专题19 简单的三角恒等变换(押题专练)-2019年高考数学(文)一轮复习精品资料(原卷版)
高考数学一轮复习练习 简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换基础巩固组1.函数f (x )=(√3sin x+cos x )(√3cos x-sin x )的最小正周期是( ) A.π2B.πC.3π2D.2π2.(2020陕西榆林一模,理7)已知α∈(0,π),2sin 2α=cos 2α-1,则sin α=( ) A.15B.√55C.-√55D.2√553.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=( ) A.43B.-43C.43或0D.-43或04.(2020山东德州二模,5)已知α终边与单位圆的交点P (x ,-35),且sin αcos α>0,则√1-sin2α+√2+2cos2α的值等于( ) A.95 B.75 C.65D.35.已知cos 2π3-2θ=-79,则sin π6+θ的值等于( ) A.13B.±13C.-19D.196.已知α∈0,π2,sin α-cos α=√55,则tan α+π4=( )A.-32B.-23C.-3D.-137.(多选)下列各式中,值为12的是( ) A.cos 2π12-sin 2π12B.tan22.5°1-tan 222.5°C.2sin 195°cos 195°D.√1+cos π628.(多选)(2020山东潍坊临朐模拟二,10)已知函数f (x )=sin x sin (x +π3)−14的定义域为[m ,n ](m<n ),值域为[-12,14],则n-m 的值可能是( ) A.5π12B.7π12C.3π4D.11π129.(2020山东历城二中模拟四,14)已知tan α2=√52,则sin π2+α= . 10.(2020山东济南一模,13)已知cos 2α-π3=23,则12-sin 2α-π6的值为 .11.(2020山东潍坊二模,14)已知α∈0,π2,sin α-π4=√55,则tan α= .12.(2020陕西西安中学八模,文14)若α∈0,π2,且2cos 2α=sin α+π4,则sin 2α的值为 .综合提升组13.已知f (x )=sin 2x+sin x cos x ,则f (x )的最小正周期和一个单调递增区间分别为( ) A.π [0,π] B.2π -π4,3π4 C.π-π8,3π8D.2π-π4,π414.已知m=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ),若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=( )A.-1B.34 C.32D.215.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cos(α-β)的值为 . 16.(2020山东泰安一模,13)已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sin β-π4=1213,则cos α+π4= .创新应用组17.(多选)(2020山东滨州二模,11)已知函数f (x )=(a sin x+cos x )cos x-12的图像的一条对称轴为x=π6,则下列结论中正确的是( ) A.f (x )是最小正周期为π的奇函数 B.(-7π12,0)是f (x )图像的一个对称中心 C.f (x )在区间[-π3,π3]上单调递增D.先将函数y=2sin 2x 图像上各点的纵坐标缩短为原来的12,然后把所得函数图像再向左平移π12个单位长度,即可得到函数f (x )的图像18.(2020河北邢台模拟,理12)已知定义域为R 的函数f (x )满足f 12=12,f'(x )+4x>0,其中f'(x )为f (x )的导函数,则不等式f (sin x )-cos 2x ≥0的解集为 ( )A.-π3+2k π,π3+2k π,k ∈Z B.-π6+2k π,π6+2k π,k ∈Z C.π3+2k π,2π3+2k π,k ∈Z D.π6+2k π,5π6+2k π,k ∈Z参考答案课时规范练21 简单的三角恒等变换1.B f (x )=2sin x+π6×2cos x+π6=2sin 2x+π3,故最小正周期T=2π2=π,故选B .2.D ∵α∈(0,π),∴sin α>0,∵2sin 2α=cos 2α-1,即4sin αcos α=(1-2sin 2α)-1,整理得cos α=-12sin α,代入sin 2α+cos 2α=1,解得sin α=2√55.故选D .3.C 因为2sin 2α=1+cos 2α,所以2sin 2α=2cos 2α.所以2cos α(2sin α-cos α)=0,解得cos α=0或tan α=12.若cos α=0,则α=k π+π2,k ∈Z ,2α=2k π+π,k ∈Z ,所以tan 2α=0.若tan α=12,则tan 2α=2tanα1-tan 2α=43.综上所述,故选C .4.A 已知α终边与单位圆的交点P x ,-35,且sin αcos α>0,∴x<0,故x=-45,∴sin α=-35,cos α=x=-45.则√1-sin2α+√2+2cos2α=|cos α-sin α|+√4cos 2α=15+85=95.故选A . 5.B ∵cos2π3-2θ=-79,∴cos π-π3+2θ=-cosπ3+2θ=-cos 2π6+θ =-1-2sin 2π6+θ=-79,解得sin 2π6+θ=19,∴sinπ6+θ=±13.故选B .6.C ∵sin α-cos α=√55,则(sin α-cos α)2=15,即1-sin 2α=15,得sin 2α=45,∴(sin α+cos α)2=1+sin 2α=1+45=95,则sin α+cos α=3√55,又sin α-cos α=√55,∴sin α=2√55,cos α=√55,∴tan α=2,∴tan α+π4=tanα+11-tanα=2+11-2=-3.7.BC cos 2π12-sin 2π12=cos 2×π12=cos π6=√32,故A 错误;tan22.5°1-tan 222.5°=12·2tan22.5°1-tan 222.5°=12tan 45°=12,故B 正确;2sin 195°cos 195°=2sin(180°+15°)cos(180°+15°)=2sin 15°cos 15°=sin 30°=12,故C 正确; √1+cos π62=√2+√34=√2+√32≠12,故D 错误.故选BC .8.AB f (x )=sin x sin x+π3-14=sin x 12sin x+√32cos x -14 =14(1-cos 2x )+√34sin 2x-14 =12√32sin 2x-12cos 2x =12sin 2x-π6.