最新重积分总结
重积分曲线曲面积分总结
D
f (x, y)对x为偶函数, 即
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy,
D
D1
其中 D1 D { x 0};
6、二重积分计算
(1) 直角坐标系
D {( x, y) a x b,1( x) y 2( x)}, 其中函数1( x)、2( x)在区间[a, b]上连续.
重积分
1. 理解二重积分、三重积分的概念, 了解 重积分的性质.
2. 掌握二重积分的计算法(直角坐标、极 坐标)，了解三重积分的计算法（直角坐标、 柱面坐标、球面坐标).
3. 会用重积分求一些几何量与物理量.
二重积分
1. 定义 平面上有界闭区域D上二元有界函数
z = f (x, y)的二重积分 n
V x) dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
a
y1 ( x )
z1 ( x , y )
当V投影到zx平面或yz平面上时,结果类似.
(b) “先二后一法” －－－截面法
f ( x, y, z)dxdydz c2 dz f ( x, y, z)dxdy
Fx
f
D
(
x
(
2
x, y2
y)
x a
2
)
3 2
d
,
Fy
f
D
(
x
(
2
x, y2
y)
y a
2
)
3 2
d
,
Fz
af
D
(
x2
( x,
y2
y) a2
3 d
大一高数重积分知识点总结
大一高数重积分知识点总结在大一高数学习中，重积分是一个重要的知识点，它是对多重积分的深入学习和扩展。
在本文中，我们将对大一高数中重积分的相关知识点进行总结和概述。
一、重积分的定义重积分是对二重积分的进一步推广，用于计算曲顶柱体与曲面之间的空间体积。
对于三维空间中的函数f(x,y,z)，其在某一立体区域D上的重积分定义为：∬Df(x,y,z)dV其中，dV表示体积元素，满足dV = dxdydz。
二、重积分的计算1. 直角坐标系下的重积分计算在直角坐标系下，计算重积分的方法有两种：先y后x的积分次序和先x后y的积分次序。
根据具体情况选择合适的积分次序进行计算，并利用定积分的性质进行积分计算。
2. 极坐标系下的重积分计算在极坐标系下，计算重积分相对简便。
利用极坐标系的变换关系，将被积函数和积分区域转化为极坐标系下的表示形式，然后按照定积分的性质进行积分计算。
3. 应用：质量、质心和转动惯量重积分在物理学和工程学中有着广泛的应用。
通过计算重积分可以求解三维空间中物体的质量、质心和转动惯量等参数，为实际问题的分析提供了数学工具。
三、重积分的性质1. 重积分的线性性质重积分具有线性性质，即对于任意常数k，函数f(x,y,z)和g(x,y,z)，以及积分区域D，有以下等式成立：∬D[kf(x,y,z) + g(x,y,z)]dV = k∬Df(x,y,z)dV + ∬Dg(x,y,z)dV2. 重积分的保号性如果积分区域D上的函数f(x,y,z)始终大于等于0，则重积分的结果也大于等于0。
这一性质在实际问题中常用于判断物体的质量分布或概率密度分布等情况。
3. 重积分的积分域可加性对于积分区域D，若可以分解为两个互不相交的子区域D1和D2，则有以下等式成立：∬Df(x,y,z)dV = ∬D1f(x,y,z)dV + ∬D2f(x,y,z)dV四、常见的重积分问题1. 计算空间几何体的体积通过重积分的计算，可以求解复杂几何体的体积。
重积分知识点的总结
重积分知识点的总结一、重积分的基本概念1. 多元函数在多元函数中，自变量不再是一个，而是两个或两个以上。
例如，z=f(x,y)就是一个的二元函数。
无论是一元函数，还是二元函数，其基本概念都是“输入-处理-输出”。
其中输入就是参数，也就是变量，处理就是函数规定的运算。
这一基本概念在重积分中也是适用的。
2. 多元函数的极限多元函数的极限，与一元函数的极限类似，只是在多个自变量的情况下，我们需要考察所有自变量分别趋于一定值时的极限情况。
其中一定需要掌握的是多元函数极限的存在性问题。
3. 多元函数的连续性对于多元函数的连续性，我们同样需要关注多个自变量的变化趋势。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，但要求更加严格。
在重积分中，对于多元函数的连续性是一个比较重要的概念。
4. 重积分的意义重积分的最基本的意义，就是对于多变量函数在多维空间上进行积分。
而在物理学上，重积分的意义就更加明显了。
在空间当中，一定有一个虚拟的某一点，作为观察点。
而对整个空间进行积分，就是将所有的观察点都进行积分，求得整个空间的某一个物理量。
二、重积分的性质1. 线性性质重积分的线性性质是最基本的性质之一。
它影响到重积分的很多性质，例如加减性、齐次性等都是与线性性质相关的。
2. 保号性和保序性对于多元函数来说，保号性和保序性是非常重要的性质。
在重积分中，保号性和保序性也是一个非常重要的概念，它们影响到多元函数的积分值的大小。
3. 对称性对称性在重积分中同样起到了非常重要的作用。
对称性不仅在理论证明中起到了重要作用，而且在实际应用中，对称性也常常起到了非常重要的作用。
4. 交换积分次序对于多元函数的重积分来说，交换积分次序是一个很基本的性质。
但是在实际应用中，交换积分次序同样是需要一些技巧的，有时候并不是直接可行的，需要一些特殊的条件。
5. 分部积分法分部积分法在一元函数的积分中是非常重要的一种积分方法。
而对于多元函数的重积分来说，分部积分法同样是非常重要的。
重积分知识点总结(一)
重积分知识点总结(一)前言重积分是高等数学中的重要知识点，是对多重积分进行研究的内容。
它在物理学、工程学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将针对重积分的知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握这部分知识。
正文一、重积分的定义与性质1.重积分的定义：对于二重积分来说，可以将其理解为将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。
而对于三重积分来说，则是将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。
2.交换积分次序：在某些情况下，交换积分次序可以简化重积分计算的复杂程度。
3.重积分的性质：包括线性性质、保号性质、次可加性质等。
这些性质在进行重积分计算时非常重要。
二、二重积分的计算方法1.二重积分的计算方法主要有面积法、直角坐标法和极坐标法。
在具体的计算过程中，可以根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。
2.面积法：将被积函数看做是一片平面上每一点的贡献，通过对整个区域的累加求和来计算二重积分。
3.直角坐标法：根据被积函数在直角坐标系内的表达式，利用基本积分计算公式进行计算。
4.极坐标法：将被积函数用极坐标系表示，通过变量代换进行计算。
对于具有旋转对称性的问题，极坐标法可以简化计算过程。
三、三重积分的计算方法1.三重积分的计算方法主要有体积法、直角坐标法和柱坐标法。
在具体的计算过程中，同样需要根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。
2.体积法：将被积函数看做是空间内每一点的贡献，通过对整个区域的累加求和来计算三重积分。
3.直角坐标法：根据被积函数在直角坐标系内的表达式，利用基本积分计算公式进行计算。
