2015 高考数学模拟预测试卷(新课标)10
2015年 高考数学模拟试卷(十)
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2015高考数学模拟试题 试卷副标题 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 1．设复数z 满足i z i 2)1(=-，则z 的共轭复数z =（ ） A ．i +-1 B ．i --1 C ．i +1 D ．i -1 2．若全集}6,5,4,3,2,1{=U ，}4,1{=M ，}3,2{=N ，则集合}6,5{等于（ ） A ．N M B ．N MC ．)()(N C M C U UD ．)()(N C M C U U 3．“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．抛物线24(0)y ax a =≠的焦点坐标是（ ） A ．(0,)a B ．(,0)a C ．1(0,)16a D ．1(,0)16a 5．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n =（ ） A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ．8 6．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这 个几何体的体积是（ ） 112222侧视图俯视图主视图 A ．343cm B ．383cm C ．33cm D ．34cm 7．已知实数x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则y x z +=2的最大值为（ ） A ．3 B ．23 C ．23- D ．3-○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 8．若执行下面的程序框图，则输出的k 值是（ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 79．由曲线2x y =，x y =围成的封闭图形的面积为（ ）A ．16B ．13C ．23 D ．110．在ABC ∆中，||||AB AC AB AC +=-，2=AB ，1=AC ，E ，F 为BC 的三等分点，则AE AF ⋅=（ ）A ．89B ．910C ．925D ．92611．函数x y 1-=的图象按向量(1,0)a =平移之后得到的函数图象与函数)42(2s i n ≤≤-=x x y π的图象所有交点的橫坐标之和等于（ ）A ．2B ．4C ． 6D ． 812．若定义在R 上的函数)(x f 满足1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3()1x f x e >+(e 为自然对数的底数)的解集为（ ）A ．),0(+∞B ．(,0)(3,)-∞+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(3,)+∞13．若双曲线E 的标准方程是2214x y -=，则双曲线E 的渐近线方程是________ ．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 14．数列{}n a 是等比数列，若22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=_______． 15．若直线l ：1(0,0)x y a b a b +=>>经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴的截距之和的最小值是_______． 16．在直三棱柱111C B A ABC -中，若AC BC ⊥，3A π∠=，4=AC ，M 为1AA 中点，点P 为BM 中点，Q 在线段1CA 上，且QC Q A 31=，则异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值 ． Q P M C 1A 1B 1B A C 17．（本小题满分12分）已知函数)6sin(sin 2)(π+=x x x f ． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域． 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，⊥SD 平面ABCD ，a AD SD ==，点E 是SD 上的点，且)10(≤<=λλa DE ． D A B C S E （1）求证：对任意的(0,1]λ∈，都有BE AC ⊥； （2）若二面角A BE C --的大小为120，求实数λ的值． 19．（本小题满分12分） 某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 等奖；否则，该节目不能获一等奖． （1）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率； （2）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望． 20．（本小题满分12分）如图所示，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，其中12e =，焦距为2，过点)0,4(M 的直线l 与椭圆C 交于点A 、B ，点B 在AM 之间，又点A ，B 的中点横坐标为47，且AM MB λ=． yxA BM O（1）求椭圆C 的标准方程 ； （2）求实数λ的值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln (0)f x a x a =>，e 为自然对数的底数．（1）过点))2(,2(f A 的切线斜率为2，求实数a 的值；（2）当0>x 时，求证：)11()(x a x f -≥；（3）在区间),1(e 上01<-x e e a a x 恒成立，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的两个点，AB CE ⊥于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，FG CF =．FG E CO A BD（1）求证：C 是劣弧BD 的中点；（2）求证：FG BF =．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 4y x （θ为参数），直线l 经过点)2,1(P ，倾斜角6πα=．（1）写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程；○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… （2）设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||||PB PA ⋅的值． 24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数()214f x x x =+--． （1）解不等式0)(>x f ； （2）若m x x f >-+|4|3)(对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围．参考答案1．B ．【解析】 试题分析：由题意得：i i i i i i i z +-=+-+=-=1)1)(1()1(212，∴共轭复数1z i =--． 考点：1．复数的计算；2．共轭复数的概念．2．D【解析】试题分析：由题意得：}4,3,2,1{=N M ，∅=N M ，U N C M C U U =)()( ， }6,5{)()(=N C M C U U ，故选D ．考点：集合的运算．3．B ．【解析】试题分析：∵010)1ln(<<-⇔<+x x ，∴“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的必要不充分条件．考点：1．对数的性质；2．充分必要条件．4．C ．【解析】 试题分析：将抛物线化为标准方程，24y x a =，∴焦点坐标为1(0,)16a ． 考点：抛物线的标准方程．5．D ．【解析】试题分析：由题意得：12-=n a n ，∴22136362321368n n n n S S a a n n n +++-=⇒+=⇒+++=⇒=． 考点：等差数列的通项公式．6．B ．【解析】 试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积382231312=⨯⨯==Sh V ． 考点：空间几何体的体积计算．7．A ．【解析】试题分析：如图，作出不等式组所表示的区域，即可行域，作直线l ：02=+y x ，平移l ，可知当2=x ，1-=y 时，3122max =-⨯=z ．考点：线性规划．8．A ．【解析】试题分析：依次执行程序框图中的语句：①10=n ，1=k ，②5=n ，2=k ，③16=n ，3=k ，④8=n ，4=k ，跳出循环，故输出的4=k ．考点：程序框图．9．B ．【解析】 试题分析：如图，可知所求面积313132)(323102=-=-=⎰x x dx x x S ．考点：定积分计算曲边图形的面积．10．B ．【解析】试题分析：∵||||AB AC AB AC +=-，∴0AB AC ⋅=，即AB AC ⊥，∴如下图，建立平面直角坐标系，∵2=AB ，1=AC ，∴()E ，()F ，∴22(,)33E ，)31,34(F ，∴109AE AF ⋅=．考点：平面向量的数量积．11．D ．【解析】 试题分析：分析题意可知，函数11y x =-关于点(1,0)对称，2sin (24)y x x π=-≤≤关于点(1,0)对称， ∴两个函数图象所有交点必定两两关于点(1,0)对称，如下图可知，共有8个交点，∴所有横坐标的和为18282⋅⋅=．．考点：1．函数与方程；2．数形结合的数学思想．12．A ．【解析】试题分析：令()()3x x g x e f x e =--，∴'()(()'x x x g x e f x f x e e f x=+-=+->，∴()g x 在R 上单调递增，又∵(0)(0)40g f =-=，∴()00g x x >⇒>，即不等式的解是(0,)+∞．考点：导数的运用．13．x y 21±=．【解析】 试题分析：由题意得2=a ，1=b ，∴渐近线方程为x x a b y 21±=±=．考点：双曲线的标准方程． 14．32(14)3n --．【解析】 试题分析：由题意得2181253=⇒==q a a q ，∴322)21(--=⋅=n n n q a a ， ∴52231)21()21()21(---+=⋅=n n n n n a a ，∴数列}{1+n n a a 是以8为首项，41为公差的等比数列， ∴1223118(1)324(14)1314n n n n a a a a a a -+-++⋅⋅⋅+==--． 考点：等比数列的通项公式及其前n 项和． 15．322+．【解析】 试题分析：由题意得121=+b a ，∴截距之和为a b b a b a b a b a ++=++=+23)21)(( 232322a b b a ≥+⋅=+，当且仅当ab b a =2，即a b 2=时，等号成立，即b a +的最小值为223+．考点：1直线的方程；2．基本不等式．16．39132． 【解析】试题分析：如图，过P 作//PD AB 交1AA 于D ，连DQ ，∴D 为AM 中点，142PD AB ==，又∵134A D AQ QC AD ==，∴//DQ AC ，3PDQ π∠=，334DQ AC ==，在PDQ ∆中，2243243cos133PQ π=+-⋅⋅⋅=，1312cos 22=⨯-+=∠QD PQ PD QD PQ PQD ， ∴39132cos 1sin 2=∠-=∠PQD PQD ．．考点：1．异面直线的夹角；2．余弦定理及其变式． 17．（1）最小正周期为T π=，单调递增区间是5[,]1212k k ππππ-++，k ∈Z ；（2）值域是30,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦．【解析】试题分析：（1）首先利用两角和的正弦公式以及二倍角公式的降幂变形将函数)(x f 的表达式进行化简变形为3()sin(2)32f x x π=-+，从而可知最小正周期π=T ，再由正弦函数x y sin =的单调性，解不等式222232k x k πππππ-+≤-≤+，Z k ∈即可得到)(x f 的单调区间；（2）根据x 的取值范围可求得32π-x 的取值范围，从而再由正弦函数的性质即可得)(x f 的值域．试题解析：（1）x x x x x x f 2sin 2122cos 13)cos 21sin 23(sin 2)(+-⋅=+= 2分3sin(2)32x π=-+， 4分 ∴函数()f x 的最小正周期为T π=， 6分 ∵222232k x k πππππ-+≤-≤+，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，Z ∈k ， ∴函数()f x 的单调递增区间是5[,]1212k k ππππ-++，k ∈Z ； 8分 （2）∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，3sin(2),132x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 10分 ∴3()0,12f x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦． 12分考点：1．三角恒等变换；2．函数)sin(ϕω+=x A y 的性质． 18．（1）详见解析；（2）1λ=．【解析】试题分析：（1）分析题意，以D 为原点，DA ，DC ，DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出AC ，BE 的坐标，计算向量的数量积，说明数量积恒为0与λ无关即可；（2）分别求出平面BCE 与平面ABE 的一个法向量，利用二面角A BE C --的大小为120，建立两法向量的关系式，求出λ的值即可．试题解析：（1）如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(),0,0A a ，(),,0B a a ，()0,,0C a ，()0,0,0D ，()0,0,E a λ，(),,0AC a a =-，(),,BE a a a λ=--， 3分∴0AC BE ⋅=对任意(]0,1λ∈都成立，即BE AC ⊥恒成立； 5分（2）设平面ABE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，∵()0,,0AB a =，(),0,AE a a λ=-，∴11111111000000n AB y y ax az x z n AE λλ⎧⋅===⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=-=⋅=⎩⎩⎪⎩，取11z =，则1x λ=，()()1111,,,0,1n x y z λ==， 7分设平面BCE 的一个法向量为()2222,,n x y z =，∵()(),0,0,0,,BC a CE a a λ=-=-，∴22222222000000n BC x x ay az y z n CE λλ⎧⋅===⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=-=⋅=⎩⎩⎪⎩，取21z =，则2y λ=，()()2222,,0,,1n x y z λ==， 9分 ∵二面角D AE C --的大小为120，∴121221211cos ,12n n n n n n λ⋅===+，(]0,11λλ∈⇒=，∴1λ=为所求． 12分考点：1．空间中直线与直线的位置关系；2．二面角的计算． 19．（1）277；（2）X 的分布列为 X 0123P2716271227278X 的数学期望为2)(=X E ．【解析】 试题分析：（1）设“某节目的投票结果是最终一等奖”错误！未找到引用源。
高三数学-2015年高考数学模拟试卷(十)
