《四边形》提高测试1

（一）选择题（每小题4分，共32分）1．若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是…………（ ） （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）122．已知菱形ABCD 的两条对角线之和为l ，面积为S ，则它的边长为…………………（ ）（A ）2421l S - （B ）221l S + （C ）S l 4212- （D ）S l +24213．如图，矩形ABCD 的边长AB ＝6，BC ＝8，将矩形沿EF 折叠，使C 点与A 点重合， 则折痕EF 的长是…（ ）（A ）7．5 （B）6 （C ）10 （D ）5题3 题4 题5 题74．已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于G 、H ，并有下列结论： （1）BE ＝DF ； （2）AG ＝GH ＝HC ；（3）EG ＝21BG ； （4）S △ABE ＝3 S △AGE ． 其中正确的结论有…（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．如图，E 为矩形ABCD 的边CD 上的一点，AB ＝AE ＝4，BC ＝2，则∠BEC 是（ ） （A ）15° （B ）30° （C ）60° （D ）75°6．顺次连结四边形各边中点所得四边形是矩形，则原图形一定是………………（ ） （A ）菱形 （B ）对角线相等的四边形（C ）对角线垂直的四边形 （D ）对角线垂直且互相平分的四边形7．如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为…（ ）（A ）98 （B ）196 （C ）280 （D ）2848．如图，在□ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，则图中面积相等的平行四边形有…（ ）（A ）0对 （B ）1对 （C ）2对 （D ）3对题8 题10 题12 （二）填空题（每小题3分，共18分）9．一个多边形的一个内角的补角与其他内角的和恰为500°，那么这个多边形的边数是______．10．如图，P 是□ABCD 内的一点，ABCD APB S S 平行四边形三角形＝32，则ABCD CPD S S 平行四边形三角形＝______．11．用任意两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形 ②矩形 ③菱形④正方形 ⑤等腰三角形 ⑥等边三角形其中一定能够拼成的图形是___ ____（只填题号）．12．如图，如果四边形CDEF 旋转后能与正方形ABCD 重合，那么在图形所在平面内，可以作为旋转中心的点的个数为______．13．如图，梯形ABCD 中，△ABP 的面积为20平方厘米，△CDQ 的面积为35平方厘米，则阴影四边形的面积等于______平方厘米．14．如图，将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转30°，至正方形AB ′C ′D ′，则旋转前后正方形重叠部分的面积是________．题13 题14 题15（三）计算题（每小题6分，共12分）15．如图，一个等腰梯形的两条对角线互相垂直，且中位线长为l ，求这个等腰梯形的高．16．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．（四）证明题（每小题5分，共20分）17．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，过C作CE∥AB且CE＝AB，连结DE交BC于F．求证：DF＝EF．18．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AB、CD的中点，ME∥AN交BC于点E，求证AM＝NE．20．已知：如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，B在FE的延长线上．求证：AE、AF把∠BAC三等分．（五）解答题（每小题6分，共18分）21．如图，已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，∠MCN为定角α，连结AM、AN，并延长分别交BC、CD于E、F两点，则∠CME与∠CNF在M、N两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论．22．如图（1），AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC、S△DAC和S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积．