4.柱坐标法：将被积函数用柱坐标系表示，通过变量代换进行计算。
对于具有旋转对称性的问题，柱坐标法可以简化计算过程。
结尾重积分是数学中重要而复杂的知识点，在实际应用中具有广泛的价值。
通过本文的总结，希望读者们能够对重积分的定义、性质和计算方法有更深入的理解，从而更好地应对相关问题的解决和应用。
前言重积分是高等数学中的重要知识点，是对多重积分进行研究的内容。
重积分知识点总结例题
重积分知识点总结例题1. 重积分的定义在介绍重积分的定义之前，首先需要了解多元函数的概念。
多元函数是指自变量有多个的函数，通常表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n)$。
在平面上，一元函数是自变量只有一个的函数，并且可以表示为$y = f(x)$。
而在空间中，两元函数是自变量有两个的函数，并且可以表示为$z = f(x, y)$，三元函数是自变量有三个的函数，并且可以表示为$w = f(x, y, z)$。
在多元函数的情况下，我们需要对其在一个区域上进行积分。
这就引出了重积分的概念。
重积分可以看作是对一个区域上的函数值在该区域上的加权平均。
重积分的定义如下：设$f(x, y)$是定义在闭区域$D$上的有界函数，$D$的面积记为$A(D)$，取$D$上的任意一组分割$P = \{R_i\}$和抽样点$Q = \{(\xi_i, \eta_i)\}$，$M_{ij}$是$f(x, y)$在$R_{ij}$上任意一点的函数值。
作Riemann和$$S(P, Q, f) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} M_{ij} \Delta \sigma_{ij}$$如果极限$L$存在，不依赖于分割$P$和点$Q$的取法，即$L = \lim_{\lambda(P) \to0,\delta(Q) \to 0} S(P, Q, f)$存在，则称$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，这个极限$L$称为$f(x, y)$在$D$上的重积分，记作$$\iint_D f(x, y) d\sigma = L$$其中，$d\sigma$表示对$D$内的面积元素进行积分。
如果$f(x, y)$在$D$上可积，则称$f(x, y)$在$D$上可积，否则称为不可积。
2. 重积分的性质重积分具有一些重要的性质，这些性质有助于我们进行重积分的计算和应用。
下面我们将介绍一些重要的性质。
（1）可加性设$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，$D_1$和$D_2$是$D$的两个互不相交的子区域，其并集为$D = D_1 \cup D_2$，则有$$\iint_D f(x, y) d\sigma = \iint_{D_1} f(x, y) d\sigma + \iint_{D_2} f(x, y) d\sigma$$这就是重积分的可加性。
重积分总结
重积分总结第一篇：重积分总结多重积分的方法总结计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出．一．二重积分的计算重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分．1.在直角坐标下：(a)X-型区域几何直观表现：用平行于y轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数y=y1(x)和y=y2(x)；被积区域的集合表示：D={(x,y)a≤x≤b,y1(x)≤y≤y2(x)}；二重积分化为二次积分：⎰⎰Df(x,y)dxdy=⎰dx⎰aby2(x)y1(x)f(x,y)dy．(b)Y-型区域几何直观表现：用平行于x轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数x=x1(x)和x=x2(x)；被积区域的集合表示：D={(x,y)c≤y≤d,x1(x)≤x≤x2(x)}；二重积分化为二次积分：⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰Ddcdx⎰x2(y)x1(y)f(x,y)dx．2.在极坐标下：几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数r=r1(θ)和r=r2(θ)（具体如圆域，扇形域和环域等）；被积区域的集合表示：D={(r,θ)θ1≤θ≤θ2,r1(θ)≤r≤r2(θ)}，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式D={(r,θ)0≤θ≤2π,0≤r≤r2(θ)}；直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：⎰⎰Df(x,y)dxdy=⎰⎰f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=⎰dθ⎰Dθ2r2(θ)θ1r1(θ)f(rcosθ, rsinθ)rdr．注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．3.二重积分的换元法：z=f(x,y)在闭区域D上连续，设有变换⎧x=x(u,v)T⎨,(u,v)∈D'y=y(u,v)⎩将D'一一映射到D上，又x(u,v),y(u,v)关于u, v有一阶连续的偏导数，且J=∂(x,y)≠0,(u,v)∈D'∂(u,v)则有⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰⎰f(x(u,v),y(u,v))Jdudv．DD'二．三重积分的计算三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理． 1.在直角坐标下：空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数z=z1(x,y)和z=z1(x,y)，并把区域投影到xoy面上从而确定(x,y)的范围，记为Dxy；被积区域的集合表示：V={(x,y,z)(x,y)∈Dxy,z1(x,y)≤z≤z2(x,y)}, 进一步地, Dxy可以表示成X－型区域或Y－型区域;三重积分化为三次积分：⎰⎰⎰f(x,y,z)dV=⎰⎰dxdy⎰VDxybaz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz（所谓“二套一”的形式）dy⎰z2(x,y)=⎰dx⎰dy2(x)y1(x)z1(x,y)f(x,y,z)dz（Dxy为X－型）=⎰dy⎰cx2(y)x1(y)dx⎰z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz（Dxy为Y－型）注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到yoz面或zox面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何？可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x，y无关，即可表示为为f(z)．则区域表示为：V={(x,y,z)c≤z≤d,(x,y)∈Dz}, 其中Dz表示垂直于z轴的截面．