4时，有三条直线满足题意． ∴λ＝4. 答案：47．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解析：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k O M ＝510，从而b 2a ＝510， 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋y b＝1，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5b 4＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.心率e ＝12.8.已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，且它的离(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →，求实数λ的取值范围． 解析：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得：⎩⎨⎧4a 2＋3b 2＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8b 2＝6，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.(2)因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，所以|t ＋k |1＋k2＝1⇒2k ＝1－t 2t (t ≠0)，把y ＝kx ＋t 代入x 28＋y 26＝1并整理得：(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－24)＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8kt3＋4k 2， y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t3＋4k 2，因为λOC →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以C ⎝⎛⎭⎪⎫－8kt (3＋4k 2)λ，6t (3＋4k 2)λ， 又因为点C 在椭圆上，所以， 8k 2t 2(3＋4k 2)2λ2＋6t 2(3＋4k 2)2λ2＝1⇒λ2＝2t 23＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎫1t 22＋1t 2＋1，因为t 2>0，所以⎝⎛⎭⎫1t 22＋1t 2＋1>1，所以0<λ2<2，所以λ的取值范围为(－2，0)∪(0，2)．B 组——能力提升练1．已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327解析：由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有ax 21＋by 21＝0①，ax 22＋by 22＝0②，由①－②得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22)，即a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)，由题意可知x 1≠x 2，且x 1＋x 2≠0，∴y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－a b ，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，∴－32×(－1)＝－a b ，∴a b ＝－32，故选A.答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为42，虚轴的一个端点与抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点重合，直线y＝kx －1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：由抛物线x 2＝2py (p >0)可知其焦点为⎝⎛⎭⎫0，p 2，所以b ＝p 2，又a ＝22，因此双曲线的方程为x 28－4y2p 2＝1，渐近线方程为y ＝±p 42x .直线y ＝kx －1与双曲线的一条渐近线平行，不妨设k ＝p 42，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p 42x －1，x 2＝2py 可得x 2＝2p ⎝⎛⎭⎫p 42x －1＝p 222x －2p ，得x 2－p222x ＋2p ＝0，则Δ＝⎝⎛⎭⎫－p 2222－8p ＝0，解得p ＝4.故选A. 答案：A3．在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________． 解析：设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中， 整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0， ∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1， y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由⎝⎛⎭⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1.答案：(－2,4)，(1,1)4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，焦点为F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由抛物线的定义可知|AF |＝x 1＋1＝3，所以x 1＝2，所以y 1＝±22，由抛物线关于x 轴对称，假设A (2,22)，由A ，F ，B 三点共线可知直线AB的方程为y －0＝22(x －1)，代入抛物线方程消去y 得2x 2－5x ＋2＝0，求得x ＝2或12，所以x 2＝12，故|BF |＝32.答案：325．定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝12及点A (－2，0)，动点P 到圆M 的距离与到点A 的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W .(1)求曲线W 的方程；(2)过原点的直线l (l 不与坐标轴重合)与曲线W 交于不同的两点C ，D ，点E 在曲线W 上，且CE ⊥CD ，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线DE 、CF 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1k 2.解析：(1)由题意知：点P 在圆内且不为圆心，易知|P A |＋|PM |＝23>22＝|AM |，所以P 点的轨迹为以A 、M 为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝23，2c ＝22⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝ 2.所以b 2＝1，故曲线W 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设C (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，E (x 2，y 2)，则D (－x 1，－y 1)，则直线CD 的斜率为k CD ＝y 1x 1，又CE ⊥CD ，所以直线CE 的斜率是k CE ＝－x 1y 1，记－x 1y 1＝k ，设直线CE 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝－6mk1＋3k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋3k 2，由题意知x 1≠x 2，∴k 1＝k DE ＝y 2＋y 1x 2＋x 1＝－13k ＝y 13x 1，∴直线DE 的方程为y ＋y 1＝y 13x 1(x ＋x 1)， 令y ＝0，得x ＝2x 1，即F (2x 1,0)． 可得k 2＝－y 1x 1.∴k 1k 2＝－13.6．已知椭圆K ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝22，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线x －3y ＋2＝0相切． (1)求K 的方程；(2)过F 2的直线l 交K 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交K 于点C ，若四边形OACB 的面积S 满足： a 2＝3S ，求直线l 的斜率．解析：(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，21＋3＝c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1.故椭圆K 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由于直线l 的倾斜角不可为零，所以设直线l 的方程为my ＝x －1， 与x 22＋y 2＝1联立并化简可得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0. 设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，可得y 0＝－m m 2＋2，x 0＝my 0＋1＝2m 2＋2.设C (x ，y )，又OC →＝λOM →(λ>0)， 所以x ＝λx 0，y ＝λy 0.因为C 在K 上，故λ2(x 202＋y 20)＝1⇒m 2＋2＝λ2.① 设h 1为点O 到直线l 的距离，h 2为点C 到直线l 的距离，则h 1h 2＝|OM →||MC →|＝1λ－1⇒h 2＝(λ－1)h 1.又由点到直线的距离公式得， h 1＝11＋m2＝1λ2－1.而|AB |＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝22(1＋m 2)m 2＋2＝22(λ2－1)λ2，所以S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝2(λ2－1)λ2·λλ2－1＝2λ2－1λ.由题意知，S＝a 23＝23，所以2λ2－1λ＝23⇒λ＝ 3.将λ＝3代入①式得m＝±1，所以直线l的斜率为±1.。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第九章 第二节 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体