当AB∥CD时，有S△DMC＝2DBCDACSS∆∆+①（1）如图（2），若图（1）中AB∥CD时，①式是否成立？请说明理由．（2）如图（3），若图（1）中AB与CD相交于点O时，S△DMC与S△DAC和S△DBC有何种相等关系？证明你的结论．图（1）图（2）图（3）23．已知：如图，△ABC中，点O是AC上边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证EO＝FO．（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．《四边形》提高测试（一）选择题（每小题4分，共32分）1． 【答案】D ．2． 【答案】C ．3． 【答案】A ．4． 【答案】D ． 5． 【答案】D ．6． 【答案】C ．7． 【答案】C ．8． 【答案】D ． （二）填空题（每小题3分，共18分）9． 【答案】4或5． 10． 【答案】101． 11． 【答案】①②⑤． 12． 【答案】3． 13． 【答案】55． 14． 【答案】33．（三）计算题（每小题6分，共12分）15．如图，一个等腰梯形的两条对角线互相垂直，且中位线长为l ，求这个等腰梯形的高．【提示】如下图，过B 点作AC 的平行线．【答案】过B 作BG ∥AC ，交DC 的延长线于G 点．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∴ 四边形ABGC 为平行四边形． ∴ CG ＝AB ，BG ＝AC ． ∵ EF 为梯形中位线，∴ DG ＝DC ＋AB ＝2 EF ＝2 l ． ∵ AC ⊥BD 且AC ＝BD ． ∴ BG ⊥BD 且BG ＝BD ．∴ △BDG 为等腰直角三角形．∴ 高BH ＝21DG ＝l ． 16．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．【提示】把AF 取作△AEF 的底，AF 边上的高等于AB ＝3．由折叠过程知，E F 经过矩形的对称中心，F D ＝B E ，A E ＝C E ＝A F ．由此可以在 △ABE 中使用勾股定理求AE ，即求得AF 的长．【答案】如图，连结AC ，交EF 于点O ，由折叠过程可知，OA ＝OC ，∴ O 点为矩形的对称中心．E 、F 关于O 点对称，B 、D 也关于O 点对称． ∴ BE ＝FD ，EC ＝AF ， 由EC 折叠后与EA 重合， ∴ EC ＝EA ．设AF ＝x ，则BE ＝FD ＝AD －AF ＝4－x ，AE ＝AF ＝x ． 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AB 2＋BE 2＝AE 2，即 32＋(4－x ) 2＝x 2．解得 x ＝825． ∴ S △AEF ＝21×3×825＝1675（cm 2）故AF 的长为825cm ，△AEF 的面积为1675cm 2．（四）证明题（每小题5分，共20分）17．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过C 作CE ∥AB 且CE ＝AB ，连结DE 交BC 于F ．求证：DF ＝EF ．【提示】连结AE 交BC 于O ，要证DF ＝EF ，因为AD ∥BC ，所以只要证OA ＝OE ，只要证四边形ABEC 为平行四边形．【答案】连结AE交BC于O点，∵CE AB，∴四边形ABEC为平行四边形，∴OA＝OE．又AD∥BC，∴DF＝EF．18．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．【提示】延长GP交BC于H，只要证PH＝PF即可，所以只要证∠PBF＝∠PBH．【答案】∵BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB．∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠EBD＝∠CBD．延长GP交BC于H点．∵PG⊥AD，∴PH⊥BC．∵PF⊥BE，P是∠EBC的平分线上．∴PF＝PH．∵四边形ABHG中，∠A＝∠ABH＝∠BHG＝∠HGA＝90°．∴四边形ABHG为矩形，∴AB＝GH＝GP＋PH＝GP＋PF故PF＋PG＝AB．19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AB、CD的中点，ME∥AN交BC于点E，求证AM＝NE．【提示】延长AN交BC延长线于点F．证明NE为△ABF的中位线．【答案】延长AN交BC的延长线于点F，∵DN＝CN，∠AND＝FNC，又由AD∥BC，得∠ADN＝∠FCN，∴△ADN≌△FCN．∴AN＝NF．∵AM＝BM且ME∥AF，∴BE＝EF．∴NE为△ABF的中位线，∴NE＝21AB＝AM．20．已知：如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，B在FE的延长线上．