此时，三重积分化为：⎰⎰⎰f(x,y,z)dV=⎰Vdcdz⎰⎰f(z)dxdy（所谓“一套二”的形式）Dz=⎰f(z)SDzdzcd其中SDz表示截面Dz的面积，它是关于z的函数．2.在柱坐标下：柱坐标与直角坐标的关系：⎧x=rcosθ⎪⎨y=rsinθ,(0≤r<∞,0≤θ≤2π,-∞<z<+∞)⎪z=z⎩空间区域几何直观表现：用平行于z轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数z=z1(x,y)和z=z1(x,y)．空间区域在xoy面上的投影区域易于用参数r 和θ表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且z=z1(x,y)和z=z1(x,y)也易于进一步表示z成关于r,θ较简单的函数形式，比如x2+y2可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；被积区域的集合表示：V={(r,θ)θ1≤θ≤θ2,r1(θ)≤r≤r2(θ),z1(r,θ)≤z≤z2(r,θ)}；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：⎰⎰⎰f(x,y,z)dV=⎰⎰⎰f(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdzVV=⎰dθ⎰θ1θ2r2(θ)r1(θ)rdr⎰z2(r,θ)z1(r,θ)f(rcosθ,rsinθ,z)dz．3.在球坐标下：球坐标与直角坐标的关系：⎧x=rsinϕcosθ⎪⎨y=rsinϕsinθ,(0≤r<∞,0≤θ≤2π,0≤ϕ≤π)⎪z=cosϕ⎩空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数r=r1(r,θ)和r=r2(r,θ);（具体如球心在原点或z轴上的球形域）被积区域的集合表示：V={(r,θ,ϕ)θ1≤θ≤θ2,ϕ1≤ϕ≤ϕ2,r1(θ,ϕ)≤r≤r2(θ,ϕ)}；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：⎰⎰⎰Vf(x,y,z)dV=⎰⎰⎰f(rsinϕcosθ,rsinϕsinθ,rcosθ)r2sinϕdrdθdϕV=⎰2π0dθ⎰dϕ⎰02ππr2(θ,ϕ)r1(θ,ϕ)f(rsinϕcosθ,rsinϕsinθ,rcosθ)r2s inϕdr．如球心在原点半径为a的球形域下：⎰⎰⎰Vf(x,y,z)dV=⎰dθ⎰dϕ⎰f(rsinϕcosθ,rsinϕsinθ,rcosθ)r2sinϕdr．000πa4.三重积分的换元法：u=f(x,y,z)在闭区域V上连续，设有变换⎧x=x(u,v,w)⎪T:⎨y=y(u,v,w),(u,v,w)∈V'⎪z=z(u,v,w)⎩将V'一一映射到V上，又x(u,v,w),y(u,v,w)和z(u,v,w)关于u, v和w有一阶连续的偏导数，且J=∂(x,y,z)≠0,(u,v)∈V'∂(u,v,w)则有⎰⎰⎰f(x,y,z)dV=⎰⎰⎰f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw．VV三．重积分的几何和物理应用 1.几何应用a)二重积分求平面区域面积；b)二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d)二重积分求空间曲面的面积．求曲面的面积A，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：i)曲面方程 S:z=f(x,y),(x,y)∈DA=⎰⎰1+fx2+fy2dxdyD⎧x=x(u,v)⎪ii)曲面参数方程S:⎨y=y(u,v),(u,v)∈Duv⎪z=z(u,v)⎩iA=⎰⎰(xui+yuj+zuk)⨯(xvi+yvj+zvk)dudv=⎰⎰xuDuvDuvjy uyvkzududv zvxv注：这里的公式都对函数有相应的微分条件．2.物理应用包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具．建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了．以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法．处理重积分计算时从几何形式出发，则易于直观把握．注意选择适当的坐标系，注意被积区域的表达，还要注意函数关于区域的对称性．这种对称性包括奇对称和偶对称，从而可以简化计算过程．第二篇：重积分证明题证明题（共 46 小题）1、设函数f(x,y)和g(x,y)在有界闭域D上连续，证明2、设函数f(x,y)和g(x,y)在D上连续，且f(x,y)≤g(x,y),(x,y)∈D，利用二重积分定义证明：3、设函数f(x,y)在有界闭域D上连续，且M，m分别是f(x,y)在D上的最大值与最小值，证明：其中σ是D的面积。
重积分的知识点总结
重积分的知识点总结一、多重积分的概念1. 多元函数多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$z=f(x,y)$，其中$x$、$y$是自变量，$z$是因变量。
2. 二重积分二重积分是对二元函数在平面区域上的积分，其定义如下：$\iint_Df(x,y)\,d\sigma=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sig ma_i$其中$D$为平面区域，$f(x,y)$为在$D$上的连续函数，$\Delta\sigma_i$为区域$D$上第$i$个小面积，$\xi_i$、$\eta_i$为$(x,y)$的取值点。
$\lambda$是面积的划分趋于0时的极限。
3. 三重积分三重积分是对三元函数在空间区域上的积分，其定义如下：$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\,dV=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_ i)\Delta V_i$其中$\Omega$为空间区域，$f(x,y,z)$为在$\Omega$上的连续函数，$\Delta V_i$为区域$\Omega$上第$i$个小体积，$\xi_i$、$\eta_i$、$\zeta_i$为$(x,y,z)$的取值点。
$\lambda$是体积的划分趋于0时的极限。
4. 一般情况下的重积分对于$n$元函数在$n$维空间上的积分通常可以表示为：$\int...\int_Df(x_1,x_2,...,x_n)dV$其中$D$为空间区域，$f(x_1,x_2,...,x_n)$为在$D$上的连续函数，积分区域为$D$，$dV$为该区域上的$n$维体积元。
二、多重积分的性质1. 多重积分的可加性重积分在可加性方面与定积分类似，即若函数$f(x,y)$在区域$D$上连续，则有：$\iint_Df(x,y)\,d\sigma=\iint_{D_1}f(x,y)\,d\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)\,d\sigma$其中$D=D_1\cup D_2$，$D_1$、$D_2$为$D$的互不相交子区域。
重积分的应用解析
x2 y2 R2及x2 z2 R2 所围立体的表面积.
