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F9( 2 )
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( F102 )
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联结词的全功能集实例
(1) S1={, ∧, ∨, →} (2) S2={, ∧, ∨, →, } (3) S3={, ∧} (4) S4={, ∨} (5) S5={, →} (6) S6={↑} ↑ (7) S8={↓}{, ∧} ↓ 等则不是联结词全功能集. 而{∨},{ ∧}等则不是联结词全功能集 ∨ 等则不是联结词全功能集
wenku.baidu.com1.3 命题逻辑等值演算
等值式 基本等值式 等值演算 置换规则
1
等值式
若等价式A 是重言式 则称A与 等值 是重言式, 等值, 定义 若等价式 B是重言式,则称 与B等值, 记作A ,并称A 是 记作 B,并称 B是等值式 说明:定义中, 说明:定义中,A,B,均为元语言符号 A或B中 均为元语言符号, 或 中 可能有哑元出现. 可能有哑元出现 例如, 例如,在 (p→q) ((p∨q)∨ (r∧r))中,r为左边 → ∨ ∨ ∧ 中 为左边 公式的哑元. 公式的哑元 用真值表可验证两个公式是否等值 请验证: → → 请验证:p→(q→r) (p∧q) →r ∧ p→(q→r) (p→q) →r → → →
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应用举例——判断公式类型 判断公式类型 应用举例
例3 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q∧ →q) ∧(p→ ∧ ∧(p→ 解 q∧ →q) ∧ ∧( ∨ 蕴涵等值式) q∧ p∨q) (蕴涵等值式) ∧ ∧q) 德摩根律) q∧(p∧ ∧ ∧ (德摩根律) ∧q) 交换律,结合律) p∧(q∧ ∧ ∧ (交换律,结合律) 矛盾律) p∧0 ∧ (矛盾律) 零律) 0 (零律) 由最后一步可知,该式为矛盾式. 由最后一步可知,该式为矛盾式
例1 证明 p→(q→r) (p∧q)→r → → ∧ → 证 p→(q→r) → → p∨ ∨ 蕴涵等值式,置换规则) ∨(q∨r) (蕴涵等值式,置换规则) ∨q)∨ 结合律,置换规则) (p∨ ∨r (结合律,置换规则) ∨ (p∧ ∨ 德摩根律,置换规则) ∧q)∨r (德摩根律,置换规则) 蕴涵等值式,置换规则) (p∧q) →r ∧ (蕴涵等值式,置换规则) 说明:也可以从右边开始演算(请做一遍) 说明:也可以从右边开始演算(请做一遍) 因为每一步都用置换规则, 因为每一步都用置换规则,故可不写出 熟练后, 熟练后,基本等值式也可以不写出
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�
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基本等值式( 基本等值式(续)
A∧ 德摩根律 : (A∨B) ∧ 摩根律 ∨ ∧B A∨ (A∧B) ∨ ∧ ∨B 吸收律: A∨(A∧B)A, A∧(A∨B)A 吸收律 ∨ ∧ ∧ ∨ 零律: A∨11, A∧00 零律 ∨ ∧ 同一律: A∨0A, A∧1A 同一律 ∨ ∧ 排中律: A∨ 1 ∨A 排中律 ∨ 矛盾律: A∧ 0 ∧A 矛盾律 ∧
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等值演算与置换规则
等值演算: 等值演算 由已知的等值式推演出新的等值式的过程 置换规则: 置换规则:若AB, 则Φ(B)Φ(A) 等值演算的基础: 等值演算的基础: (1) 等值关系的性质:自反,对称,传递 等值关系的性质:自反,对称, (2) 基本的等值式 (3) 置换规则
6
应用举例——证明两个公式等值 证明两个公式等值 应用举例
4
基本等值式( 基本等值式(续)
蕴涵等值式: A→B ∨B A∨ 蕴涵等值式 → 等价等值式: AB(A→B)∧(B→A) 等价等值式 → ∧ → 假言易位: A→B → B→ 假言易位 → →A 等价否定等值式: B A 等价否定等值式 AB 归谬论: (A→B)∧(A→ →B) 归谬论 → ∧ → A 注意: 注意 A,B,C代表任意的命题公式 代表任意的命题公式 牢记这些等值式是继续学习的基础
9
例3 (续) 续
(2) (p→q)(q→ →p) → → →p) 解 (p→q)(q→ → → ∨p) (蕴涵等值式) 蕴涵等值式) (p∨q)(q∨ ∨ ∨ 交换律) (p∨q)(p∨q) (交换律) ∨ ∨ 1 由最后一步可知,该式为重言式. 由最后一步可知,该式为重言式 最后一步为什么等值于1? 问:最后一步为什么等值于 ?
