2019-2020学年浙江省杭州地区重点中学高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年浙江省杭州地区重点中学高三（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=()
A. {x|x<−1或1<x≤2}
B. {x|1<x≤2}
C. {x|x≤−1或1≤x≤2}
D. {x|1≤x≤2}
2.已知函数的最小正周期为，则)
A. 1
B. 1
2C. −1 D. −1
2
3.条件“a>b”是条件“lga>lgb”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.欧拉公式e ix=cos x+isin x(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是数学里令人着迷的公式之一，
根据欧拉公式可知，2ie− π 6i=()
A. √3−i
B. 1−√3i
C. √3+i
D. 1+√3i
5.函数f(x)=xe x
e2x+1
的大致图象是()
A.
B.
C.
D.
6.若f(x)=cosx−sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是()
A. π
4
B. π
2
C. 3π
4
D. π
7. 设2x =5y =m ，且1
x +1
y =2，则m 的值是( )
A. ±√10
B. √10
C. 10
D. 100
8. 已知函数f(x)=|mx|−|x −n|(0<n <1+m)，若关于x 的不等式f(x)<0的解集中的整数恰
有3个，则实数m 的取值范围为( ) A. 3<m <6 B. 1<m <3 C. 0<m <1 D. −1<m <0 9. 函数f(x)=xlnx 的单调减区间是( )
A. (−∞,0)
B. (1
e ,+∞)
C. (−∞,1
e )
D. (0,1
e ]
10. 已知△ABC 中，AB =AC =4，O 为△ABC 的外心，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC
⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)，且x +2y =1，则△ABC 面积的最大值为______ ．
A. 1
B. √32
C. 4√33
D. 4√3
二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）
11. 若向量m
⃗⃗⃗ =(2,1)，n ⃗ =(−3,2λ)，且(2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )//(m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ )，则实数λ=______． 12. 在直角坐标系中，若角α的终边经过点P(−√32
,1
2
)，则tanα=________
13. 若函数f(x)={2x , x ≤0
f(x −2),x >0
，则f(log 23)= _________．
14. 在△ABC 中，∠ACB = 90°，点D ，
E 分别在线段BC ，AB 上，AC = BC = 3BD = 6，∠EDC = 60°，则BE = ____，cos∠CED =___．
15. 曲线y =|x|−1与x 轴围成的图形的面积是 ． 16. 已知向量c ⃗ =a ⃗ −(
a
⃗ 2
a
⃗ ⋅b ⃗ )b ⃗ ，则向量a
⃗ 和c ⃗ 的夹角为______ ． 17. 已知函数f(x)=a x +x 2−xlna ，对任意的x 1，x 2∈[0,1]，不等式|f(x 1)−f(x 2)|≤a −1恒成
立，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
18. 已知命题p:|4−x|≤6，q:(x −1
2m +1
2)(x −1
2m −2)≤0．
(1)若p 是﹁q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若﹁q 是﹁p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
19.已知△ABC的三个角∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c.∠A=2π
，a=2√7，b=2．
3
(Ⅰ)求cos B；
(Ⅱ)求c的长及△ABC的面积．
20.已知二次函数f(x)=x2+bx+c，f(x)=f(3−x)，且f(x)的零点x1,x2满足|x1−x2|=3
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)当x∈[1,2]时，不等式f(x)≥mx−3m
恒成立，求实数m的取值范围．
|x−m|
21.平面向量a⃗，b⃗ 满足|2a⃗−b⃗ |=1，|a⃗−2b⃗ |=1，则a⃗⋅b⃗ 的取值范围______ ．
22.已知函数f(x)=x2−ax+lnx(a∈R)．
(1)若函数f(x)在x=1处取得极小值，求函数f(x)的极大值；
(2)若x∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，求a的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：解：∁U N={x|x<−1，或x>1}；
∴M∩∁U N={x|x<−1，或1<x≤2}．
故选：A．
进行交集、补集的运算即可．
考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的运算．
2.答案：A
解析：
【分析】
本题考查正弦函数的性质，属于基础题．
由正弦函数的周期公式加以计算，即可得到ω的值，得出函数解析式，即可求出．【解答】
解：的最小正周期为π，
，∴ω=2，
故，
，
故选A．
3.答案：B
解析：lga>lgb等价于a>b>0，
lga>lgb可以推出a>b，但反之不成立，
所以是必要不充分条件.