解 因第一卦限部分的表面积由两个相同部
分构成，故只需求出一个部分的表面积，再乘16
即得所求的表面积.
z
z R2 x2
z x , z 0
x
R2 x2 y
o
y
积分区域 D :
x2 y2 R2, x 0, y 0
x
A 16
xi
2
,
i 1
i 1
Io
n
mi
(
xi2
yi2 ).
i 1
设有一薄片，占有xoy面上的闭区域 D,在点 ( x, y) 处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在 D
* 上连续，求薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量。
薄片对于x 轴的转动惯量
I x y2( x, y)d ,
D
薄片对于2 d 0103
14 15
1
36r 2 1010
rdr
104
54
5044231,
面积比
S高 S低
09333.
练习1 求半径为 a 的球的表面积。 练习2 设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地 面的高度为 h 36000km, 运行的角速度与地球自转 的角速度相同.试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球 表面积的比值(地球半径 R 6400 km )。
02
d
02
d
02a
cos
r
6
sin3
dr
256a7
7
02
(cos7
cos9
)d cos
32a7 .
35
练习6 求密度为 的均匀球体对于过球心的一
《重积分》知识点、常用计算公式的总结与典型题
《重积分》知识点、常⽤计算公式的总结与典型题1、⼆重积分的建模思想与模型构建步骤(1) 建模思想：微元法（元素法）“⼤化⼩, 常代变, 近似和,取极限”(2) 模型转换公式中△σk表⽰⼩区域⾯积，括号中△σk表⽰区域。
2、⼆重积分的⼏何意义与物理意义⼏何意义：(1) 当f(x,y)=1，则表⽰积分区域D的⾯积；(2) 当f(x,y)≥0，则表⽰以积分区域D，以D的边界为准线，母线平⾏于z轴的柱⾯为侧⾯，顶为z=f(x,y)的曲顶柱体的体积.物理意义：当f(x,y)>0，则表⽰⾯密度为ρ=f(x,y)的，占有平⾯区域D的平⾯薄⽚的质量.3、⼆重、三重积分的计算性质除了线性运算性质、对积分区域的可加性、保序性、绝对值不等式、估值定理、积分中值定理外，有如下两个重要的计算性质。
性质(偶倍奇零)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续.●如果D关于x轴对称，记其x轴上⽅区域为D1，则有●如果D关于y轴对称，记其y轴右侧区域为D1，则有●如果积分区域D关于原点对称，则⼆重积分其中D1为D的上半部分．【注】以上性质就是“偶倍奇零”的计算性质，注意使⽤时，积分区域的对称性与被积函数的奇偶性之间要匹配。
即积分区域关于x轴对称，被积函数关于y变量有奇偶性；积分区域关于y轴对称，被积函数关于x变量有奇偶性，则积分偶倍奇零。
性质(轮换对称性)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，积分区域关于直线y=x轴对称，直线y=x轴下⽅部分记作D1，直线y=x轴上⽅部分记作D2，则有4、直⾓坐标系下的⼆重积分计算步骤与典型例题第⼀步：画图(画确定积分区域的各边界曲线，根据题意确定区域).第⼆步：简化计算(判断积分区域整体，或者经过分割后的部分是否关于坐标轴、原点或y=x直线对称、判断被积函数整体，或者经加减运算拆项的部分是否具有相应变量的奇偶性，借助偶倍奇零与轮换对称性化简计算)第三步：确定积分区域类型(根据积分区域图形与被积函数特征，确定最终需要计算的积分区域的类型：简单X-型或简单Y-型，如果不是则分割积分区域)第四步：投影求型限(将积分区域投影到型变量对应的坐标轴上，确定型变量的范围：常值区间)第五步：画线定余限(在型变量的取值范围内，做平⾏于余变量对应的坐标轴，并且同向的有向直线穿过积分区域，⼊点为下限，出点为上限：上下限⼀般为型变量的函数或者直接为常值)第六步：余变先积分，最后积型变。
重积分总结
多重积分的方法总结计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出．一．二重积分的计算重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分．1. 在直角坐标下： (a) X-型区域几何直观表现：用平行于y 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()y y x =和2()y y x =；被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y a x b y x y y x =≤≤≤≤； 二重积分化为二次积分：21()()(,)(,)by x ay x Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰．(b) Y-型区域几何直观表现：用平行于x 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数1()x x x =和2()x x x =；被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y c y d x x x x x =≤≤≤≤；二重积分化为二次积分：21()()(,)(,)dx y cx y Df x y dxdy dx f x y dx =⎰⎰⎰⎰．2. 在极坐标下：几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()r r θ=和2()r r θ=（具体如圆域，扇形域和环域等）；被积区域的集合表示：1212{(,),()()}D r r r r θθθθθθ=≤≤≤≤，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式2{(,)02,0()}D r r r θθπθ=≤≤≤≤； 直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：2211()()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )r r DDf x y dxdy f r r rdrd d f r r rdr θθθθθθθθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．3. 二重积分的换元法：(,)z f x y =在闭区域D 上连续，设有变换(,),(,)(,)x x u v T u v D y y u v =⎧'∈⎨=⎩将D '一一映射到D 上，又(,),(,)x u v y u v 关于u , v 有一阶连续的偏导数，且(,)0(,)x y J u v ∂=≠∂, (,)u v D '∈ 则有(,)((,),(,))DD f x y dxdy f x u v y u v J dudv '=⎰⎰⎰⎰．二．三重积分的计算三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理． 1. 