作出函数f (x )的图像如图所示,在一个周期内考虑问题.易得{m =π2,5π6≤n ≤7π6或{π2≤m ≤5π6,n =7π6满足题意,所以n-m 的值可能为区间[π3,2π3]上的任意实数.故选AB . 9.-19 sin π2+α=cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos2α2-sin2α2cos2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2=1-541+54=4-54+5=-19.10.13∵cos2α-π3=23,∴12-sin2α-π6=12−1-cos2(α-π6)2=12cos2α-π3=12×23=13.11.3∵α∈0,π2,∴α-π4∈-π4,π4,由sinα-π4=√55,得cosα-π4=2√55.∴sin α=sinα-π4+π4=sinα-π4cosπ4+cosα-π4sinπ4=√55×√22+2√55×√22=3√1010,cos α=√1-sin2α=√1010,∴tan α=3.12.78由2cos 2α=sinα+π4,得2cos 2α=√22sin α+√22cos α,两边平方得4cos22α=12(1+sin 2α),即8(1-sin22α)=1+sin 2α,整理得(7-8sin 2α)(1+sin 2α)=0,又α∈0,π2,所以sin 2α=78或sin 2α=-1(舍去).13.C f(x)=sin2x+sin x cos x=1-cos2x2+12sin 2x=1 2+√22√22sin 2x-√22cos 2x=1 2+√22sin2x-π4,则T=2π2=π.又∵2k π-π2≤2x-π4≤2k π+π2(k ∈Z ),∴k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间.故选C . 14.D ∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+β+γ)sin(α+β-γ),∴12tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β), 故m=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ)=2,故选D . 15.2327 ∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π).∵cos α=13,∴cos 2α=2cos 2α-1=-79,∴sin 2α=√1-cos 22α=4√29. ∵α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√23,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) =-79×-13+4√29×2√23=2327.16.-5665∵α,β∈3π4,π,∴α+β∈3π2,2π,∴cos(α+β)=√1-sin 2(α+β)=45. 又β-π4∈π2,3π4,sin β-π4=1213,∴cos β-π4=-√1-sin 2(β-π4) =-513.∴cos α+π4=cos (α+β)-β-π4=cos(α+β)cos β-π4+sin(α+β)sin β-π4=45×-513+-35×1213=-5665. 17.BD 函数f (x )=(a sin x+cos x )cos x-12=a sin x cos x+cos 2x-12=12a sin 2x+12cos 2x ,因为f (x )图像的一条对称轴为x=π6,所以f (0)=f (π3),即12=12a ×√32+12×(-12),解得a=√3,所以f (x )=√32sin 2x+12cos2x=sin (2x +π6).所以f (x )的最小正周期为π,但不是奇函数,故A 错误;f (-7π12)=sin (-7π6+π6)=f (-π)=0,所以(-7π6,0)是f (x )图像的一个对称中心,故B 正确;x ∈[-π3,π3]时,2x+π6∈[-π2,5π6],所以f (x )在区间[-π3,π3]上不是单调函数,故C 错误;将函数y=2sin 2x 图像上各点的纵坐标缩短为原来的12(横坐标不变),得y=sin 2x 的图像,再把所得函数图像向左平移π12个单位长度,得y=sin 2(x +π12)=sin 2x+π6的图像,即函数f (x )的图像,故D 正确.故选BD .18.D 令g (x )=f (x )+2x 2-1,g'(x )=f'(x )+4x>0,故g (x )在R 上单调递增,且g 12=f 12+2×122-1=0,所以f (sin x )-cos 2x=f (sin x )+2sin 2x-1≥0,即g (sin x )≥g 12,则sin x ≥12,解得π6+2k π≤x ≤5π6+2k π,k ∈Z .故选D .。
2019年高考数学一轮复习专题4.6简单的三角恒等变换(练)
π
2
1
【解析】 sin θ － 4 ＝ 10 ，得 sin θ － cos θ＝ 5，①
π
24
7
4
θ∈ 0， 2 ，①平方得 2sin θ cos θ ＝25，可求得 sin θ ＋ cos θ ＝ 5，∴ sin θ＝ 5，
3
4
2tan θ
24
cos
θ ＝ 5，∴ tan
θ＝ 3， tan 2
θ ＝1－ tan 2
为 S.
(1) 求 S 关于 θ 的函数关系式； (2) 求 S 的最大值及相应的 θ 角．
5
6
α ＝－
. 5
1
π
1
3
由 tan
β＝ 3， 0<β < 2 得 sin
β＝
， cos β＝ 10
. 10
所以 sin( α － β ) ＝sin α cos β － cos α sin β＝
25 －5
3 10
－
－
5 5
1
2
10 ＝－ 2 .
3π
π
又由 π <α< 2 ， 0<β < 2 可得
－π2
<－
【基础巩固】 一、填空题 1．sin 20 °cos 10 °－ cos 160 °sin 10 °＝ ________.
1 【答案】 2 【解析】 sin 20 °cos 10 °－ cos 160 °sin 10 °＝ sin 20 °cos 10 °＋ cos 20 °sin 10 °
1 ＝sin 30 °＝ 2. 2． (1 ＋tan 17 °)(1 ＋tan 28 °) 的值是 ________． 【答案】 2 【解析】原式＝ 1＋tan 17 °＋ tan 28 °＋ tan 17 °· tan 28 ° ＝1＋ tan 45°(1 －tan 17 °· tan 28 °) ＋tan 17 °· tan 28 ° ＝1＋ 1＝ 2.
