嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

在问题 2 中需要对后 4 个阶段逐一进行分析。粗避障阶段需要对嫦娥三号在距离月 面 2.4km 处对正下方月面 2300*2300m 的范围的拍照的高程图进行分析，选取最平坦的 位置进行着陆，而下降到距离高空 100m 时，又有对着陆点附近区域 100m 范围的内拍摄 图像的高程图，需要用 MATLAB 进行数据的读入和分析，再用 MATLAB 编写相应的函数寻 找到最平坦的区域进行降落。在考虑降落点的选择是时，要考虑嫦娥三号本身的大小即 所占陆地域，需要查阅相关资料数据。在缓速度下降的状态为匀减速运动。 （三）问题 3 的分析
ṁ 单位时间所消耗的燃料质量
Fthrust 发动机的推力 x 在某一时刻的水平位置 y 在某一时刻的竖直位置 sij 嫦娥三号从i 点运动到 j 点平移距离(i = A,B ...E ,j = B ,C ...F ) hij 嫦娥三号从i 点到 j 点的竖直位移距离(i = A,B ...E ,j = B ,C ...O )
针对问题 2，题目要求确定嫦娥三号的着陆轨道和 6 个阶段的控制策略，因此要对 6 个阶段进行逐一分析以确定综合的最优控制。通过对 6 个阶段的分析，主减速阶段和
2
快速调整阶段在问题 1 中已进行分析，就不用再赘述，关键的地方在于问题 1 中被暂时 忽略调整的粗避障、精避障、缓慢下降和最后的自由落体阶段。
四、模型的建立与求解
第一部分：准备工作
为了更好地对位置进行描述，首先建 立直角坐标系。以预定着陆点
O(19.51W ,44.12N )为原点，建立如图 1 所
示的二维平面直角坐标系 1。经过原点和 该平面的面心建立横坐标轴，垂直横坐标 于原点建立纵坐标轴。由于近月点必定垂 直过月球球心，所以必定与该坐标系在同 一个二位平面上。
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v 2 嫦娥三号经过远月点的速度
h1 近月点高度
h2 远月点高度
M 1 月球的质量
M 2 嫦娥三号的质量
3
g 月球表面的重力加速度 G 万有引力常数 R 月球的半径 tij i 点到 j 点的运动时长(i = A,B ...F ,j = B ,C ...O ) ai 在i 点处的加速度 (i = 1,2...7) Vi 在i 点处的速度 (i = A,B ...F )
灵敏度分析是指研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周 围条件变化的敏感程度的方法。为了方便题目的研究，可以选择周围环境的条件变化所 对应的灵敏度分析。而在本文中，模型大致分为六个过程，为了便于说明和分析，分别 对每个状态进行灵敏度分析，从而综合看出整个运动过程的灵敏度。
三、模型的假设与符号说明
近月点速度 v 1 =1720 m / s ； 远月点速度 v 2 =1630 m / s
（二）模型 2、3 的建立和求解 1．模型的准备 嫦娥三号从近月点开始软着陆过程分为六个
阶段，每个阶段的关键点都要满足所处的状态, 并且要尽量减少消耗的燃料。在模型准备中已经 建立如图 1 所示的，以预定的着陆点 (19.51W ,44.12N )为原点的二维直角坐
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
摘要
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键 问题是着陆轨道与控制策略的设计。针对问题 1，求解近月点、远月点的位置，我们采 用逆运算的方法，在已知预定着陆点的位置，按照轨道的各个关键点的基本要求，结合 最优控制策略，求出各阶段关键点的位置，最后倒退到近月点的位置。近月点、远月点 的速度本文采用物理理论知识角动量守恒定律进行求解。
针对问题 3 要求对设计的着陆轨道和控制策略做误差分析，可以把问题 1 中的求得 的轨迹模型当做预定着陆点的预测轨迹模型，把问题 2 中的轨迹模型看做实际着陆点的 真实轨迹模型。根据实际轨迹模型与预测轨迹模型的对比分析误差，得出该模型误差较 小；而在进行灵敏度分析时，将整个过程分为六段，并对每一段进行灵敏度分析，得出 该模型稳定性较高，灵敏度较低。
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误差一般是指实际值与拟合值之间的差异，而误差分析则是分析这种实际值与拟合 值之间所包含的各种差异，通常可以通过残差平方和准确度等指标对误差进行衡量。本 题中的问题 1 可以看做要达到预定着陆点的预测值，而问题 2 可以看作达到实际点的真 实路程，因此，这里的误差分析可看做问题 1 与问题 2 所形成差异。