在直角坐标下：空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =，并把区域投影到xoy 面上从而确定(,)x y 的范围，记为xy D ；被积区域的集合表示：12{(,,)(,),(,)(,)}xy V x y z x y D z x y z z x y =∈≤≤, 进一步地, xy D 可以表示成X －型区域或Y －型区域;三重积分化为三次积分：21(,)(,)(,,)(,,)xyz x y z x y VD f x y z dV dxdy f x y z dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰（所谓“二套一”的形式）2211()(,)()(,)(,,)by x z x y ay x z x y dx dy f x y z dz =⎰⎰⎰（xy D 为X －型）2211()(,)()(,)(,,)dx y z x y cx y z x y dy dx f x y z dz =⎰⎰⎰（xy D 为Y －型）注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz 面或zox 面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy 面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x ，y 无关，即可表示为为()f z ．则区域表示为：{(,,),(,)}z V x y z c z d x y D =≤≤∈,其中z D 表示垂直于z 轴的截面．此时，三重积分化为：(,,)()zdcVD f x y z dV dz f z dxdy =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （所谓“一套二”的形式）()z dD cf z S dz =⎰其中z D S 表示截面z D 的面积，它是关于z 的函数．2. 在柱坐标下：柱坐标与直角坐标的关系：cos sin ,(0,02,)x r y r r z z z θθθπ=⎧⎪=≤<∞≤≤-∞<<+∞⎨⎪=⎩空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =．空间区域在xoy 面上的投影区域易于用参数r 和θ表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且1(,)z z x y =和1(,)z z x y =也易于进一步表示z 成关于,r θ较简单的函数形式，比如22x y +可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；被积区域的集合表示：121212{(,),()(),(,)(,)}V r r r r z r z z r θθθθθθθθ=≤≤≤≤≤≤；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：(,,)(cos ,sin ,)VVf x y z dV f r r z rdrd dzθθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰222111()(,)()(,)(cos ,sin ,)r z r r z r d rdr f r r z dz θθθθθθθθθ=⎰⎰⎰．3. 在球坐标下：球坐标与直角坐标的关系：sin cos sin sin ,(0,02,0)cos x r y r r z ϕθϕθθπϕπϕ=⎧⎪=≤<∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数1(,)r r r θ=和2(,)r r r θ=; （具体如球心在原点或z 轴上的球形域）被积区域的集合表示：121212{(,,),,(,)(,)}V r r r r θϕθθθϕϕϕθϕθϕ=≤≤≤≤≤≤；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin VVf x y z dV f r r r rdrd d ϕθϕθθϕθϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=212(,)20(,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin r r d d f r r r r dr ππθϕθϕθϕϕθϕθθϕ⎰⎰⎰．如球心在原点半径为a 的球形域下：220(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin aVf x y z dV d d f r r r r dr ππθϕϕθϕθθϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．4. 三重积分的换元法：(,,)u f x y z =在闭区域V 上连续，设有变换(,,):(,,),(,,)(,,)x x u v w T y y u v w u v w V z z u v w =⎧⎪'=∈⎨⎪=⎩将V '一一映射到V 上，又(,,),(,,)x u v w y u v w 和(,,)z u v w 关于u , v 和w 有一阶连续的偏导数，且(,,)0(,,)x y z J u v w ∂=≠∂, (,)u v V '∈则有(,,)((,,),(,,),(,,))VVf x y z dV f x u v w y u v w z u v w J dudvdw =⎰⎰⎰⎰⎰⎰．三．重积分的几何和物理应用 1. 几何应用a) 二重积分求平面区域面积；b) 二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d) 二重积分求空间曲面的面积．求曲面的面积A ，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：i ) 曲面方程 :(,),(,)S z f x y x y D =∈DA =ii )曲面参数方程(,):(,),(,)(,)uv x x u v S y y u v u v D z z u v =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩()()uvuvu u u v v v uu u D D vvvij k A x i y j z k x i y j z k dudv x y z dudv x y z =++⨯++=⎰⎰⎰⎰ 注：这里的公式都对函数有相应的微分条件． 2. 物理应用包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具．建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了．以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法．处理重积分计算时从几何形式出发，则易于直观把握．注意选择适当的坐标系，注意被积区域的表达，还要注意函数关于区域的对称性．这种对称性包括奇对称和偶对称，从而可以简化计算过程．。
重积分计算(直角坐标)
重积分计算的重要性
02
重积分基础知识
定义与公式
定义
重积分是定积分概念的推广，用于计 算多元函数的积分。
公式
重积分的一般形式为∫∫f(x,y)dxdy， 其中f(x,y)是待积分的函数，dxdy是 面积元素。
直角坐标系
定义
直角坐标系是一种常见的坐标系，其 中x轴和y轴相互垂直，原点为它们的 交点。
重积分计算(直角坐 标)