课时作业A 组——基础对点练1．为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机统计了n 名学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，所得数据都在区间[10,110]内，其频率分布直方图如图所示．已知活动时间在[10,35)内的频数为80，则n 的值为( )A ．700B ．800C ．850D ．900解析：根据频率分布直方图，知组距为25，所以活动时间在[10,35)内的频率为0.1.因为活动时间在[10,35)内的频数为80，所以n ＝800.1＝800. 答案：B2．为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是( )A ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数估计值为26.25次B ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数估计值为27.5次C ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人D ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人解析：由题图可知中位数是26.25次，众数是27.5次，1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2，所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0.1，所以该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有160人．故D 是错误的，选D.答案：D3.(2018·西安市检测)已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为( )A ．32B ．33C ． 34D ．35解析：由茎叶图知，乙组数据的中位数为32＋342＝33，所以m ＝3，所以甲组数据的平均数为27＋33＋363＝32，故选A. 答案：A4．(2018·湖南五市十校联考)某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n －m 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由甲组学生成绩的平均数是88，可得70＋80×3＋90×3＋(8＋4＋6＋8＋2＋m ＋5)7＝88，解得m ＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n ＝9，所以n －m ＝6，故选B. 答案：B5.为了解某校高三学生数学调研测试的情况，学校决定从甲、乙两个班中各抽取10名学生的数学成绩(满分150分)进行深入分析，得到如图所示的茎叶图，茎叶图中某学生的成绩因特殊原因被污染了，如果甲、乙两个班被抽取的学生的平均成绩相同，则被污染处的数值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由茎叶图可知，乙班的10名学生的成绩同时减去100，分别为－12，－4，－3，－2,1,2,3,5,11,29，所以x 乙＝100＋－12－4－3－2＋1＋2＋3＋5＋11＋2910＝103，对于甲班，设被污染处的数值为x ，甲班的10名学生的成绩同时减去100，分别为－15，－13，－6，－3，－2,5,8, 16,10＋x,22，所以x 甲＝100＋－15－13－6－3－2＋5＋8＋16＋10＋x ＋2210＝103，所以x ＝8，即被污染处的数值为8.答案：C6．(2018·广州检测)在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．解析：依题意，设中间小长方形的面积为x ，则其余小长方形的面积和为4x ，所以5x ＝1，x＝0.2，中间一组的频数为160×0.2＝32.答案：327．两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7879549107 4乙：9578768677由此估计________的射击成绩更稳定．解析：因为x甲＝7，x乙＝7，s2甲＝4，s2乙＝1.2，所以s2乙<s2甲，所以乙的射击成绩更稳定．答案：乙8．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41．60.5 1.80.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解析：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得x＝120×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y＝120×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好． B 组——能力提升练1．为了全面推进素质教育，教育部门对某省500所中小学进行调研考评，考评分数在80以上(包括80分)的授予“素质教育先进学校”称号，考评统计结果按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]绘制成如图所示的频率分布直方图，则应授予“素质教育先进学校”称号的学校的个数为( )A ．175B ．145C ．180D ．240解析：由频率和为1可知x ＝0.1－(0.040＋0.020＋0.010＋0.005)＝0.025，故应授予“素质教育先进学校”称号的学校的个数为(0.025＋0.010)×10×500＝175.答案：A2．(2018·云南五市联考)如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述正确的是( )①2017年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省只有1个；②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长；③去年同期的GDP 总量前三位是D 省、B 省、A 省；④2016年同期A 省的GDP 总量也是第三位．A ．①②B ．②③④C ．②④D ．①③④解析：①2017年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省有2个，B 省和C 省的GDP 总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由图知②正确；由图计算2016年同期五省的GDP 总量，可知前三位为D 省、B 省、A 省，故③正确；由③知2016年同期A 省的GDP 总量是第三位，故④正确．故选B.答案：B3．(2018·成都市模拟)AQI 是表示空气质量的指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 为201.则下列叙述不正确的是( )A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 的中位数是90D ．从4日到9日，空气质量越来越好解析：这12天中，空气质量为“优良”的有95,85,77,67,72,92，共6天，故A 正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI 为67，故B 正确；这12天的AQI 的中位数是95＋1042＝99.5，故C 不正确；从4日到9日，AQI 越来越小，空气质量越来越好，D 正确． 答案：C4．(2018·成都模拟)在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9,10,11,1，那么这组数据的方差s 2可能的最大值是________．解析：由题意可设两个被污损的数据分别为10＋a ，b ，(a ，b ∈Z,0≤a ≤9)，则10＋a ＋b ＋9＋10＋11＝50，即a ＋b ＝10，a ＝10－b ，所以s 2＝15[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(10＋a －10)2＋(b －10)2]＝15[2＋a 2＋(b －10)2]＝25(1＋a 2)≤25×(1＋92)＝32.8. 答案：32.85．(2018·西安质检)已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为________．解析：由方差公式s 2＝14[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋(x 3－x )2＋(x 4－x )2]，得s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24)－x 2，又已知s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24)－4，所以x 2＝4，所以x ＝2，故14[(x 1＋2)＋(x 2＋2)＋(x 3＋2)＋(x 4＋2)]＝x ＋2＝4. 答案：46．(2018·皖南八校第三次联考)第47届联合国大会于1993年1月18日通过193号决议，确定自1993年起，每年的3月22日为“世界水日”，以此推动对水资源进行综合性统筹规划和管理，加强水资源保护，解决日益严重的水问题．某研究机构为了了解各年龄层的居民对“世界水日”的了解程度，随机抽取了300名年龄在[10,60]内的公民进行调查，所得结果统计为如下的频率分布直方图．(1)求抽取的年龄在[30,40)内的居民人数；(2)若按照分层抽样的方法从年龄在[10,20)、[50,60]内的居民中抽取6人进行知识普及，并在知识普及后再抽取2人进行测试，求进行测试的居民中至少有1人的年龄在[50,60]内的概率． 解析：(1)依题意，知年龄在[30,40)内的频率P ＝1－(0.02＋0.025＋0.015＋0.01)×10＝0.3， 故所求居民人数为300×0.3＝90.(2)依题意，从年龄在[10,20)、[50,60]内的居民中分别抽取4人和2人，记年龄在[10,20)内的4人为A ，B ，C ，D ，年龄在[50,60]内的2人为1,2，故抽取2人进行测试的所有情况为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A,1)，(A,2)，(B ，C )，(B ，D )，(B,1)，(B,2)，(C ，D )，(C,1)，(C,2)，(D,1)，(D,2)，(1,2)，共15种，其中满足条件的情况为(A,1)，(A,2)，(B,1)，(B,2)， (C,1)，(C,2)，(D,1)，(D,2)，(1,2)，共9种，故所求概率P ＝35.。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第八节 第二课时 最值、范围、证明问题
课时作业A 组——基础对点练1．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解析：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t .直线MN 的方程为：y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.①因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.②设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2). 设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12. 由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1.2．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得 (1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 3.如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝4，|AD |＝2，O 为AB 的中点，P ，Q分别是AD 和CD 上的点，且满足①|AP ||AD |＝|DQ ||DC |，②直线AQ 与BP 的交点在椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上． (1)求椭圆E 的方程；(2)设R 为椭圆E 的右顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，作MN 垂直于y 轴，垂足为N ，求梯形ORMN 面积的最大值．解析：(1)设AQ 与BP 的交点为G (x ，y )，P (－2，y 1)，Q (x 1,2)，由题可知，y 12＝x 1＋24，y x ＋2＝2x 1＋2，y 2－x ＝y 14， 从而有4y 2－x＝x ＋2y ，整理得x 24＋y 2＝1，即为椭圆E 的方程． (2)由(1)知R (2,0)，设M (x 0，y 0)，则y 0＝124－x 20， 从而梯形ORMN 的面积S ＝12(2＋x 0)y 0＝14(4－x 20)(2＋x 0)2，令t ＝2＋x 0，则2<t <4，S ＝144t 3－t 4， 令u ＝4t 3－t 4，则u ′＝12t 2－4t 3＝4t 2(3－t )，当t ∈(2,3)时，u ′>0，u ＝4t 3－t 4单调递增，当t ∈(3,4)时，u ′<0，u ＝4t 3－t 4单调递减，所以当t ＝3时，u 取得最大值，则S 也取得最大值，最大值为334. 4．(2018·贵阳监测)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有：⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝63，a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1， 故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1. (2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1， 得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12，∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k 2， |AB |＝1＋k 2 12k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2， ∴⎩⎨⎧ Δ＝12k 2－12>0，63＋k 2≤12|AB |，解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.B 组——能力提升练1．