2015年高考数学模拟试卷（十）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．直线x﹣y+3=0在y轴上的截距为．2．若角α的终边经过点P（3，2），则tanα的值为．3．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为．4．已知点A（1，2），B（3，5），向量=（x，6），若∥，则实数x的值为．5．过点A（2，1），且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为．6．已知向量与的夹角为120°，且，，则= ．7．若等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a4=8，则S5= ．8．若sin（x+）=，则cos（x﹣）= ．9．直线x+y+1=0被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦长为．10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n．其中真命题的序号为．11．在平面直角坐标系xOy中，若圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴相交于A（1，0）、B （3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，则圆C的标准方程为．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，∠B=30°，b=+1，则•= ．13．已知点A（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是．14．若单调递增数列{a n}满足a n+a n+1+a n+2=3n﹣6，且a2=a1，则a1的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．16．已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的值域．17．在四边形ABCD中，已知AB=9，BC=6，=2．（1）若四边形ABCD是矩形，求•的值；（2）若四边形ABCD是平行四边形，且•=6，求与夹角的余弦值．18．为了绘制海底地图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45°，∠DBC=75°，A，B两点的距离为海里．（1）求△ABD的面积；（2）求C，D之间的距离．19．设S n是数列{a n}的前n项和，且2a n+S n=An2+Bn+C．（1）当A=B=0，C=1时，求a n；（2）若数列{a n}为等差数列，且A=1，C=﹣2．①求a n；②设b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T60的值．20．已知圆O的方程为x2+y2=13，直线l：x0x+y0y=13，设点A（x0，y0）．（1）若点A在圆O外，试判断直线l与圆O的位置关系；（2）若点A在圆O上，且x0=2，y0＞0，过点A作直线AM，AN分别交圆O于M，N两点，且直线AM和AN的斜率互为相反数．①若直线AM过点O，求tan∠MAN的值；②试问：不论直线AM的斜率怎么变化，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．2015年高考数学模拟试卷（十）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．直线x﹣y+3=0在y轴上的截距为 3 ．考点：确定直线位置的几何要素；直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：通过x=0求出y的值，即可得到结果．解答：解：直线x﹣y+3=0，当x=0时，y=3，直线x﹣y+3=0在y轴上的截距为：3．故答案为：3．点评：本题考查直线方程的应用，直线的截距的求法，基础题．2．若角α的终边经过点P（3，2），则tanα的值为．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切值，正切值为纵坐标与横坐标的商．解答：解：由定义若角α的终边经过点P（3，2），x=2，y=3，∴tanα==故答案为：．点评：本题考查任意角三角函数的定义，求解的关键是熟练掌握定义中知道了终边上一点的坐标，求正切值的规律．知道了终边上一点的坐标的三角函数的定义用途较广泛，应好好掌握．3．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为2π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，求出圆柱的母线长l，再求圆柱的体积V．解答：解：根据题意，圆柱的底面半径r=1，母线长l=2r=2∴圆柱的体积为V=Sl=πr2l=π×12×2=2π．故答案为：2π．点评：本题考查了求圆柱体的体积的问题，解题时应根据圆柱体的体积公式进行计算即可，是基础题．4．已知点A（1，2），B（3，5），向量=（x，6），若∥，则实数x的值为 4 ．考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出．解答：解：∵点A（1，2），B（3，5），∴=（3，5）﹣（1，2）=（2，3）．∵∥，∴3x﹣2×6=0，解得x=4．故答案为：4．点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题．5．过点A（2，1），且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为2x﹣y﹣3=0 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：根据题意，所求直线的斜率为2且经过点A（2，1），利用直线的点斜式方程列式，化简即可得到所求直线方程．解答：解：设所求直线为l，∵直线l直线平行于直线2x﹣y+3=0，∴直线l的斜率与直线y=2x+3的斜率相等，即k=2．又∵直线l经过点A（2，1），∴直线l的点斜式方程为y﹣1=2（x﹣2），化为一般式得2x﹣y﹣3=0故答案为：2x﹣y﹣3=0．点评：本题给出经过定点且与已知直线平行的直线，求直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识，属于基础题．6．已知向量与的夹角为120°，且，，则= 2 ．考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算性质即可得出．解答：解：∵向量与的夹角为120°，且，，∴=2×1×cos120°=﹣1．则===2．故答案为：2．点评：本题查克拉数量积运算性质，属于基础题．7．若等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a4=8，则S5= 31 ．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式和前n项和公式即可得出．解答：解：设等比数列的公比为q，∵a1=1，a4=8，∴8=1×q3，解得q=2．∴S5==31．故答案为：31．点评：本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．8．若sin（x+）=，则cos（x﹣）= ．考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式先求得cos（x+）的值，进而根据cos（x﹣）=cos（x+﹣π）求得答案．解答：解：cos（x+）=sin（﹣x﹣）=﹣sin（x+）=﹣，∴cos（x﹣）=cos（x+﹣π）=﹣cos（x+）=．故答案为：．点评：本题主要考查了诱导公式的应用．解题的过程中要特别注意符号的判定．9．直线x+y+1=0被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦长为2．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由条件利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式求得所求的弦长．解答：解：圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0 即（x﹣1）2+y2=4，表示以C（1，0）为圆心、半径等于2的圆，弦心距d==1，∴弦长为 2=2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n．其中真命题的序号为②③．考点：命题的真假判断与应用．分析：根据线面垂直、面面平行的性质来求解解答：①若m⊥a，则m要垂直a中的两条相交的直线，通过分析，m只垂直来a中的一条直线，故不能做出判断，①错②根据面和面垂直的性质：只要一个面当中能找出一条垂直于其他的平面的线，就可以推出这两个面相互垂直，故②正确③两条不同的直线逗垂直同一个平面，则这两条直线必平行，③对④相互平行的面，两个面之间的直线不相交，但可以是异面直线，还可以垂直，故④错点评：熟悉教材，清楚线面之间的关系，借助图形辅导学习更佳．11．在平面直角坐标系xOy中，若圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴相交于A（1，0）、B （3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2 ．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由已知条件设圆心坐标为（2，b）（b＞0），由圆与直线x﹣y+1=0相切，求出圆C的圆心和半径r．由此能求出圆C的标准方程．解答：解：∵圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴相交于A（1，0）、B（3，0）两点，∴设圆心坐标为（2，b）（b＞0），∵圆与直线x﹣y+1=0相切，∴，∴b2+6b﹣7=0，解得b=1或b=﹣7，∵b＞0，∴b=1∴圆C的圆心C（2，1），半径r==．∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．点评：本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，∠B=30°，b=+1，则•= 3．考点：平面向量数量积的运算．专题：等差数列与等比数列；解三角形；平面向量及应用．分析：由a，b、c成等差数列，b=+1及∠B=30°，可得ac==6，由•=||•||cos30°=ac得到答案．解答：解：∵由a，b、c成等差数列，b=+1，∴2b=a+c=2（+1），得a2+c2+2ac=16+8，∴a2+c2=16+8﹣2ac，由∠B=30°可得：cos30°===∴ac==6∴•=||•||cos30°=ac=×6=3，故答案为：3点评：本题考查的知识点是等差数列的性质，余弦定理，平面向量的数量积，是解三角形，数列与向量的综合应用，难度较大．13．已知点A（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是（1，5）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：先求得|AB|=5，根据题意可得两点M，N到直线AB的距离为2．求出AB的方程为3x+4y+15=0，当圆上只有一个点到直线AB的距离为2 时，求得r的值；当圆上只有3个点到直线AB的距离为2时，求得r的值，从而求得满足条件的r的取值范围．解答：解：由题意可得|AB|==5，根据△MAB和△NAB的面积均为5，可得两点M，N到直线AB的距离为2．由于AB的方程为=，即 3x+4y+15=0．若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则有圆心（0，0）到直线AB的距离=r+2，解得r=1．若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，则有圆心（0，0）到直线AB的距离=r﹣2，解得r=5，故答案为：（1，5）．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．14．若单调递增数列{a n}满足a n+a n+1+a n+2=3n﹣6，且a2=a1，则a1的取值范围是（﹣，﹣）．考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出，a4=a1+3，由单调递增数列{a n}中，a3＞a2，a4＞a3，能求出a1的取值范围．解答：解：∵单调递增数列{a n}满足a n+a n+1+a n+2=3n﹣6，且a2=a1，∴，解得，，解得a4=a1+3，单调递增数列{a n}中，a3＞a2，a4＞a3，∴，解得．∴a1的取值范围是（﹣，﹣）．故答案为：（﹣，﹣）．点评：本题考查单调递增数列中首项的取值值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，避免出现计算上的低级错误．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据三角形中位线定理可得EF∥BC，进而根据线面平行的判定定理可得EF∥平面ABC；（2）根据PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，结合∠ABC=90°，及线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面PAB，进而由线面垂直的第二判定定理可得EF平面PAB，最后由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PAB．解答：证明：（1）∵E，F分别为PB，PC的中点．∴EF∥BC，又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC；（2）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，又∵PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，由（1）中EF∥BC，∴EF⊥平面PAB，又∵EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAB．点评：本题考查的知识点是线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，是空间线面关系的简单综合应用，难度中档．16．已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的值域．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，利用周期公式求得函数的正周期．（2）根据x的范围确定2x+的范围，最后根据三角函数的性质求得函数的值域．解答：解：（1）f（x）=cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2sin（2x+），T==π，（2）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴≤sin（2x+）≤1∴1≤f（x）≤2，即函数的值域为[1，2]点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学位对三角函数基础知识的综合运用．17．在四边形ABCD中，已知AB=9，BC=6，=2．（1）若四边形ABCD是矩形，求•的值；（2）若四边形ABCD是平行四边形，且•=6，求与夹角的余弦值．考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（1）由条件求出||=6，||=3，再用向量AB，AD表示向量AP，BP，再将数量积•展开，运用向量的平方为模的平方以及=0，即可求出结果；（2）设与夹角为θ，根据得到的数量积•，运用数量积定义，代入数据，即可求出cosθ．解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，即=0，又AB=9，BC=6，=2，∴||=6，||=3，∵=，=，∴=（）•（）==62﹣92=18；（2）设与夹角为θ，由（1）得，=（）•（）==62﹣cosθ﹣92=6，∴cosθ=．点评：本题主要考查两向量的数量积的定义，考查向量的平方等于模的平方，以及向量共线、垂直的条件，考查向量的运算求解能力．18．为了绘制海底地图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45°，∠DBC=75°，A，B两点的距离为海里．（1）求△ABD的面积；（2）求C，D之间的距离．考点：余弦定理；解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：（1）易求∠ADB，在△ABD中，由正弦定理，得，代入数值可求；（2）可判断△ABC为等腰三角形，可求BC，△BCD中，由余弦定理可求CD．解答：解：（1）∠ADB=180°﹣30°﹣45°﹣45°=60°，在△ABD中，由正弦定理，得，∴，解得BD=．∴==．（2）△ABC中，∠ACB=180°﹣30°﹣45°﹣75°=30°，∴BC=BA=，△BCD中，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2﹣2BC•BDcos∠DBC=3+﹣2×=5，∴CD=．点评：该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查学生对问题的阅读理解能力．19．设S n是数列{a n}的前n项和，且2a n+S n=An2+Bn+C．（1）当A=B=0，C=1时，求a n；（2）若数列{a n}为等差数列，且A=1，C=﹣2．①求a n；②设b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T60的值．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意得，由此求出．（2）①数列{a n}为等差数列，由通项公式与求和公式，得a n=2n﹣1．②b n=，利用裂项求和法能求出T60的值．解答：解：（1）由题意得，2a n+S n=1，∴2a n﹣1+S n﹣1=1（n≥2），两式相减，得，…（3分）又当n=1时，有3a1=1，即，∴数列{a n}为等比数列，∴．…（5分）（2）①∵数列{a n}为等差数列，由通项公式与求和公式，得：，∵A=1，C=﹣2，∴，a1﹣d=﹣2，∴d=2，a1=1，∴a n=2n﹣1．（10分）②b n======…（13分）则，∴…（16分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．20．已知圆O的方程为x2+y2=13，直线l：x0x+y0y=13，设点A（x0，y0）．（1）若点A在圆O外，试判断直线l与圆O的位置关系；（2）若点A在圆O上，且x0=2，y0＞0，过点A作直线AM，AN分别交圆O于M，N两点，且直线AM和AN的斜率互为相反数．①若直线AM过点O，求tan∠MAN的值；②试问：不论直线AM的斜率怎么变化，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率．专题：直线与圆．分析：（1）由点A在圆O外，可得x02+y02 ＞13，求得圆心到直线的距离d小于半径，可得直线和圆相交．（2）由条件求得点A（2，3）．①若直线AM过点O，求得AM的斜率，可得AN的斜率K AN=﹣，再利用两条直线的夹角公式求得tan∠MAN=||的值．②记直线AM的斜率为k，把直线AM的方程为：y=kx+3﹣2k代入圆O的方程化简，由2是方程的一个根，利用韦达定理求得M的横坐标x M的值，同理可得，x N的值，再根据MN的斜率为，计算结果为，可得结论．解答：解：（1）∵点A在圆O外，∴x02+y02 ＞13，由于圆心（0，0）到直线l：x0x+y0y=13的距离d=＜=r，故直线和圆相交．（2）∵点A在圆O上，且x0=2，y0＞0，可得y0=3，∴点A（2，3）．①若直线AM过点O，则AM的斜率为 K AM=，∴K AN=﹣，tan∠MAN=||=||=．②记直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为：y=kx+3﹣2k．将y=kx+3﹣2k代入圆O的方程得：x2+（kx+3﹣2k）2=13，化简得：（k2+1）x2+2k（3﹣2k）x+（3﹣2k）2﹣13=0，∵2是方程的一个根，∴2x M=，∴x M=，由题意知：k AN=﹣k，同理可得，x N=，∴kMN==k•=k•=，∴不论直线AM的斜率怎样变化，直线MN的斜率总为定值．点评：本题主要考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角公式的应用，属于中档题．。