目录
• 引言 • 重积分基础知识 • 重积分计算方法 • 重积分在物理中的应用 • 重积分在工程中的应用 • 重积分的未来发展与展望
01
引言
主题简介
• 重积分计算是数学中一个重要的概念，它涉及到多维空间中体 积和面积的测量。在直角坐标系中，重积分计算通常采用分割、 近似、求和和取极限的步骤来进行。
实例分析
例1
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{x}xydxdy$
拆分区域
将三角形拆分成若干个小矩形。
实例分析
分别积分
对每个小矩形分别进行积分，得到一系列小矩形 上的积分值。
求和
将所有小矩形上的积分值相加，得到最终的积分 结果。
例2
计算$int_{0}^{1}int_{x}^{1}xydxdy$
06
重积分的未来发展与展望
重积分与其他数学分支的交叉研究
与实变函数、复变函数、微分几何等 数学分支的交叉研究，探讨重积分在 不同数学领域的应用和推广。
结合数学物理方程，研究重积分在解 决偏微分方程、积分方程等数学问题 中的应用。
重积分在计算机科学中的应用
在计算机图形学中，重积分被用于计算光线追踪、阴影渲染、纹理映射等效果，提高计算机图像的真 实感和视觉效果。
重积分的几种计算方法
柱面
y
x及平面y=0,
z=0x,
y
所围闭区域
2
z x 2
z 解： D: 0≤ y ≤ x , 0 ≤ x ≤
2
y cos( x z)dxdydz,
x
0
y y y x
dxdy
2
0
x
y
cos( x
z)dz
D
2
0
dx0
x dy
x 2
0
y cos( x
z)dz
Dx
0
2
2 1
16 2
y=y1(x, z) z 0 y=y2(x, z) Dxz y x
z x2 y 2 z =r
x
y
z
x2
y 2 dxdydz
zr 2drddz
*
2 1 r 2 (1 r 2 )dr
0
2
2 d
1 r 2 dr
1 zdz
0
0
r
2 15
z
z=r
z=1
r 2drd
1
zdz
D
r
D
例2. 计算
zdxdydz,
zdxdydz zrdrddz
*
r =常数 =常数 =常数 dxdydz= r2sin z x y
drd d
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1
z
r=1 用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
重积分知识点总结速成
重积分知识点总结速成一、多元函数的概念在介绍重积分之前，我们首先需要了解多元函数的概念。
在微积分中，我们熟悉了一元函数，即只有一个自变量的函数。
而多元函数则包括有多个自变量的函数，比如说二元函数f(x, y)，三元函数f(x, y, z)等。
多元函数的概念在物理、工程、经济学等领域中有着广泛的应用，因此研究多元函数的性质与应用将对这些领域的研究和解决实际问题起着非常重要的作用。
二、二重积分的概念1、二重积分的定义二重积分是一种对平面区域上的函数进行积分的方法。
在一元函数中，我们知道积分是对一个区间上的函数进行求和的方法，而在二重积分中，我们需要对一个平面区域上的函数进行求和。
设f(x, y)是定义在闭区域D上的有界函数，将D分割成n个小区域ΔDi，其中ΔDi的面积为ΔS，选取代表点(xi, yi)属于ΔDi，当n趋向于无穷大时，如果极限存在，且与D的分割方式及代表点的选取无关，则称该极限为函数f(x, y)在区域D上的二重积分，记作∬Df(x, y)dxdy。
2、二重积分的性质（1）线性性质设函数f(x, y)和g(x, y)在区域D上可积，则有∬D(cf(x, y) + g(x, y))dxdy = c∬Df(x, y)dxdy + ∬Dg(x, y)dxdy其中c为常数。
（2）划分性质设函数f(x, y)在区域D上可积，如果将区域D分割成若干个区域D1,D2,…,Dk，则有∬Df(x, y)dxdy = ∬D1f(x, y)dxdy + ∬D2f(x, y)dxdy + ⋯ + ∬Dkf(x, y)dxdy（3）保号性质若在区域D上f(x, y)≥0，则∬Df(x, y)dxdy≥0。
（4）全微分过程设f(x, y)在D区域上连续，那么f(x, y)在D区域上可积的必要和充分条件是：f(x, y)在D 区域上有连续的一阶偏导数。
3、二重积分的计算对于一般的二重积分，我们可以通过极坐标、换元、分部积分等方法进行计算。
高考数学冲刺复习重积分考点深度剖析
高考数学冲刺复习重积分考点深度剖析高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是决定总成绩的重要因素之一。
在高考数学中，重积分是一个较为复杂但又具有重要地位的考点。
在冲刺复习阶段，对重积分考点进行深度剖析，能够帮助同学们更有针对性地备考，提高复习效率。
一、重积分的基本概念重积分包括二重积分和三重积分。
二重积分是计算平面区域上函数的积分，而三重积分则是计算空间区域上函数的积分。
对于二重积分，我们可以将其理解为求一个平面薄片的质量。
假设在平面区域 D 上有一个连续函数 f(x, y)，它表示平面薄片在每一点的面密度。
那么通过二重积分，就可以求出这个薄片的总质量。
三重积分与之类似，只不过是针对空间区域上的函数。
可以想象成求一个空间物体的质量，函数表示物体在每一点的体密度。
二、重积分的计算方法1、直角坐标系下的计算在直角坐标系中，计算二重积分通常需要将区域 D 进行分割，然后化为累次积分。
对于三重积分，同样可以通过在三个坐标轴上的投影来进行计算。
2、极坐标系下的计算当积分区域具有圆形或扇形的特征时，使用极坐标系往往会更加简便。
需要将函数和微元进行相应的转换。
3、柱坐标系和球坐标系下的计算对于某些特殊的空间区域，柱坐标系和球坐标系能够简化三重积分的计算。
比如，当区域具有柱面或球面的特征时，选择合适的坐标系可以大大减少计算量。
三、重积分的应用1、求平面图形的面积通过二重积分可以求出平面图形的面积。
例如，对于由曲线围成的区域，通过对函数 f(x, y) ＝ 1 进行二重积分，就可以得到该区域的面积。
2、求立体体积三重积分可以用于求立体的体积。
3、求质量、重心、转动惯量等物理量在实际问题中，重积分可以用来计算物体的质量、重心位置以及转动惯量等重要物理量。
四、常见题型及解题技巧1、给定区域和被积函数，直接计算重积分这是最基础的题型。
解题时，首先要正确确定积分区域的范围，然后选择合适的坐标系和积分顺序进行计算。
高考数学知识点精讲重积分与曲线积分的计算
高考数学知识点精讲重积分与曲线积分的计算高考数学知识点精讲：重积分与曲线积分的计算在高考数学中，重积分与曲线积分是较为复杂但又十分重要的知识点。
理解和掌握它们的计算方法，对于解决许多数学问题以及在后续的高等数学学习中都具有关键意义。
一、重积分重积分包括二重积分和三重积分。
1、二重积分二重积分的几何意义是计算以给定的二元函数为曲顶的曲顶柱体的体积。
其计算的基本思想是将区域分割成小的矩形，然后对每个小矩形上的函数值进行近似求和，当分割越来越细时，这个和就趋近于二重积分的值。
在直角坐标系下，计算二重积分通常有两种积分顺序：先对 x 积分再对 y 积分，或者先对 y 积分再对 x 积分。
选择合适的积分顺序往往能简化计算。
