正态分布教学课件

P(a X
（3）P(X a)
b)
P(X
( a)
b
) (
1 (a
a
)
)
（4） P( X k) P( X k) ( k ) ( k )
例2：设X ~ N(1,16) ，求
P( X 3.2);P(5 X 2).
解： P( X 3.2) ( 3.2 1)
2 σ
?
方法:转化为标准正态分布查表计算
二、标准正态分布
1. 若连续型随机变量 X 的密度函数为
(x)
1
x2
e 2 , x ,
2π
则称 X 服从标准正态分布，记为X ~ N (0,1).
正态分布 N(μ, σ2 )中，当 μ 0, σ 1时就是标准正态分布 。
y
（x）的图像称为标准正态曲线
正态分布
正态分布是十九世纪初，由高斯(Gauss) 给出并推广的一种分布。故，也称高斯分布。
知识回顾
1．样本的频率分布与总体分布之间的关系 ． 2．频率分布直方图 与总体密度曲线． 3．总体密度曲线的形状特征．
中间高，两头低 频率 总体密度曲线 组距
总体在区间 (a,b)内取值的概率
ab
产品 尺寸 （mm）
P( X 2.08) (2.08) 0.9812
P( X 0.09) 1 (0.09) (0.09) 0.5359
P(2.15 X 5.12) (5.12) (2.15)
1 0.9842 0.0158
P( X 1.96) 2(1.96) 1 20.9750 1 0.9500
（1）从表中可查x [0,5)时， ( x)的值.
（2）当x 5时， ( x) 1
（3）若 x > 0时，则有 ( x) 1 ( x) (x)
-x
( x)
0x
1 ( x)
5.利用正态分布表计算概率的公式： 设X ~N(0,1)
（1）P( X b) P( X b) (b)
（2）P(a X b) P(a X b) P(a X b)
解： 对第一种方案有X ~ N（8，32），
于是P（X 5） 1 P（X 5） 1 （5 8）
1 （1） （1） 0.8413
3
对第二种方案有X ~ N（6，22），
于是P（X 5） 1 P（X 5） 1 （5 6）
1 （ 0.5） （0.5） 0.6915
3
综上分析，选择第 ？ 种方案
例2：设 X ~ N 0,1 ，求下列各式中的x，
(1)P( X x) 0.6331 查表得 x = 0.34
(2)P( X x) 0.0102 (3)P( X x) 0.4054
查表得 –x = 2.32 ， 于是 x = – 2.32
查表得 x = 0.24
(4)P( X x) 0.9990 查表得 x = 3.03
解：（1）P( X x) x 500 0.90
10
查表得 x 500 1.28 ，得 x =512.8
10
（2）P( X y) 1 y 500 0.04
10
于是 y 500 0.96
10
查表得 y 500 1.75
10
得 y = 517.5
例7.一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个 投资方案的利润X（万元）的分布服从正态分布N（8，32） 和N（6，22），投资者要求“利润超过5万元”的概率尽 量地大，那么他应该选择哪一个方案？
P(a X b) (b) (a)
（3） P( X a) P( X a) 1 (a)
（4） P( X k ) P( X k ) 2(k) 1
例1：设 X ~ N 0,1
求 P( X 1.23);P( X 2.08);P( X 0.09);
P(2.15 X 5.12); P( X 1.96) 解： P( X 1.23) 0
三、一般正态分布的概率计算 X ~ N (, 2 )
标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正 态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。
重要结论：设 X ~ N (， 2 )，则 X ~ N (0,1) .
（1） P( X b) P( X b) (b )
（2）P(a X b) P(a X b) P(a X b)
P( X k ) ( k ) ( k )
补充、3 准则
~ N(, 2 ) P{ }=0.6826 P{ 2 2 }=0.9545 P{ 3 3 }=0.9973
X的取值几乎全落在区间（μ-3σ，μ+3σ）
实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ，σ2) 的随 机变量只取区间（μ-3σ，μ+3σ）上的概率，否则 就不正常，这就是3σ原则
4
(0.55) 1 (0.55)
1 0.7088 0.2912
P(5 X 2) ( 2 1) ( 5 1)
4
4
(0.75) (1)
(0.75) 1 (1) 0.6147
例3：某产品的长度X（单位：mm）服从 50, 0.75 的正态分布，若规定长度在 50 1.5mm 合格品，求合格品的概率。
(4)P( X x) 2( x) 1 0.9990
(x) 0.9995 查表得 x = 3.03
3 2
σ越大,图形越低越宽.
