2.4.2等比数列的性质和应用

思考：我们知道，等差数列{an}满足下列公式 （1）an=am+(n-m)d； （2）若m+n=p+q，则am+an =ap+aq 那么，等比数列是否也有类似的公式呢？
在等比数列{an}中，
（1）an=amqn-m；
（2）若m+n=p+q，则am· an =ap· aq 特别地，若m+n=2p，则am· an =ap2
易错点评：审题不细心．根据a7是a5与a9的等 比中项求出a7 后易忽视对a7 符号的讨论．
归纳总结
判断一个数列是等比数列常用的方法：
（ 1 ）定义法 a n1 q (q为常数且不为零 ) {an }为等比数列。 an
（2）等比中项法
2 an an -1an 1 (n N * , n 2且an 0)
1 可解得q 2或q . 2 故这三个数为2，4，8或8，4，2.
4 这三个数之和为14，即 4 4q 14. q
[变式练习]
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三
个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和 是12.求这四个数．
[自主解答]
a＋d2 法一： 设这四个数依次为 a－d， a， a＋d， a ，
证明
an＋1－n＋1 3an－2n＋1＋3－n＋1 ＝ an － n an－n
3an－3n ＝ ＝3(n＝1,2,3，„)． an － n 又 a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2 为首项，以 3 为公比的 等比数列． (2)由(1)知 an－n＝－2· 3n－1， ∴an＝n－2· 3n－1.
a1＋a3＋a9 3a1＋10d 13d 13 则 ＝ ＝ ＝ . a2＋a4＋a10 3a1＋13d 16d 16
a1＋a3＋a9
13 16
2 试解：a1· a9＝a2 ⇒ a ( a ＋ 8 d ) ＝ ( a ＋ 2 d ) ⇒a1＝d， 3 1 1 1
易错点评：没有分清等差数列与等比数列．
例3、已知三数成等比数列，它们的和等于14， 它们的积是64，求这三个数. x 解：依题意，可设这三个数分别为 , x, xq. q x 3 x xq x 64,即x 4. q
二、等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个 数就会成为一个等比数列：
（1）1， ±3 , 9 （3）-12，±6，-3
±2 ，-4 （2）-1， （4）1， ±1 ，1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成 等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G ab
练习：已知等差数列{an}的公差d≠0， 且a1，a3，a9成等 比数列，则 的值为 ________． a2＋a4＋a10
a＋d2 a－d＋ ＝16， a 由条件得 a＋a＋d＝12.
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a＝4， 解得 d＝4，
a＝9， 或 d＝－6.
所以当 a＝4，d＝4 时，所求四个数为 0,4,8,16； 当 a＝9，d＝－6 时，所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
（1）证明：∵ a1=1>0
∴由an+1=2an+1可知{an}是递增数列
∴an>0，故an+1≠0 ∵an+1+1=2an+2=2(an+1)
an 1 1 2, an 1
∴数列{an+1}是等比数列.
思考：已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1. （1）求证数列{an+1}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式.
(等比)
等差数列与等比数列的对照表：
数列
定义 同一常数 通项公式
等差数列
an+1-an=d d 叫公差 an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
等比数列
an 1 q(q 0, an 0) an
q叫公比 an=a1qn-1 an=amqn-m
性质
你还知道等差数列有什么性质吗? 你能类比写出等比数列的性质吗?
等差数列｛ an ｝中 ,（m 、 n、ｐ、ｑ ∈ N+）:① an=am+ (n-m)d
②若 m+n=p+q 则 am+an=ap+aq
一、例题探究
a5 例1：等比数列 an 中，
4, a7 6, 求 a9 ?
an am ( n - m) d（等差）
n- m an am q
3
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补充例题讲解
例4：在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的 两个根，试求a7.
试解：∵a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根， 18 a5＋a9＝ ， 7 ∴ a5a9＝1. 又∵a7是a5和a9的等比中项， ∴a2 1. 7＝a5a9＝1，即a7＝± 又由方程，可得a5＞0，∴a7＝a5q2＞0.∴a7＝1.
