复变函数中幂的性质的研究

ｎ １＝ （ ｍ 一１ ） ｒ ＋ｍｓ＋ｓ—ｓ ， 故 ｓ＝一（ ｍ 一１ ）
本 文将对 这些性 质在 一般幂 中是 否成 立及成
立 的条件 进行讨 论 。
（ ｒ ＋ｓ ）一ｎ １ ， 于是 必有 ｓ∈Ｂ。
从而 ， ｒ ， ｓ∈Ｂ
ｍ， 凡 ｝ ∈ｚ使 ｒ＝ （ ｒ＋５ ） ｍ
＋ｎ ｌ ， 或 一ｎ １＝ （ ｍ 一１ ） ｒ ＋ｍｓ ， 即 ｊ ｍ Ｅ Ｚ使 得
Ｆ ｅｂ ． ２ ０ １ ３ ＶＯ１ ． １ ９ Ｎ０． １
复 变 函 数 中 幂 的 性 质 的 研 究
李 霞
（ 安徽工业大学 数理学院 ， 安徽 马鞍 山 ２ ４ ３ ０ ３ ２ ）
摘
要 ：本文给出了实数域 中幂的一些常见性质推广到复数 域的一般幂 中的表现形 式和成立条件 ， 并 给出 了应用
２ ０ １ ３年 ２月 第１ ９卷第 １期
安庆 师范学 院学报 （自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎ ｒ ａ ｌ ｏ ｆ Ａ ｎ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ￣ ｉ ｏ ｎ ）
的例子 。
关键词 ：一般幂 ； 多值函数 ； 性质
中图分类号 ：Ｏ １ ７ ４ ． ５ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１ ０ ０ ７— ４ ２ ６ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ｌ— ｏ ０ ２ ４～ ０ ３
ｅ ｒ （ １ ｎ ｌ “ Ｉ ｒ ｇ ａ
１ ） ＋ ｓ （ １ ｎ ｌ 。 ｌ ＋ ｉ ａ ｒ ｇ ａ ＋ ｉ ２ ｋ ２ ￣ ｒ ）
＝
｛ ｌ ｒ ＋ｋ ２ ｓ＋１ １ ， ｌ ｌ ｋ ｌ ， ｋ ２ ， ｎ Ｉ∈Ｚ｝ ，
Ｂ＝｛ （ ｒ＋ｓ ） ｍ ＋ｎ ２ ｌ ｍ， ｎ ２∈Ｚ｝
由于 Ｖ １ ， ２∈Ｂ， 及Ｖ ｋ Ｉ ， ｋ ２ ， ｆ ∈Ｚ， 有ｋ ｌ １ ＋ ｋ ２ ｘ ２＋ｆ ∈Ｂ， 所以， 只要 ｒ ， ｓ∈Ｂ， 则Ａ ｃ 。 反之 ，
般幂函数 ； 当ｂ 为变量ｚ 时， 则为一般指数函数¨ ｊ 。
在实 数域 中 ， 幂有 许 多非常好 的性 质 ， 它们主
要有 ：
若Ａ ｃ 曰， 显 然有 ｒ ， ｓ∈Ｂ， 又显 然有 曰 ｃ 。 所以， Ａ＝ §ｒ ， ｓ∈ Ｂ。 而 ｒ∈ Ｂ 铮 ｍ， ｎ １∈ ｚ使 ｒ＝
＝
ｅｒ Байду номын сангаас ｎ ａ＋ｓ ｌ ｎ ａ
＝
收稿 日期 ：２ ０ １ ２～０ ８—３ ０ 作者简 介：李霞 ， 女， 硕士 ， 安徽工业大学数理学院讲师 ， 研究方 向： 分形分析。
第１ 期
李霞 ： 复变 函数 中幂 的性质 的研 究