2015年高考数学模拟试题及答案
（1）求数列 a n 的通项公式； （2）设 bn
1 ,数列 bn 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn 2 . 2 an
20． （本小题共 13 分） 若双曲线 E :
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的离心率等于 2 ，焦点到渐近线的距离为 1，直线 y kx 1 与双 a 2 b2
D C
A．
3 10 10
B．
10 10
C．
5 10
D．
5 15
E
B A 7． 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，AB 2, CC1 2 2 ，E 为 CC1 的中点， 则直线 AC1 与平面 BED
的距离为 A．2 B．
3
C． 2
D．1
8．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级 2 人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高 三年级，则不同的安排种数为
(2)由（1）可知 bn 20． （本小题共 13 分）
c a 2 1 2 解： （1）由 a 得 b2 1 b 1
设 A x1 , y1 , B x2 , y2 ， 由
故双曲线 E 的方程为 x y 1
2 2
y kx 1 得 1 k 2 x 2 2kx 2 0 2 2 x y 1
x 1 0 ， 则 A B x 3
2 3
D． (, 1)
A． (3, )
B． (1, )
2 3
C． ( ,3)
2
2. 设 x R ， i 是虚数单位，则“ x 3 ”是“复数 z ( x 2 x 3) ( x 1)i 为纯虚数” 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是
2015年高考数学模拟预测试卷(新课标)28
2015年高考数学模拟预测试卷（新课标）1．若P Q(a≥0)，则P，Q的大小关系( )A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a取值决定2．设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<04．设x，y，z>0，则三个数yx＋yz，zx＋zy，xz＋xy( )A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于25．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤6．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数7．不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x2、b2、y2三数( )A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列8．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2 D.ab<11ab++9．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的是________．10．请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 12＋a 22＝1，那么a 1＋a 2 证明：构造函数f(x)＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2 根据上述证明方法，若n 个正实数满足a 12＋a 22＋…＋a n 2＝1时，你能得到的结论为________．11．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有()()()12n f x f x f x n +++≤f(12n x x x n +++)，已知函数y＝sinx 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sinA ＋sinB ＋sinC 的最大值为________．12．已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.13．已知函数f(x)＝a x ＋21x x -+ (a>1)． (1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．14．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：a b a b ++ 15．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个不同的交点，若f(c)＝0且0<x<c 时，f(x)>0，(1)证明：1a是f(x)＝0的一个根； (2)试比较1a 与c 的大小； (3)证明：－2<b<－1.四、新添加的题型参考答案1．C【解析】假设P<Q，∵要证P<Q，只要证P2<Q2，只要证：2a＋7＋＋7＋只要证：a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证：0<12，∵0<12成立，∴P<Q成立．2．A【解析】若“a＋b＝1”，则4ab＝4a(1－a)＝－4(a－12)2＋1≤1；若“4ab≤1”，取a＝－4，b＝1，a＋b＝－3，即“a＋b＝1”不成立；则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的充分不必要条件．3．C⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.4．C【解析】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又yx＋yz＋zx＋zy＋xz＋xy＝(yx＋xy)＋(yz＋zy)＋(zx＋xz)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.另取x＝y＝z＝1，可排除A、B. 5．C【解析】①中若a＝34，b＝12，则a＋b>1，故①不能；②中若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能；③能，④中若a＝b＝－2，则a2＋b2>2，故④不能；⑤中若a＝b＝－2，则ab>1，故⑤不能．∴只有③能，选C.6．B【解析】自然数a，b，c中为偶数的情况为a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c全为奇数；a，b，c中恰有一个数为偶数，所以反设为a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．7．B【解析】由已知条件，可得由②③得22x a b y c b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 代入①，得22x y b b+＝2b ， 即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2、b 2、y 2成等差数列，故选B.8．B【解析】在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a－b －1)恒成立．9．①②【解析】①②正确；③中a≠c，b≠c，a≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3.10．a 1＋a 2＋…＋a n【解析】构造函数f(x)＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n≤0，所以a 1＋a 2＋…＋a n11【解析】∵f(x)＝sinx 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴()()()3f A f B f C ++≤f(3A B C ++)＝f(3π)， 即sinA ＋sinB ＋sinC≤3sin 3π所以sinA ＋sinB ＋sinC. 12．见解析【解析】解：假设a ，b ，c 均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a ＋b ＋c<3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2(x －12)2＋3≥3，两者矛盾；故a，b，c至少有一个不小于1.13．（1）见解析（2）见解析【解析】证明：(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1<x2，由于a>1，ax1<ax2，∴ax2－ax1>0.又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴222 1x x -+－1121xx-+＝()()()()()()211212212111x x x xx x-+--+++＝() ()()2112311x xx x-++>0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋222 1x x -+－1121xx-+>0，即f(x2)>f(x1)，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)证法一：假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－002 1x x -+.∵a>1，∴0<ax0<1.∴0<－002 1x x -+<1，即12<x0<2，与假设x0<0相矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根．证法二：假设存在 x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，①若－1<x0<0，则002 1x x -+<－2,0<ax0<1，∴f(x0)<－1，与f(x0)＝0矛盾．②若x0<－1，则002 1x x -+>0,1>ax0>0，∴f(x0)>0，与f(x0)＝0矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根．14．见解析【解析】证明：a⊥b⇔a·b＝0，要证a b a b + +只需证|a|＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a 2＋2a·b＋b 2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a 2＋2b 2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．15．（1）见解析 （2）1a>c. （3）见解析 【解析】解：(1)证明：∵f(x)的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f(x)＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f(c)＝0，∴x 1＝c 是f(x)＝0的根，又x 1x 2＝c a， ∴x 2＝1a (1a≠c)， ∴1a是f(x)＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a >0， 由0<x<c 时，f(x)>0，知f(1a )>0与f(1a )＝0矛盾，∴1a≥c， 又∵1a ≠c，∴1a >c. (3)证明：由f(c)＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴b ＝－1－ac.又a>0，c>0，∴b<－1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x ＝－2b a ＝122x x +<222x x +＝x 2＝1a， 即－2b a <1a . 又a>0，∴b>－2，∴－2<b<－1.。
2015年高考数学模拟试题及答案
2015年高考数学模拟试题及答案本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分。
第一卷1至2页，第二卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间120分钟。
第一卷（选择题 共60分）注意事项：1. 作答第一卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔填写在答题卡上，并认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否正确。
2. 第一卷答案必须用2B 铅笔填涂在答题卡上，在其他位置作答一律无效。
每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sincos22a b a ba b +-+= sin sin 2cossin22a b a ba b +--= cos cos 2cos cos22a b a ba b +-+=cos cos 2sinsin22a b a ba b +--=- 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，由它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()C (1)kk n k n n P k p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为这组数据的平均值一．选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 设集合{}1,2A =，{}1,2,3B =，{}2,3,4C =，则()AB C =(A ){}1,2,3(B ){}1,2,4(C ){}2,3,4(D ){}1,2,3,4(2) 函数123()x y x -=+∈R 的反函数的解析表达式为(A )22log 3y x =- (B )23log 2x y -= (C )23log 2xy -= (D )22log 3y x=- (3) 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项的和为21，则345a a a ++=(A ) 33(B ) 72(C ) 84(D ) 189(4) 在正三棱柱111ABC A B C -中，若2AB =，11AA =，则点A 到平面1A BC 的距离为(A )34(B )32(C )334(D )3(5) ABC △中，3A p=，3BC =，则ABC △的周长为 (A )43sin()33B p ++ (B )43sin()36B p++(C )6sin()33B p ++ (D )6sin()36B p++(6) 抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是(A )1716(B )1516(C )78(D ) 0(7) 在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4 8.49.49.99.69.49.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为(A ) 9.4，0.484 (B ) 9.4，0.016 (C ) 9.5，0.04 (D ) 9.5，0.016(8) 设a 、b 、g 为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：① 若a g ⊥，b g ⊥，则//a b ；② 若m a ⊂，n a ⊂，//m b ，//n b ，则//a b ；③ 若//a b ，l a ⊂，则//l b ；④ 若l a b =，m b g =，n g a =，//l g ，则//m n ． 其中真命题的个数是 (A ) 1(B ) 2(C ) 3(D ) 4(9) 设1,2,3,4,5k =，则5(2)x +的展开式中k x 的系数不可能．．．是 (A ) 10 (B ) 40(C ) 50(D ) 80(10) 若1sin()63p a -=，则2cos(2)3pa += (A )79-(B )13- (C )13(D )79(11) 点(3,1)P -在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上．过点P 且方向为(2,5)=-a 的光线，经过直线2y =-反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 (A )33 (B )13 (C )22(D )12 (12) 四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的．现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 (A ) 96(B ) 48(C ) 24(D ) 0S 数学试题 第 3 页（共 4 页）第二卷（非选择题 共90分）注意事项：请用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔在答题卡上指定区域内作答，在试题卷上作答一律无效。
最新2015年高考数学预测考试(含答案)
A
B
C
C
B
B
C
B
B
C
B
C
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17．解：（1）设｛an｝的公差为d，
∵b2+S2=12，q=
∴，解得q=3或q=-4(舍)，d=3.
