(完整版)勾股定理典型题总结(较难)(可编辑修改word版)

勾股定理

一．勾股定理证明与拓展模型一

.

图中三个正方形面积关系

思考：如下图，以直角三角形 a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？

例 1、有一个面积为 1 的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图 1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了 4 个正方形（如图 2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了 2017 次后形成的图形中所有正方形的面积和是

.

变式 1：在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图 1 所示)．已知斜放置的三个正方形的面积 分别是 1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是S 1

， S 2， S 3， S 4 ，则 S 1 S 4 = .

变式2：如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC 为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2.

（变式2）（变式3）

变式3：如图，Rt△ABC的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个

半圆，则阴影部分的面积为．

（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝90°，

以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，

则阴影部分面积

模型二

A D H G

B C 外弦图

E F 内弦图

例题2.四年一度的国际数学大会于 2002 年8 月20 日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13 ，每个直角三角形两直角边的和是5 。求中间小正方形的面积为;

5 变式 1：如图，是用 4

个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为25 ，小正方形面积为1，若用 x 、 y 表示直角三角形的两直角边（ x > y ），下列四个说法：① x 2 + y 2 = 25 ，② x - y = 2 ，③ 2xy +1 = 25 ，④ x + y = 9 ．其中说法正确的有

（填序号）.

(变式 1)

(变式 2)

变式 2：如图,正方形 ABCD 的边长为 10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接 GH ，则线段 GH 的长为

变式 3：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称为“赵爽弦图” （如图 5），图 6 是由弦图变化得到的，他是由八个全等的直角三角形拼接而成。记图中正方形 ABCD,正方形 EFGH,正方形 MNKT 的面积分别为 S 1、S 2、S 3，若 S 1＋S 2+S 3 =10，则 S 2=

二．勾股定理及逆定理 分类讨论思想：（易错点）

例题 1、 在 Rt △ABC 中，已知两边长为 3、4，则第三边的长为

变式 1： 已知在△ ABC 中， AB=17， AC=10， BC 边上的高等于 8， 则△ ABC 的周长为

．

变式 2：在△ABC 中，AB=15,AC=13,高 AD=12,则三角形的周长是

变式 3：在△ABC 中，AB=2 ，AC=4，BC=2 以 AB 为边向△ABC 外做△ABD ，使△ABD 为等腰直角三角形，则线段 CD 的长为

方程思想：

例题2、已知：如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD ，使点D 落

在BC 边上的点F 处，已知AB = 8cm ,BC =10cm ,求：（1）EC 的长；（2）求∆FEC

的面积；

例题3.在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积。

思考记忆：正三角形，边长为a,面积为

变式 1：如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交 BC 于 M，交AB 于N，若AC=4， MB=2MC，求AB 的长．

变式2：小明想知道旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了2 米，当他把绳子的

下端拉开旗杆底部8 米时，发现绳子的末端刚好接触地面，旗杆的高度为

变式 3：小溪旁长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树 A 高 30 尺，一棵树 B 高 20 尺，两棵树

之间距离恰好为 50 尺，每棵树顶部都停有一只小鸟，忽然两只鸟同时看到两树间水面游出一

只小鱼，他们立刻以相同的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标，问游鱼出现在距离 A 多少尺？

构造直角三角形：

例题4 四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2，AD=2，则四边形ABCD 的面积是

变式 1.如图，在四边形ABCD 中∠B = 135 , ∠C = 120 , AB =

6, BC = 3 - 3, CD = 6 ,

则AD = .

变式 2：如下（右）图一副直角三角板放置，点C 在FD 的延长线上，AB∥CF，

∠F=∠ACB=90°，AC=5，CD 的长．

变式3：如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，点D 在AB 上，∠ACD=15°，AD=，

则BC=

变式 4：如图所示，P 为∆ABC 边 BC 上一点，且 PC=2PB，已知∠ABC = 45︒，∠APC = 60︒, 求∠ACB 的度数。

A

B C

转化思想

例5.等边三角形 ABC 内一点 P，AP＝3，BP＝4，CP＝5，求∠APB的度数．

变式1：如图，在等腰Rt△ABC 中，∠CAB=90°，P 是△ABC 内一点，且PA=1，PB=3，PC=

；求：∠CPA 的大小。

变式2：如图，O 是等边△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：

①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；

③∠AOB=150°；④四边形AO BO′的面积为6 + 3

9 3

；⑤S△AOC+S△AOB=6+

4

．

其中正确的结论是（只填正确的序号）

变式3．如图所示，在Rt∆ABC 中, ∠BAC = 90︒, AC =AB, ∠DAE = 45︒,且BD = 3 ,

CE = 4 ,求DE 的长.

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