13-2-1 全等三角形判定一(SSS,SAS)知识讲解

全等三角形判定一（SSS ，SAS ）
【要点梳理】
要点一、全等三角形判定1——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.
要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .
要点二、全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C .
注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，
故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
要点三、三角形的稳定性
当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的
稳定性.
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它
就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不
变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的
各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们
又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变
形．
要点四、线段的垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中
垂线．
2.线段的垂直平分线的尺规作图
求做线段AB 的垂直平分线
作法：
（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于2
1AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线．
要点诠释： 作弧时的半径必须大于2
1AB 的长，否则就不能得到交点了． 3.线段的垂直平分线性质定理
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
要点诠释：
线段的垂直平分线性质定理，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助
线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线
段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定1——“边边边”
1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD ＝∠CAE.
【答案与解析】
证明：在△ABD 和△ACE 中，
AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△ACE （SSS ）
∴∠BAD ＝∠CAE （全等三角形对应角相等）.
【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综
合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD ＝∠CAE ，先找出这两个角所在的三角形分别是
△BDA 和△CAE ，然后证这两个三角形全等.
举一反三：
【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠
DBC.
【答案】
证明：连接DC ，
在△ACD 与△BDC 中
()AD BC AC BD
CD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
公共边 ∴△ACD≌△BDC（SSS ）
∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）
类型二、全等三角形的判定2——“边角边”
2、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．
【思路点拨】延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．通过证全等将AB 转化到△CEA 中，同时
也构造出了2AD ．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.
【答案与解析】
证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．
在△ABD 和△ECD 中，AD ＝DE ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ．
∴△ABD ≌△ECD ．
∴AB ＝CE ．
∵AC ＋CE ＞AE ，
∴AC＋AB＞AE＝2AD．即AC＋AB＞2AD．
【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB＋AC＞2AD，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点D逆时针旋转180°得到△CED，也就把AB转化到△CEA中，同时也构造出了2AD．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．
3、已知，如图：在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，
求证：AB＝CD－BD．
【思路点拨】在DC上取一点E，使BD＝DE，则△ABD≌△AED，所以AB＝AE，只要再证出EC ＝AE即可．
【答案与解析】
证明：在DC上取一点E，使BD＝DE
∵ AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE
在△ABD和△AED中， BD＝DE，AD＝AD．
∴△ABD≌△AED（SAS）．
∴AB＝AE，∠B＝∠AED．
又∵∠B＝2∠C＝∠AED＝∠C＋∠EAC．
∴∠C＝∠EAC．∴AE＝EC．
∴AB＝AE＝EC＝CD—DE＝CD—BD．
【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB＝CD－BD，把CD－BD转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD沿AD翻折，使线段BD运动到DC上，从而构造出CD－BD，并且也把∠B转化为∠AEB，从而拉近了与∠C的关系.
举一反三：
【变式】已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝1
2
（AB＋
AD），求证：∠B＋∠D＝180°.
A
E
D
C B
类型五、线段垂直平分线性质定理
6、如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD=3cm，△ABC的周长为20cm，求AC 的长．
举一反三
【变式】如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）
Ａ．ED=CD Ｂ．∠DAC=∠BＣ．∠C＞2∠BＤ．∠B+∠ADE=90°
【答案】Ｄ；。