因此可以考虑从最后的结果入手，采用倒退的方法，逐步找到题目的答案。假设预定落
地点O(19.51W ,44.12N )为最优轨迹状态下的准确着陆点，通过规划求解出近月点到预定
着陆点的着陆轨道之后近月点的位置可以根据预定着陆地进行反推求得。 着陆的轨迹分为 6 段，在每一段中进行优化。前面已经分析在问题 1 中暂时不考虑
避障问题，所以关键在于解决主减速以及快速调整阶段的轨迹优化，快速调整为水平速 度下降为 0 后的阶段为垂直方向自由落体运动。
快速调整阶段为水平方向的匀减速运动，垂直方向的类自由落体运动。通过受力分 析等来确定这一状态的控制策略以及相应关键点位置。
为满足最少燃料的软着陆，在主减速阶段，假设主发动机的燃料消耗在单位时间内 是一定的，因此，可以将问题转化为点到点的时间最少的优化问题，考虑建立最速下降 曲线的模型，通过最优化方法求解主减速阶段轨迹。最后根据相应的轨迹就可以从预定 落地点O 逆推到近月点、远月点的位置和方向；近月点、远月点的速度大小则采用角动 量守恒定律求得结果。 （二）问题 2 的分析
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我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
图（2）从图（1）中抽取的二维直角坐标
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标系，则可以描述近月点（ A ）连接通过各个关键点并最终到达预定着陆点软着陆轨道， 如图（2）所示（图（2）为从图（1）中抽取二维直角坐标 1）
现在已知结果（预着陆点的位置），采用倒退的方法，解着陆准备轨道近月点的位
置。假设预定落地点O(19.51W ,44.12N )为最优轨迹状态下的准确着陆点，中途在快速调
+ M 2gh1
=
1 2
M 2 V22
+
M 2gh 2
（1）
其中l1 、l2 分别表示近月点、远月点到月球球心的距离，v 1 、v 2 分别表示嫦娥三
号经过近月点、远月点的速度， h1 、 h2 分别表示近月点高度、远月点高度； M 2 表示嫦 娥三号的质量。 2.模型 1 的求解
针对问题 1 用角动量守恒定律建立的速度求解模型为两个方程组，两个未知数，简 单易于求解。用 MATLAB 计算方程组，结果如下：
整姿态后垂直自由落体，假设刚好着陆在预定着陆地点，中途没有遇到障碍, 以C 下的 避障调整状态暂时忽略。 则此时C 、 D 、 E 、 F 的位置刚好在二维坐标系的纵轴上：C (0， 2400)、 D (0,100)、 E (0,30)、 F (0,4)
第二部分：问题 1 的模型的建立与求解
（一）模型 1 的建立和求解 1.模型 1 的建立 问题 1 对嫦娥三号在近月点、远月点相应速度的求解可以根据开普勒第二定律揭 示的角动量守恒定律，建立嫦娥三号近月点（ A ）、远月点速度（v A ）模型：
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
1 2Leabharlann tv1l1 = tv2l2
M 2 V12
A 点为近月点位置，因为近月点高度
为 15000m，则设 A ( x1 ,15000); B 点为
图(1)以预定着陆点为原点的二维坐标系 1
4
主减速完成后基本位于目标上方的点，高度为 3000m,设 B ( x 2 ,3000);C 点为开始粗避 障的点，高度为 2400 的点，设C ( x 3,2400); D 点为开始精避障开始位置，高度 100m, 设 D ( x 4 ,100); E 点为缓慢下降高度为 30m 的点，设 E ( x 5 ,30); F 点关闭发动机，高 度 4m,设有 F ( x6 ,4)。
针对问题 2 确定嫦娥三号的软着陆轨道和各个阶段的最优控制策略，我们采用将整 体分割，分别最六个阶段进行最优控制。同时最优控制主要是尽量减少整个过程的燃料 的消耗，而本文假设嫦娥三号在单位时间内消耗的燃料是一定的，因此把控制燃料的消 耗转化为使得着陆时间最短的问题。而在主减速阶段，要达到对两点之间到达时间最短 的控制，我们首先建立了最速降线模型。该模型过程分析简单，实用性强，推广度高。 在粗避障、精避障阶段，我们采用 MATLAB 读入高程图数据，并结合嫦娥三号自身的着 陆器的大小确定要选取的着陆区域的面积。在所给的范围中搜索距离正中心最近的最平 坦的地方进行降落。最后建立了轨迹关于时间的函数来描述软着陆轨道。