(2018·武汉市模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线x ＝4与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |. (1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，D 两点，与圆x 2＋(y －1)2＝1相交于B ，C 两点(A ，B 两点相邻)，过A ，D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M ，求△ABM 与△CDM 的面积之积的最小值．解析：(1)由已知得F (0，p 2)，P (4,0)，Q (4，8p )，|QF |＝8p ＋p 2，|PQ |＝8p， 因为|QF |＝54|PQ |，所以8p ＋p 2＝54·8p， 解得p ＝2或p ＝－2(舍去)，所以抛物线的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.由y ＝x 24，得y ′＝x 2. 所以直线MA ：y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214. 同理可求得直线MD ：y ＝x 22x －x 224. 联立方程，得⎩⎨⎧ y ＝x 1x 2－x 214，y ＝x 2x 2－x 224，解得M (2k ，－1)．所以点M 到l 的距离d ＝2k 2＋21＋k 2＝21＋k 2.所以S △ABM ·S △CDM ＝14|AB |·|CD |·d 2 ＝14(|AF |－1)(|DF |－1)d 2＝14y 1y 2d 2 ＝14·x 21x 2216d 2＝1＋k 2≥1， 当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，△ABM 与△CDM 面积之积的最小值为1.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433. (1)求直线FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解析：(1)由已知，有c 2a 2＝13， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有(kc k 2＋1)2＋(c 2)2＝(b 2)2， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为(c ，233c )． 由|FM |＝ (c ＋c )2＋(233c －0)2＝433， 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝ 6－2x 23(x ＋1)2>2， 解得－32<x <－1，或－1<x <0. 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x， 即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈(－32，－1)时，有y ＝t (x ＋1)<0， 因此m >0，于是m ＝ 2x 2－23，得m ∈(23，233)． ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0.因此m <0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈(－∞，－233)． 综上，直线OP 的斜率的取值范围是(－∞，－233)∪(23，233)． 3．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >1)，设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上．(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)延长MC 交曲线E 于另一点N ，曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ，试判断以点B 为圆心，线段BC 的长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论． 解析：(1)设M (x ，y )，x >0，由题意可知，A (1－r,0)，记AM 的中点为D ，则D (0，y 2)，因为C (1,0)，DC →＝(1，－y 2)，DM →＝(x ，y 2)． 在⊙C 中，易知CD ⊥DM ，所以DC →·DM →＝0，所以x －y 24＝0，即y 2＝4x (x >0)， 所以点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x (x >0)．(2)⊙B 与直线MN 相切．证明如下：设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线BN 的方程为y ＝k (x －y 224)＋y 2. 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.r －1＝x 1，则点A (－x 1,0)，所以直线AM 的方程为y ＝2y 1x ＋y 12. 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －y 224)＋y 2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4y 2－ky 22＝0， 由Δ＝0，可得k ＝2y 2， 所以直线BN 的方程为y ＝2y 2x ＋y 22. 联立，得⎩⎨⎧ y ＝2y 1x ＋y 12，y ＝2y 2x ＋y 22，解得x B ＝－1，y B ＝y 21－42y 1＝y 21＋y 1y 22y 1＝y 1(y 1＋y 2)2y 1＝4my 12y 1＝2m ， 所以点B (－1,2m )，|BC |＝4＋4m 2，点B 到直线MN 的距离d ＝|2＋2m 2|m 2＋1＝4m 2＋4＝|BC |， 所以⊙B 与直线MN 相切．。
2020年同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第一节直线的方程Word版含解析.doc
课时作业A组一一基础对点练1. 直线x+ .3y+ a= 0（a为实常数）的倾斜角的大小是（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°解析：直线x+p3y+ a= 0（a为实常数）的斜率为—普，令其倾斜角为9,则tan 9 =—書，解得A 150。
，故选D.答案：D2. 如果AB<0,且BC<0，那么直线Ax+ By+ C= 0不通过（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限 D .第四象限A C解析：直线Ax+ By+ C= 0可化为y= —Ax —C,A C••• AB<0, BC<0,A —B>0,—B>0.「.直线过第一、二、三象限，不过第四象限，故选D.答案：D3. 直线x+ （a2+ 1）y+ 1= 0的倾斜角的取值范围是（）n 3 n 、A . [0, 4] B.打，n）nn、—”nn 3n、C. [0 , 4] U（2，n ） D . [-, ^）U [匸,n）1 1解析：由直线方程可得该直线的斜率为—乞，又—1W—乞<0,所以倾斜a十1 a十1角的取值范围是[于，n）答案：B4. 若方程（2m?+ m—3）x+ （m?—m）y—4m+ 1 = 0表示一条直线，则参数m 满足的条件是（）3A . m H —2B. m H0C. 0 且1__ 22m + m—3= 0, 一解析：由* 2解得m= 1，故m H 1时方程表示一条直线.、m —m= 0,答案：D5. 设a€ R,则“ a= 1” 是“直线1仁ax+ 2y—1 = 0 与直线b: x+ 2y+ 4= 0 平行”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件解析：由a= 1可得11 // 12，反之，由11 // 12可得a= 1,故选C.答案：C6 .设直线I的方程为x+ ycos 9+ 3= 0（茨R）,则直线I的倾斜角a的取值范围是（）j'n nA . [0, n ） B. 4, 2n 3 n nnn 3 nc. 4, & D.4, 2 u 2, Nn解析：当cos 9= 0时，方程变为x+ 3= 0,其倾斜角为2；1当cos片0时，由直线I的方程，可得斜率k= —C0S-9COS 9因为cos 9€ [ —1,1]且cos 片0,所以k€ (— X,—1] u [1,+%),即tan a€ (—X,— 1] u [1 , + X),又a€ [0, n)所以a€ 4,综上知，直线I的倾斜角a的取值范围是n，3^.答案：C17. （2018开封模拟）过点A（—1,—3）,斜率是直线y= 3x的斜率的—的直线方程为()A . 3x+ 4y+ 15= 0 C. 3x+ y + 6 = 0 B. 4x+ 3y+ 6= 0 D . 3x—4y+ 10= 01 3解析：设所求直线的斜率为k ,依题意k = — 1x 3二—寸•又直线经过点A(- 1, 33),因此所求直线方程为 y + 3= — 4(x + 1), 即卩3x + 4y + 15= 0. 答案：A8. 直线(2m + 1)x + (m + 1)y — 7m — 4= 0 过定点( )A . (1,— 3)B . (4,3) C. (3,1)D . (2,3)解析：2mx + x + my + y — 7m —4 = 0, 即(2x + y — 7)m + (x +y —4) = 0,2x + y = 7, x = 3, 由' ，解得彳 则直线过定点(3,1),故选C./+ y =4 y= 1. 答案：C9. (2018张家口模拟)直线I 经过A(2,1), B(1,— m 2)(m € R)两点，则直线I 的倾 斜角a 的取值范围是() nA . 0" 4n 3 nD ・2<aW 匚彳I 2 1 + m直线I 的斜率k = tan a= -2— 1 答案：C 10.已知直线x + a 2y — a = 0(a 是正常数),当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小 时，正数a 的值是( ) A . 0 B . 2 C. 2D . 12x + a y — a = 0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数 a 的值是1,故选D. 答案：D11. 已知点M(0,— 1)，点N 在直线x — y + 1 = 0上，若直线 MN 垂直于直线xnB.2< a <nna <22n nI + 1 > 1 ,所以a<2.解析:2 1解析：直线x+ a y —a= 0(a是正常数)在x轴，y轴上的截距分别为a和匚，此直a线在x轴，y轴上的截距和为a + 2,当且仅当a= 1时，等号成立.故当直线a+ 2y - 3 = 0,则点N 的坐标是( )A • (-2,- 1) C . (2,1)解析：•••点N 在直线x — y + 1= 0上， •••可设点N 坐标为(x o , x o + 1).根据经过两点的直线的斜率公式，得 k MN = _X=x o x o1•••直线MN 垂直于直线x + 2y -3= 0,直线x + 2y -3 = 0的斜率k =-㊁,I Q x0一 = 2,解得x o = 2•因此点N 的坐标是(2,3),故选B.答案：B12 •直线I 过点P(1,0)，且与以A(2,1), B(0, 3)为端点的线段有公共点，则直 线I 斜率的取值范围为 __________________ . 解析：如图，因为k AP =1 ― = 1, k BP = j 彳0=_ 3,2-1 0-1 v所以k € (-00, -3] U [1 ,+ 00).答案：(一O,— 3] U [1 , +O )B ・(2,3) D • (-• k MN X2 =- 1,13. 已知直线I : ax + y - 2-a = 0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数 a 和点B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值•••• b 的取值范围是[-2,2].B 组一一能力提升练角为(3 n1, 其倾斜角为才.故选D. 答案：D 2.过点P(1,1)的直线，将圆形区域｛(x ,y)|x 2 + y 2<4｝分为两部分，使得这两部分 的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A . x + y — 2 = 0 B . y — 1 = 0 C . x — y = 0D . x + 3y — 4= 0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径.