0
x
4、正态分布的应用与背景
正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差; 人的身高、体重等 ; 正常情况下生产 的产品尺寸:直径、长度、重量、高度等都近似 服从正态分布.
正态分布下的概率计算
P{X x}
原函数不是
初等函数
1
e d t x
(t μ)2 2σ2
解： (1)P(X x) (x) 0.6331 查表得x=0.34
(2)P(X x) (x) 0.0102 (x) 1 (x) 0.9898
查表得 – x = 2.32 ，于是 x = – 2.32
(3)P(X x) 1 (x) 0.4054
(x) 0.5946 ，查表得 x = 0.24
1
( x1)2
e 8 , x (,)
2 2
(3) f (x)
2 e2( x1)2 （-∞＜x＜+∞
2
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
μ决定了图形的中心位置, σ决定了图形的
陡峭程度。
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
正态分布的密度曲线是一条关于X=μ对称的曲线。
特点“两头小，中间大，左右对称”。
x
0
x
2.标准正态分布的密度函数 x的性质 ( x)
(1) x具有非负性，并且全概为1性；
1
x2
e2
2
(2) x为偶函数， x = x，图形关于y轴对称；
(3) x在,内连续；
（4）当x 0时， x有最大值 (0)
（5）在x=±1处曲线有拐点；
1 0.399;
2
y
x
(6) x轴为曲线的水平渐近线。
X ~ N0,1
Y ~ N , 2
4）概率计算公式：
P(a X b) (b) (a)
P(a
X b)
( b ) ( a )
P(X b) (b) P( X a) 1 (a) P( X k) 2(k) 1
P( X b) (b )
P( X
a)
1 (a
)
解：根据题设， X ~ 50,0.752
P50 1.5 X 50 1.5
50 1.5 50 50 1.5 50 0.75 0.75
2 2
22 1 0.9544
例4：设 X ~ N 500,100
（1） P( X x) 0.90 ，求x；
（2） P( X y) 0.04 ，求y。
3、正态分布密度函数图形的特征
(1)曲线关于 x μ 对称;
(2) x μ, f ( x)取得最大值 1 ; 2 πσ
(3)当 x 时, f ( x) 0;
y
（4）当 不变，变化时
图像左右平移。
0 1 2
3
x
1 2 3
（5）当不变， 变化时
y
1 0.5
1 2 3
2 1
σ 越小,图形越高越窄,
小
1.标准正态分布 1）记为 X~N(0，1)
结
2.一般正态分布
Y ~ N , 2
2）密函度数： ( x)
y
3）图像
1
x2
e2
2
x
f (x)
y
1
e
( x )2 2 2
2
f x ,
0
x
x
( x) ( x)dx
正态分布表
( x) 1 ( x)
0
x
Y ~ N (0,1) .
小结
的正态分布, 记为 X ~ N ( μ, σ2 ). (Normal)
2、正态分布的密度函数图形称为正态曲线。
y
参数决定曲线的位置， 参数 决定曲线的形状。
0
x
例:给出下列两个正态总体的函数表达式， 请找出其均值μ和标准差σ。
（１） f (x)
1
x2
e 2 , x (,)
2
（２） f (x)
x
3、标准正态分布的概率计算
设X ~N(0,1) 其密度函数( x)
1
x2
e2
2 y
( x) P( X x) x
1 x2 e 2 dx
2
(x)
x
( x)表示X在区间，x内取值的概率。O x
(x) 等于以x为右边界、密度曲线为上边界、
x轴为下边界所围图形的“面积”