9 5.等比数列{an}中，a4+a6=3，则a5(a3+2a5+a7)=____
随堂练习二：
1.若2 ，2 ，2 成等比数列，则a，b，c成
a b c
等差
数列；
2.若lga，lgb，lgc成等差数列，则a，b，c成 等比 数列； 拓展：若 a，b，c成等比数列，则lga，lgb，lgc是否 一定成等差数列？ 不一定，只有当a，b，c都大于0才成立.
2.4.1等比数列的性质和应用 （第二课时）
高中数学教师欧阳文丰制作
1.温故知新
数列
定义 同一常数 通项公式
等差数列
an+1-an=d d 叫公差 an= a1+(n-1)d
等比数列
an 1 q(q 0, an 0) an
q叫公比 an=a1qn-1
2.类比等差数列的性质，探究等比数列的性质：
探究2：若{an}是各项为正数的等比数列，则下面的 数列是等比数列吗？
（1） { an }；（ {lg an }.× √ 2）
随堂练习一： 1或-2 1.在等比数列{an}中，若2an=an+1+an+2，则公比q=______. 9
±3
81
C 4.已知是等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25， 那么a3+a5= ( A A.5 B.10 ) C.15 D.20
(m,n,p,q∈N+) 则 a m+ a n = a p + a q . (3)2an=an-1+ an+1 .
(3) an2=an-1·an+1 .
附加、构造新数列转化为等比数列求通项公式： 思考：已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1. （1）求证数列{an+1}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式.
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法三：设这四个数依次为 x，y,12－y,16－x，
2y＝x＋12－y， 由已知得 2 12－y ＝y16－x. x＝0， 解得 y＝4， x＝15， 或 y＝9.
故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
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[悟一法] 等比数列的“对称设项”方法为：当项数 n 为奇数时，先 设中间一个数为 a，再以公比为 q 向两边对称地依次设项即可， a 如三个数成等比数列，可设为q，a，aq；当项数 n 为偶数且公 a 比大于 0 时，先设中间两个数为q和 aq，再以公比为 q2 向两边 a a 对称地依次地设项即可，如四个数成等比数列，可设为q3，q， a a a aq，aq ，六个数成等比数列可设为q5，q3，q，aq，aq3，aq5.
例2、已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列，那么数列 {anbn}还是等比数列吗？试证明你的观点。 证明：设{an}的公比为p，{bn}的公比为q，则
anbn a1 p n-1 b1q n -1 , an1bn 1 a1 p n b1q n ,
an 1bn1 a1 p n b1q n pq. n -1 n -1 anbn a1 p b1q
（2）解：∵ a1=1 ∴a1+1=2 ∴数列{an+1}是一个首项为2，公比也为2 的等比数列 ∴an+1=2×2n-1=2n 故an=2n-1
【例5】 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝ 2,3，…)． (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； (2)求an. [思路探索] (1)变形递推公式，按等比数列的定义证明； (2)求出{an－n}的通项公式，即可求出an. 解 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4， a3＝3a2－2×3＋3＝－15. 下面证明{an－n}是等比数列：
{an }为等比数列。
（3）通项公式法 a n a1q
n -1
(a1 0，且q 0) {a n }为等比数列。
等差数列与等比数列的类比
等差数列 定义
首项、公差 （公比）取 值有无限制
等比数列
通项 公式
(2)若m+n=p+q
主要 性质
(2)若m+n=p+q
(m,n,p,q∈N+) 则 am·aBiblioteka Baidu=ap·aq .
∵pq是一个与n无关的常数， ∴{anbn}是以pq为公比的等比数列.
an 思考：那数列 是不是也是等比数列呢？ {an+bn}呢？ bn
探究1：若{an} 是公比为q的等比数列，c为常数，则 下列数列是等比数列吗？若是，公比是什么？
1 2 （1） { }；（ 2 ） { a ；（ 3） {can }；（4） {an c}； √ n} √ an
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2a a 法二：设这四个数依次为 q －a，q，a，aq(a≠0)， 2a q －a＋aq＝16， 由条件得 a＋a＝12. q 1 q＝ ， 3 或 a＝3.
q＝2， 解得 a＝8，
所以当 q＝2，a＝8 时，所求四个数为 0,4,8,16； 1 当 q＝3，a＝3 时，所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.