故an=3n,bn=3n-1----------------------6分
下面证明g（x）≤ 对x∈（0，＋∞）恒成立，
设G（x）＝ ，则 ，
所以当0＜x＜ 时， ，当x＞ 时， ＜0，
当x＝ 时，G（x）取得最大值0，则g（x）≤ 对x∈（0，＋∞）恒成立，
故所求“分界线“的方程为： 。…………………………………………..12分
另解：
设 则 对x∈R恒成立，所以 ，由导数法解得： 。设 则 对x∈（0，＋∞）恒成立，，所以 ，由导数法解得： 。
则P(0，－c，2)，B(b，0，0)，E(0，－c，1)，C(0，c，0)．
＝(b，c，－2)，＝(b，0，0)，＝(0，－c，1)．
设n＝(x，y，z)是面EBD的一个法向量，
则n·＝n·＝0，
即取n＝(0，1，c)．-----------------------8分
依题意，BC＝＝2．①
记直线PB与平面EBD所成的角为θ，由已知条件
∴≤(1-) <,
即≤++…+<------------------------------------------------------------------12分
18.（Ⅰ）由题意估算,所调查的600人的平均年龄为
25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48(岁).………………4分
2015高考预测卷
2015年高考数学分析与预测不少专家把2014年称作中国教育改革元年，从教育部到各省区市，相继出台减轻学生课业负担、规范教学过程、治理择校、改革考试评价制度等一系列的改革措施。
这意味着教育改革已经进入了“深水区”。
在这种情况下，2015年的高考显得非同寻常。
专家指出，综合运用所学知识解决生活中的实际问题，也就是检验学生的思辨力，将是今后高考的考查方向。
知识是用来解决实际问题的“繁复的计算”、“海量的公式和原理”、“考过就忘”似乎是很多学生对数学的记忆。
不过，今年高考数学全国卷中的一道题，让人眼前一亮。
“甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市。
由此可判断乙去过的城市为____”“没有公式、没有原理、没有运算，只考查推理能力。
”考试中心数学命题专家说。
这种通过所学知识、获得解决问题的方法并能解决生活实际中可能遇到的问题，体现了高考改革的方向。
这位专家同时指出，计算并不是不重要，而是要把计算同逻辑推理结合起来，即使要计算也首先要通过逻辑推理之后再计算。
今后全国卷会慢慢普及，各省高考方向都在变化，但无论教育制度体制怎么改，数学最基本的知识是一成不变的，该考什么还考什么，只是侧重点会有一点的倾斜，所以大家记住无论其他学科怎么变，数学是基本不变的。
未来的数学考试：主要考查学生的自学能力、接受新知识的能力、应用意识实践能力、创新精神和潜质、同时这样的试题更加具备科学性、公平性和规范性是一个良好的趋势。
在这里我建议2015届的考生要关注平时的练习中出现的基础问题，出错了不能归纳为一时的马虎粗心，要查找深层次的原因，提升数学素养，查漏补缺，才能在2015年高考取得理想成绩。
下面给出2015年两套预测卷，理科文科各一套，难度依然很明显,理科要大很多。
2015年高考预测卷理科 数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1．若复数2()1aiz a R i-=∈+是纯虚数，i 是虚数单位，则a 的值是 ( ) A ．2 B ．1 C ．1- D ．2- 2. 已知随机变量2(2,)N ξσ，且(1)0.4P ξ<=，则(3)P ξ≤等于 ( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6 3．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．13 C ．12 D ．324．设实数,x y 满足约束条件20,30,2,x y x y x y m -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩且z x y =-的最小值为3-，则实数m 的值为（ ）A ．1-B ．52-C ．6D ．7 5．已知i 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式61i x x ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭的展开式中含2x -项的系数是（ ）A ．192B ．32C ．42-D ．192- 6．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为侧面11BCC B 的中心，则AO 与平面ABCD 所成的角的正弦值为（ ）A ．32 B ．12 C ．36 D ． 667．已知函数3()log ()(0a f x x a a=+>且1)a ≠恒过点(2,1)，则2()232f x x x =--+的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．在ABC ∆中，()3AB AC CB -⊥，则角A 的最大值为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为12,F F ，其中一条渐近线方程为()2by x b N +=∈，P 为双曲线上一点，且满足5OP <(其中O 为坐标原点)，若1PF 、12F F 、2PF 成等比数列，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2214x y -=B ．221x y -= C ．22149x y -= D ．221416x y -= 10．给出下列命题：① “0x R ∃∈，使得20010x x -+<”的否定是“x R ∀∈，使得210x x -+≥”； ② 0a b ⋅>是向量,a b 的夹角为锐角的充要条件；③ 设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=， 则tan 4tan AB=； ④ 记集合{1,2,3},{1,2,3,4}M N ==，定义映射:f M N →，则从中任取一个映射满足“由点(1,(1)),(2,(2)),(3,(3))A f B f C f 构成ABC ∆且AB BC =”的概率为316． 以上命题正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为sin()214πρθ+=+，圆C 的圆心为2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2，则直线l 被圆C 所截得的弦长为__________．12．已知222236,2x y z a x y z a ++=++=-，则实数a 的取值范围是________． 13．如图，在ABC ∆中，90,60C A ∠=∠=，过C 作ABC ∆的外接圆的切线CD ，BD CD ⊥于D ，BD 与外接圆交于点E ，已知5DE =，则ABC ∆的外接圆的半径为________. （二）必做题（14～16题）14．已知向量1(2sin ,),(2,cos )3a b αα==且//a b ，则2cos ()4πα+= _______．15．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的端点上恰取相邻一个最大值点和一个最小值点，则 （1）ω的值为______； （2）在,,136x x y ππ=-==和x 轴围成的矩形区域里掷一小球，小球恰好落在函数()f x =sin()([,])336x x πππω+∈-与x 轴围成的区域内的概率为__________．16．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31n +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．（1）如果2n =，则按照上述规则施行变换后的第8项为_________；（2）如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为________．三、解答题（本大题共6小题，共75分，请将解答过程写在答题卡的相应位置，要有必要的文字说明和演算步骤） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c a C b -=2cos 2． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若C A sin sin 的取值范围．点评：作为第一道大题，三角函数的考察一般都是送分，出难也可以，不过肯定会被骂的，第一道想出新有些难度，就算换考点这第一道题难度最好还是不要太高。
2015届高三高考数学模拟试题及参考答案
2015届高三数学模拟试题（理）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．设集合A ＝{x | 0<x ＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( )A ．φB ．(1，2)C ．[1，2)D ．(1，3)2．复数ii2143+-在复平面上对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 3．已知实数x>y ，则下列关系式恒成立的是( )A. 1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C. sin x ＞sin yD. 2x ＞2y4．在等差数列{a n }中，若12543=++a a a ，则=++++7321a a a a ( )． A. 16 B. 28 C. 30 D. 365．在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，且异面直线AB 与CD 所成角为300，E,F 分别是 边BC 和AD 的中点，则异面直线EF 和AB 所成角等于（ ） A. 015或075 B. 075 C. 015 D. 015 或0306．设常数R a ∈.若52⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的二项展开式中7x 项的系数为15-,则a =（ ）A. 3B. 3-C. 5D. 5-7．运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则 函数()0≥=x x y a是增函数的概率为( )43.D 53.C 54.B 73.A 8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ） A. 3 B. 2 C.23 D. 29（第8题图）正视图 侧视图x9．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0 ,0048022y x y x y x , 若目标函数by ax z +=（b a ,均为大于0实数）的最大值为8, 则ab 的最大值为（ ）A. 8B. 6C. 5D. 4 10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-,则cos A =（ ） A . —33 B . 33 C. D 3-. 11．定义在R 上的偶函数满足f (32＋x ) ＝ f (32－x )且f (－1)＝1，f (0) ＝－2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)的值为 ( )A ．1B ．－2C ．2D ．0()()()范围是则此椭圆离心率的取值且满足在椭圆上点的两个焦点为椭圆己知,10,,0,.12221222221c PF ，P ，by a x c F c F =⋅=+-⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33.A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31.B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,33.C ⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0.D 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数())(,4sin 4sin 22R x x x x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ的最小正周期是_____. 14．圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+= 成轴对称图形，则b a +的取值范围是_______15．若()()2ln 212++-=x b x x f 在()+∞-,1上是减函数，则b 的最大值是_______.16．己知点P 是AOB ∆所在平面上一点，向量a OA =，向量b OB =,且P 在线段AB 的垂直平分线上，向量=，若()=-⋅==则,23______三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17．（本题满分12分）在数列}{n a 中，),2(22,1*11N n n n a a a n n ∈≥-+==- (1)证明：数列}{n a n +是等比数列，并求}{n a 的通项公式; (2)设()n a b n n +=2log ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n b b 的前n 项和1<n S .18．（本题满分12分）已知四棱锥P —ABCD 中，PC ⊥面ABCD ，ABCD 为正方形，且PC=2，AB=BC=1， E 是侧棱PC 上的动点。
2015年高考数学模拟试卷 (新课标)
2015年高考数学模拟试卷1．复数i(i 1)+等于（ ） A. 1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --2．已知直线1:210l x y +-=与直线2:0l mx y -=平行，则实数m 的取值为（ ） A. 12-B.12C. 2D.2- 3．为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为（ ） A ．10000 B ．20000 C ．25000 D ．300004．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为（ ）A.15B.14C. 7D.65．已知2log 3a =，4log 6b =，4log 9c =，则（ ）A ．a b c =<B ．a b c <<C ．a c b =>D ．a c b >>6．已知函数22,2,()3,2,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程()f x k =有三个不等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A.(3,1)-B. (0,1)C. (2,2)-D. (0,)+∞7．在ABC ∆中，若2a b =，面积记作S ，则下列结论中一定．．成立的是（ ） A ．30B> B ．2A B = C ．c b < D ．2S b ≤ 8．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，BDAC O =，M 是线段1D O 上的动点，过点M 做平面1ACD 的垂线交平面1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为（ ）A ．2B ．62C ．233D ．19．双曲线2213y x -=的离心率为___. 10．某四棱锥的三视图如右图所示，则该四棱锥的体积为__.11．已知点(,)P x y 的坐标满足40,12,0,x y x y +-≤⎧⎪≤≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值为________.12．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11222,4a b a b ==-==，则满足n n a b =的n 的所有取值构成的集合是______. 13．某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为___；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时,980小时, 1030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为___小时.14．直线1x =与抛物线C :24y x =交于,M N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记(,)OP aOM bON a b =+∈R ，其中O 为抛物线C 的顶点. （1）当OP 与ON 平行时，b =________； （2）给出下列命题：①,a b ∀∈R ，PMN ∆不是等边三角形； ②∃0a <且0b <，使得OP 与ON 垂直； ③无论点P 在准线上如何运动，1a b +=-总成立. 其中，所有正确命题的序号是___.15．函数cos2()2sin sin cos xf x x x x=++.（Ⅰ）求π()4f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.16．根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示（Ⅰ）求上图中a 的值；（Ⅱ）甲队员进行一次射击，求命中环数大于7环的概率（频率当作概率使用）；（Ⅲ）由上图判断甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定（结论不需证明）. 17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PB =，且侧面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是棱AB 的中点．（Ⅰ）求证：//CD 平面PAB ； （Ⅱ）求证：PE AD ⊥；（Ⅲ）若CA CB =，求证：平面PEC ⊥平面PAB . 18．已知函数()()e x f x x a =+，其中a 为常数.（Ⅰ）若函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若2()e f x ≥在[0,2]x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围.19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，右顶点A 在圆F ：222(1)(0)x y r r -+=>上.（Ⅰ）求椭圆C 和圆F 的方程；（Ⅱ）已知过点A 的直线l 与椭圆C 交于另一点B ，与圆F 交于另一点P .请判断是否存在斜率不为0的直线l ，使点P 恰好为线段AB 的中点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.20．如果函数()f x 满足在集合*N 上的值域仍是集合*N ，则把函数()f x 称为N 函数. 例如：()f x x =就是N 函数.（Ⅰ）判断下列函数：①2y x =，②21y x =-，③[]y x =中，哪些是N 函数？（只需写出判断结果）；（Ⅱ）判断函数()[ln ]1g x x =+是否为N 函数，并证明你的结论； （Ⅲ）证明：对于任意实数,a b ，函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. （注：“[]x ”表示不超过x 的最大整数）参考答案1．B 【解析】试题分析：()211i i i i i +=+=-+。