精品(浙江专版)2019年高考数学一轮复习 专题4.3 简单的三角恒等变换(练)
第03节简单的三角恒等变换A 基础巩固训练1.【2018年全国卷Ⅲ文】若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由公式可得。
详解：故答案为B.2.【浙江高三模拟】已知，，则________．【答案】.【解析】∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴.3.【2018湖北,部分重点中学7月联考】已知，则，= .【答案】【解析】由同角三角函数基本定理得解得，，，．4.【2018江西（宜春中学、丰城中学、樟树中学、高安二中、丰城九中、新余一中）六校上学期第五次联考】已知，，则__________．【答案】5.【浙江省杭州二中】已知,,，且，则________，_______. 【答案】，【解析】因为，所以，因为，所以，即，因为，所以，所以，因为，，所以，，所以，所以答案应填：，．B能力提升训练1. 若且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，，，，所以，当时，，所以“”是“”的充分不必要条件.故选.2.【2018届重庆市第三次抽测】已知直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据直线的斜率得到的值，再利用二倍角公式和同角的三角函数的基本关系式把化为关于的关系式即可.详解：由题设有，.故选A.3. 已知，且，则的是（）A． B． C． D．【答案】C4.【2018安徽蚌埠市第二中学7月】已知，则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】根据二倍角公式，，即，所以，故选择A.5.【2018届湖北省黄冈中学5月第三次模拟】已知，是方程的两根，则（）A. B. 或 C. D.【答案】D【解析】分析：根据韦达定理，利用两角和的正切公式求得的值，根据二倍角的正切公式列过程求解即可.详解：，是方程的两根，，，，，，，，得或（舍去），故选D.C思维扩展训练1.已知，满足，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，得，∵，∴，，，即时等号成立，所以，所以．选B．2.【2017浙江台州4月调研】已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A3.已知，则．【答案】-1【解析】注意观察求知角x和已知角的关系可发现求知角均能用已知角和特殊角表示出来，再用和差角公式展开即可求得结果．故答案为：-1．4.已知，则．【答案】5. 在平面直角坐标系中，已知向量.（1）若，求向量与的夹角；（2）当，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用两向量的夹角余弦等于两向量的数量积除以两向量的模的乘积即夹角公式即可；（II）利用向量的的有关知识化简函数得，再利用正弦函数的单调性求其最大值试题解析：（1）因为，，，，所以.（2）因为，所以，又所以，因，所以，所以，从而.。
简单的三角恒等变换习题
简单的三角恒等变换一、知识清单1．;__________2sin =α2．______;_________________________________2cos ===α3．⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠=Z k ,k 4______________2tan ππαα 4．.________________sin =α25．.________________cos =α2二、同步练习1.求证（1）cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin2α. （2） αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a（3）2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x （4）4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ（5）在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22．2.化简求值（1）θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ （2）设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1--α（3）已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12.求tan α及sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．3.已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值，并指出此时x 的值.4.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形5.若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( ) A ．±173 B ．－173 C.13 D.1736.已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 7.已知函数 f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；② f (x )的最小正周期是2π；③ f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④ f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，其中为真命题的是( ) A ．①②④ B ．①③ C ．②③ D ．③④8.若函数 f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数 9.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( )A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 10.已知函数. (1) 求的最小正周期. (2) 求的单调递增区间11.已知函数.（1）求的最小正周期和对称轴；（2）若，求的值域.12.(12分)如图, 现要在一块半径为1m, 圆心角为的扇形纸报AOB上剪出一个平行四边形MNPQ, 使点P在弧AB上, 点Q在OA上, 点M、N在OB上, 设∠BOP＝, 平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的角.13.（本小题满分10分）已知函数，求：（I）的最小正周期；（Ⅱ）的最大值与最小值，以及相应的.。
2019年高考数学(文)一轮复习题 第七单元 三角恒等变换与解三角形
������ + ������ - ������ ∴cosA= 2������������
2
2
2
=
2× 3a× 3a
5
2
=- 10 .
10
【答案】C 6.(2016 年全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosA=5,cosC=13,a=1,则 b= .
∴sin(B+C)=2sinBsinC, ∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,等号两边同时除以 cosBcosC,得 tanB+tanC=2tanBtanC. ∴tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=tan������tan������ - 1=tan������tan������ - 1. ① ∵A,B,C 均为锐角, ∴tanBtanC-1>0,∴tanBtanC>1.
第七单元 三角恒等变换与解三角形
考点一 三角恒等变换
1.(2017 年江苏卷)若 tan ������ - 4 =6,则 tanα= .
