第2章交换理论基础
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随机现象的每一次观察的结果称作样本点，样 本点的全体（所有可能的结果）构成样本空 间E。它可以是有限个元素，也可以是无限 可列元素集合，以及无限不可列个元素集合。 定义1：随机变量对于每一个样本点e∈E有一 个实数与它对应，定义在样本空间E上的实 单值函数X(e)为随机变量，记做X。 随机变量是一个样本点的函数，不是普通变量， 我们一般关心它的所有可能的取值及相应的 概率分布。根据它的取值可以分为离散型和 连续型随机变量。
k 0 1 2 3 4 5 P( X k ) 0.078 0.2592 0.3456 0.2304 0.0768 0.0102
16
交换技术
2. 泊松分布
第2章 交换理论
泊松（Poisson）分布可由二项分布取极限得到。 泊松定理 设随机变量Xn(n=1,2, ·)服从二项分布，即 · ·
14
• 服从二项分布的随机变量，它的数学期望 E(X)=np，方差D(X)=np(1-p) • 交换系统中各种服务设备，比如交换单元 的输入输出链路，交换机中的中继线；交 换控制处理器等等。这些设备的占用情况 往往可以用二项分布来分析。
交换技术
二项分布举例
第2章 交换理论
例2.1: 设某交换机中有5个服务器，每个服务器的占 用是完全独立的，每个服务器被占用的概率为0.4。要 求计算5个服务器有k个被占用的概率。 解：首先分析服务器的占用问题能否归结为贝努里试 验概型。我们可以把检验一个服务器的忙闲状态看成 一次试验，检验5个服务器就是5次试验，且试验是独 立的。因此，服务器的占用情况满足用贝努里概型的 假设条件，相应的占用概率可以用二项分布计算。 根 据 题 意 ， 已 知 ： n=5 ， k=0,1,2,3,4,5 ， p=0.4 ， q=0.6。代入公式可求得相应结果（参考教材）。
函数为: (1代表A，0代表/A,X=k表示在n次试验中恰好
k k nk n
出现k次的事件，X是A出现0,1,2…n的事件的随机变量)
P ( X k) P (k) C p q n
k 0 ,1, 2,L, n
这里，q=1-p，则称X服从参数为(n,p)的二项分布， 记为: X~B(n,p)。 这种类型的分布之所以称为二项(Binomial)分 布，是因为概率计算式的右边恰好是牛顿二项式 (q+px)n 的展开式中 x k 项的系数。
l ke l
k!
k0
e l
17
lk
k!
e l e l 1
k0
交换技术
泊松分布
第2章 交换理论
定义7：设随机变量 X 可能的取值为k=0,1,2, ··，其概 ·· ·· 率函数为:
P(X k)
lke l
k!
k 0 ,1 , 2 , L
其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为 X~P(λ)。 泊松分布只有一个参数λ，其数学期望，E(X)= λ， 方差 D(X)=σ2= λ 。 由泊松定理知，当n很大而p很小且np=λ>0是常数时， 二项分布B(n,p)的概率函数近似等于泊松分布P(λ)的概 率函数，即有： l k e l k pkqn k Cn
交换理论研究方法
第2章 交换理论
通信网络与交换机是典型的服务系统。它们利用 所拥有的资源（信道带宽资源、计算资源、存储资源 等）或设备为用户提供服务，并满足特定的服务质量 要求。因为用户的服务需求是随机发生的，每次服务 占用资源的时间也是随机的，所以这是一种随机服务 系统，需要借助于概率论及随机过程的理论。 交换技术 交换理论 概率论与随机过程
定义2：分布函数。X为随机变量，x是任意实数， F(x)=P(X≤x)规定的函数为X的分布函数，F(∞)=0,F(∞)=1分布函数能反映随机变量X的值x 处于任意区间(x1,x2)的概率。它能完整的描述 随机变量的统计规律。但是分布函数很难求。 定义2.1：离散型随机变量的概率函数。设 Xk(k=0,1,2…)为离散型随机变量X的任一取值， X取值Xk的概率为X的概率函数。 P(X=Xk)=Pk ∑Pk=1(k所有取值) 对于离散型 随机变量用概率函数描述其概率分布更直接。
k!