2015年高考数学模拟预测试卷(新课标)4
2015年高考数学模拟预测试卷（新课标）1．若0<<b a ，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A.22b ab a << B.22b ab a >> C.ab b a <<22 D.ab b a >>222．“点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程 ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 3的图像，只需将函数x y 2sin =的图像（ ） A.B. C. D.4的正三角形ABC 的边BC 上有n （∈n N *，2≥n ）等分点，沿向量BC的方向依次为121,,,-n P P P ，记AC AP AP AP APAB T n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ，若给出四个数值:，则n T 的值不可能的共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5．若集合}1lg |{<=x x A ，},sin |{R x x y y B ∈==，则=B A .6．若12lim=+∞→n ann ，则常数=a .7．若1>x ，则函数11-+=x x y 的最小值为 .8．函数⎪⎭⎫⎝⎛-=4tan πx y 的单调递增区间是 . 9．方程6lg )1lg(lg =-+x x 的解=x .10．如图，正三棱柱的底面边长为1，体积为3，则异面直线A A 1与C B 1所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.11．若方程132||22=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 .12．函数11)(--=x x f （2≥x ）的反函数是 .13．在二项式81⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含5x 项的系数为 （结果用数值表示）. 14．若抛物线mx y 42=（0>m ）的焦点在圆122=+y x 外，则实数m 的取值范围是 .15．在AB C ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ， 120=A ，则=∆ABC S .16．若无穷等比数列}{n a 的各项和等于公比q ，则首项1a 的取值范围是 . 17． 设a 为大于1的常数，函数⎩⎨⎧≤>=00log )(x ax x x f xa ，若关于x 的方程0)()(2=⋅-x f b x f恰有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是 .18． 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法共有 .19．已知P 是椭圆12422=+y x 上的一点，求P 到)0,(m M （0>m ）的距离的最小值. 20．已知函数x x b x x f cos sin sin 2)(2+=满足2)6(=πf（1）求实数b 的值以及函数)(x f 的最小正周期；（2）记)()(t x f x g +=，若函数)(x g 是偶函数，求实数t 的值.21．如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm ）（加工中不计损失）.（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为12mm ，求钉身的长度（结果精确到1mm ）.22．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N *（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）已知32+=n c n （∈n N *），记=n d n C n a c log +（0>C 且1≠C ），是否存在这样的常数C ，使得数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由.（3）若数列}{n b ，对于任意的正整数n ，均有2221123121+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n 成立，求证：数列}{n b 是等差数列；23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）图2小题8分已知函数)(x f y =，若在定义域内存在0x ，使得)()(00x f x f -=-成立，则称0x 为函数)(x f 的局部对称点.（1）若∈a R 且0≠a ，证明：函数a x ax x f -+=2)(必有局部对称点； （2）若函数b x f x +=2)(在区间]2,1[-内有局部对称点，求实数b 的取值范围； （3）若函数324)(21-+⋅-=+m m x f x x 在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.参考答案1．B 【解析】试题分析：因为0<<b a ，所以22b ab a >>，故选B. 考点：不等式的性质. 2．B 【解析】试题分析：“点M 的坐标满足方程02=+y x ”⇒“点M 在曲线x y 42=上”；“点M 在曲线x y 42=上”不一定满足“点M 的坐标满足方程02=+y x ．所以“点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程x y 42=”的必要不充分条件．故选B ．考点：充要条件的判定方法. 3．A 【解析】试题分析：将函数⎪⎭⎫⎝⎛-=42c o s πx y 向右平移8π个单位，得到cos 2cos 2sin 2842y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B.考点：三角函数图象变换.4．D 【解析】试题分析： 以点B 为原点建立直角坐标系，则点()1211121,1,0,,0,,0,...,,02n A C P P P n n n ⎛-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；1111311,,...,,22n n AP AP n n -⎛⎫⎛-=--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，5163n T n n ∴=-，代入四个数值，据不符合，故选D.考点：1.向量的坐标表示；2.数列的前n 项和. 5．(]0,1 【解析】 试题分析：∵}1lg |{<=x x A {}|010x x =<<，∈==x x y y B ,sin |{}{}|11y y =-≤≤，∴=B A (]0,1.考点：集合的交集运算.6．1【解析】 试题分析：lim1,lim lim 11n n n an an aa an a n a n→∞→∞→∞=∴===+++ .考点：极限的运算.7．3 【解析】 试题分析：()()()()22111111113111x x xx y x x x x -+-+-+===-++≥=---，当且仅当()()111x x -=-且1>x 时，即2x =时取等号，故最小值为3.考点：1.函数的最值；2.基本不等式. 8．⎪⎭⎫⎝⎛+-43.4ππππk k （Z k ∈） 【解析】试题分析：因为=tan 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭，令,242k x k x k Z ππππ-+<-<+∈，解得x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-43.4ππππk k （Z k ∈），故函数⎪⎭⎫⎝⎛-=4t a n πx y 的单调递减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-43.4ππππk k （Z k ∈）.考点：正切函数的单调性.9．3 【解析】试题分析： 6lg )1lg(lg =-+x x ()()lg 1lg 6160031010x x x x x x x x x -=-=⎧⎧⎪⎪⇔>⇔>⇔=⎨⎨⎪⎪->->⎩⎩考点：对数的运算. 10．41arctan 【解析】试题分析：因为正三棱柱的体积为2'1'ABC V S AA AA ∆=⋅=⋅='4AA =，根据正三棱柱的性质可知1CB B ∠为直线C B 1与异面直线A A 1所成的角，所以1111tan 4BC CB B B CB BB ∠==∴∠=41arctan .考点：异面直线成角. 11．),3()2,2(+∞- 【解析】试题分析：由题意可知，()()230k k --< ，解得x ∈),3()2,2(+∞- ，所以 实数k 的取值范围是),3()2,2(+∞- . 考点：双曲线的标准方程. 12．)2(11)(1≥--=-x x x f【解析】试题分析：因为11)(--=x x f （2≥x ），所以)0(22)(21<+-=-x x x x f . 考点：反函数的概念.13．28 【解析】试题分析：因为()()388228811r r rrrrr C xxC x---⋅-=-，令38522rr -=∴=，所以5x 项的系数为()2288!1282!6!C -==. 考点：1.组合公式；2.二项式定理. 14．10<<m 【解析】试题分析：因为抛物线mx y 42=（0>m ）的焦点⎫⎪⎭，又因为焦点在圆122=+y x 外，所以1101m m>∴<< . 考点：1.抛物线的焦点；2.点与圆的位置关系. 15．3 【解析】试题分析：由正弦定理可知，1sin 30sin sin 2a c C C A C =⇒=⇒=︒，所以30B =︒ ，所以=∆ABCS 11sin 2sin 3022ac B =⋅︒= 考点：正弦定理. 16．]41,0()0,2( -【解析】由题意可知1q ＜ 且0q ≠ ，11n a S q q==-，221111()424a q q q =-=--≤.考点：等比数列的性质. 17．0b a <≤ 【解析】试题分析：0)()(2=⋅-x f b x f ，可得()0f x =或()f x b =；作出函数⎩⎨⎧≤>=+00l o g)(1x ax x x f x a 的图象，如下图，当()0f x = ，得1x =，又关于x 的方程0)()(2=⋅-x f b x f 恰有三个不同的实数解，故()f x b =要有两个不同于1的实数解，故由图象，可得0b a <≤．考点：1.零点个数的判断；2.数形结合思想.18．141 【解析】试题分析：利用间接法，用总的情况减去共面的情况，总的情况数为410C ；共面的情况①四点均在侧面上，464C ⨯；②三点在一条棱上，第四点在该棱的对棱中点，共有6个中点，即6种情况；③四点均为中点，有3种情况；综上，44106463141C C -⨯--=.考点：组合公式.19．⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=1|,2|10,2||2min m m m m PM【解析】试题分析：设),(y x P ，其中22≤≤-x ， 则222)(||y m x PM +-=222)2(21m m x -+-=，对称轴m x 2=0>，（1）若220<<m ，此时当m x 2=时，2min 2||m PM -=；（2）若22≥m ，此时当2=x 时，|2|44||2m i n-=+-=m m m PM ；即可求出结果. 试题解析：解：设),(y x P ，其中22≤≤-x 2分则222)(||y m x PM +-==2221212)(2222++-=-+-m mx x x m x 5分 222)2(21m m x -+-=，对称轴m x 2=0>7分 （1）若220<<m ，即10<<m ，此时当m x 2=时，2min 2||m PM -=；9分（2）若22≥m ，即1≥m ，此时当2=x 时，|2|44||2min -=+-=m m m PM ；11分综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=1|,2|10,2||2min m m m m PM 12分.考点：椭圆的几何性质. 20．（1） 32=b ;ππ==22T ；（2） 32ππ+=k t ，Z k ∈ 【解析】试题分析：（1）由26=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，得22321412=⨯⨯+⨯b ，即可求出实数b 的值，将32=b 代入x x x x f cos sin 32sin 2)(2+=化简可得)(x f x x 2sin 32cos 1+-=，即可求出函数)(x f 的最小正周期.（2）由（1）得，1]6)(2sin[2)(+-+=+πt x t x f ，所以1622sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=πt x x g ，函数)(x g 是偶函数，则对于任意的实数x ，均有)()(x g x g =-成立。
2015年高考数学 圆锥曲线模拟预测试卷(新课标)