。 甘 ｅ‘ ‘ ２
＝ ２ ｒ ｓ ’ ｅ
ｅ
岍 ）
ｅ
．
ｍ ∈ Ｚ
见其定义、 多值性与解析性 ， 对于它们与普通的幂 函数 、 指数 函数 的性质 中还有哪些异 同都没有去
讨论 。本 文主要 详 细地讨论 了幂 的一些 常见 性质 推广 到一般 幂 中是 否 恒 成立 ， 若 不 恒 成 立其 成 立 的条 件是什 么 ， 并给 出例子 。 设ａ ， ｂ为任 意复常 数且 ａ≠ ０ ， ∞， 则 一般 幂
（ ｒ ＋ｓ ） ｍ ＋ｎ １ ， 或 一ｎ １：（ ｍ 一１ ） ｒ＋ｍ ｓ ， 而此 时 ，
一
（ １ ） ａ ｒ ａ ＝ａ 。 ， （ ａ ＞０， ｒ ， ｓ∈Ｒ） ，
（ ２ ） （ ａ ） ＝ａ “ ， （ ａ ＞０ ， ｒ ， ∈ ） ， （ ３ ） ａ ～ ｂ ＝（ ａ ｂ ） ， （ ａ ， ｂ＞０ ， ｒ∈ Ｒ） 。
，
・ ２ ５・
事实上 ， 若ｒ 为整数， 则只需取ｍ ＝０ ， 则（ ｍ一 １ ） ｒ＋ 必为 整数 。
推论 ２ 当ｒ ， ｓ 同 为非 整数 的实数 且 至少 有
一
Ｖ １ ， ２ ， ３∈ｚ 甘｛ ｒ ｓ ｋ ２
＋ｓ ｌ ＋ １ ｌ ２ ， ｌ ， ｎ １∈Ｚ｝ ＝ ｛ ｒ ｓ 后 ３ ＋ｎ ２ ， ３ Ｉ ｎ ２∈
１ 主 要 结 论
定理１ 按一般幂的定义 ， 当且仅当 ］ｍ∈
ｚ， 使得（ ｍ 一１ ） ｒ＋ｍ ｓ 为整数 时 ａ ｒ ａ ＝ａ 。 证 明 由一 般幂 的定义
ａｒ ａｓ ＝
ｌ ｎ ａ ｅｒ ｌ ｎ ａｅｓ
（ ｍ 一１ ） ｒ ＋ｍ ｓ 为整数 。 综上 ： 在一 般 幂 的意 义 下 ａ ｒ ａ ＝ａ 当且 仅 当 ］ｍ ∈Ｚ， 使得（ ｍ 一１ ） ｒ＋ｍ ｓ 为整数 。 推论 １ 当ｒ ， 至少有 一个为 整数 时 ， 则在 一 般幂 的意 义下必 有 ａ ｒ ａ ＝ａ 。
＝
０ 引 言
多值 函数是 复 变 函数 中 的一个 难 点 ， 在 一 般 的文 献 中对 根式 函数 与对数 函数性 质 的研究 相对 完整 详细 ， 而对 于一般 幂 函数 、 一 般指数 函数 仅能
ｅ
， ｋ ｌ ， ｋ ２∈ Ｚ，
ａ ｒ ｇ ａ ２ ｍ
＝
０ｒ ＋ ｓ ＝ ｅ（ ｍ ） ｌ 眦 ＝ ｅ（ ） （ １ “ Ｉ （ ｒ ＋ ｓ ） （ １ ｎ ｌ 。
ｚ｝ 。
个为 无理 数时 ， 当且 仅 当 ｒ ／ （ ｒ ＋ｓ ）为 整数 时在
般 幂 的意义 下有 ￣ ｚ ｒ ｃ Ｌ ＝口 。
ａ 定 义为 ： ａ ＝ｅ “ 。 当 ａ为 变量 时 ， 则为 ｚ 的一
于是
ａｒ ＝ 铮 ｅ 岫
帅
： ｅ
，
Ｖ后 １ ， ｋ ２ ， ｍ ∈
ｚ ｛ 后 １ ｒ ＋ｋ ２ ｓ＋ｎ ｌ Ｉ ｋ ｌ ， ｋ ２ ， ｒ ｔ １∈Ｚ｝ ＝ ｛ （ ｒ ＋ｓ ） ｍ ＋１ １ ， ２ ｌ ｍ， ｎ ２∈ Ｚ｝