18
交换技术
泊松分布
第2章 交换理论
பைடு நூலகம்
例如一段时间内电话局收到的呼叫次数，某路口 通过的车辆数等，都可用泊松分布来 描述。作为 例子，考虑在[0,t]时间段内到达的呼叫次数N这一
随机变量，它服从下式所示的泊松分布：
( l t ) k l t P(N k) e k! k 0 ,1, 2 , L
1
交换技术
关于“交换理论”
第2章 交换理论
交换理论是随着电话交换技术的应用和 发展而产生的一门学科。它的任务是研究电 话负载、电话交换系统结构和服务质量之间 的数量关系,提供最优系统设计理论和方法。 交换理论的研究对象不仅限于电话交换 系统，其原理和方法还应用于其他各类信息 交换系统。
2
交换技术
交换技术
第 2 章 交换理论基础
第2章 交换理论
教学大纲要求：
1.基本要求 （1）熟练掌握几种典型的概率分布、生灭过程理论及其应用。 （2）掌握通信业务量、服务质量和话务负荷能力的概念、定 义、计算。 （3）掌握服务器利用度的概念、占用概率分布、呼损的计算。 （4）掌握等待制交换系统的基本理论。 2.重点、难点 重点：生灭过程在交换理论中的应用，呼损与利用率，等待 制交换系统的基本理论。 难点：占用概率分布，呼损、服务质量和服务设备容量三者 之间的关系。 3.说明 交换理论基础部分概念和公式较多，力求理解公式推导过 程，掌握重要结论。
P ( Xn k) C p (1 p)
k k n
nk
, k 0 ,1,L, n
又设np=λ>0是常数，对于n=1,2··均成立，则对任一 ·· ·· 个非负整数 k 有:
lim C nk p k (1
n
p )n
k
l ke l
k!
上述定理称为泊松定理，定理中的极限值满足
交换技术
2.1.1 概率论基础
2. 二项分布 把一个随机试验重复地进行n次，如果试验的结果 互不影响，则称这样的试验为n重独立试验。如果在n 重独立试验中，每次试验只有两个可能的结果：事件 － A发生或事件A（A的对立事件）发生，则称这样的试 验为n重贝努里[Bernoulli]试验，相应的数学模型叫贝 努里试验概型。在贝努里概型中，我们关心的是n次 试验中事件A正好发生k次的概率。可以证明，n次独 立重复试验中事件A正好发生k次的概率为: ) Cnk pkqnk Pn (k k 0,1,2, L n 式中
5
交换技术
第2章 交换理论
指数分布：在交换理论中，有两种很重要的随机 变量服从指数分布，这就是两个相邻呼叫的间隔
时间和电话呼叫的占用时长。
随机过程：随机过程理论的内容极为广泛，与交 换理论密切相关的是马尔可夫过程，尤其是马尔 可夫过程的特殊情况，即泊松过程和增消过程
（生灭过程）。
6
2.1.1 概率论基础
21
x0 x0
交换技术
指数分布
第2章 交换理论
指数分布是一种连续型随机变量的概率分布， 在交换理论中，有两种很重要的随机变量服从指数 分布： 1）两个相邻呼叫的间隔时间； 2）电话呼叫的占用时长。
• 关于两个相邻呼叫的间隔时间
我们可以证明其服从指数分布，前面已经指 出，在时间 t 内发生的呼叫数服从泊松分布，由其 概率函数公式容易得到在时间 t 内没有发生呼叫的 概率为： 0
3
交换技术
交换理论研究方法(续)
第2章 交换理论
对于电路交换系统而言，它们的服务对象 是用户的呼叫。根据其交换机制，在电路连接 建立以后交换时延可以忽略不计。但呼叫到达 时刻和持续时间的随机性导致交换服务设备忙 闲状态的不确定性，当服务设备处于全忙状态 时，新到达的呼叫就不能得到服务。所以其主 要的QoS指标是呼叫的损失率，简称呼损率。 对于分组交换系统而言，它们的服务对象 是分组，它的交换机制是存储转发。所以分组 交换系统的主要QoS指标是分组的转发时延和 丢失率。
20
k
4. 指数分布（连续型随机变量的一种概率分布）
定义 设随机变量 X 的概率密度函数为：
0 f ( x) l x l e