故选B．
本题考查充分条件、必要条件的判断，考查运算求解能力，是基础题．
4.答案：D
解析：
【分析】
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
结合复数的四则运算和欧拉公式即可求解．
【解答】
解：2ie− π 6i=2i(√3
2−1
2
i)=1+√3i，
故选D．
5.答案：A
解析：
【分析】
本题考查函数图像的识别，属于基础题．
利用函数的奇偶性排除B和D，再利用特殊值排除C．【解答】
解：f(−x)=(−x)e −x
e−2x+1=−xe x
e2x+1
=−f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，排除B和D；
当x>0时f(x)=xe x
e2x+1
>0，排除C，
故选A．
6.答案：C
解析：
【分析】
考查正弦型函数的单调性，属于基础题．
【解答】
解：f(x)=cosx−sinx=−(sinx−cosx)
=−sin(x−)，
由−+2kπ≤x−≤+2kπ，k∈Z，
得−+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，
取k=0，得f(x)的一个减区间为[−，]，由f(x)在[0,a]是减函数，
得a≤．
则a的最大值是．
故选C．
7.答案：B
解析：
【分析】
化指数式为对数式，把x，y用含有m的代数式表示，代入1
x +1
y
=2，然后利用对数的运算性质求解
m的值．
本题考查了指数式和对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．【解答】
解：由2x=5y=m，
得x=log2m，y=log5m，
由1
x
+1
y
=2，得1
log2m
+1
log5m
=2，
即log m2+log m5=2，
∴log m10=2，
∴m=√10．
故选：B．
8.答案：B
解析：解：∵f(x)=|mx|−|x−n|<0，即|mx|<|x−n|，
∴(mx)2−(x−n)2<0，即[(m−1)x+n][(m+1)x−n]<0，由题意：m+1>0，f(x)<0的解集中的整数恰好有3个，
可知必有m−1>0，即m>1，(否则解集中的整数不止3个)
故不等式的解为−n
m−1<x<n
1+m
，
∵0<n<1+m，∴0<n
1+m
<1，
所以解集中的整数恰好有3个当且仅当−3≤−n
m−1
<−2，
即2(m−1)<n≤3(m−1)，
又n<1+m，所以2(m−1)<n<1+m，即2(m−1)<1+m，解得m<3，从而1<m<3，
故选：B．
根据f(x)=|mx|−|x−n|<0，及题意得m>1，从而−n
m−1<x<n
1+m
，再根据解集中的整数的个
数可知2(m−1)<n≤3(m−1)，解之即可．
本题考查函数零点的判断，灵活对表达式进行变形、挖掘已知条件中的隐含信息是解题的关键，属于中档题．
9.答案：D
解析：
【分析】
本题主要考查了利用导数求函数的单调区间知识，属于基础题．
求出，令f′(x)⩽0，解不等式即可．
【解答】
解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，，
由f′(x)⩽0得，得，得，
即函数的单调递减区间为．
故选D．
解析：解：取AC 的中点D ，则由题意可得DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AO
⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如图所示．
由AB =AC =4，O 为△ABC 的外心，可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |cos0=2×4=8． ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
=x|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠BAC +y ⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =16x ⋅cos∠BAC +16y =8， ∴2x ⋅cos∠BAC +2y =1．
又x +2y =1，∴2xcos∠BAC =x ．
当x ≠0时，cos∠BAC =1
2，∴sin∠BAC =√3
2
，
∴S △ABC =1
2AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =4√3．
当x =0时，则y =12，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗
=1
2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，O 为AC 的中点，∴点A ，0，C 共线， ∴三角形ABC 以B 为直角的直角三角形，这不可能．
综上可得△ABC 面积的为4√3， 故答案为：4√3．
取AC 中点为D ，则OD ⊥AC ，把写为AO
⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后用两种方法写出，由数量积相等结合x +2y =1，需要分类讨论，当x ≠0求得cos∠BAC ，进一步得到其正弦值，代入三角形的面积公式求得三角形ABC 的面积，当x =0时，得到三角形为直角三角形，求出面积，问题得以解决．