因为 过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1,所以所求直线的斜率为—1,方程为x + y —2 = 0. 答案：A3. 过点(3,1)作圆(x — 1)2 + y 2= 1的两条切线，切点分别为A , B ,则直线AB 的方 程为()A . 2x + y — 3 = 0B . 2x — y — 3= 0C . 4x — y — 3 = 0D . 4x + y — 3= 0解析：根据平面几何知识，直线 AB 一定与点(3,1), (1,0)的连线垂直，而这两点1连线所在直线的斜率为2,故直线AB 的斜率一定是-2,只有选项A 中直线的斜 率为—2,故选A. 答案：A4. 已知点A( — 1,0), B(1,0), C(0,1),直线y = ax + b(a>0)将厶ABC 分割为面积相 等的两部分，贝U b 的取值范围是()1•已知 f(x) = asin x — bcos x , ,则直线ax - by + c = 0的倾斜nA.3小3nD.&解析: C.4令x = n,则 f(0) = f ^,即一b = a ,则直线 ax — by + c = 0 的斜率 k =詈=一 若f =fc .(1—孑，3]x +y = 1 a + b消去x ,得y =— ，当a>0时，直线y = ax + b 与x 轴交于y = ax + b a十 1点(—b , 0),结合图形(图略)知 x (1 + 二)=1，化简得(a + b)2 3 = a(a + 1), a 2 a +1 a 2b 2b 2则 a = 1 — 2b.V a >0，； 1 — 2b>0,解得 1_"2，故选 B . 答案：B5. 已知p ： “直线I 的倾斜角o>n ； q :“直线I 的斜率k>1 ”，则p 是q 的() A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：当2< a<冗时，tan a 0,即k < 0,而当k>1时，即tan a >1,则_< a <2，所 以p 是q 的必要不充分条件，故选 B. 答案：B6. 若经过点(1,0)的直线l 的倾斜角是直线x — 2y — 2= 0的倾斜角的2倍，则直线 l 的方程为() A . 4x — 3y — 4= 0 B . 3x — 4y — 3= 0 C . 3x + 4y — 3= 0D . 4x + 3y — 4= 01解析：设直线x — 2y — 2 = 0的倾斜角为a 则其斜率tan a= $直线l 的斜率tan2 a=42響a= 4•又因为I 经过点(1,0),所以其方程为4x — 3y — 4 = 0,故选A.I — tan a 3 答案：A7. —条光线从点(一2,— 3)射出，经y 轴反射后与圆(x + 3)2 + (y — 2)2= 1相切，A • (0,1)B .(1—# 2)1 1 D • [3 2)解析：由, bg.考虑极限位置，即a = 0,此时易得b3_ 53_ 2 - B.5十 4 4十 3C .— 4或一5D 3或—4解析：由题知，反射光线所在直线过点(2,- 3),设反射光线所在直线的方程为 y + 3 — k(x —2)，即卩 kx — y — 2k — 3 — 0.•••圆(x + 3)2 + (y — 2)2 — 1的圆心为(—3,2),半径为1,且反射光线与该圆相切， 二— 1,化简得 12k 2 + 25k + 12— 0,解得 k —— 4或 k — — 3.寸 k 2+13 4答案：D28.已知倾斜角为B 的直线与直线x — 3y + 1— 0垂直，贝U 2%—( )3sin t)— cos uA 10A.J解析：依题意，tan t — — 3( 0€ [0 , n )) 2 2 22 sin (+ cos t 2 tan t+ 1 10Esin 2 (- cos 21 —忑孑匸1—畐，故选C 答案：C9. (2018天津模拟)已知m, n 为正整数，且直线 + ny + 3 — 0互相平行，则2m + n 的最小值为()C . 11D . 16解析：•••直线2x + (n — 1)y — 2 — 0与直线mx + ny + 3 — 0互相平行， 2 1二 2n — m(n — 1),二 m + 2n —mn ,两边同除以 mn 可得m +~ — 1,v m , n 为正整 数，2 . 1 厂 2n 2m 2n 2m 2n 2m•••2m+ n — (2m +n)-+1 尸 5+ 后+5+2\^2m —9.当且仅当-—2■时取等号. 故选B. 答案：B10. ____________________________________________________________ 直线xcos t — y — 1— 0( t€ R)的倾斜角a 的取值范围为 _________________________ . n 3 解析：直线的斜率为 k — cos t€ [ — 1,1],即 tan a [ — 1,1],所以 a€ [0,4] UQn1010 13所以22 2~— 3sin — cos t2x + (n — 1)y — 2— 0 与直线 mxn 3答案：［0, 4〕u〔a n, n)11. ___________________________________________________________ 过点A(1,2)且与直线x—2y+ 3 = 0垂直的直线方程为_________________________ .1解析：直线x—2y+ 3 = 0的斜率为扌,所以由垂直关系可得要求直线的斜率为- 2, 所以所求方程为y—2= —2(x—1)，即2x+ y — 4 = 0.答案：2x+ y—4= 012. 设m€ R,过定点A的动直线x+ my= 0和过定点B的动直线mx—y—m+ 3 =0交于点P(x, y),则|PA| |PB|的最大值是 __________________ .解析：动直线x+ my= 0(m M 0)过定点A(0,0)，动直线mx—y—m+ 3= 0过定点B(1,3).由题意易得直线x+ my= 0与直线mx—y—m+ 3= 0垂直，即FA X PB. 所以|FA| |PB|< |PA|；|PB|=字=号3= 5,即|FA| |PB|的最大值为5.答案：5n 、‘13. 已知直线x=4是函数f(x) = asin x—bcos x(ab^0)图像的一条对称轴，求直线ax+ by+ c= 0的倾斜角.解析：f(x)= a2+ b2sin(x—©，其中tan 片£，将x=才弋入，得sin^—妨=±, n n n i n即4—片k n+ ^, k € Z,解得©= —k n—4, k € 乙所以tan ©= tan —k n—4 =— 1 =b，所以直线ax+ by+ c= 0的斜率为—a= 1,故倾斜角为n.a b 4解析：令x= 0,则l在y轴上的截距为2 + a；令y= 0,得直线l在x轴上的截距2 2为1+二依题意2+ a= 1+ ；,解得a= 1或a=-2.a a答案：1或—214. (2018武汉市模拟)若直线2x+y+ m= 0过圆x* 2+ y2-2x+ 4y= 0的圆心，则m的值为________________ .解析：圆x2+ y2- 2x+ 4y= 0 可化为(x- 1)2+ (y+ 2)2= 5,圆心为(1,- 2),则直线2x+ y+ m= 0 过圆心(1,- 2),故2-2+ m= 0, m= 0.答案：015. 设点A(- 1,0), B(1,0),直线2x+y-b= 0与线段AB相交，求b的取值范围.解析：b为直线y=-2x+ b在y轴上的截距，当直线y=-2x+ b过点A(- 1,0)则反射光线所在直线的斜率为()。
2019届高三文科数学同步优化探究(北师大版)课件：8-8-1直线与圆锥曲线的位置关系
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y＝kx＋2， 解析：由 2 y ＝x，
得 ky2－y＋2＝0，
若 k＝0，直线与抛物线有一个交点，则 y＝2， 1 若 k≠0，则 Δ＝1－8k＝0，∴k＝ ， 8 1 综上可知 k＝0 或 . 8 答案：C
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x2 y2 4．若 F(c,0)为椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的右焦点，椭圆 C a b x y 与直线 ＋ ＝1 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点在直线 x a b ＝c 上，则椭圆的离心率为( 3 A. 2 2 C. 2 1 B. 2 3 D. 3 )
答案：B
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1 x2 y2 5 ．过点 M(1,1) 作斜率为－ 的直线与椭圆 C ： 2 ＋ 2 ＝ 2 a b 1(a>b>0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭 圆 C 的离心率等于________．
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x y 因为直线 ＋ ＝1 在 x，y 轴上的截距分别为 a，b，所以不 a b 妨取 A(a,0)，B(0，b)，又线段 AB 的中点在直线 x＝c 上， a c 1 所以 c＝ ，即 e＝a＝ ，选 B. 2 2
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2019版同步优化探究文数(北师大版)练习第八章 第八节 第二课时 最值、范围、证明问题 Word版含解析
课时作业组——基础对点练．已知椭圆：＋＝(>>)的右顶点为()，过的焦点且垂直长轴的弦长为.()求椭圆的方程；()设点在抛物线：＝＋(∈)上，在点处的切线与交于点，.当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．解析：()由题意，得(\\(＝，·()＝.))从而(\\(＝，＝.))因此，所求的椭圆的方程为＋＝.()如图，设(，)，(，)，(，＋)，则抛物线在点处的切线斜率为′＝＝.直线的方程为：＝－＋.将上式代入椭圆的方程中，得＋(－＋)－＝，即(＋)－(－)＋(－)－＝.①因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以①式中的Δ＝[－＋(＋)－＋]>.②设线段的中点的横坐标是，则＝＝.设线段的中点的横坐标是，则＝.由题意，得＝，即＋(＋)＋＝.③由③式中的Δ＝(＋)－≥，得≥，或≤－.当≤－时，＋<－<，则不等式②不成立，所以≥.当＝时，代入方程③得＝－，将＝，＝－代入不等式②，检验成立．所以，的最小值为.．已知点(，－)，椭圆：＋＝(>>)的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．()求的方程；()设过点的动直线与相交于，两点，当△的面积最大时，求的方程．解析：()设()，由条件知，＝，得＝.又＝，所以＝，＝－＝.故的方程为＋＝.()当⊥轴时不合题意，故设：＝－，(，)，(，)，将＝－代入＋＝得(＋)－＋＝.当Δ＝(－)>，即>时，＝.从而＝－＝.又点到直线的距离＝，所以△的面积△＝＝.设＝，则>，△＝＝.因为＋≥，当且仅当＝，即＝±时等号成立，且满足Δ>，所以，当△的面积最大时，的方程为＝－或＝－－. .如图，在矩形中，＝，＝，为的中点，，分别是和上的点，且满足①＝，②直线与的交点在椭圆：＋＝(>>)上．()求椭圆的方程；()设为椭圆的右顶点，为椭圆第一象限部分上一点，作垂直于轴，垂足为，求梯形面积的最大值．解析：()设与的交点为(，)，(－，)，()，由题可知，＝，＝，＝，从而有＝，整理得＋＝，即为椭圆的方程．()由()知()，设(，)，则＝，从而梯形的面积＝(＋)＝，令＝＋，则<<，＝，令＝－，则′＝－＝(－)，当∈()时，′>，＝－单调递增，当∈()时，′<，＝－单调递减，。
2019年试题同步优化探究理数 北师大版 第八章 第二节 两直线的位置关系