13
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2元真值函数对应的真值表 元真值函数对应的真值表 p q 0 0 0 1 p 0 0 0 1 0 1 1 1 q 0 1 1 1
F0( 2 ) F1( 2 ) F2( 2 ) F3( 2 ) F4( 2 ) F5( 2 ) F6( 2 ) F7( 2 )
0 0 0 0
F8( 2 )
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联结词的全功能集( 联结词的全功能集(续)
是一个联结词集合, 定义 设S是一个联结词集合,如果任何 ≥1) 元 是一个联结词集合 如果任何n(n≥ 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 真值函数都可以由仅含 中的联结词构成的公式表 则称S是联结词全功能集. 示,则称 是联结词全功能集 说明: 说明: 是联结词全功能集, 若S是联结词全功能集,则任何命题公式都可用 是联结词全功能集 则任何命题公式都可用S 中的联结词表示. 中的联结词表示 是两个联结词集合, 若S1, S2是两个联结词集合,且S1 S2. 若S1是全 也是全功能集. 功能集, 功能集,则S2也是全功能集
10
例3 (续) 续
(3) ((p∧q)∨(p∧ ∧r) ∧ ∨ ∧q))∧ ∧ ∧q))∧ 解 ((p∧q)∨(p∧ ∧r) ∧ ∨ ∧ ∨q))∧ 分配律) (p∧(q∨ ∧r ∧ ∨ (分配律) 排中律) p∧1∧r ∧ ∧ (排中律) 同一律) p∧r ∧ (同一律) 这不是矛盾式,也不是重言式, 这不是矛盾式,也不是重言式,而是非重言式的可 满足式. 是它的成真赋值, 是它的成假赋值. 满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值 是它的成真赋值 是它的成假赋值 总结: 为矛盾式当且仅当 为矛盾式当且仅当A 总结:A为矛盾式当且仅当 0 A为重言式当且仅当 1 为重言式当且仅当A 为重言式当且仅当 说明:演算步骤不惟一, 说明:演算步骤不惟一,应尽量使演算短些
11
1.4 联结词全功能集
复合联结词
排斥或 与非式 或非式
真值函数 联结词全功能集
12
复合联结词
排斥或: ∧ ∧q)∨ ∧ 排斥或 pq(p∧ ∨(p∧q) 与非式: ↑ (p∧ 与非式 p↑q ∧q) 或非式: ↓ (p∨ 或非式 p↓q ∨q)
13
真值函数
问题: 问题:含n个命题变项的所有公式共产生多少个互 个命题变项的所有公式共产生多少个互 不相同的真值表? 不相同的真值表? 2n 为什么? 答案为 2 个,为什么? 称定义域为{00…0, 00…1, …, 11…1},值域 定义 称定义域为 , 的函数是n元真值函数 为{0,1}的函数是 元真值函数,定义域中的元素是 的函数是 元真值函数, 长为n的 串 常用F:{0,1}n→{0,1} 表示 是n元真值 表示F是 元真值 长为 的0,1串. 常用 函数. 函数 2n 元真值函数. 共有 2 个n元真值函数 元真值函数 例如 F:{0,1}2→{0,1},且F(00)=F(01)=F(11)=0, , , F(01)=1,则F为一个确定的 元真值函数 为一个确定的2元真值函数 , 为一个确定的 元真值函数.