本题考查了向量在几何中的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查了三角形面积公式的应用，是属于中档题．
11.答案：−3
4
解析：解：2m
⃗⃗⃗ −n ⃗ =(7,2−2λ)，m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ =(−7,1+6λ)， ∵(2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )//(m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ )，∴7(1+6λ)+7(2−2λ)=0， 解得λ=−3
4． 故答案为：−34．
利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出．
本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12.答案：−√33
解析： 【分析】
本题任意角的三角函数，诱导公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
解：∵角α的终边经过点P(−√3
2,1
2
)，
，，
则，
故答案为−√3
3
．
13.答案：3
4
解析：
【分析】
本题考查了分段函数．
根据自变量的取值确定相应的解析式求解．
【解答】
解：∵log23>0，
∴f(log23)=f(log23−2)=f(log
23
4
)，
，
．
故答案为3
4
．
14.答案：3√2+√6，√2
2
解析：
【分析】
本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
由题意，在ΔEBD中，由正弦定理可得BE和ED的值，在ΔEDC中，由题意得到CD=4，根据余弦定理，先求出EC的值，然后求解．
【解答】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在线段BC，AB上，
所以∠EDB=120°，∠EBD=45°，∠DEB=15°，
在ΔEBD中，根据正弦定理
即√6−√2
4=
√3
2
=
√2
2
，
解得BE=3√2+√6，ED=2√3+2
在ΔEDC中，因为BC=3BD=6，所以CD=4，
根据余弦定理
得到CE=2√6，
所以
故答案为3√2+√6，√2
2
15.答案：1
解析：
【分析】
本题考查曲线与方程，考查面积的计算，考查学生的计算能力，比较基础．求出图象与x，y轴的交点，即可求曲线y=|x|−1与x轴围成的图形的面积．【解答】
解：令x=0，可得y=−1;令y=0，可得x=±1，
∴曲线y=|x|−1与x轴围成的图形的面积是1
2
×2×1=1．
故答案为：1．
16.答案：π
2
解析：
【分析】
由数量积可得a⃗⋅c⃗=a⃗2−a⃗2=0.即可得出．
本题考查了数量积运算，属于基础题．
【解答】
解：∵向量c⃗=a⃗−(a⃗2
a⃗ ⋅b⃗
)b⃗ ，
∴a⃗⋅c⃗=a⃗2−a⃗2
a⃗ ⋅b⃗
×a⃗⋅b⃗ =a⃗2−a⃗2=0．∴a⃗⊥c⃗．
∴向量a⃗和c⃗的夹角为π
2
．
故答案为π
2
．
17.答案：[e,+∞)
解析：
【分析】
本题考查了不等式恒成立问题，也考查了数学转化思想方法，以及利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．
对函数f(x)求导数，利用导数判断函数f(x)在[0,1]上的单调性，把不等式|f(x 2)−f(x 1)|≤a −1恒成立化为f(x)max −f(x)min ≤a −1，再解含有a 的不等式，从而求出a 的取值范围． 【解答】
解：因对任意的x 1、x 2∈[0,1]，不等式|f(x 1)−f(x 2)|≤a −1恒成立， 所以a >1，
f ′(x)=a x lna +2x −lna =(a x −1)lna +2x ，
当a >1时，x ∈[0,1]时，a x ≥1，lna >0，2x ≥0，此时f ′(x)≥0； f(x)在[0,1]上单调递增，
f(x)min =f(0)=1，f(x)max =f(1)=a +1−lna ，而|f(x 1)−f(x 2)|≤f(x)max −f(x)min =a −lna ，
由题意得，a −lna ≤a −1，解得a ≥e ， 故答案为[e,+∞)．
18.答案：解：(1)由题意得：
命题p ：由|4−x|≤6，化为：−6≤x −4≤6，解得−2≤x ≤10． 命题q ：q ：(x −1
2m +1
2)(x −1
2m −2)≤0． 解得
m−12
≤x ≤
m+42
．
∴¬q ：x <
m−12
或x >1
2m +2．
又∵p 是¬q 充分而不必要条件， ∴
m−12
>10，或1
2
m +2<−2．
∴m <−8，或m >21，
所以实数m 的取值范围为(−∞,−8)∪(21,+∞)． (2)由(1)知¬p ：x <−2或x >10；¬q ：x <m−12
或x >1
2m +2．
又∵￢q 是¬p 的必要而不充分条件，
∴{m−1
2
≥−2
1
2
m +2≤10
，∴−3≤m ≤16..