课时作业 A 组——基础对点练1．已知直线(b ＋2)x －ay ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相平行，则点(a ，b )在( )A ．圆a 2＋b 2＝1上B ．圆a 2＋b 2＝2上C ．圆a 2＋b 2＝4上D ．圆a 2＋b 2＝8上解析：∵直线(b ＋2)x －ay ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相平行， ∴(b ＋2)(b －2)＝－a 2，即a 2＋b 2＝4.故选C. 答案：C2．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与经过点(－2,1)、斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为( ) A ．－23 B ．－32 C.23D.32 解析：由题意得，直线l 的斜率为k ＝2－a －2－a ＋2＝－1a (a ≠0)，所以－1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，所以a ＝－23，故选A. 答案：A3．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－12 B ．1 C ．2D.12解析：由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2.答案：C4．垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是() A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋2＝0解析：由题意可设圆的切线方程为y＝－x＋m，因为与圆相切于第一象限，所以m>0且d＝|m|2＝1，故m＝2，所以切线方程为x＋y－2＝0，故选A.答案：A5．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A．1B．2C. 2 D．2 2解析：由圆的标准方程(x＋1)2＋y2＝2，知圆心为(－1,0)，故圆心到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离d＝|－1－0＋3|2＝ 2.答案：C6．直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－5＝0解析：由题意可知，直线2x－y＋1＝0与直线x＝1的交点为(1,3)，直线2x－y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．因为直线2x－y＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.故选C.答案：C7．(2018·北京顺义区检测)若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是()A．－6<k<－2 B．－5<k<－3C．k<－6 D．k>－2解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋3k ＋14x －4y ＝－3k －2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以k ＋6>0且k ＋2<0，所以－6<k <－2.故选A. 答案：A8．(2018·哈尔滨模拟)已知直线3x ＋2y －3＝0与直线6x ＋my ＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( ) A ．4 B.132 C.21313D.71326解析：由直线3x ＋2y －3＝0与6x ＋my ＋7＝0互相平行，得m ＝4，所以直线分别为3x ＋2y －3＝0与3x ＋2y ＋72＝0.它们之间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪72＋332＋22＝132，故选B. 答案：B9．已知A (－2,1)，B (1,2)，点C 为直线y ＝13x 上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2 5D ．27解析：设B 关于直线y ＝13x 的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0－1＝－3，y 0＋22＝13×x 0＋12，解得B ′(2，－1)．由平面几何知识得|AC |＋|BC |的最小值即是|B ′A |＝(2＋2)2＋(－1－1)2＝2 5.故选C.答案：C10．圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线l：x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()A．36 B．18C．6 2 D．5 2解析：将圆C的方程x2＋y2－4x－4y－10＝0变形为(x－2)2＋(y－2)2＝18，可知圆心C(2,2)，半径r＝3 2.圆心C(2,2)到直线l：x＋y－14＝0的距离d＝|2＋2－14|12＋12＝5 2.所以圆C上的点到直线l的最大距离与最小距离的差为(d＋r)－(d－r)＝2r＝62，故选C.答案：C11．若在平面直角坐标系内过点P(1，3)且与原点的距离为d的直线有两条，则d的取值范围为．解析：|OP|＝2，当直线l过点P(1，3)且与直线OP垂直时，有d＝2，且直线l 有且只有一条；当直线l与直线OP重合时，有d＝0，且直线l有且只有一条；当0<d<2时，有两条．答案：0<d<212．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为．解析：设所求直线的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y－3k＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得|－2k－2＋4－3k|1＋k2＝|4k＋2＋4－3k|1＋k2，解得k＝2或k＝－23，即所求直线的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.答案：2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝013．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB 上，则ab 的最大值为 ．解析：由题得A (2,0)，B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12.由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12. 答案：1214．已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，求直线l 1的方程．解析：圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.由已知可设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋4×(－1)＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6.即直线l 1的方程为3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0.B 组——能力提升练1．已知直线l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( ) A ．－16 B ．6 C ．0D ．0或－16解析：由l 1∥l 2，得－3a －2a (3a －1)＝0，即6a 2＋a ＝0，所以a ＝0或a ＝－16，经检验都成立．故选D. 答案：D2．直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( ) A ．－12 B ．－14 C ．10D ．8解析：由直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，得2m －20＝0，m ＝10，直线10x ＋4y －2＝0过点(1，p )，有10＋4p －2＝0，解得p ＝－2，点(1，－2)又在直线2x －5y ＋n ＝0上，则2＋10＋n ＝0，解得n ＝－12.故选A. 答案：A3．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．10解析：如图，以C 为原点，CB ，CA 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0，a )，B (b,0)，则D (b 2，a 2)，P (b4，a 4)，由两点间的距离公式可得|P A |2＝b 216＋9a 216，|PB |2＝9b 216＋a 216，|PC |2＝b 216＋a216.所以|P A |2＋|PB |2|PC |2＝1016(a 2＋b 2)a 2＋b 216＝10.答案：D4．设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎨⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图像上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：不妨设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)，由于l 1⊥l 2，所以1x 1×(－1x 2)＝－1，则x 1＝1x 2.又切线l 1：y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，l 2：y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，于是A (0，lnx 1－1)，B (0,1＋ln x 1)，所以|AB |＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，解得x P ＝2x 1＋1x1.所以S △P AB ＝12×2×x P ＝2x 1＋1x1，因为x 1>1，所以x 1＋1x 1>2，所以S △P AB 的取值范围是(0,1)，故选A. 答案：A5．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝( ) A ．4 B ．6 C.345D.365解析：由题意可知纸的拆痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y ＝2x －3，即为点(7,3)与点(m ，n )连线的垂直平分线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315.故m ＋n ＝345.故选C.答案：C6．直线2x ＋3y －6＝0分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，P 是直线y ＝－x 上的一点，要使|P A |＋|PB |最小，则点P 的坐标是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(0,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12 解析：由已知可得B (0,2)，A (3,0)，A (3,0)关于直线y ＝－x 的对称点为A ′(0，－3)，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |，由几何意义知，当B ，P ，A ′共线时|P A ′|＋|PB |最小，即|P A |＋|PB |最小，此时直线BA ′与直线y ＝－x 的交点为(0,0)，即使|P A |＋|PB |取得最小值的点P 的坐标为(0,0)．故选C. 答案：C7．(2018·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( )A.102B.10 C ．5D ．10解析：由题意可知，P (0,1)，Q (－3,0)，且l ⊥m ， ∴M 在以PQ 为直径的圆上． ∵|PQ |＝9＋1＝10，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10，故选D. 答案：D8．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：由题知直线l 1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l 2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l 2所过定点为(0,2)，故选B. 答案：B9．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点是(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．4 B.13 C.15D.17解析：根据中点坐标公式得⎩⎨⎧x －22＝1，5－32＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1，所以点P 的坐标为(4,1)，所以点P (x ，y )到原点的距离d ＝(4－0)2＋(1－0)2＝17，故选D.答案：D10．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2B.823C. 3D.833 解析：因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)＝32a 2≠18a ≠2a ≠0，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝|6－23|2＝823，故选B. 