2019-2020年人教统编2.2一维离散型随机变量课件

2.2.2常见离散型随机变量的概率分布 例：
1. 独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 正面，反面，
P 出现正面 1 2
2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验
只有两个结果：A, A, P A 1 6
3.从52张牌中有放回地取n次，设A={取到红牌}，则
每次只有两个结果：
p
p p(1-p) (1-p)2p (1-p)3
X 3为S的一个划分
•
2.2.2常见离散型随机变量的概率分布
两点分布( 0–1分布) 只取两个值的概率分布
分布律为：
X1
0
pk
p 1-p
0<p<1
或 P( X k ) pk ( 1 p )1k , k 0 ,1
凡试验只有两个可能结果，常用0 – 1分布描述，如产品是 否合格， 人口性别统计， 系统是否正常， 电力消耗是否超标等。
P{X 3} P( A1A 2 A3) p3
一般 P{X k} Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2, , n •
例 2.3 某射击运动员每次射击时命中 10 环的概率为 p, 现进行 4 次独立射击，求 {恰有 k 次命中 10 环}的概率．
解：用 X 表示 4 次射击后, 恰好命中 10 环的次数, 则
•
例： 1. 独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果：
正面，反面，P 出现正面 1 2
2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验
只有两个结果： A, A,
P A 1 6
3.从52张牌中有放回地取n次，设A={取到红牌}，则
每次只有两个结果： A, A, P A 1 2
•
伯努利（Bernoulli）试验
设试验E只有两个可能的结果：A, A 则称这种试验为 伯努利（Bernoulli）试验 设p(A)=p,则 P(A) 1 p ，0<p<1.
n重贝努利试验：将E独立地重复进行n次，则称这一串重复 的独立试验为n重贝努利试验。
即每次试验结果 互不影响
在相同条件下 重复进行
即 P( X xk ) pk , k 1,2 ,…

或 X
P
x1 x2 … xk … p1 p2 … pk …
2.2.1离散型随机变量及其分布律
概率分布的性质
1) pk 0, k 1,2,…
非负性

2)
pk 1
k1
完备性
概率分布的特征
例 2.1 某射击运动员命中目标的概率是 0.9，求他两次独 立射击中，命中次数 X 的概率分布．
概率论与数理统计
苏敏邦
第2章 离散型随机变量
2.1 随机变量 2.2 一维离散型随机变量 2.3 随机变量的分布函数 2.4 二维随机变量及其分布函数 2.5 边缘分布
第2章 离散型随机变量
2.2 一维离散型随机变量
2.2.1离散型随机变量及其分布律
离散型随机变量
例2.1
例2.2
2.2.2常见离散型随机变量的概率分布
两点分布
n个点上的均匀分布
伯努利概型
二项分布
例2.3
例2.4
例2.5
例2.6
泊松分布
例2.7
泊松定理
例2 .8
例2.9
同步练习1,2
小结
2.2.1离散型随机变量及其分布律
定义 若随机变量 X 的 可能取值是有限个或 可列个， 则称 X 为离散型随机变量。
描述X 的概率特性常用概率分布列或分布列
P( X 0) P( A1) p ；P( X 1) P( A1A2 ) (1 p) p ；
P( X 2) P( A1A2 A3) (1 p)2 p ；
P( X 3) P( A1A2 A 3) (1 p)3 ；
X0
1
2
3
注意： X 0, X 1, X 2
于是，X 的概率分布律为 X0 1 2 P 0.01 0.18 0.81
例 2.2 设随机变量 X 的概率分布为
k
P( X k) a , k 0, 1, 2, k!
试确定常数 a ．
, 0
解：依据概率分布的性质
P( X k) 0 ,


k
P(X

k)

1
.
由概率分布的性质，应有a 0
解： 由于他在连续两次射击中可能没有命中、命中 1 次 或 2 次，所以 X 可取值分别为 0，1，2，对应的概率分别是
P(X=0) = (0.1)(0.1) = 0.01，
P(X=1) = 2(0.9)(0.1) = 0.18 ,
P(X=2) = (0.9)(0.9) = 0.81 . 且 P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1 .

k
a
ae
1
.
k0 k !
xk e x
k0 k !
从中解得a e .
例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立 的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p， 0<p<1，以X表示首次停车时所通过的交通灯数，求X的概率 分布律。
解：设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。
如果是不放回抽样呢？
•
二项分布
设A在n重贝努利试验中发生X次，则
P{X k} Cnk pk (1 p)nk，k
并称X服从参数为p的二项分布，记
0，1， X ，nb(n，p
)
n
注：1 ( p q)n Cnk pk qnk 其中q 1 p k 0
推导：设Ai={ 第i次A发生 }，先设n=3
P{X 0} P( A1A 2 A3) (1 p)3
P{X 1} P( A1A 2 A3 A1A 2 A3 A1A 2 A3 ) C31 p1(1 p)31 P{X 2} P( A1A 2 A3 A1A 2 A3 A1A 2 A3 ) C32 p 2 (1 p)32
A, A, P A 1 2
如果是不放回抽样呢？
•
2.2.2常见离散型随机变量的概率分布
n个点上的均匀分布 若随机变量X取n个不同的值x1，x2，…，xn，且取
得每一个值的概率都相同，即
P( X

xi )

1, n
i 1, 2, , n.
则称随机变量X服从n个点{x1, x2，…，xn}上的均匀分布．