( )
π π
1
【解析】tanα=tan ������ - 4 + 4
[( ) ]
π
( π) π 1 +1 7 6 = =5. 1 π π= 1 ‒ tan(������ - 4)tan4 1 ‒ 6 × 1
3 3 1 1
π
3
π
π
π
9
7
A.- 2 B. 2 C.-2 D.2 【解析】sin20°cos10°cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=2,故选 D. 【答案】D
高考数学(文)一轮复习精品资料：专题21 简单的三角恒等变换(押题专练)(含答案解析)
1．已知sin2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.13 B ．－13C.23 D ．－23解析：cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝1＋132＝23，故选C 。
答案：C2．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是( )A ．1 B.1＋32C.32 D ．1＋ 3答案：C3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π12 B ．x ＝π6 C ．x ＝－π12 D ．x ＝－π24解析：对函数进行化简可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6，则由4x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π12，k ∈Z 。
当k ＝0时，x ＝π12.故选A 。
答案：A4．如图，已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，BP ⊥AC ，BP ＝PC ，CD ＞AB ，则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合的是( )A ．AB 与AD B ．AB 与BCC ．BD 与BC D ．AD 与AP答案：D5．设a ＝22(sin56°－cos56°)，b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′，d ＝12(cos80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞d ＞cB ．b ＞a ＞d ＞cC ．d ＞a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞d ＞b解析：a ＝sin(56°－45°)＝sin11°。
2019年高考数学一轮复习：三角恒等变换
2019年高考数学一轮复习：三角恒等变换三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝____________________. (2)cos(α±β)＝____________________. (3)tan(α±β)＝____________________. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝______________．(2)cos2α＝___________＝___________＝___________．(3)tan2α＝.3．半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2＝±1－cos α2.(2)cos α2＝±1＋cos α2.(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.4．几个常用的变形公式 (1)升幂公式：1±sin α＝；1＋cos α＝；1－cos α＝．(2)降幂公式：sin 2α＝；cos 2α＝．(3)tan α±tan β＝______________________；tan αtan β＝tan α－tan βtan （α－β）－1＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）.(4)辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，或tan φ＝，φ角所在象限与点(a ，b )所在象限________，φ角的终边经过点(a ，b )．自查自纠1．(1)sin αcos β±cos αsin β (2)cos αcos β∓sin αsin β(3)tan α±tan β1∓tan αtan β2．(1)2sin αcos α(2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α (3)2tan α1－tan 2α4．(1)⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22 2cos 2α2 2sin 2α2 (2)1－cos2α2 1＋cos2α2 (3)tan(α±β)(1∓tan αtanβ)(4)aa 2＋b 2b a 2＋b 2 ba相同(2015·全国卷Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12 解：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.故选D .(2016·全国卷Ⅱ)若tan θ＝13，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－15 C.15 D.45解：因为tan θ＝13，所以cos θ＝3sin θ，根据同角三角函数关系可得sin 2θ＋9sin 2θ＝1，sin 2θ＝110.由倍角公式，cos2θ＝1－2sin 2θ＝45.故选D .(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 的最大值为( )A.65 B ．1 C.35 D.15解：f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎫x －π6 ＝15⎝⎛⎭⎫sin x ·12＋cos x ·32＋cos x ·32＋sin x ·12 ＝35sin x ＋335cos x ＝35·2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，最大值为65. 故选A .(2017·江苏)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________.解：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.故填75. (2016·上海)方程3sin x ＝1＋cos2x 在区间[0，2π]上的解为________．解：3sin x ＝1＋cos2x ，即3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)，所以在区间[]0，2π上的解为π6或5π6.故填π6或5π6.类型一 非特殊角求值问题(1)(2017·山东)已知cos x ＝34，则cos2x ＝( )A ．－14 B.14 C ．－18 D.18解：由cos x ＝34得cos2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝⎛⎭⎫342－1＝18.故选D .(2)(教材复习参考题)sin50°(1＋3tan10°)＝________.解：sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°⎝⎛⎭⎫1＋3×sin10°cos10° ＝sin50°×cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°×2×⎝⎛⎭⎫12cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.故填1.(3)(福建漳州2017届八校联考)已知tan α＝2(α∈(0，π))，则cos ⎝⎛⎭⎫52π＋2α＝( )A.35B.45 C ．－35 D ．－45 解：由tan α＝2得sin α＝2cos α，sin 2α＋cos 2α＝1，得4cos 2α＋cos 2α＝1，cos 2α＝15，cos ⎝⎛⎭⎫52π＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝－sin2α＝－2sin αcos α＝－4cos 2α＝－45.故选D .【点拨】解决非特殊角求值问题的基本思路有：(1)化非特殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项，消去后求值；(3)化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；(4)当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．(1)(2016·四川)cos 2π8－sin 2π8＝________.解： 根据二倍角公式有cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.故填22.(2)(2015·长沙模拟)3tan12°－3sin12°（4cos 212°－2）＝________.解：3tan12°－3sin12°（4cos 212°－2）＝3（sin12°－3cos12°）2cos24°sin12°cos12°＝23sin （12°－60°）12sin48°＝－4 3.故填－43.(3)(2015·浙江模拟)tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值等于( )A. 3B.33 C ．－33 D ．－ 3解：因为tan120°＝tan70°＋tan50°1－tan70°·tan50°＝－3，所以tan70°＋tan50°－3tan70°·tan50°＝－ 3.故选D .类型二 给值求值问题(1)(2015·江苏)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 解：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17＋21－27＝3.故填3.(2)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．解：cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，α为锐角，则α＋π6为锐角， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35， 由二倍角公式得sin2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425，cos2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4 ＝2425×22－725×22＝17250.故填17250.(3)(2016·沈阳十一中联考)若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A. －12B. 12C. 2D. －2解：由cos α＝－45，α是第三象限角，得sin α＝－35， 1＋tanα21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sinα2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.故选A .