2015年高考数学 圆锥曲线模拟预测试卷（新课标）1．已知椭圆C ：24x ＋22y b ＝1(b>0)，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1,4)B ．[1，＋∞)C ．[1,4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)2．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( )A ．14B ．12C ．2D ．4 3．椭圆24x ＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A ．72B ．2C ．4 4．椭圆22x a ＋22y b ＝1(a>b>0)的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，D 是它短轴上的一个端点，若31DF ＝DA ＋22DF ，则该椭圆的离心率为( )A ．12B ．13C ．14D ．155．设e 是椭圆24x ＋2y k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(3C ．(0,3)∪D ．(0,2) 6．椭圆22x a ＋22y b ＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A D 7．过点M(－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ．设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP(O 为坐标原点)的斜率为k 2，则k 1k 2等于( )A ．－2B ．2C ．－12 D ．128．F 1，F 2是椭圆22x a ＋29y ＝1的左、右两焦点，P 为椭圆的一个顶点，若△PF 1F 2是等边三角形，则a 2＝________． 9．已知P 为椭圆225x ＋216y ＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________． 10．若椭圆22x a ＋22y b ＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．11．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．12．设A ，B 分别为椭圆22x a ＋22y b ＝1(a>b>0)的左、右顶点，(1，32)为椭圆上一点，椭圆长半轴长等于焦距．(1)求椭圆的方程；(2)设P(4，x)(x≠0)，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M ，N ，求证：∠MBN 为钝角．13．设椭圆E ：22y a ＋22x b＝1(a>b>0)的上焦点是F 1，过点P(3,4)和F 1作直线PF 1交椭圆于A ，B 两点，已知A(13，43)． (1)求椭圆E 的方程；(2)设点C 是椭圆E 上到直线PF 1距离最远的点，求C 点的坐标．14．已知F 1，F 2是椭圆C ：22x a ＋22y b ＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM ＋2F M ＝0．(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点N(x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．15．已知椭圆C ：22x a ＋22y b ＝1(a>b>0)的离心率为3椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知动直线y ＝k(x ＋1)与椭圆C 相交于A ，B 两点．①若线段AB中点的横坐标为－12，求斜率k的值；②已知点M(－73，0)，求证：MA·MB为定值．四、新添加的题型参考答案1．C【解析】直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b≥1且b≠4．2．A【解析】将原方程变形为x 2＋21y m ＝1， 由题意知a 2＝1m，b 2＝1， ∴ab ＝1．2，∴m ＝14．故应选A ． 3．A【解析】a 2＝4，b 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，cF 1为左焦点，P 在x 轴上方，则F 1(0)，设P(m)(m>0)，则(24＋m 2＝1，解得m ＝12，所以|PF 1|＝12，根据椭圆定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2×2－12＝72． 4．D【解析】设点D(0，b)，A(－a,0)，则1DF ＝(－c ，－b)，DA ＝(－a ，－b)，2DF ＝(c ，－b)．由31DF ＝DA ＋22DF ，得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15． 5．C【解析】当k>4时，c14<4k k -<1， 解得k>163； 当0<k<4时，c由条件知14<44k -<1，解得0<k<3，综上知选C ． 6．B【解析】由题可知△ABF 为直角三角形，其中|AB||BF|＝a ，|AF|＝a ＋c ，由勾股定理，|AF|2＝|AB|2＋|BF|2即(a ＋c)2＝a 2＋b 2＋a 2＝2a 2＋a 2－c 2，整理得c 2＋ac －a 2＝0，同除a 2得e 2＋e －1＝0，∴e＝12-，∵e ∈(0,1)，∴e＝12． 7．C【解析】设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则x 12＋2y 12＝2，x 22＋2y 22＝2，两式作差得x 12－x 22＋2(y 12－y 22)＝0，故k 1＝1212y y x x --＝－()12122x x y y ++＝－002x y ，又k 2＝00y x ，∴k 1k 2＝－12． 8．12【解析】∵△PF 1F 2是等边三角形，∴2c ＝a ．又∵b ＝3，∴a 2＝12．9．7【解析】由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7．10．25x ＋24y ＝1 【解析】∵点(1，12)在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P(1，12)，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝12，∴k AB ＝－2．又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b)在直线AB 上，∴b ＝2，又c ＝1，∴a 2＝5，故椭圆方程是25x ＋24y ＝1． 11【解析】设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图所示，则B(0，b)，F(c,0)，D(x D ，y D )，则BF ＝(c ，－b)，FD ＝(x D －c ，y D )，∵BF ＝2FD ，∴()22D Dc x c b y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩ ∴322D D c x by ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴2232c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋222b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1，即e 2＝13，∴e＝3．12．（1）24x ＋23y ＝1 （2）见解析 【解析】(1)依题意，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2， 设椭圆方程为224x c ＋223y c ＝1，将(1，32)代入，得c 2＝1，故椭圆方程为24x ＋23y ＝1． (2)证明：由(1)，知A(－2,0)，B(2,0)，设M(x 0，y 0)，则－2<x 0<2，y 02＝34 (4－x 02)，由P ，A ，M 三点共线，得x ＝0062y x +，BM ＝(x 0－2，y 0)，BP ＝(2，0062y x +)，BM ·BP ＝2x 0－4＋20062y x +＝52(2－x 0)>0， 即∠MBP 为锐角，则∠MBN 为钝角．13．（1）22y ＋x 2＝1 （2）(3，－3) 【解析】(1)由A(13，43)和P(3,4)可求直线PF 1的方程为y ＝x ＋1． 令x ＝0，得y ＝1，即c ＝1．椭圆E 的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，由椭圆的定义可知．2a ＝|AF 1|＋|AF 2|∴ab ＝1，所以椭圆E 的方程为22y ＋x 2＝1． (2)设与直线PF 1平行的直线l ：y ＝x ＋m ．2212y x y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0， Δ＝(2m)2－4×3×(m 2－2)＝0，即m 2＝3，∴m要使点C 到直线PF 1的距离最远，则直线l 要在直线PF 1的下方，所以m此时直线l 与椭圆E 的切点坐标为，故即为所求． 14．（1）24x ＋22y ＝1 （2）[－10,10] 【解析】(1)点P(1)在椭圆上， ∴22a ＋21b＝1．① 又∵PM ＋2F M ＝0，M 在y 轴上，∴M 为PF 2的中点，c ＝0，c∴a 2－b 2＝2，②联立①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)，∴a 2＝4． 故所求椭圆C 的方程为24x ＋22y ＝1． (2)∵点N(x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)， ∴0101010121222y y x x y y x x -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩ 解得001001435345y x x y x y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩∴3x 1－4y 1＝－5x 0．∵点N(x 0，y 0)在椭圆C ：24x ＋22y ＝1上， ∴－2≤x 0≤2，∴－10≤－5x 0≤10，即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．15．（1）25x ＋235y ＝1（2）①±3②见解析【解析】(1)22x a ＋22y b ＝1(a>b>0)满足a 2＝b 2＋c 2，又c a 12×b×2c＝3， 解得a 2＝5，b 2＝53，则椭圆方程为25x ＋235y ＝1． (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．①将y ＝k(x ＋1)代入25x ＋235y ＝1， 得(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0， ∴Δ＝48k 2＋20>0，x 1＋x 2＝－22631k k +， ∵AB 中点的横坐标为－12，∴－22631k k +＝－1，解得k ②由(1)知x 1＋x 2＝－22631k k +，x 1x 2＝223531k k -+， ∴MA ·MB ＝(x 1＋73，y 1)·(x 2＋73，y 2) ＝(x 1＋73)(x 2＋73)＋y 1y 2 ＝(x 1＋73)(x 2＋73)＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(73＋k 2)(x 1＋x 2)＋499＋k 2＝(1＋k2)223531kk-+＋(73＋k2)(－22631kk+)＋499＋k2＝422316531k kk---+＋499＋k2＝49(定值)．。
(2021年整理)2015高考数学模拟试卷及答案解析-理科
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2015高考数学模拟试卷及答案解析（理科）本试卷满分150分,考试时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-2．设全集U=R ，A=｛x ｜2x （x —2）〈1｝,B={x ｜y=1n （l －x ）}，则右图中阴影部分表示的集合为 A ．｛x |x≥1｝B ．｛x |x≤1}C ．{x|0<x≤1}D ．｛x ｜1≤x〈2}3．等比数列{a n ｝的各项均为正数，且564718a a a a +=,则log 3 a 1+log 3a 2+…+log 3 a l0= A ．12 B ．10C ．8D ．2+log 3 54．若x=6π是3x ω+cos x ω的图象的一条对称轴,则ω可以是 A ．4B ．8C ．2D ．15．己知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A 23π B 232π+ C ．232π D ．3π6．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有'5架舰载机准备着舰．如果甲乙2机必须相邻着舰,而丙丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）种 A ．12B ．18C ．24D ．487．已知M=3(,)|3,{(,)|20}2y x y N x y ax y a x -⎧⎫==++=⎨⎬-⎩⎭且M N =∅,则a= A ．—6或-2 B ．-6 C ．2或-6 D ．-28．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1％．己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸(单位：毫克／升）与过滤时间t （单位：小时)之间的函数关系为： P= P 0e－kt,（k,P 0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90％．那么，至少还需( ）时间过滤才可以排放．A ．12小时B ．59小时 c ．5小时D ．10小时9．己知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为 A 2B ．2C 2D 2110．实数a i (i =1,2,3,4，5,6）满足（a 2－a 1）2+（a 3－a 2）2+（a 4－a 3）2+（a 5－a 4）2+（a 6－a 5）2=1则（a 5+a 6）－（a 1+a 4）的最大值为A ．3B ．2C 6D ．1二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题．每小题5分，共25分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置,书写不清,模棱两可均不得分．)(一）必考题．（11－14题) 常数项11．己知0(sin cos )xa t t dt =+⎰，则（1x ax-）6的展开式中的为 。
2015年高考数学模拟预测试卷(新课标)19
2015年高考数学模拟预测试卷（新课标）1．设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是( ) A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β2．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l23．下列命题正确的是( )A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则( )A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形5．如图中四个正方体图形，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A．①③ B．①④ C．②③ D．②④6．已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是( )A．①③ B．②④ C．①④ D．②③7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AB1，BC1上，且AM＝BN.以下结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面，其中有可能成立的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．18．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．9．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是________．10．对于平面M与平面N，有下列条件：①M，N都垂直于平面Q；②M、N都平行于平面Q；③M内不共线的三点到N的距离相等；④l，m为两条平行直线，且l∥M，m∥N；⑤l，m是异面直线，且l∥M，m∥M；l∥N，m∥N，则可判定平面M与平面N平行的条件是________(填正确结论的序号)．11．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E ＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.13．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为棱AB的中点，BC＝1，AA1＝ 3.(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)求三棱锥D－A1B1C的体积.14．直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积．(锥体体积公式V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高)四、新添加的题型参考答案1．D【解析】A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．2．B【解析】对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，综上选B. 3．C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面内不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面，两平面可以平行，也可以垂直，故D 错；故选项C正确．4．B【解析】如图，由题意，EF∥BD，且EF＝15BD.HG∥BD，且HG＝12BD.∴EF∥HG，且EF≠HG.∴四边形EFGH是梯形．又EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行．故选B.5．B【解析】图①中，设PN中点为Q，连MQ，则AB∥MQ，所以AB∥平面MNP，图②，图③中，AB与平面MNP相交，图④中，AB∥NP，所以AB∥平面MNP.故应选B.6．C【解析】对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.7．A【解析】取特殊值，使M，N分别为线段AB1，BC1上的中点，取B1B的中点为E，连接NE，EM，则NE∥B1C1，ME∥A1B1，又NE∩ME＝E，B1C1∩A1B1＝B1，故平面MNE∥平面A1B1C1D1，③对；又A1A⊥平面A1B1C1D1，故A1A⊥平面MNE，①对；连接A1B，∵M是A1B的中点，∴M在A1B上，MN是△A1C1B的中位线，MN∥A1C1，②对；当N与B重合，M与A重合，此时MN与A1C1异面，④对．