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联结词的全功能集
在一个联结词的集合中, 定义 在一个联结词的集合中,如果一个联结词可 由集合中的其他联结词定义,则称此联结词为冗余 由集合中的其他联结词定义,则称此联结词为冗余 的联结词,否则称为独立的联结词 独立的联结词. 的联结词,否则称为独立的联结词 例如,在联结词集{, ∧, ∨, →, }中,由于 例如,在联结词集{ }中 p→q ∨q, p∨ → 所以, 为冗余的联结词; 类似地, 所以,→为冗余的联结词 类似地,也是冗余的 联结词. 又在{ 联结词 又在 , ∧, ∨}中,由于 中 p∧q p∨ , ∧ ( ∨q), ∨ 所以, 是冗余的联结词. 类似地, 所以,∧是冗余的联结词 类似地,∨也是冗余的联 结词. 结词
2
基本等值式
双重否定律 : 等幂律: 等幂律: 交换律: 交换律 结合律: 结合律 分配律: 分配律 A A A∨AA, A∧AA ∨ ∧ A∨BB∨A, A∧BB∧A ∨ ∨ ∧ ∧ (A∨B)∨CA∨(B∨C) ∨ ∨ ∨ ∨ (A∧B)∧CA∧(B∧C) ∧ ∧ ∧ ∧ A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C) ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) ∧ ∨ ∧ ∨ ∧
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命题公式与真值函数
对于任何一个含n个命题变项的命题公式 , 对于任何一个含 个命题变项的命题公式A,都存在 个命题变项的命题公式 惟一的一个n元真值函数 为A的真值表. 惟一的一个 元真值函数F为 的真值表. 元真值函数 的真值表 等值的公式对应的真值函数相同. 等值的公式对应的真值函数相同 下表给出所有2元真值函数对应的真值表 元真值函数对应的真值表, 下表给出所有 元真值函数对应的真值表 每一个含 个命题变项的公式的真值表都可以在下表中找到. 2个命题变项的公式的真值表都可以在下表中找到 例如: → 例如:p→q, p∨q, (p∨q)∨((p→q)∧q) 等都对应 ∨ ∨ ∨ → ∧ 表中的 F( 2)
7
应用举例——证明两个公式不等值
证明: → → 例2 证明 p→(q→r) (p→q) →r → 用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两 用等值演算不能直接证明两个公式不等值 证明两 个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成 另一个成假. 真,另一个成假 另一个成假 真值表法(自己证) 方法一 真值表法(自己证) 观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的 方法二 观察赋值法 容易看出 等是左边的 成真赋值,是右边的成假赋值. 成真赋值,是右边的成假赋值 用等值演算先化简两个公式,再观察. 方法三 用等值演算先化简两个公式,再观察
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联结词的全功能集实例
(1) S1={, ∧, ∨, →} (2) S2={, ∧, ∨, →, } (3) S3={, ∧} (4) S4={, ∨} (5) S5={, →} (6) S6={↑} ↑ (7) S8={↓}{, ∧} ↓ 等则不是联结词全功能集. 而{∨},{ ∧}等则不是联结词全功能集 ∨ 等则不是联结词全功能集
wenku.baidu.com1.3 命题逻辑等值演算
等值式 基本等值式 等值演算 置换规则
1
等值式
若等价式A 是重言式 则称A与 等值 是重言式, 等值, 定义 若等价式 B是重言式,则称 与B等值, 记作A ,并称A 是 记作 B,并称 B是等值式 说明:定义中, 说明:定义中,A,B,均为元语言符号 A或B中 均为元语言符号, 或 中 可能有哑元出现. 可能有哑元出现 例如, 例如,在 (p→q) ((p∨q)∨ (r∧r))中,r为左边 → ∨ ∨ ∧ 中 为左边 公式的哑元. 公式的哑元 用真值表可验证两个公式是否等值 请验证: → → 请验证:p→(q→r) (p∧q) →r ∧ p→(q→r) (p→q) →r → → →
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应用举例——判断公式类型 判断公式类型 应用举例
例3 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q∧ →q) ∧(p→ ∧ ∧(p→ 解 q∧ →q) ∧ ∧( ∨ 蕴涵等值式) q∧ p∨q) (蕴涵等值式) ∧ ∧q) 德摩根律) q∧(p∧ ∧ ∧ (德摩根律) ∧q) 交换律,结合律) p∧(q∧ ∧ ∧ (交换律,结合律) 矛盾律) p∧0 ∧ (矛盾律) 零律) 0 (零律) 由最后一步可知,该式为矛盾式. 由最后一步可知,该式为矛盾式