【点拨】给值求值问题，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角或式子的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．另掌握常用的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；20，21，29)，可简化计算．(1)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为( ) A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 解：sin2αsin2β＝sin[（α＋β）＋（α－β）]sin[（α＋β）－（α－β）]＝sin （α＋β）cos （α－β）＋cos （α＋β）sin （α－β）sin （α＋β）cos （α－β）－cos （α＋β）sin （α－β）＝tan （α＋β）＋tan （α－β）tan （α＋β）－tan （α－β）＝13.故选A .(2)(2015·汕头模拟)已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45 B ．－45 C.415 D ．－35 解：cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2＝1－91＋9＝－45.故选B .(3)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12 B.12 C ．－13 D.2327解：因为α∈⎝⎛⎫0，π2，2α∈(0，π)，cos α＝13，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－79，sin2α＝1－cos 22α＝429.而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝223.所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋429×223＝2327.故选D. 类型三 给值求角问题(福州外校2017届高三适应性考试)已知A ，B 均为钝角，sin 2A2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，且sin B ＝1010，则A ＋B ＝( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.7π6解：由题意知12(1－cos A )＋12cos A －32sin A ＝12－1510，得sin A ＝55，sin B ＝1010. A ，B 均为钝角，π<A ＋B <2π，cos A ＝－255，cos B＝－31010，cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22>0，那么，3π2<A ＋B <2π，所以A ＋B ＝7π4.故选C .【点拨】给值求角问题，可转化为“给值求值”问题，解得所求角的某一三角函数值，结合所求角的范围及函数的单调性可求得角．(2016·苏北四市调研)已知 π2<α<π，－π<β<0，tan α＝－13，tan β＝－17，则2α＋β等于________．解：tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－131－⎝⎛⎭⎫－132＝－34，tan(2α＋β)＝tan2α＋tan β1－tan2αtan β＝－34－171－⎝⎛⎭⎫－34×⎝⎛⎭⎫－17＝－1.因为π2<α<π，－1<tan α＝－13<0，所以34π<α<π，32π<2α<2π.①又－π<β<0，tan β＝－17<0，所以－π2<β<0.②由①②知，π<2α＋β<2π.又tan(2α＋β)＝－1，所以2α＋β＝7π4.故填7π4.类型四 三角恒等变换与三角函数性质的综合应用(2017·北京)已知f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 解：(1)f (x )＝32cos2x ＋32sin2x －sin2x＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≥sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.【点拨】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题．要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等．(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x－3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．解：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos2x )＝12sin2x －32cos2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，f (x )的最大值为1－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，有0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2时，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π时，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．1．深层次领悟公式的功能、规律与内涵 对三角公式，知其结构特征仅是第一层面要求，重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵．如1±sin2α＝(sin α±cos α)2有并项的功能，cos2α＝cos 2α－sin 2α有升幂的功能，sin2α＝2sin αcos α有将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示的是同名不同角的正切函数的关系等．2．余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很有必要的．3．三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明．对于有条件的恒等证明，需要注意的问题有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是充分利用条件，特别是将条件变形整理后使用．4．熟知一些恒等变换的技巧 (1)公式的正用、逆用及变形用．(2)熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α3是2α3的半角，α2是α4的倍角等． (3)在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，例如：1＝tan π4，1＝sin 2α＋cos 2α等．(4)在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的．总之，三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．1．(2016·韶关1月调研)cos 2165°－sin 215°＝( ) A.12 B.22 C.32 D.33 解：cos 2165°－sin 215°＝cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32.故选C . 2．若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解：sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6.故选D .3．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725解：cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫352－1＝－725，又cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin2α，所以sin2α＝－725.故选D .4．(传统经典题)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解：因为α，β均为锐角，所以－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4.故选C .5．(2016·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos2α，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝( ) A.1＋358 B.1＋538C.1－358D.1－538解：由7sin α＝2cos2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，所以sin α＝－2(舍去)或sin α＝14.因为α为锐角，所以cos α＝154，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358.故选A . 6．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2解：由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，因为－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，所以α－β＝π2－α，2α－β＝π2.故选C .7．(2016·江苏)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．解：由sin2x ＝cos x ⇒cos x ＝0或sin x ＝12，因为x ∈[0，3π]，所以x ＝π2，3π2，5π2，π6，5π6，13π6，17π6，共7个．故填7.8．(2017·武汉调研)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.解：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)．所以α＋β＝π3.故填π3.9．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 解：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010， (2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.10．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫32sin2x －12cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，求角A 的值．解：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，两边同除以cos B ·cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan (π－A )＝tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－21－（1－2）＝－1，得tan A ＝1，所以A ＝π4.1．