x0 x0
则称随机变量X服从参数为λ的指数分布，记为 X~e（λ），其中λ>0为常数。 我们很容易求得指数分布的分布函数为：
0 F ( x) l x 1 e
这里，数学期望E(N)=λt是[0,t]时间内到达的
平均呼叫数，而λ就是单位时间内到达的平均呼
叫数，称为到达率或呼叫强度。
19
交换技术
泊松分布举例
第2章 交换理论
例 某电话局的统计资料表明，该局平均每分钟 到达12个呼叫。试按泊松分布计算，在一分钟内 到达k个呼叫的概率（k=0,1,2.…）。
解 根据题意有λt =12，根据泊松分布公式，一 分钟内到达k个呼叫的概率为：
如果不等式∑Pk|g(xk)|<∞成立。称级数∑Pkg(xk)为 离散型随机变量g(x)的数学期望。 定义3.1：X连续型随机变量，f(x)为其概率密度。 | g ( x) | f ( x) 成立，则积分 f ( x) g ( x)dx 其值为连续 型随机变量g(x)的数学期望。 若g(X)=X，则上面两个式子为随机变量X的数学期 望，它表示随机变量概率分布的中心。 g(x)=Xn，则称作随机变量的矩。 n=1为一阶矩，即是数学期望，又叫平均值。 n=2为二阶矩，又称作均方值。 离散型随机变量有n阶矩 mn=∑xknPk
12 k 12 P(N k) e k! ( k 0 ,1 , 2 L )
P(k) 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
计算结果示于右图。泊松 分布由参数λ决定，其曲 线是非对称的，随着λ增 大，非对称性越不明显， 但概率峰值下降。
第2章 交换理论
q 1 p
C n! [k ! (n k)! ]
k n
指定1表示事件A，0表示/A，以X=k表示n次试验中A恰好出现 k次的事件，得到一个随机变量，其可能的取值k=0123…n 13
交换技术
二项分布
第2章 交换理论
定义6: 设随机变量X可能的取值为k=0,1,2··n，其概率 ·· ··
另一个数字特征是“方差”，度量随机变 量在其数学期望左右的分散程度 定义4：对于X随机变量，若E{[X-E(X)]n} 存在，则称un= E{[X-E(X)]n}为随便变量 的中心矩。 u2= E{[X-E(X)]2}称作方差，记做D(X)或者 δ2， δ2= E{[X-E(X)]2} =E(X2)[E(X)]2=m2=m12 δ叫做标准差。
定义2.2：连续型随机变量的概率密度函数。存 在f(x)非负函数。使下式成立。 f(x)称作X的 概率密度函数，又叫概率密度。
F ( x) f (u )du
x
对于连续型随机变量采用概率密度描述概率分 布更直接。 有些情况下不一定要求出随机变量的分布函数， 只需要知道一些“数字特征” “矩”---随机变量的一类数字特征 定义3：X为离散型随机变量，g(X)为X的单值函 数，其概率分布P(X=xk)=Pk k=0,1,2…
常见的概率分布
1，0-1分布
定义5：随机变量X只可能取值0和1,相应的概率
为P(X=1)=P,P(X=0)=1-P 称X服从0-1分布。 0-1分布是一种简单的概率分布，在随机现象描 述中应用广泛。比如：电话呼叫的发生/不发生； 服务设备的忙/闲;比特传输的正确/错误；设备 故障的有/无。 它的数学期望E(X)=P ；方差D(X)=p(1-p)
4
交换技术
2.1 概率论与随机过程
第2章 交换理论
概率论与随机过程是研究随机现象的数学工具，内 容十分丰富，本节主要介绍与交换理论密切相关的随 机现象和随机过程内容，大量的随机现象体现出统计 规律，主要包括： 二项分布：交换系统中的各种服务设备，如各级交换 单元的输入输出链路、交换机的中继线等，这些设备 的占用情况往往可以用二项分布来分析。 泊松分布：在实际问题中，有许多随机变量服从泊松 分布。例如，一段时间内电话局收到的呼叫次数，某 路口通过的车辆数等，都可用泊松分布来描述。