求证：AE、AF把∠BAC三等分．【提示】证出∠CAE＝30°即可．【答案】连结BD，交AC于点O，作EG⊥AC，垂足为G点．∵四边形AEFC为菱形，∴EF∥AC．∴GE＝OB．∵四边形ABCD为正方形，∴OB⊥AC，∴OB GE，∵AE＝AC，OB＝21BD＝21AC，∴EG＝21AE，∴∠EAG＝30°．∴∠BAE＝15°．在菱形AEFC中，AF平分∠EAC，∴∠EAF＝∠F AC＝21∠EAC＝15°∴∠EAB＝∠F AE＝∠F AC．即AE、AF将∠BAC三等分．（五）解答题（每小题6分，共18分）21．如图，已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，∠MCN为定角 ，连结AM、AN，并延长分别交BC、CD于E、F两点，则∠CME与∠CNF在M、N两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论．【提示】BD为正方形ABCD的对称轴，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，用∠1和∠2表示∠MCN以及∠EMC＋∠FNC．【答案】∵BD为正方形ABCD的对称轴，∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴ ∠EMC ＝180°－∠1－∠3＝180°－2∠1． 同理 ∠FNC ＝180°－2∠2．∴ ∠EMC ＋∠FNC ＝360°－2（∠1＋∠2）． ∵ ∠MCN ＝180°－（∠1＋∠2），∴ ∠EMC ＋∠FNC 总与2∠MCN 相等．因此∠EMC ＋∠FNC 始终为定角，这定角为∠MCN 的2倍． 22．如图（1），A B 、CD 是两条线段，M 是A B 的中点，S △D M C 、S △D A C 和S △D B C 分别表示△DMC 、△DAC 、△DBC 的面积．当AB ∥CD 时，有S △DMC ＝2DBCDAC S S ∆∆+ ①（1）如图（2），若图（1）中AB ∥CD 时，①式是否成立？请说明理由．（2）如图（3），若图（1）中AB 与CD 相交于点O 时，S △DMC 与S △DAC 和S △DBC 有何种相等关系？证明你的结论．图（1） 图（2） 图（3）【提示】△DAC ，△DMC 和△DBC 同底CD ，通过它们在CD 边上的高的关系，来确定它们面积的关系． 【答案】（1）当AB ∥CD 时，①式仍成立．分别过A 、M 、B 作CD 的垂线，AE 、MN 、BF 的垂足分别为E 、N 、F ． ∵ M 为AB 的中点，∴ MN ＝21（AE ＋BF ）． ∴ S △DAC ＋S △DBC ＝21DC ·AE ＋21DC ·BF ＝21DC ·（AE ＋BF ）＝2 S△DMC．∴ S △DMC ＝2DACDBC S S ∆∆-（2）对于图（3）有S △DMC ＝2DACDBC S S ∆∆-．证法一：∵ M 是AB 的中点，S △ADM ＝S △BDM ，S △ACM ＝S △BCM ，S △DBC ＝S △BDM ＋S △BCM ＋S △DMC ， ① S △DAC ＝S △ADM ＋S △ACM －S △DMC ②①－②得：S △DBC －S △DAC ＝2 S △DMC∴ S △DMC ＝2DACDBC S S ∆∆-．证法二：如右图，过A 作CD 的平行线l ，MN ⊥l ，垂足为N ，BE ⊥l ，垂足为E ．设A 、M 、B 到CD 的距离分别h 1、h 0、h 2．则MN ＝h 1＋h 0，BE ＝h 2＋h 1．∵ AM ＝BM ， ∴ BE ＝2 MN ．∴ h 2＋h 1＝2（h 1＋h 0），∴ h 0＝212h h -． ∴ S △DMC＝2DAC DBC S S ∆∆-．23．已知：如图，△ABC 中，点O 是AC 上边上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证EO ＝FO ．（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论．【提示】（1）证明OE ＝OC ＝OF ；（2）O 点的位置首先满足四边形AECF 是平行四边形，然后证明它此时也是矩形． 【答案】（1）∵ CE 平分∠BCA ，∴ ∠BCE ＝∠ECO ． 又 MN ∥BC ，∴ ∠BCE ＝∠CEO ． ∴ ∠ECO ＝∠CEO ． ∴ OE ＝OC ． 同理 OC ＝OF ． ∴ OE ＝OF ．（2）当点O 运动到AC 边的中点时，四边形AECF 是矩形，证明如下： ∵ OE ＝OF ，又O 是AC 的中点， 即 OA ＝OC ，∴ 四边形AECF 是平行四边形．∵ CE 、CF 分别平分∠BCA 、∠ACD ，且∠BCA ＋∠ACD ＝180°，∴ ∠ECF ＝∠ECO ＋∠OCF ＝21（∠BCA ＋∠ACD ）＝90°． ∴ □AECF 是矩形．。