(2017·山东)函数y ＝3sin2x ＋cos2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3C ．πD ．2π解：因为y ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以其最小正周期T ＝2π2＝π.故选C .2．(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为cos2α＝cos 2α－sin 2α＝0，所以sin α＝cos α或sin α＝－cos α，则“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．故选A .3．化简cos85°＋sin25°cos30°cos25°等于( )A ．－32 B.22 C.12D ．1解：原式＝sin5°＋32sin25°cos25°＝sin （30°－25°）＋32sin25°cos25°＝12cos25°cos25°＝12.故选C . 4．(2017·杭州二次质检)函数f (x )＝3sin x 2cos x2＋4cos 2x2(x ∈R )的最大值等于( )A ．5 B.92 C.52 D ．2解：由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤⎝⎛⎭⎫322＋22＋2＝92.故选B .5．(2016·揭阳模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则sin2x ＝( )A ．－35 B.105 C.35 D ．1解法一：因为tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x1－tan x ＝2，所以tan x＝13，cos x ＝3sin x ，由cos 2x ＋sin 2x ＝1，得sin 2x ＝110，则sin2x ＝6sin 2x ＝35.解法二：因为tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2，所以tan x＝13，所以sin2x ＝2sin x cos x ＝2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x 1＋tan 2x＝35.故选C . 6．(2017·四川泸州四诊)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝( ) A.58 B ．－78 C ．－58 D.78解：由题意sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos(π6＋α)＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝2cos 2(π6＋α)－1＝－78.故选B .7．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．解：f (x )＝2cos x ＋sin x ＝22＋12sin(x ＋φ)≤22＋12＝5，其中tan φ＝2.故填5.8．(2016·瑞安八校联考)已知tan ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝3，则tan α＝________，sin αcos 3α＝________.解：已知tan ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝3，得tan 3π4＋tan α1－tan 3π4tan α＝3，即－1＋tan α1＋tan α＝3，解得tan α＝－2.sin α＝－2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得5cos 2α＝1，cos 2α＝15，所以sin αcos 3α＝－2cos αcos 3α＝－2cos 2α＝－10.故填－2；－10. 9．(2017·浙江)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )．(1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值．(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解：(1)f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos2x －3sin2x＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 则f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝2. (2)f (x )的最小正周期为π.令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .10．(2016·北京)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋ cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Ζ)．(2016·河南六市联考)设a ＝12cos2°－32sin2°，b ＝2tan14°1－tan 214°，c ＝1－cos50°2，则有( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 解：利用三角公式化简得a ＝12cos2°－32sin2°＝cos(60°＋2°)＝cos62°＝sin28°，b ＝tan28°，c ＝sin 225°＝sin25°.因为sin25°<sin28°<tan28°，所以c <a <b .故选D .2019年高考数学一轮复习第9 页共9 页。
简单的三角恒等变换专题及答案
简单的三角恒等变换专题及答案简单的三角恒等变换专题一、选择题1.已知sinα＝5115，则cos(π－2α)＝()。
答案：B。
通过sinα和cos(π－2α)的关系，可以得到cos(π－2α)＝－sinα＝－(1/5115)。
2.sin70°/(2cos10°－sin20°)的值是()。
答案：C。
通过三角函数的恒等变换，可以将sin70°/(2cos10°－sin20°)化简为sin70°/cos80°，再使用tan的定义式，得到tan70°=sin70°/cos70°=sin70°/sin10°cos80°=sin70°/sin10°sin10°=1/sin10°=3.3.若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()。
答案：B。
通过三角函数的恒等变换，可以得到cos(π/2－76°)＝sin76°＝m，即cos14°＝m，再通过三角函数的恒等变换，可以得到cos7°＝2cos2(7°)－1＝2cos2(14°)cos(π/2－14°)－1＝2(1－sin2(14°))－1＝1－2sin2(14°)＝1－2(cos14°)2＝1－2m2.4.若cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为sin(7π/4)()。
答案：B。
通过cos2α的值可以得到sin2α＝1－cos2α＝3，再通过三角函数的恒等变换，可以得到sinα＋cosα＝√2sin(π/4＋α)＝√2sin(π/4＋α－2π)＝√2sin(7π/4－α)。
5.已知f(x)＝2tanx－2/(x＋π/12)，则f(π/6)的值为()。
答案：D。
2019高三数学一轮复习单元练习题：三角恒等变换
2019高三数学一轮复习单元练习题：三角恒等变换一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知sin 2θ=45,cos 2θ=35-,则角θ所在的的象限是 ( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知tan(α+β)=52,tan(β-4π)=41，则tan(α+4π)等于 （ ） A ．183 B ．2213 C ．223 D ．613．已知sin α,则cos4α的值是 （ ） A ．254 B ．257- C ．2512 D ．2518- 4．已知sin(α-β)=35,sin(α+β)=35-，且α-β∈(2π,π), α+β∈(32π,2π),则cos2β的值是 （ ）A ．2425B ．45- C ．1 D ．-1 5．△ABC 三内角满足2cos B sin A=sin C ，则△ABC 的形状为 （ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6． 10cos 310sin 1-的值是 （ ）A ．1B ．2C ．4D ．41 7．函数y =sin x +cos x (0≤x ≤2π)的值域是 ( )A ．[B ．[-．[] D ．[8． 201tan 75tan 75-的值是 （ ）A ．B ． D ． 9． sin150sin300sin750的值等于 （ ）A ．18D ．1410．tan700+tan500tan700tan500的等于 （ ）A ．．11．函数y=sin 2(ωx )-cos 2(ωx )的周期T =4π，那么常数ω等于 （ ）A ．12B ．2C ．14D ．412．函数y=cos(26π-x )-sin(26π-x )的单调递增区间是 （ ） A ．[4k π-136π, 4k π-6π] (k ∈Z ) B ．[4k π-6π, 4k π+116π] (k ∈Z ) C ．[2k π-6π, 2k π+116π] (k ∈Z ) D ．[2k π, 2k π+π] (k ∈Z ) 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知sin120=a ,则sin660= .14．已知324ππβα<<<，cos(α-β)=1213,sin(α+β)= 35-,那么sin2α= . 15．化简：cos(4π-α)cos(4π+α)= . 16．设f (x )=2cos 2xx +a (a ∈R),当x ∈[0, 2π]时, f (x )的最大值是4，则a = . 三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知tan θ=2,求)4sin(21sin 2cos 22θπθθ+--的值.18．求yx cos x -cos 2x 的最大值.19．已知sin(2α+β)=3sin β，求tan()tan αβα+的值.20．已知sin(6π-θ)= -35,6π<θ<23π，求cos2θ的值。
2019版高考数学(理)一轮复习：简单的三角恒等变换含解析
选 C.原式=
=
=
2
=
.
3.(2016·浙江高考)设函数 f(x)=sin x+bsin x+c,则 f(x)的最小正周期
( A.与 b 有关,且与 c 有关 B.与 b 有关,但与 c 无关 C.与 b 无关,且与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关 【解题指南】先利用倍角公式进行化简,再求最小正周期.
7.(2018·烟台模拟)已知函数 f(x)=
为偶函数,且函数 y=f(x)的图象的两相邻对称轴的距离为 ,则 f A. B. C. D.
=
【解析】选 A.因为 f(x)=2sin 所以φ- =kπ+ ,k∈Z, 又 0<φ<π,所以φ= .
为偶函数,
又因为 f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 , 所以 T=π,故ω=2.
169+130sin(α+β)+25=306,所以 sin(α+β)= 答案: 4.(12 分)已知函数 f(x)=
.
sin 2x+a·cos 2x(a∈R).