所以实数m 的取值范围为[−3,16]．
解析：(1)由题意得：命题p ：由|4−x|≤6，化为：−6≤x −4≤6. 命题q ：q ：(x −1
2m +1
2)(x −
1
2
m −2)≤0.解得m−12
≤x ≤
m+42
.可得¬q.根据p 是¬q 充分而不必要条件，可得
m−12
>10，或1
2m +2<
−2.解得实数m 的取值范围．
(2)由(1)知¬p ：x <−2或x >10；¬q ：x <
m−12
或x >1
2m +2.根据q 是¬p 的必要而不充分条件，可
得{m−12≥−212m +2≤10，解得m 范围． 本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，因为a sinA =b sinB ，∠A =
2π
3，a =2√7，b =2． 所以2√7sin 2π3=2
sinB ．
所以sinB =√21
14． 因为sin 2B +cos 2B =1，∠B ∈(0,π
3)，
所以解得：cosB =5√714； (Ⅱ)因为a 2=b 2+c 2−2bccosA ，
所以(2√7)2=22+c 2−2×2c ×cos
2π3． 所以c =4，c =−6(舍)．
所以S △ABC =12bcsinA =12×2×4×sin 2π
3=2√3．
解析：(Ⅰ)由已知及正弦定理可求sin B ，结合范围∠B ∈(0,π
3)，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值．
(Ⅱ)由余弦定理即可解得c 的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 20.答案：解：(Ⅰ)∵f (x )=f (3−x ),∴−b 2=32,b =−3,
∵|x 1−x 2|=3,∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2=9,c =0，
∴f (x )=x 2−3x ．
(Ⅱ)∵f (x )≥
mx−3m |x−m |,∴x 2−3x ≥mx−3m |x−m |,即x ≤m |x−m |在x ∈[1,2]上恒成立． |x −m |≤m x 即−m
x ≤x −m ≤m x ，
x −m ≤m x ⇒m (1+1x )≥x,∴m ≥(x 21+x )max =43
;
当x ∈(1,2]时,m ≤(x 2
x−1)min =4,
综上所述，m 的取值范围是[43,4]．
解析：本题考查函数的解析式以及函数的综合运用，考查学生的计算能力和逻辑能力，较难．(Ⅰ)根据题意找出能求出b，c的条件式即可．
(Ⅱ)此问需分类讨论求解．
21.答案：[−1
9
,1]
解析：解：设两个向量的夹角为θ，
因为|2a⃗−b⃗ |=1，|a⃗−2b⃗ |=1，
所以4a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=1，a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=1，
所以a⃗2=b⃗ 2，a⃗⋅b⃗ =5a⃗2−1
4
所以5a⃗2−4a⃗2cosθ=1，所以a⃗2=1
5−4csoθ∈[1
9
,1]，所以5a2−1∈[−4
9
,4]，
5a2−1
4∈[−1
9
,1]，
所以a⃗⋅b⃗ ∈[−1
9
,1]；
故答案为：[−1
9
,1]．
设两个向量的夹角为θ，将已知的等式两边平方，求出两个向量的模相等，将所求用夹角表示，通过三角函数的值域求出向量a⃗的模的平方的范围，进一步求数量积的范围．
本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．
22.答案：解：(1)∵f(x)=x2−ax+lnx(a∈R)在x=1时取得极值，f′(x)=2x−a+1
x
，
∴f′(1)=0，
∴2−a+1=0，
解得a=3，经过验证满足条件．
(2)∵x∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，∴a≥x+lnx
x −1
x
=ℎ(x)．
ℎ′(x)=1+1
x2+1−lnx
x2
=x2+2−lnx
x2
>0，
∴函数ℎ(x)在x∈(0,e]单调递增，
∴x=e时，ℎ(x)取得最大值，ℎ(e)=e+1
e −1
e
=e．
∴a≥e．
解析：本题考查了利用导数研究函数的极值与最值，考查了等价转化方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)由f(x)=x2−ax+lnx(a∈R)在x=1时取得极值，可得f′(1)=0，解出a即可得出．
(2)x∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，可得a≥x+lnx
x −1
x
=ℎ(x).利用导数研究其单调性极值与最
值即可得出．。