答案：B11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝( ) A ．－ 6 B ．±6 C ．－ 5D ．±5解析：因为圆心C 到y 轴的距离为1，所以圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是有|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝±5，选D.答案：D12．平面上有相异两点A (cos θ，sin 2θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角的取值范围是 ． 解析：k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ， 又因为A ，B 两点相异，则cos θ≠0，sin 2θ≠1，所以k ＝tan α＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，那么直线AB 的倾斜角α的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π13．(2017·晋中模拟)直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是 ．解析：直线y ＝k (x －1)恒过点P (1,0)，且与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，画出图形(如图所示)，则直线落在阴影区域内．∵k P A ＝2－03－1＝1，k PB ＝3－02－1＝3，∴k 的取值范围是[1,3]． 答案：[1,3]14．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝ .解析：因为曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为|0－(－4)|2－2＝22－2＝2，则曲线C 1与直线l 不能相交，即x 2＋a >x ，所以x 2＋a －x >0.设C 1：y ＝x 2＋a 上一点(x 0，y 0)，则点(x 0，y 0)到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0|2＝－x 0＋x 20＋a 2＝(x 0－12)2＋a －142≥4a －142＝2，所以a ＝94.答案：9415．在平面直角坐标系内，求到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标． 解析：由已知得k AC ＝6－23－1＝2，k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，所以AC 的方程为y －2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0，①BD 的方程为y －5＝－(x －1)， 即x ＋y －6＝0，②百度文库：精选试题仔细审题、认真作答 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.所以直线AC 与直线BD 的交点为P (2,4)， 此点即为所求点．因为|P A |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|AC |＋|BD |， 取异于P 点的任一点P ′.则|P ′A |＋|P ′B |＋|P ′C |＋|P ′D |＝(|P ′A |＋|P ′C |)＋(|P ′B |＋|P ′D |) >|AC |＋|BD |＝|P A |＋|PB |＋|PC |＋|PD |.故P 点就是到A 、B 、C 、D 的距离之和最小的点．。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习第八章 第七节 双曲线 Word版含解析
课时作业组——基础对点练．已知为双曲线：－＝(>)的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为( )．．解析：双曲线方程为－＝，焦点到一条渐近线的距离为.选.答案：．已知双曲线－＝(>)的离心率为，则＝( )．．解析：因为双曲线的方程为－＝，所以＝＋＝，因此＝，＝.选.答案：．双曲线－＝－的渐近线方程为( )．±＝．±＝．±＝．±＝解析：依题意，题中的双曲线即－＝，因此其渐近线方程是－＝，即±＝，选.答案：．已知双曲线－＝的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且满足＋＝，则△的面积为( )．解析：在双曲线－＝中，＝，＝，＝.不防设点在双曲线的右支上，则有－＝＝，又＋＝，∴＝＋，＝－.又＝＝，而＋＝，∴⊥，∴△＝××＝×(＋)×(－)＝.故选.答案：．已知双曲线：－＝(>，>)，直线：＝－.若直线平行于双曲线的一条渐近线且经过的一个顶点，则双曲线的焦点到渐近线的距离为( )．．．解析：根据题意，双曲线的方程为－＝(>，>)，其焦点在轴上，渐近线方程为＝±，又由直线平行于双曲线的一条渐近线，可知＝，直线：＝－与轴的交点坐标为()，即双曲线的一个顶点坐标为()，即＝，则＝＝，故双曲线的焦点到渐近线的距离为，故选.答案：．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( )．．解析：不妨设双曲线的方程为－＝(>，>)，因为焦点()到渐近线－＝的距离为，所以＝，即＝，所以＝，所以该双曲线的离心率＝＝＝，故选.答案：．已知双曲线：－＝的离心率＝，且其右焦点为 ()，则双曲线的方程为( )－＝－＝－＝－＝解析：由题意得＝＝，又右焦点为()，＋＝，所以＝，＝，故双曲线的方程为－＝.答案：．已知双曲线－＝(>，>)的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线＋＝垂直，则双曲线的方程为( )．－＝－＝－＝－＝解析：由题意得＝，＝，则＝，＝，所以双曲线的方程为－＝.答案：．(·山西八校联考)已知双曲线：－＝(>，>)的左、右焦点分别为，，焦距为，直线＝(＋)与双曲线的一个交点满足∠＝∠，则双曲线的离心率为( )＋．＋解析：∵直线＝(＋)过左焦点，且其倾斜角为°，∴∠＝°，∠＝°，∴∠＝°，即⊥.∴＝＝，＝°＝，由双曲线的定义得＝－＝－，∴双曲线的离心率＝＝＝＋，选.答案：．已知，是双曲线：－＝(>，>)的两个焦点，是双曲线上一点，若＋＝，且△最小内角的大小为°，则双曲线的渐近线方程是( )．±＝±＝．±＝．±＝解析：不妨设>，则(\\(－＝，＋＝，))所以＝，＝，且＝，即为最小边，即∠＝°，则△为直角三角形，所以＝，所以＝，即渐近线方程为＝±，故选.答案：．已知双曲线：－＝(>，>)的焦距为，点()在的一条渐近线上，则的方程为( )－＝－＝－＝－＝解析：依题意(\\(＋＝＝()×))，解得(\\(＝＝))，∴双曲线的方程为－＝.答案：。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第八节 第二课时 最值、范围、证明问题 含解析
课时作业A 组——基础对点练1．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解析：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t .直线MN 的方程为：y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.①因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.②设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2). 设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12. 由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1.2．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得 (1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0， 即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1， 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第七节 双曲线 含解析
课时作业A 组——基础对点练1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A.3B ．3 C.3m D ．3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A. 答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52 D ．1解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D. 答案：D3．双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0B ．y ±2x ＝0C ．x ±4y ＝0D ．y ±4x ＝0解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2＝0，即x ±2y ＝0，选A.答案：A4．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1B. 3C. 5D.12解析：在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A.答案：A5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为( )A ．1B ．2 C. 5 D ．4解析：根据题意，双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知b a＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴的交点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B.答案：B6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A.5＋12 B ．2C. 2D ．2 2 解析：不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为a ，所以bc a 2＋b 2＝a ，即bc c ＝a ，所以b a ＝1，所以该双曲线的离心率e ＝c a ＝ 1＋(b a )2＝2，故选C.答案：C7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2 (5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析：由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1. 答案：C。
2019北师大版同步优化探究文数练习：第八章 第一节 直线的方程含解析