8．6【解析】过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．9．2【解析】①正确；②中，当直线l ⊂α时，不成立；③中，l ，m ，n 还有可能相交于一点，不成立；④正确．所以正确的命题有2个．10．②⑤【解析】由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定M ∥N.11．M ∈FH【解析】由题意HN ∥面B 1BDD 1，FH ∥面B 1BDD 1，∴面NHF ∥面B 1BDD 1.∴当M 在线段HF 上运动时，有MN ∥面B 1BDD 1.12．见解析【解析】证明：方法一：过E 作EM ⊥AB 于M ，过F 作FN ⊥BC 于N ，连接MN ，如图所示，则EM ∥BB 1，FN ∥BB 1，∴EM ∥FN.∵AB 1＝BC 1，B 1E ＝C 1F ，∴AE ＝BF ， ∴1EM BB ＝1AE AB ， 1BF BC ＝1AE AB ＝1FN CC ， ∴1EM BB ＝1FN CC . 又∵BB 1＝CC 1，∴EM ＝FN ，∴四边形EMNF 是平行四边形，∴EF ∥MN.又∵EF ⊄平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD.方法二：过点E 作EH ⊥BB 1于点H ，连接FH ，如图所示，则EH ∥AB ，所以11B E B A ＝11B H B B.∵AB 1＝BC 1，B 1E ＝C 1F ， ∴11B E B A ＝11C F C B， ∴11B H B B ＝11C F C B ， ∴FH ∥B 1C 1.∵B 1C 1∥BC ，∴FH ∥BC.∵EH∩FH＝H ，∴平面EFH ∥平面ABCD.∵EF ⊂平面EFH ，∴EF ∥平面ABCD.13．（1）见解析 （2）14【解析】解：(1)证明：连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OD.∵在▱ACC 1A 中，O 为AC 1的中点，D 为AB 的中点，∴OD ∥BC 1，又BC 1⊄平面A 1CD ，OD ⊂平面A 1CD ，∴BC 1∥平面A 1CD.(2)在正三角形ABC 中，D 为AB 的中点，则CD ⊥AB ，又∵平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，∴CD ⊥平面ABB 1A 1，∴CD 为三棱锥D －A 1B 1C 的高，14．（1）见解析 （2）16【解析】解：(1)证法一：连接AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.证法二：取A′B′中点P，连接MP，NP.而M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.(2)解法一：连接BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.又A′N＝12B′C′＝1，故V A′－MNC＝V N－A′MC＝12V N－A′BC＝12V A′－NBC＝16.解法二：V A′－MNC＝V A′－NBC－V M－NBC＝12V A′－NBC＝16.。
全国新课标Ⅰ卷2015届高三预测金卷(数学文)及答案
A ．④①②③
B．①④③②
C ．①④②③
D ．③④②①
9.在 ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c ，且 BC 边上的高为
3
cb
a ，则
取得最大值
6
bc
时，内角 A 的值为（
）
A．
2
B．
6
2
（ 2 ）过点 F1 的动直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点（异于长轴端点） .请问是否存在实常数 ，使
得 | F1 A F1B | F1 A F1B 恒成立？若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由；
（ 1）求证： BC ⊥平面 VAC ； （ 2）若直线 AM 与平面 VAC 所成角为 ．求三棱锥 B-ACM 的体积．
4
x2 20.已知椭圆 C : a2
y2 b2
1( a b 0) 的左焦点为 F1 ( 1,0). 抛物线 x2
2 py 上的点 ( 2,1) 处的
切线经过椭圆 C 的下顶点 . （ 1）求椭圆 C 的标准方程；
）
x
3
3
ab f ( ab ) f ( )
2
ab B ． f ( ab ) f ( ) f b
2
C． f ( ab) f (a b ) f a 2
D． f b
f (a b ) f ( ab ) 2
12．已知函数 y f (x) 是定义域为 R 的偶函数．当 x 0 时， f ( x)
5 sin( x) (0 x 1)
7 ，且 c 2 ， 2
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）
2015年高考数学模拟预测试卷(新课标)20
2015年高考数学模拟预测试卷（新课标）1．平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )A ．(12，－1，－1) B ．(6，－2，－2) C ．(4,2,2) D ．(－1,1,4)2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM ，1D N 〉的值为( )A.1923 3．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝12AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )A.6B.3C.334．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF.当A 1、E 、F 、C 1共面时，平面A 1DE 与平面C 1DF 所成二面角的余弦值为( )B.12C.15 5．如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP ＝MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为( )6．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角的正弦值为( )A.4 B ．－44 D ．－47．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( )．8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E ⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．9．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为________．10．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________．11．设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记11D P D B＝λ.当∠APC 为钝角时，λ的取值范围是________．12．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1夹角的正弦值．13．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD ＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明：B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；，求线段AM (3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为6的长．14．如下图所示，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE 与平面ABCD所成的角为60°.(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)求二面角F－BE－D的余弦值；(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．四、新添加的题型参考答案1．D【解析】设平面α的法向量为n ，则n ⊥AB ，n ⊥AC ，n ⊥BC ，所有与AB (或AC 、BC )平行的向量或可用AB 与AC 线性表示的向量都与n 垂直，故选D.2．B【解析】设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系(如图)，可知CM ＝(2，－2,1)，1D N ＝(2,2，－1)，cos 〈CM ，1D N 〉＝－19，sin 〈CM ，1D N3．C【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a ，a,0)，F(a,0,0)，AG ＝(a ，a,0)，AC ＝(0,2a,2a)，BG ＝(a ，－a ，0)，BC ＝(0,0,2a)，设平面AGC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)，由1100AG n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒1110220ax ay ay a +=⎧⎨+=⎩⇒1111x y =⎧⎨=-⎩⇒n 1＝(1，－1,1)．sin θ＝11BG n BG n ⋅⋅＝4．B【解析】以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，易知当E(6,3,0)、F(3,6,0)时，A 1、E 、F 、C 1共面，设平面A 1DE 的法向量为n 1＝(a ，b ，c)，依题意得111630660DE n a b DA n a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 可取n 1＝(－1,2,1)，同理可得平面C 1DF 的一个法向量为n 2＝(2，－1,1)，故平面A 1DE 与平面C 1DF 所成二面角的余弦值为1212n n n n ⋅⋅＝12.故选B. 5．A【解析】以D 为原点，DA 、DC 所在直线分别为x 、y 轴建系如图：设M(x ，y,0)，设正方形边长为a ，则P(2a ，0)，C(0，a,0)，则|MC||MP|由|MP|＝|MC|得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y＝12x的一部分．6．A【解析】取AC中点E，连接BE，则BE⊥AC，如图，建立空间直角坐标系B－xyz，则A(2，12，0)，D(0,0,1)，则AD＝(12，1)．∵平面ABC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC，∴BE⊥平面AA1C1C.∴BE＝0,0)为平面AA1C1C的一个法向量，∴cos〈AD，BE设AD与平面AA1C1C所成的角为α，∴sinα＝|cos〈AD，BE〉|＝4A.7．A【解析】如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a)，CD ＝(1,0，a)，1CB ＝(0,2,2)， 设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z)．则100CB m AD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒2200y z x az +=⎧⎨+=⎩，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n(0,1,0)，则由cos60°＝m n m n ⋅⋅＝12，即aAD8．1【解析】以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E(x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴1B E ＝(x －1,0,1)，又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，∴FB ＝(1,1，y)，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB ·1B E ＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.9【解析】如图建立空间直角坐标系，AB ＝(0,1,0)，1AD ＝(－1,0,1)，AE ＝(0，12，1)，设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，由n·AB ＝0，n·1AD ＝0，可解得n ＝(1,0,1)设直线AE 与平面ABC 1D 所成的角为θ，则sin θ＝AE n AE n ⋅⋅＝10．43【解析】如图建立空间直角坐标系D －xyz ，则A 1(2,0,4)，A(2,0,0)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)，1AD ＝(－2,0,4)， 1AB ＝(0,2,4)，1AA ＝(0,0,4)，设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则1100AD n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240240x z y z -+=⎧⎨+=⎩解得x ＝2z 且y ＝－2z ，不妨设n ＝(2，－2,1)，设点A 1到平面AB 1D 1的距离为d ，则d ＝1AA n n ＝43. 11．(13，1) 【解析】本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，意在考查考生的空间想象能力以及运算求解能力． 以DA 、DC 、1DD 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D 1(0,0,1)，则1D B ＝(1,1，－1)，得1D P ＝λ1D B ＝(λ，λ，－λ)，所以PA ＝1PD ＋1D A ＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC ＝1PD ＋1DC ＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于PA ·PC <0，即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2<0，即(λ－1)(3λ－1)<0，解得13<λ<1，因此λ的取值范围是(13，1)． 12．（1（2【解析】解：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，∴1A B ＝(2,0，－4)，1C D ＝(1，－1，－4)．∵cos 〈1A B ，1C D 〉＝1111A B C DA B CD ⋅⋅＝， ∴异面直线A 1B 与C 1D . (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，∵AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，∴n 1·AD ＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且2y ＋4z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，∴n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1夹角的大小为θ.由cos θ＝1212n n n n ⋅⋅23，得sin θ＝3. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1夹角的正弦值为3. 13．（1）见解析 （2）7（3【解析】解：本题可通过建立空间坐标系求解．如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E(0,1,0)．(1)证明：易得11B C ＝(1,0，－1)，CE ＝(－1,1，－1)，于是11B C ·CE ＝0，∴B 1C 1⊥CE.(2)1BC ＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z)，则100B C m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即200x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩ 消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故11B C ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，11B C 〉＝1111m B C m B C ⋅⋅＝，从而sin 〈m ，11B C 〉＝7，故二面角B 1－CE －C 1的正弦值为7. (3)AE ＝(0,1,0)，1EC ＝(1,1,1)．设EM ＝λ1EC ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM ＝AE ＋EM ＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB ＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM ，AB 〉|＝AM ABAM AB⋅⋅λ＝13 (λ＝－15舍去)， ∴AM14．（1）见解析 （2 （3）M 的坐标为(2,2,0)，见解析 【解析】解：(1)∵DE ⊥平面ABCD ，∴DE ⊥AC ，∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，又DE∩BD＝D ，∴AC ⊥平面BDE.(2)∵DE ⊥平面ABCD ，∴∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD ＝60°.∴ED BD由AD ＝3，得DE ＝AF 如图所示，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，F(3,0)，，B(3,3,0)，C(0,3,0)，∴BF ＝(0，－3，EF ＝(3,0，－．设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则00BF n EF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3030y x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩. 令zn ＝(4,2．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA ＝(3，－3,0)为平面BDE 的一个法向量，∴cos 〈n ，CA 〉＝n CA n CA ⋅⋅＝. 又二面角F －BE －D 为锐角，故二面角F －BE －D . (3)依题意，设M(t ，t,0)(0≤t≤3)，则AM ＝(t －3，t,0)， ∴AM ∥平面BEF ，∴AM ·n＝0，即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2. ∴点M 的坐标为(2,2,0)，此时DM ＝23DB ， ∴点M 是线段BD 上靠近B 点的三等分点．。