例如，对于函数＼（f(x,y)＼）在区域＼（D\）上的二重积分，若＼（D\）可以表示为＼（a\leq x\leq b\），＼（＼varphi_1(x)＼leqy\leq ＼varphi_2(x)＼），则先对＼（y\）积分，化为累次积分：＼＼iint_D f(x,y)dxdy ＝＼int_a^b\！＼！＼left\int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y)dy\rightdx＼若＼（D\）可以表示为＼（c\leq y\leq d\），＼（＼psi_1(y)＼leq x\leq ＼psi_2(y)＼），则先对＼（x\）积分，化为累次积分：＼＼iint_D f(x,y)dxdy ＝＼int_c^d\！＼！＼left\int_{＼psi_1(y)｝＾｛＼psi_2(y)｝ f(x,y)dx\rightdy＼在极坐标系下，若＼（f(x,y) ＝ f(＼rho\cos\theta, ＼rho\sin\theta)＼），区域＼（D\）由极坐标方程表示，则二重积分可以化为：＼＼iint_D f(x,y)dxdy ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta}＼！＼！＼int_{r_1(＼theta)｝＾｛r_2(＼theta)｝ f(＼rho\cos\theta, ＼rho\sin\theta)＼rho d\rho d\theta＼2、三重积分三重积分的几何意义是计算空间立体的质量。
(整理)高等数学重积分重点难点
重积分一、基本要求1.了解二重、三重积分的概念和性质2.掌握二重积分在直角坐标和极坐标下的计算3.掌握三重积分在直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的计算4.会用重积分计算曲面面积、立体面积、以及物体质量、质心等几何量和物理量.二、主要内容详细内容：1. 重积分定义：设(,)f x y 是有界闭域D 上的有界函数，将D 任意分成n 个小闭区域12,,,n σσσ∆∆∆，其中i σ∆也表示第i 个小闭区域的面积，在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη (1,2,,)i n =作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑，如果当各小区域的直径的最大值0λ→时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数(,)f x y 在D 上的二重积分，记作(,)Df x y d σ⎰⎰，即1(,)l i m (,)ni i i i Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰ 2. 性质ⅰ) [](,)(,)(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d αβσασβσ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ⅱ)1211(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ⅲ)1DDd d σσσ==⎰⎰⎰⎰ (σ为D 的面积)ⅳ)如果在D 上，(,)(,)f x y g x y ≤，则有(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰ⅴ)设,M m 分别是(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有(,)Dm f x y d M σσσ≤≤⎰⎰ⅵ)(中值定理)设(,)f x y 在闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη,使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⎰⎰3. 直角坐标下计算二重积分ⅰ)积分区域{}12(,)()(),D x y x y x a x b φφ=≤≤≤≤ 则21()()(,)(,)bx a x Df x y d dx f x y dy φφσ=⎰⎰⎰⎰ⅱ) 积分区域{}12(,)()(),D x y y x y c y d ϕϕ=≤≤≤≤则21()()(,)(,)dy c y Df x y d dy f x y dx ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰4. 极坐标下计算二重积分设积分区域D ：12()(),φθρφθαθβ≤≤≤≤ 则(,)(cos ,sin )DDf x y d f d d σρθρθρρθ=⎰⎰⎰⎰21()()(cos ,sin )d f d βφθαφθθρθρθρρ=⎰⎰5. 二重积分的几何意义：(,)Df x y d σ⎰⎰等于以D 为底，(,)z f x y =为顶的曲顶拄体的体积，(这里(,)0f x y ≥)物理意义：(,)Df x y d σ⎰⎰表示位于平面区域D ，面密度为(,)f x y 的薄片的质量.6. 三重积分定义：设(,,)f x y z 是有界闭域Ω上的有界函数，将Ω任意分成n 个小闭区域12,,,n v v v ∆∆∆，其中i v ∆也表示第i 个小闭区域的体积，在每个i v ∆上任取一点(,,)i i i ξηζ (1,2,,)i n =作和1(,,)nii i i i f ξηζσ=∆∑，如果当各小区域的直径的最大值0λ→时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数(,,)f x y z 在Ω上的三重积分，记作(,,)f x y z dv Ω⎰⎰，即1(,,)l i m (,,)ni i i i i f x y z d v f vλξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰ 7. 直角坐标下计算三重积分ⅰ)积分区域{}12(,,)(,)(,),(,)xy x y z z x y z z x y x y D Ω=≤≤∈ 则21(,)(,)(,,)(,,)xyz x y z x y D f x y z dv dxdy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21()()(,)(,)bx ax Df x y d dx f x y dy φφσ=⎰⎰⎰⎰ⅱ) 积分区域{}12(,,)(,),z x y z x y D c z c Ω=∈≤≤ 则21(,,)(,,)zc c D f x y z dv dz f x y z dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰8.柱面坐标下计算二重积分设Ω：1212,()(),(,)(,)z z z αθβφθρφθρθρθ≤≤≤≤≤≤ 则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰2211()(,)()(,)(cos ,sin ,)z z d d f z dz βφθρθαφθρθθρρρθρθ=⎰⎰⎰9. 球面坐标下计算三重积分设Ω：1212,()(),(,)(,)r r r αθβφθφφθθφθφ≤≤≤≤≤≤ 则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰＝2211()(,)2()(,)sin (sin cos ,sin sin ,cos )r r d d f r r r r dr βφθθφαφθθφθφφφθφθφ=⎰⎰⎰10. 