课时作业 A 组——基础对点练1．直线x ＋3y ＋a ＝0(a 为实常数)的倾斜角的大小是( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：直线x ＋3y ＋a ＝0(a 为实常数)的斜率为－33，令其倾斜角为θ，则tan θ＝－33，解得θ＝150°，故选D. 答案：D2．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －CB，∵AB <0，BC <0，∴－A B >0，－CB >0.∴直线过第一、二、三象限，不过第四象限，故选D.答案：D3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4]B ．[3π4，π)C ．[0，π4]∪(π2，π)D ．[π4，π2)∪[3π4，π)解析：由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是[3π4，π)．答案：B4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( ) A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．答案：D5．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1，故选C. 答案：C6．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎝⎛⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线l 的方程，可得斜率k ＝－1cos θ.因为cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， 所以k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4， 综上知，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4. 答案：C7．(2018·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．4x ＋3y ＋6＝0C ．3x ＋y ＋6＝0D ．3x －4y ＋10＝0解析：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.答案：A8．直线(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0过定点( ) A ．(1，－3) B ．(4,3) C ．(3,1)D ．(2,3)解析：2mx ＋x ＋my ＋y －7m －4＝0，即(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝7，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.则直线过定点(3,1)，故选C. 答案：C9．(2018·张家口模拟)直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0≤α≤π4B.π2<α<π C.π4≤α<π2D.π2<α≤3π4解析：直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α<π2.答案：C10．已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( ) A ．0 B ．2 C. 2D ．1解析：直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，此直线在x 轴，y轴上的截距和为a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D. 答案：D11．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0, 则点N 的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2,3) C ．(2,1)D ．(－2,1)解析：∵点N 在直线x －y ＋1＝0上， ∴可设点N 坐标为(x 0，x 0＋1)．根据经过两点的直线的斜率公式，得k MN ＝(x 0＋1)＋1x 0＝x 0＋2x 0.∵直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，直线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，∴k MN ×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，即x 0＋2x 0＝2，解得x 0＝2.因此点N 的坐标是(2,3)，故选B. 答案：B12．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)13．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________. 解析：令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－214．(2018·武汉市模拟)若直线2x ＋y ＋m ＝0过圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心，则m 的值为________．解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，圆心为(1，－2)，则直线2x ＋y ＋m ＝0过圆心(1，－2)，故2－2＋m ＝0，m ＝0. 答案：015．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，求b 的取值范围． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．B 组——能力提升练1．已知f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( ) A.π3 B.π6 C.π4D.3π4解析：令x ＝π4，则f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ＝ab ＝－1，其倾斜角为3π4.故选D.答案：D2．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0. 答案：A3．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，而这两点连线所在直线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2，故选A.答案：A4．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1－22，12) C ．(1－22，13] D ．[13，12)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a >0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点(－ba ，0)，结合图形(图略)知12×a ＋b a ＋1×(1＋b a )＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a >0，∴b 21－2b >0，解得b <12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故选B.答案：B5．已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当π2<α≤π时，tan α≤0，即k ≤0，而当k >1时，即tan α>1，则π4<α<π2，所以p 是q的必要不充分条件，故选B.答案：B6．若经过点(1,0)的直线l 的倾斜角是直线x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －4＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x ＋4y －3＝0D ．4x ＋3y －4＝0解析：设直线x －2y －2＝0的倾斜角为α，则其斜率tan α＝12，直线l 的斜率tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43.又因为l 经过点(1,0)，所以其方程为4x －3y －4＝0，故选A. 答案：A7．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：由题知，反射光线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径为1，且反射光线与该圆相切， ∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.答案：D8．已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( ) A.103 B ．－103C.1013D ．－1013解析：依题意，tan θ＝－3(θ∈[0，π))，所以23sin 2θ－cos 2θ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)3sin 2θ－cos 2θ＝2(tan 2θ＋1)3tan 2θ－1＝1013，故选C.答案：C9．(2018·天津模拟)已知m ，n 为正整数，且直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，则2m ＋n 的最小值为( ) A ．7B ．9C ．11D ．16解析：∵直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，∴2n ＝m (n －1)，∴m ＋2n ＝mn ，两边同除以mn 可得2m ＋1n ＝1，∵m ，n 为正整数，∴2m ＋n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫2m ＋1n ＝5＋2n m ＋2mn ≥5＋22n m ·2m n ＝9.当且仅当2n m ＝2mn时取等号． 故选B. 答案：B10．直线x cos θ－y －1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围为________．解析：直线的斜率为k ＝cos θ∈[－1,1]，即tan α∈[－1,1]，所以α∈[0，π4]∪[34π，π)．答案：[0，π4]∪[34π，π)11．过点A (1,2)且与直线x －2y ＋3＝0垂直的直线方程为________．解析：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，所以由垂直关系可得要求直线的斜率为－2，所以所求方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0. 答案：2x ＋y －4＝012．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：动直线x ＋my ＝0(m ≠0)过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)．由题意易得直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0垂直，即P A ⊥PB .所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝|AB |22＝12＋322＝5，即|P A |·|PB |的最大值为5. 答案：513．已知直线x ＝π4是函数f (x )＝a sin x －b cos x (ab ≠0)图像的一条对称轴，求直线ax ＋by ＋c＝0的倾斜角． 解析：f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)，其中tan φ＝b a ，将x ＝π4代入，得sin(π4－φ)＝±1，即π4－φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝－k π－π4，k ∈Z.所以tan φ＝tan ⎝⎛⎭⎫－k π－π4＝－1＝ba ，所以直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率为－ab ＝1，故倾斜角为π4.。