k 0 1 2 3 4 5 P( X k ) 0.078 0.2592 0.3456 0.2304 0.0768 0.0102
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交换技术
2. 泊松分布
第2章 交换理论
泊松（Poisson）分布可由二项分布取极限得到。 泊松定理 设随机变量Xn(n=1,2, ·)服从二项分布，即 · ·
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• 服从二项分布的随机变量，它的数学期望 E(X)=np，方差D(X)=np(1-p) • 交换系统中各种服务设备，比如交换单元 的输入输出链路，交换机中的中继线；交 换控制处理器等等。这些设备的占用情况 往往可以用二项分布来分析。
交换技术
二项分布举例
第2章 交换理论
例2.1: 设某交换机中有5个服务器，每个服务器的占 用是完全独立的，每个服务器被占用的概率为0.4。要 求计算5个服务器有k个被占用的概率。 解：首先分析服务器的占用问题能否归结为贝努里试 验概型。我们可以把检验一个服务器的忙闲状态看成 一次试验，检验5个服务器就是5次试验，且试验是独 立的。因此，服务器的占用情况满足用贝努里概型的 假设条件，相应的占用概率可以用二项分布计算。 根 据 题 意 ， 已 知 ： n=5 ， k=0,1,2,3,4,5 ， p=0.4 ， q=0.6。代入公式可求得相应结果（参考教材）。
函数为: (1代表A，0代表/A,X=k表示在n次试验中恰好
k k nk n
出现k次的事件，X是A出现0,1,2…n的事件的随机变量)
P ( X k) P (k) C p q n
k 0 ,1, 2,L, n
这里，q=1-p，则称X服从参数为(n,p)的二项分布， 记为: X~B(n,p)。 这种类型的分布之所以称为二项(Binomial)分 布，是因为概率计算式的右边恰好是牛顿二项式 (q+px)n 的展开式中 x k 项的系数。
l ke l
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交换技术
泊松分布
第2章 交换理论
定义7：设随机变量 X 可能的取值为k=0,1,2, ··，其概 ·· ·· 率函数为:
P(X k)
lke l
k!
k 0 ,1 , 2 , L
其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为 X~P(λ)。 泊松分布只有一个参数λ，其数学期望，E(X)= λ， 方差 D(X)=σ2= λ 。 由泊松定理知，当n很大而p很小且np=λ>0是常数时， 二项分布B(n,p)的概率函数近似等于泊松分布P(λ)的概 率函数，即有： l k e l k pkqn k Cn
交换理论研究方法
第2章 交换理论
通信网络与交换机是典型的服务系统。它们利用 所拥有的资源（信道带宽资源、计算资源、存储资源 等）或设备为用户提供服务，并满足特定的服务质量 要求。因为用户的服务需求是随机发生的，每次服务 占用资源的时间也是随机的，所以这是一种随机服务 系统，需要借助于概率论及随机过程的理论。 交换技术 交换理论 概率论与随机过程
定义2：分布函数。X为随机变量，x是任意实数， F(x)=P(X≤x)规定的函数为X的分布函数，F(∞)=0,F(∞)=1分布函数能反映随机变量X的值x 处于任意区间(x1,x2)的概率。它能完整的描述 随机变量的统计规律。但是分布函数很难求。 定义2.1：离散型随机变量的概率函数。设 Xk(k=0,1,2…)为离散型随机变量X的任一取值， X取值Xk的概率为X的概率函数。 P(X=Xk)=Pk ∑Pk=1(k所有取值) 对于离散型 随机变量用概率函数描述其概率分布更直接。
k!