(1)若 f
=2,求 a 的值. 上单调递减,求 f(x)的最大值. = sin +a·
(2)若 f(x)在 【解析】(1)因为 f cos =2,
答案: 【变式备选】计算:cos 【解析】原式=-cos ·cos cos · cos =________.
cos
=
=- .
答案:-
1.(5 分)已知 f(x)= 简为 ( A.2sin α C.-2sin α )
,当α∈
时,式子 f(sin 2α)-f(-sin 2α)可化
B.-2cos α D.2cos α =
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（浙江版）2019年高考数学一轮复习 专题4.3 简单的三角恒等变换（练）1.【2018江西（宜春中学、丰城中学、樟树中学、高安二中、丰城九中、新余一中）六校上学期第五次联考】已知2παπ<<， 7sin22cos αα=，则11sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________． 【答案】43-【解析】∵7sin22cos αα=，∴14sin cos 2cos ααα=，由于2παπ<<，∴1sin 7α=， 243cos 1sin αα=--=-，由诱导公式得： 1143sin cos 2απα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，故答案为437-. 2.【浙江省杭州二中】已知02πα<<,02πβ-<<,3cos()5αβ-=，且3tan 4α=，则cos α=________，sin β=_______.【答案】45，725-以()()()33447sin sin sin cos cos sin 555525βααβααβααβ=--=---=⨯-⨯=-⎡⎤⎣⎦，所以答案应填：45，725-． 3.【浙江高三模拟】已知3cos()45πα+=，322ππα≤<，则cos2α=________． 【答案】2425-.4.【2018湖北,部分重点中学7月联考】已知,2sin cos 5R ααα∈-=，则sin α= ，tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭= .【答案】【解析】由同角三角函数基本定理得解得，5cos α=-， tan 2α∴=-， tan tan 4tan 341tan tan4παπαπα-⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭+．5.【2017浙江省上学期高考模拟】已知函数()sin sin()6f x x x π=+.（1）求()f x 的最小正周期； （2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围.【答案】（1）π；（2）13[0,]24+. 【解析】∴函数()f x的取值范围为1[0,24+. B 能力提升训练1. 若R ∈βα、且）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A.故选A .2.对于函数1)12(sin )12(cos )(22-++-=ππx x x f ，下列选项正确的是( )A ．()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ内是递增的 B ．()x f 的图像关于原点对称 C ．()x f 的最小正周期为2π D ．()x f 的最大值为1 【答案】B【解析】1)12(sin )12(cos )(22-++-=ππx x x f 1cos(2)1cos(2)66122x x ππ+--+=+-11[cos(2)cos(2)]sin2sin sin226662x x x xπππ=--+==,所以B正确．3. 已知π4cos sin365αα⎛⎫-+=⎪⎝⎭，且⎪⎭⎫⎝⎛∈3,0πα，则⎪⎭⎫⎝⎛+πα125sin的是（）A．235- B．235C．1027D．1527【答案】C所以3cos65πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，5sin sin sin cos cos sin12646464ππππππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭423272525210=⨯+⨯=．4.【2018安徽蚌埠市第二中学7月】已知1sin54πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭( ) A.78- B.78C.18D.18-【答案】A【解析】根据二倍角公式，27cos212sin558ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即27cos258πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以327cos2cos2558ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选择A.5.【2017浙江台州4月调研】已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C.D.【答案】AC 思维扩展训练1.已知3,22πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，满足()tan 2tan 0αββ+-=，则tan α的最小值是（ ） A ．24 B ．24- C ．32 D 32【答案】B 【解析】由已知得tan tan 2tan 01tan tan αββαβ+-=-，得2tan tan 12tan βαβ=+112tan tan ββ=+，∵3(,2)2πβπ∈，∴tan 0β<，11(2tan )2(2tan )22tan tan ββββ-+-≥-⋅-=12tan tan ββ=，即2tan 2β=-时等号成立，所以12tan 22tan ββ+≤-2tan 222α≥=--．选B ． 2.已知33)6cos(-=-πx ，则=-+)3cos(cos πx x ． 【答案】-1【解析】注意观察求知角x 和3π-x 已知角6π-x 的关系可发现求知角均能用已知角和特殊角6π表示出来，再用和差角公式展开即可求得结果． =-+)3cos(cos πx x ]6)6cos[(]6)6cos[(ππππ--++-x x6cos)6cos(2ππ-=x123)33(2-=⨯-⨯=故答案为：-1．3.已知442cos sin ,(0,)32πααα-=∈，则2cos(2)3πα+=．【答案】1526--4.已知212cos1cossin=-ααα，()21tan=-βα，则_______tan=β.【答案】31【解析】因为212cos1cossin=-ααα，所以2sin cos1,tan12sin2αα=∴α=α.又因为()21tan=-βα，所以1112tan tan[()]1312-β=α-α-β==+.5. 在平面直角坐标系中，已知向量.（1）若，求向量与的夹角；（2）当，求的最大值.【答案】（1）；（2）.（1）因为，，，，所以.（2）因为，所以，又所以，因，所以，所以，从而.。
【推荐】考点20+简单的三角恒等变换-2019年领军高考数学(文)必刷题