例1 证明 p→(q→r) (p∧q)→r → → ∧ → 证 p→(q→r) → → p∨ ∨ 蕴涵等值式,置换规则) ∨(q∨r) (蕴涵等值式,置换规则) ∨q)∨ 结合律,置换规则) (p∨ ∨r (结合律,置换规则) ∨ (p∧ ∨ 德摩根律,置换规则) ∧q)∨r (德摩根律,置换规则) 蕴涵等值式,置换规则) (p∧q) →r ∧ (蕴涵等值式,置换规则) 说明:也可以从右边开始演算(请做一遍) 说明:也可以从右边开始演算(请做一遍) 因为每一步都用置换规则, 因为每一步都用置换规则,故可不写出 熟练后, 熟练后,基本等值式也可以不写出
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基本等值式( 基本等值式(续)
A∧ 德摩根律 : (A∨B) ∧ 摩根律 ∨ ∧B A∨ (A∧B) ∨ ∧ ∨B 吸收律: A∨(A∧B)A, A∧(A∨B)A 吸收律 ∨ ∧ ∧ ∨ 零律: A∨11, A∧00 零律 ∨ ∧ 同一律: A∨0A, A∧1A 同一律 ∨ ∧ 排中律: A∨ 1 ∨A 排中律 ∨ 矛盾律: A∧ 0 ∧A 矛盾律 ∧
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等值演算与置换规则
等值演算: 等值演算 由已知的等值式推演出新的等值式的过程 置换规则: 置换规则:若AB, 则Φ(B)Φ(A) 等值演算的基础: 等值演算的基础: (1) 等值关系的性质:自反,对称,传递 等值关系的性质:自反,对称, (2) 基本的等值式 (3) 置换规则
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应用举例——证明两个公式等值 证明两个公式等值 应用举例
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基本等值式( 基本等值式(续)
蕴涵等值式: A→B ∨B A∨ 蕴涵等值式 → 等价等值式: AB(A→B)∧(B→A) 等价等值式 → ∧ → 假言易位: A→B → B→ 假言易位 → →A 等价否定等值式: B A 等价否定等值式 AB 归谬论: (A→B)∧(A→ →B) 归谬论 → ∧ → A 注意: 注意 A,B,C代表任意的命题公式 代表任意的命题公式 牢记这些等值式是继续学习的基础
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例3 (续) 续
(2) (p→q)(q→ →p) → → →p) 解 (p→q)(q→ → → ∨p) (蕴涵等值式) 蕴涵等值式) (p∨q)(q∨ ∨ ∨ 交换律) (p∨q)(p∨q) (交换律) ∨ ∨ 1 由最后一步可知,该式为重言式. 由最后一步可知,该式为重言式 最后一步为什么等值于1? 问:最后一步为什么等值于 ?
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2元真值函数对应的真值表 元真值函数对应的真值表 p q 0 0 0 1 p 0 0 0 1 0 1 1 1 q 0 1 1 1
F0( 2 ) F1( 2 ) F2( 2 ) F3( 2 ) F4( 2 ) F5( 2 ) F6( 2 ) F7( 2 )
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F8( 2 )
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联结词的全功能集( 联结词的全功能集(续)
是一个联结词集合, 定义 设S是一个联结词集合,如果任何 ≥1) 元 是一个联结词集合 如果任何n(n≥ 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 真值函数都可以由仅含 中的联结词构成的公式表 则称S是联结词全功能集. 示,则称 是联结词全功能集 说明: 说明: 是联结词全功能集, 若S是联结词全功能集,则任何命题公式都可用 是联结词全功能集 则任何命题公式都可用S 中的联结词表示. 中的联结词表示 是两个联结词集合, 若S1, S2是两个联结词集合,且S1 S2. 若S1是全 也是全功能集. 功能集, 功能集,则S2也是全功能集
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例3 (续) 续
(3) ((p∧q)∨(p∧ ∧r) ∧ ∨ ∧q))∧ ∧ ∧q))∧ 解 ((p∧q)∨(p∧ ∧r) ∧ ∨ ∧ ∨q))∧ 分配律) (p∧(q∨ ∧r ∧ ∨ (分配律) 排中律) p∧1∧r ∧ ∧ (排中律) 同一律) p∧r ∧ (同一律) 这不是矛盾式,也不是重言式, 这不是矛盾式,也不是重言式,而是非重言式的可 满足式. 是它的成真赋值, 是它的成假赋值. 满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值 是它的成真赋值 是它的成假赋值 总结: 为矛盾式当且仅当 为矛盾式当且仅当A 总结:A为矛盾式当且仅当 0 A为重言式当且仅当 1 为重言式当且仅当A 为重言式当且仅当 说明:演算步骤不惟一, 说明:演算步骤不惟一,应尽量使演算短些