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课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·西安模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( ) A ．4 B ．3 3 C ．4 3D ．8解析：∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3,23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.答案：C2．已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( ) ①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3； ④y ＝－2x ＋3. A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7. 答案：C3．(2018·郴州模拟)过点P (－3，0)作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，设∠AOB ＝θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，当△AOB 的面积为34时，直线l 的斜率为( ) A.33B ．±33C. 3D ．±3解析：∵△AOB 的面积为34， ∴12×1×1×sin θ＝34， ∴sin θ＝32. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ＝π3，∴圆心到直线l 的距离为32. 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)， 即kx －y ＋3k ＝0， ∴32＝|3k |1＋k2， ∴k ＝±33.答案：B4．已知过定点(1,0)的直线与抛物线x 2＝y 相交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则(x 1－1)(x 2－1)＝________.解析：设过定点(1,0)的直线的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程x 2＝y 得x 2－kx ＋k ＝0，故x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝k ，因此(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1. 答案： 15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，则双曲线的渐近线方程为______________．解析：抛物线x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p 2，与双曲线的方程联立得x 2＝a 2(1＋p 24b2)，根据已知得a 2(1＋p 24b 2)＝c 2①.由|AF |＝c ，得p 24＋a 2＝c 2 ②.由①②可得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以所求双曲线的渐近线方程是y ＝±x . 答案：y ＝±x6．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条，则λ＝________.解析：∵使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条． ∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直． 此时A ，B 的横坐标为3，代入双曲线方程， 可得y ＝±2，故|AB |＝4.∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4， 综上可知|AB |＝4时，有三条直线满足题意． ∴λ＝4. 答案：47．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程． 解析：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k O M ＝510，从而b 2a ＝510， 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧5b 4＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.8.已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，且它的离心率e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →，求实数λ的取值范围．解析：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得：⎩⎨⎧4a 2＋3b 2＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8b 2＝6，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.(2)因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切， 所以|t ＋k |1＋k2＝1⇒2k ＝1－t 2t (t ≠0)，把y ＝kx ＋t 代入x 28＋y 26＝1并整理得：(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－24)＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8kt3＋4k 2， y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t3＋4k 2，因为λOC →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以C ⎝⎛⎭⎪⎫－8kt (3＋4k 2)λ，6t(3＋4k 2)λ， 又因为点C 在椭圆上，所以， 8k 2t 2(3＋4k 2)2λ2＋6t 2(3＋4k 2)2λ2＝1 ⇒λ2＝2t 23＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎫1t 22＋1t2＋1， 因为t 2>0，所以⎝⎛⎭⎫1t 22＋1t 2＋1>1，所以0<λ2<2，所以λ的取值范围为(－2，0)∪(0，2)．B 组——能力提升练1．已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327解析：由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有ax 21＋by 21＝0①，ax 22＋by 22＝0②，由①－②得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22)，即a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)，由题意可知x 1≠x 2，且x 1＋x 2≠0，∴y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－a b ，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，∴－32×(－1)＝－a b ，∴a b ＝－32，故选A. 答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为42，虚轴的一个端点与抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点重合，直线y ＝kx －1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：由抛物线x 2＝2py (p >0)可知其焦点为⎝⎛⎭⎫0，p 2，所以b ＝p2，又a ＝22，因此双曲线的方程为x 28－4y 2p 2＝1，渐近线方程为y ＝±p42x .直线y ＝kx －1与双曲线的一条渐近线平行，不妨设k ＝p42，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p 42x －1，x 2＝2py可得x 2＝2p ⎝⎛⎭⎫p 42x －1＝p 222x －2p ，得x 2－p222x ＋2p ＝0，则Δ＝⎝⎛⎭⎫－p 2222－8p ＝0，解得p ＝4.故选A.答案：A3．在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________． 解析：设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0， ∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1， y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由⎝⎛⎭⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1.答案：(－2,4)，(1,1)4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________. 解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，焦点为F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由抛物线的定义可知|AF |＝x 1＋1＝3，所以x 1＝2，所以y 1＝±22，由抛物线关于x 轴对称，假设A (2,22)，由A ，F ，B 三点共线可知直线AB 的方程为y －0＝22(x －1)，代入抛物线方程消去y 得2x 2－5x ＋2＝0，求得x ＝2或12，所以x 2＝12，故|BF |＝32.答案：325．定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝12及点A (－2，0)，动点P 到圆M 的距离与到点A 的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W . (1)求曲线W 的方程；(2)过原点的直线l (l 不与坐标轴重合)与曲线W 交于不同的两点C ，D ，点E 在曲线W 上，且CE ⊥CD ，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线DE 、CF 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1k 2.解析：(1)由题意知：点P 在圆内且不为圆心，易知|P A |＋|PM |＝23>22＝|AM |，所以P 点的轨迹为以A 、M 为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝23，2c ＝22⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝ 2.所以b 2＝1，故曲线W 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设C (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，E (x 2，y 2)，则D (－x 1，－y 1)，则直线CD 的斜率为k CD ＝y 1x 1，又CE ⊥CD ，所以直线CE 的斜率是k CE ＝－x 1y 1，记－x 1y 1＝k ，设直线CE 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6mk1＋3k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋3k 2，由题意知x 1≠x 2，∴k 1＝k DE ＝y 2＋y 1x 2＋x 1＝－13k ＝y 13x 1，∴直线DE 的方程为y ＋y 1＝y 13x 1(x ＋x 1)， 令y ＝0，得x ＝2x 1，即F (2x 1,0)． 可得k 2＝－y 1x 1.∴k 1k 2＝－13.6．已知椭圆K ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝22，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线x －3y ＋2＝0相切． (1)求K 的方程；(2)过F 2的直线l 交K 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交K 于点C ，若四边形OACB 的面积S 满足： a 2＝3S ，求直线l 的斜率．解析：(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，21＋3＝c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1.故椭圆K 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由于直线l 的倾斜角不可为零，所以设直线l 的方程为my ＝x －1， 与x 22＋y 2＝1联立并化简可得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0. 设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，可得y 0＝－m m 2＋2，x 0＝my 0＋1＝2m 2＋2.设C (x ，y )，又OC →＝λOM →(λ>0)， 所以x ＝λx 0，y ＝λy 0.因为C 在K 上，故λ2(x 202＋y 20)＝1⇒m 2＋2＝λ2.① 设h 1为点O 到直线l 的距离，h 2为点C 到直线l 的距离，则h 1h 2＝|OM →||MC →|＝1λ－1⇒h 2＝(λ－1)h 1.又由点到直线的距离公式得， h 1＝11＋m2＝1λ2－1.而|AB |＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝22(1＋m 2)m 2＋2＝22(λ2－1)2，所以S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝2(λ2－1)λ2·λλ2－1＝2λ2－1λ.由题意知，S ＝a 23＝23，所以2λ2－1λ＝23⇒λ＝ 3.将λ＝3代入①式得m＝±1，所以直线l的斜率为±1.。