考点20 简单的三角恒等变换1．已知sin＋sin＝－，－<<0，则cos = ( )A．－ B． C．－ D．【答案】B2．若，则（）A． B． C． D． 0【答案】C【解析】.故答案为：C.3．已知函数在上的最小值为，点为函数的图象在轴正方向上第一个最高点，点为函数的图象在轴正方向上第二个零点，点为坐标原点，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】4．已知函数，若集合含有个元素，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，5．将周期为的函数的图象向右平移个单位后，所得的函数解析式为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题得，因为函数f(x)的周期为，所以将函数的图象向右平移个单位后所得的函数解析式为.故答案为：A.6．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数，则函数的图象的一个对称中心是( )A． B． C． D．【答案】D7．已知，则_______【答案】【解析】因为，又因为所以.8．已知（），则________________.【答案】-79．已知，则_____【答案】【解析】原式，因为，所以，因，所以，填.10．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若csinA＝－acosC，则sinA－cos 的取值范围是________.【答案】11．在中，角所对的边为，若边上的高为，则的最大值是__________．【答案】【解析】根据三角形面积公式，又三角形面积可以表示为所以，即由余弦定理可知，所以由正弦定理，化简所以代入所以最大值为.12．函数，（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.13．已知，记.（1）当,求的值域；（2）在中，，，所对的边分别是，，，，，求周长的取值范围. 【答案】（1）[]；（2）.14．（1）若，求；（2）求的最大值．【答案】（1）2；（2）15．在中，分别是内角所对的边，向量，,且满足.（1）求角的大小；（2）若，设角的大小为，的周长为，求的最大值.【答案】（1）；（2）3【解析】（1）因为a b，所以.16．在△ABC中，已知sinB＝，.(1)求证：sinAsinC＝sin2B(2)若内角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：0<B≤；(3)若，求||.【答案】(1)见解析； (2)；(3) .【解析】(1)因为，所以.（2）由正弦定理可得，，因为，当且仅当时等号成立，所以，即.17．已知函数的图像关于直线对称,其中为常数且(1)求的最小正周期.(2)若函数的图像经过点,求在上的值域.【答案】(1)； (2) .【解析】（1）18．设向量（1）若求的值；（2）设函数，求的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由得，又因为所以.又所以（2）函数因为所以，故，, 即的最大值为19．已知函数().(1)求函数的周期和递增区间;(2)若函数在上有两个不同的零点,求实数的取值范围,并计算的值．【答案】(1) ， [，]()；(2) ，，由图象可知，当且仅当，时，方程在[0，]上的区间[，)和(，]有两个不同的解x1、x2。
【配套K12】专题19 三角恒等变形(检测)-2019年高考数学(文)名师揭秘之一轮总复习
《2019年高考数学名师揭秘》之一轮总复习（文科）专题19三角恒等变形本专题特别注意：1.角的范围问题2. 角的一致性问题3. 三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7. 角的范围对函数性质的影响 8. 用已知角表示未知角问题方法总结：1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作.3.证明三角函数式恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等.高考模拟：一、单选题1．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数，则函数的图象的一个对称中心是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：利用辅助角公式进行化简，结合平移关系求出g （x ）的解析式，利用对称性进行求解即可．即函数的对称中心为（，），当k=1时，对称中心为.故答案为：D点睛: (1) 本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式，结合对称性是解决本题的关键．(2)的图像的对称中心为2．已知，，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】分析：先根据得到，再求最后求的值.详解：由题得所以，所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三角函数求值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是根据已知求的隐含范围，其二是通过变角求的值，.3．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据正弦函数的单调递减区间，可以求出的单调递减区间为；利用辅助角公式，先将化成，再利用余弦函数的单调递减区间可以求出的单调递减区间为；两个区间的交集即为两个函数的单调递减区间，根据的范围可确定的最大值。
2019届高考文科数学一轮复习专题演练：三角恒等变换(含解析)
, 求值域，而
大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系及和、差、
倍、半、和积互化公式的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，
“齐次化切”等．
【考点 1】利用诱导公式恒等变换 【备考知识梳理 】
诱导公式一： sin( 2k ) sin ， cos( 2k ) cos ，其中 k Z
45
π
tan( θ– )=
.
4
4
【答案】
3
5. 【 2019 高考山东文数】设 f ( x) 2 3sin( π x)sin x (sin x cos x)2 . （ I ）求 f (x) 得单调递增区间；
（ II ）把 y f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再把得到的图
ii. 给值求值的原则：寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现
2
的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系
, 然后求解 .
常见的互余与互补关系
(1) 常见的互余关系有：
3
(2) 常见的互补关系有：
3
与
6 2
与
3
；
3
;
4
个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题
与
6 3
与
4
；
与
因此能否掌握好本重
点内容，在一定的程度上制约着在高考中成功与否
. 在 2019 年复习备考过程中既要注重以下
几点：
1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注
意以下几点：
（ 1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；
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9．已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为h1，h2，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，则△ABC面积的最小值为__________。
10．已知函数f(x)＝ ＋2sinx。
4．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，BP⊥AC，BP＝PC，CD＞AB，则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合的是()
A．AB与ADB．AB与BC
C．BD与BCD．AD与AP
5．设a＝ (sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c＝ ，d＝ (cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系为()
(1)求函数f(x)的定义域和最小正周期；
(2)若f(α)＝2，α∈[0，π]，求f 的值。
专题19简单的三角恒等变换
1．已知sin2α＝ ，则c os2 ＝()
A. B．－
C. D．－
2．函数f(x)＝sin2x＋ sinxcosx在区间 上的最大值是()
A．1 B.
C. D．1＋
3．函数y＝sin ·cos －cos cos 的图象的一条对称轴方程是()
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
A．a＞b＞d＞cB．b＞a＞d＞c
C．d＞a＞b＞cD．c＞a＞d＞b
6．设M (x∈R)为坐标平面内一点，O为坐标原点，记f(x)＝|OM|，当x变化时，函数f(x)的最小正周期是()
A．ห้องสมุดไป่ตู้0π B．15π
C．30 D．15
7．已知sinαcosβ＝ ，则cosαsinβ的取值范围是__________。