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1.4 联结词全功能集
复合联结词
排斥或 与非式 或非式
真值函数 联结词全功能集
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复合联结词
排斥或: ∧ ∧q)∨ ∧ 排斥或 pq(p∧ ∨(p∧q) 与非式: ↑ (p∧ 与非式 p↑q ∧q) 或非式: ↓ (p∨ 或非式 p↓q ∨q)
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真值函数
问题: 问题:含n个命题变项的所有公式共产生多少个互 个命题变项的所有公式共产生多少个互 不相同的真值表? 不相同的真值表? 2n 为什么? 答案为 2 个,为什么? 称定义域为{00…0, 00…1, …, 11…1},值域 定义 称定义域为 , 的函数是n元真值函数 为{0,1}的函数是 元真值函数,定义域中的元素是 的函数是 元真值函数, 长为n的 串 常用F:{0,1}n→{0,1} 表示 是n元真值 表示F是 元真值 长为 的0,1串. 常用 函数. 函数 2n 元真值函数. 共有 2 个n元真值函数 元真值函数 例如 F:{0,1}2→{0,1},且F(00)=F(01)=F(11)=0, , , F(01)=1,则F为一个确定的 元真值函数 为一个确定的2元真值函数 , 为一个确定的 元真值函数.
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联结词的全功能集
在一个联结词的集合中, 定义 在一个联结词的集合中,如果一个联结词可 由集合中的其他联结词定义,则称此联结词为冗余 由集合中的其他联结词定义,则称此联结词为冗余 的联结词,否则称为独立的联结词 独立的联结词. 的联结词,否则称为独立的联结词 例如,在联结词集{, ∧, ∨, →, }中,由于 例如,在联结词集{ }中 p→q ∨q, p∨ → 所以, 为冗余的联结词; 类似地, 所以,→为冗余的联结词 类似地,也是冗余的 联结词. 又在{ 联结词 又在 , ∧, ∨}中,由于 中 p∧q p∨ , ∧ ( ∨q), ∨ 所以, 是冗余的联结词. 类似地, 所以,∧是冗余的联结词 类似地,∨也是冗余的联 结词. 结词
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基本等值式
双重否定律 : 等幂律: 等幂律: 交换律: 交换律 结合律: 结合律 分配律: 分配律 A A A∨AA, A∧AA ∨ ∧ A∨BB∨A, A∧BB∧A ∨ ∨ ∧ ∧ (A∨B)∨CA∨(B∨C) ∨ ∨ ∨ ∨ (A∧B)∧CA∧(B∧C) ∧ ∧ ∧ ∧ A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C) ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) ∧ ∨ ∧ ∨ ∧
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命题公式与真值函数
对于任何一个含n个命题变项的命题公式 , 对于任何一个含 个命题变项的命题公式A,都存在 个命题变项的命题公式 惟一的一个n元真值函数 为A的真值表. 惟一的一个 元真值函数F为 的真值表. 元真值函数 的真值表 等值的公式对应的真值函数相同. 等值的公式对应的真值函数相同 下表给出所有2元真值函数对应的真值表 元真值函数对应的真值表, 下表给出所有 元真值函数对应的真值表 每一个含 个命题变项的公式的真值表都可以在下表中找到. 2个命题变项的公式的真值表都可以在下表中找到 例如: → 例如:p→q, p∨q, (p∨q)∨((p→q)∧q) 等都对应 ∨ ∨ ∨ → ∧ 表中的 F( 2)
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应用举例——证明两个公式不等值
证明: → → 例2 证明 p→(q→r) (p→q) →r → 用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两 用等值演算不能直接证明两个公式不等值 证明两 个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成 另一个成假. 真,另一个成假 另一个成假 真值表法(自己证) 方法一 真值表法(自己证) 观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的 方法二 观察赋值法 容易看出 等是左边的 成真赋值,是右边的成假赋值. 成真赋值,是右边的成假赋值 用等值演算先化简两个公式,再观察. 方法三 用等值演算先化简两个公式,再观察