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泊松分布
第2章 交换理论
பைடு நூலகம்
例如一段时间内电话局收到的呼叫次数，某路口 通过的车辆数等，都可用泊松分布来 描述。作为 例子，考虑在[0,t]时间段内到达的呼叫次数N这一
随机变量，它服从下式所示的泊松分布：
( l t ) k l t P(N k) e k! k 0 ,1, 2 , L
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交换技术
关于“交换理论”
第2章 交换理论
交换理论是随着电话交换技术的应用和 发展而产生的一门学科。它的任务是研究电 话负载、电话交换系统结构和服务质量之间 的数量关系,提供最优系统设计理论和方法。 交换理论的研究对象不仅限于电话交换 系统，其原理和方法还应用于其他各类信息 交换系统。
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交换技术
交换技术
第 2 章 交换理论基础
第2章 交换理论
教学大纲要求：
1.基本要求 （1）熟练掌握几种典型的概率分布、生灭过程理论及其应用。 （2）掌握通信业务量、服务质量和话务负荷能力的概念、定 义、计算。 （3）掌握服务器利用度的概念、占用概率分布、呼损的计算。 （4）掌握等待制交换系统的基本理论。 2.重点、难点 重点：生灭过程在交换理论中的应用，呼损与利用率，等待 制交换系统的基本理论。 难点：占用概率分布，呼损、服务质量和服务设备容量三者 之间的关系。 3.说明 交换理论基础部分概念和公式较多，力求理解公式推导过 程，掌握重要结论。
P ( Xn k) C p (1 p)
k k n
nk
, k 0 ,1,L, n
又设np=λ>0是常数，对于n=1,2··均成立，则对任一 ·· ·· 个非负整数 k 有:
lim C nk p k (1
n
p )n
k
l ke l
k!
上述定理称为泊松定理，定理中的极限值满足
交换技术
2.1.1 概率论基础
2. 二项分布 把一个随机试验重复地进行n次，如果试验的结果 互不影响，则称这样的试验为n重独立试验。如果在n 重独立试验中，每次试验只有两个可能的结果：事件 － A发生或事件A（A的对立事件）发生，则称这样的试 验为n重贝努里[Bernoulli]试验，相应的数学模型叫贝 努里试验概型。在贝努里概型中，我们关心的是n次 试验中事件A正好发生k次的概率。可以证明，n次独 立重复试验中事件A正好发生k次的概率为: ) Cnk pkqnk Pn (k k 0,1,2, L n 式中
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第2章 交换理论
指数分布：在交换理论中，有两种很重要的随机 变量服从指数分布，这就是两个相邻呼叫的间隔
时间和电话呼叫的占用时长。
随机过程：随机过程理论的内容极为广泛，与交 换理论密切相关的是马尔可夫过程，尤其是马尔 可夫过程的特殊情况，即泊松过程和增消过程
（生灭过程）。
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2.1.1 概率论基础
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x0 x0
交换技术
指数分布
第2章 交换理论
指数分布是一种连续型随机变量的概率分布， 在交换理论中，有两种很重要的随机变量服从指数 分布： 1）两个相邻呼叫的间隔时间； 2）电话呼叫的占用时长。
• 关于两个相邻呼叫的间隔时间
我们可以证明其服从指数分布，前面已经指 出，在时间 t 内发生的呼叫数服从泊松分布，由其 概率函数公式容易得到在时间 t 内没有发生呼叫的 概率为： 0
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交换理论研究方法(续)
第2章 交换理论
对于电路交换系统而言，它们的服务对象 是用户的呼叫。根据其交换机制，在电路连接 建立以后交换时延可以忽略不计。但呼叫到达 时刻和持续时间的随机性导致交换服务设备忙 闲状态的不确定性，当服务设备处于全忙状态 时，新到达的呼叫就不能得到服务。所以其主 要的QoS指标是呼叫的损失率，简称呼损率。 对于分组交换系统而言，它们的服务对象 是分组，它的交换机制是存储转发。所以分组 交换系统的主要QoS指标是分组的转发时延和 丢失率。