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2015 高考数学模拟预测试卷（新课标）1．复数(1)i i -等于A.1i + B ．1i -+ C.1i -- D.1i - 2．已知2log 3a =，12log 3b =，123c -=，则A.c b a >> B ．c a b >> C.a b c >> D.a c b >> 3．已知向量(1,1)a =，(1,1)b =-，若ka b -与a 垂直，则实数k =A.1- B ．0 C.1 D.24．如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，那么这个几何体的侧面积为A.8π B ．4π C.2π D.π5．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值是 ( )A ．2B ．5C ．11D ．236．已知双曲线2221x y a-=（0a >），与抛物线24y x =的准线交于,A B 两点，O 为坐标原点，若AOB 的面积等于1，则a = A．1 C．2D ．127．已知函数[]0,()(1)0,x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数，（如[ 1.1]2-=-,[]3π=,⋅⋅⋅）.若直线(1)(0)y k x k =+>与函数()y f x =的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是A ．11[,)54B ．11[,)43C ．11[,)32D ．(0,1]8．在极坐标系中，点(2,)6π到极轴的距离是______.9．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若11a =，34a =，则2________;a =此数列的其前n 项和__________.n S =10．如图，AB 是圆O 的直径，2AB =，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C .若DA DC =，则________;BDC ∠=__________.BC =CA11．对甲、乙、丙、丁4人分配4项不同的工作 A 、B 、C 、D ，每人一项，其中甲不能承担A 项工作，那么不同的工作分配方案有_________种.（用数字作答） 12．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若a c ==sin 23B =， 则cos _______;B =________.b =13．已知点(,)M a b 在由不等式0,0,2,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩确定的平面区域内，则点(,)N a b a b -+所在的平面区域面积是________.14．已知函数()sin 2cos 22af x x x =-的图象过点(,0)8π.（1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及最大值.15．甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72 78 乙 78 82 88 82 95 （1）用茎叶图表示这两组数据；．（2）现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（3）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于80分的次数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ..16．如图：在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是正方形，2P A A B==，PB PD ==，点E 在PD 上，且13PE PD =.EPADBC（1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）求二面角E AC D --的余弦值；（3）证明：在线段BC 上存在点F ，使PF ∥平面EAC ，并求BF 的长.17．已知函数2()xx ax af x e++=，其a 中为常数，2a ≤. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）是否存在实数a ,使()f x 的极大值为2?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.18．已知椭圆E 的两个焦点分别为(1,0)-和(1,0),离心率2e =. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线:l y x m =+（0m ≠）与椭圆E 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时,求TAB 面积的最大值.19．已知集合{}123,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，123(0,,3)n a a a a n N n +≤<<<⋅⋅⋅<∈≥ 具有性质P ：对任意的,i j (1)i j n ≤≤≤，,j i j i a a a a +-至少有一个属于A .（1）分别判断集合{}0,2,4M =与{}1,2,3N =是否具有性质P ； （2）求证：①10a =； ②1232n n na a a a a +++⋅⋅⋅+=； （3）当3,4n =或5时集合A 中的数列{}n a 是否一定成等差数列?说明理由.参考答案1．A 【解析】试题分析：2(1)1i i i i i -=-=+.考点：复数的运算. 2．D 【解析】 试题分析：由对数函数的性质知1a >，0b <，由幂函数的性质知01c <<，故有a c b >>. 考点：对数、幂的比较大小 3．B 【解析】试题分析：由题意(1,1)ka b k k -=+-，因为ka b -与a 垂直，则()110ka b a k k -⋅=++-=，解得0k =.考点：平面向量垂直的充要条件. 4．B 【解析】试题分析：几何体是圆柱，2124S ππ=⨯⨯=侧. 考点：三视图，圆柱的侧面积. 5．D 【解析】试题分析：执行循环结构，,x y 的值第一次为2,5，第二次为5,11，第三次为11,23，此时由于128x y -=>，故不再执行循环体，而是输出y ，输出的是23y =. 考点：流程图. 6．C 【解析】试题分析：抛物线24y x =的准线是1x =-，代入双曲线方程得2211y a -=，y =所以1112AOB S ∆=⨯⨯=，解得2a =．考点：曲线的交点，三角形的面积．7．B 【解析】试题分析：由题意，函数()f x 是周期为1的周期函数，在[0,1)x ∈时，()f x x =，其图象如图所示，直线(1)y k x =+过点(1,0)P -，由于0k >，符合题意的直线必定在点(2,1)A 正方，在点(3,1)B 上方（可过点B ），13PA k =，14PB k =，故有1143k ≤<．考点：周期函数．函数图象与直线的交点．8．1 【解析】试题分析：2sin 16d π==．考点：极坐标． 9．2, 21n- 【解析】试题分析：由题意22134a a a ==，所以22a =，212a q a ==，122112n n n S -==--． 考点：等比数列的项与前n 项和． 10．030， 1【解析】试题分析：由题意，DCB DAC CDB ∠=∠=∠，∴B D B C =，联结OD ，则O D B O B D ∠=∠=BDC ∠+2BCD BDC ∠=∠，又DC 是圆的切线，故OD DC ⊥，即903ODC BDC ∠=︒=∠，∴30BDC ∠=︒，∴30DAB BDC ∠=∠=︒，在Rt ADB ∆中，112BD AB ==． 考点：圆周角弦切角和圆的切线问题，圆的切线的性质与判定定理，直角三角形． 11．18 【解析】试题分析：可从B C D 、、中选一项工作给甲，剩下的三项工作，三人随便分配，共有方案种数为133318C P =．考点：分步乘法原理，组合与组合数．12．1,3【解析】 试题分析：由题意21c o s12s i n23B B =-=，22212cos 66283b ac ac B =+-=+-=，b =考点：同解三角函数关系式，余弦定理. 13．4 【解析】试题分析：由题意，a b 、满足不等式组0,0,2,a b a b ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，设x a b =-，y a b =+，则,22x y y x a b +-==，于是有0,20,202,x y y x y +⎧≥⎪⎪-⎪≥⎨⎪≤≤⎪⎪⎩即0,0,02,x y y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，这个不等式组表示的平面区域为如图所示的OAB ∆内部（含边界），其面积为4，即点(,)N a b a b -+所在平面区域面积为4，考点：不等式组表示的平面区域． 14．（1）2;（2）π【解析】 试题分析：（1）函数解析式中有一个参数，由于已知函数图象过一点，我们只要把点的坐标代入函数式，列出相应的方程，解出这个未知数即可，即sin(2)cos(2)0288a ππ⨯-⨯=，可解得2a =；（2）由（1）可函数式为()sin 2cos 2f x x x =-，含有两个三角函数式，而解决三角函数的问题，一般是把函数式化为一个三角函数式，可利用公式sin cos )a b αααϕ+=+，()22)f x x x =)4x π=-，然后利用正弦函数的性质可得出本题结论．试题解析：（1）由已知函数()sin 2cos 22af x x x =-()f x 的图象过点(,0)8π，∴sin cos 0244a ππ-=， 3分解得2a = 7分（2）由（1）得函数()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=- 9分∴最小正周期22T ππ==， 11分分考点：三角函数式的变形，三角函数的性质． 15．（1）茎叶图见解析；（2）乙；（3）． 【解析】 试题分析：（1）茎叶图是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。
在制作茎叶图时，重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”部分，同一数据出现几次，就要在图中体现几次；（2）可计算出两人的平均成绩，方差（以说明他的稳定性），最高成绩等数据，然后比较得出结论；（3）记“甲成绩高于80分”为事件A ，则2()5P A =，甲在今后三次测试，这三次成绩高于80分的次数为X 符合二项分布2(3,)5B ，其中X 取值依次为0,1,2,3，根据公式可求出相应的概率，从而写出其概率分布列，再根据期望公式计算出数学期望． （1）茎叶图6257882287298乙甲3分（2）由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，且乙的最高分高于甲的最高分，因此应选派乙参赛更好． 6分 （3）记甲“高于80分”为事件A ，∴2()5P A =∴XB 2(3,)5，3322()()(1)55k k k P x k C -==- 8分X 的可能取值为0,1,2,3.分布列为：5EX =13分 考点：（1）茎叶图；（2）样本数据的特征；（3）随机变量的概率分布列与数学期望． 16．（1）证明见解析；（2）13；（3）证明见解析．1BF =． 【解析】试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证PA 与平面ABCD 内的两条相交直线垂直，如,AB AD ，虽然题中没有给出多少垂直关系，但有线段的长度，实际上在PAB ∆中应用勾股定理就能证明PA AB ⊥，同理可证PA AD ⊥，于是可得PA ⊥平面ABCD ；（2）由于在（1）已经证明了,,PA AB AD 两两垂直，因此解决下面的问题我们可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法解题.以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，24(0,,)33E ，这样我们只要求出平面EAC 和平面DAC 的法向量，利用法向量的夹角与二面角相等可互补可得所求二面角大小；（3）线段BC 上的点F 的坐标可写为(2,,0)a ，这样若有//PF 平面EAC ，即PF 与（2）中所求平面EAC 的法向量垂直，由此可出a ，若02a ≤≤，说明在线段BC 上存在符合题意的点，否则就是不存在.试题解析：（1）证明：2PA AB ==，PB =∴222PA AB PB +=∴PA AB ⊥，同理PA AD ⊥ 2分又AB AD A =，∴PA ⊥平面ABCD . 4分（2）以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则24(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,,)33A B C D P E 6分 平面ACD 的法向量为(0,0,2)AP =，设平面EAC 的法向量为(,,)n x y z = 7分24(2,2,0),(0,,)33AC AE ==，由00n A Cn A E⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取221x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴(2,2,1)n =-， 8分设二面角E AC D --的平面角为θ1cos 3||||n AP n AP θ⋅==⋅，∴二面角E AC D --的余弦值为13. 10分（3）假设存在点F BC ∈，使PF ∥平面EAC ， 令(2,,0)F a ，(02)a ≤≤ 12分∴(2,,2)PF a =- 由PF ∥平面EAC ，∴0PF n ⋅=，解得1a = ∴存在点(2,1,0)F 为BC 的中点，即1BF =． 14分考点：线面垂直，空间向量与二面角，空间向量与线面平行. 17．（1）1y =；（2）不存在. 【解析】试题分析：（1）由题意(0)1f =，而曲线在点(0,(0))f 处的切线的斜率为'(0)f ，因此先求导数，(1)'()xx x f x e--=，得'(0)0f =，故切线方程为1y =；（2）这种存在性命题都是先假设存在，然后去求参数a 的值，如能求得，则存在，如求不出，说明假设错误，结论就是不存在，利用导数公式可得[(2)]'()xx x a f x e ---=，极值点是使'()0f x =的点，本题中可得0,2x a =-，由于已知条件是2a ≤，可分类讨论，2a =时，2'()0x x f x e-=≤在R上恒成立，即()f x 在R 上单调递减，无极值，当2a <时，20a ->，通过讨论'()f x 在(,0),(0,2),(2,)a a -∞--+∞上的符号，确定出()f x 的单调性，也即确定出极大值点有2a -，极大值为2(2)(4)a f a a e --=-，接下来考虑的是2(4)a a e --能否等于2，解方程2(4)a a e --2=是不可能的（可以猜测计算出22(42)2e --=），可讨论函数2()(4)a g a a e -=-的单调性，确定其值域或最值。