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k
4. 指数分布（连续型随机变量的一种概率分布）
定义 设随机变量 X 的概率密度函数为：
0 f ( x) l x l e
x0 x0
则称随机变量X服从参数为λ的指数分布，记为 X~e（λ），其中λ>0为常数。 我们很容易求得指数分布的分布函数为：
0 F ( x) l x 1 e
这里，数学期望E(N)=λt是[0,t]时间内到达的
平均呼叫数，而λ就是单位时间内到达的平均呼
叫数，称为到达率或呼叫强度。
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泊松分布举例
第2章 交换理论
例 某电话局的统计资料表明，该局平均每分钟 到达12个呼叫。试按泊松分布计算，在一分钟内 到达k个呼叫的概率（k=0,1,2.…）。
解 根据题意有λt =12，根据泊松分布公式，一 分钟内到达k个呼叫的概率为：
如果不等式∑Pk|g(xk)|<∞成立。称级数∑Pkg(xk)为 离散型随机变量g(x)的数学期望。 定义3.1：X连续型随机变量，f(x)为其概率密度。 | g ( x) | f ( x) 成立，则积分 f ( x) g ( x)dx 其值为连续 型随机变量g(x)的数学期望。 若g(X)=X，则上面两个式子为随机变量X的数学期 望，它表示随机变量概率分布的中心。 g(x)=Xn，则称作随机变量的矩。 n=1为一阶矩，即是数学期望，又叫平均值。 n=2为二阶矩，又称作均方值。 离散型随机变量有n阶矩 mn=∑xknPk
12 k 12 P(N k) e k! ( k 0 ,1 , 2 L )
P(k) 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
计算结果示于右图。泊松 分布由参数λ决定，其曲 线是非对称的，随着λ增 大，非对称性越不明显， 但概率峰值下降。
第2章 交换理论
q 1 p
C n! [k ! (n k)! ]
k n
指定1表示事件A，0表示/A，以X=k表示n次试验中A恰好出现 k次的事件，得到一个随机变量，其可能的取值k=0123…n 13
交换技术
二项分布
第2章 交换理论
定义6: 设随机变量X可能的取值为k=0,1,2··n，其概率 ·· ··
另一个数字特征是“方差”，度量随机变 量在其数学期望左右的分散程度 定义4：对于X随机变量，若E{[X-E(X)]n} 存在，则称un= E{[X-E(X)]n}为随便变量 的中心矩。 u2= E{[X-E(X)]2}称作方差，记做D(X)或者 δ2， δ2= E{[X-E(X)]2} =E(X2)[E(X)]2=m2=m12 δ叫做标准差。
定义2.2：连续型随机变量的概率密度函数。存 在f(x)非负函数。使下式成立。 f(x)称作X的 概率密度函数，又叫概率密度。
F ( x) f (u )du
x
对于连续型随机变量采用概率密度描述概率分 布更直接。 有些情况下不一定要求出随机变量的分布函数， 只需要知道一些“数字特征” “矩”---随机变量的一类数字特征 定义3：X为离散型随机变量，g(X)为X的单值函 数，其概率分布P(X=xk)=Pk k=0,1,2…
常见的概率分布
1，0-1分布
定义5：随机变量X只可能取值0和1,相应的概率
为P(X=1)=P,P(X=0)=1-P 称X服从0-1分布。 0-1分布是一种简单的概率分布，在随机现象描 述中应用广泛。比如：电话呼叫的发生/不发生； 服务设备的忙/闲;比特传输的正确/错误；设备 故障的有/无。 它的数学期望E(X)=P ；方差D(X)=p(1-p)
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交换技术
2.1 概率论与随机过程
第2章 交换理论
概率论与随机过程是研究随机现象的数学工具，内 容十分丰富，本节主要介绍与交换理论密切相关的随 机现象和随机过程内容，大量的随机现象体现出统计 规律，主要包括： 二项分布：交换系统中的各种服务设备，如各级交换 单元的输入输出链路、交换机的中继线等，这些设备 的占用情况往往可以用二项分布来分析。 泊松分布：在实际问题中，有许多随机变量服从泊松 分布。例如，一段时间内电话局收到的呼叫次数，某 路口通过的车辆数等，都可用泊松分布来描述。