三重积分的物理意义：(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰表示位于空间区域Ω，体密度为(,,)f x y z 的空间形体的质量. 11.对称区域上的奇偶函数积分ⅰ)若(,)f x y 为区域上D 的连续函数，D 关于y 轴对称，且1D 为D 位于y 轴右侧的子区域，则10(,)(,)2(,)(,)DD f x y x f x y d f x y d f x y x σσ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰，为的奇函数，为的偶函数ⅱ) 若(,,)f x y z 为Ω区域上的连续函数，Ω关于xy O 坐标面对称，1Ω为Ω位于xy O 坐标面上侧的部分，则10(,,)(,,)2(,,)(,,)f x y z f x y z dv f x y z dvf x y z ΩΩ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰，为z 的奇函数为z 的偶函数12.几何应用、物理应用曲面面积：xyD A =⎰⎰平面薄片的质心坐标：(,)(,)DDx x y d x x y d ρσρσ=⎰⎰⎰⎰， (,)(,)DDy x y d y x y d ρσρσ=⎰⎰⎰⎰空间物体的质心坐标：1(,,)x x x y z dv M ρΩ=⎰⎰⎰ ，1(,,)y y x y z dv MρΩ=⎰⎰⎰1(,,)z z x y z dv MρΩ=⎰⎰⎰其中(,,)M x y z dv ρΩ=⎰⎰⎰三、 重点与难点：1. 选择适当的坐标计算重积分.2. 根据被积函数及积分区域特点，选择适当的积分次序.3. 二次积分的积分次序变换.4. 利用对称区域上函数的奇偶性简化计算. 四、 例题1. 设(,)f x y 在[,]a b 上连续，证明不等式22()()()b b a a f x dx b a f x dx ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 等号仅当()f x 为常数时成立.分析：利用“非负被积函数的二重积分非负”的性质来证明.在证明等号成立的条件时，用到了“非负连续函数的定积分为零，则此函数恒为零”的性质. 证明：因为[]20()()bba adx f x f y dy ≤-⎰⎰222()()2()()()bb baa ab a f x dx f x dx b a f y dy ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 故有22()()()b ba a f x dxb a f x dx ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 当()f x 为常数时，显然上述等号成立.反之，设上述等号成立，则[]2()()0bba a dx f x f y dy -=⎰⎰ 由于函数[]2()()()ba F x f x f y dy =-⎰是[,]ab 上非负连续函数， 故()0F x ≡，a x b ≤≤.特别()0F a =即[]2()()0ba f x f y dy -=⎰，又由于函数[]2()()()G y f x f y =-是[,]a b 上非负连续函数，故()0G x ≡，a y b ≤≤.因此()()f y f a ≡，a y b ≤≤ 即()f x 为常数.2. 在下列二次积分中改变积分次序 1)2111(,)x dx f x y dy --⎰⎰分析：积分域D ：211,1x y x -≤≤≤≤-，也表示为两个区域12,D D 的并，其中1D ：210,1y x y -≤≤≤≤- ：01,y x ≤≤≤≤解：2110111(,)(,)(,)x dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx ---=+⎰⎰⎰⎰2)311(,)x x dx f x y dy -⎰⎰分析：注意到当01x <<，3x x <，尽管这个二次积分并不是(,)f x y 在由y x =及3y x =所围区域上的二重积分，但是改变积分次序使之与原二次积分相等仍为可能.解：311(,)x x dx f x y dy -⎰⎰＝33110(,)(,)x x x x dx f x y dy dx f x y dy --⎰⎰⎰⎰ 3011(,)(,)x yx dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰31100(,)(,)x x y dx f x y dy dx f x y dx =⎰⎰⎰311(,)x x dx f x y dy -⎰⎰01(,)y dy f x y dx -=⎰10(,)y dx f x y dx -⎰11(,)ydy f x y dx -=⎰3. 计算下列二重积分1) 22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是,,y x y x a y a ==+=和3y a = (0)a >为边的平行四边形区域.分析：当y 从a 变到3a ，对每一固定的y ，x 从y a -变到y 故化为先对x 后对y 的二重积分较简单. 解：D ：3,a y a y a x y ≤≤-≤≤ 32222()()aya y a Dx y dxdy dy x y dx -+=+⎰⎰⎰⎰23324()1433aay y a ay dy a ⎡⎤-=+-=⎢⎥⎣⎦⎰ 2) 2Dy dxdy ⎰⎰，其中D 是由x 轴和摆线的第一拱(sin ),(1cos ),(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤所围的区域分析：区域D ：02x a π≤≤，0()y x φ≤≤其中()y x φ=为摆线的直角坐标方程，显然当(sin )x a t t =-时，()(1cos ),(02)y x a t t φπ==-≤≤解： []2()2322001()3a x ay dxdy dx y dy x dx πφπφ==⎰⎰⎰⎰⎰23301(1cos )(1cos )3a t a t dt π=--⎰ ((sin ))x a t t =- 4280161sin 332a t dt π=⎰44882003232sin 2sin 33a a udu udu ππ==⋅⎰⎰ ()2tu = 4432753135238642212a a ππ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅3)2Dy x dxdy -⎰⎰，其中D ：11x -≤≤，02y ≤≤分析：将区域D 分成两块12,D D ，使被积函数21222(),(,)(,)y x x y D y x y xx y D ⎧--∈⎪-=⎨-∈⎪⎩再利用二重积分的关于积分域的可加性，分块计算 解：曲线2y x =将区域D 分成 ：11x -≤≤，20y x ≤≤ ：11x -≤≤，22x y ≤≤2Dy xdxdy -⎰⎰1222()()D D x y dxdy y x dxdy =-+-⎰⎰⎰⎰2221122101()()x x dx x y dy dx y x dy --=-+-⎰⎰⎰⎰114240(44)4615x dx x x dx=+-+=⎰⎰4)D⎰⎰,其中D :22224x y ππ≤+≤分析：当二重积分的积分域为圆域或扇形域，可考虑用极坐标解：220sin d d πππθρρρ=⋅⎰⎰⎰⎰22sin d πππρρρ=⋅⎰ 26π- 4.计算二重积分112111224y y xxy dy e dx dy e dx I =+⎰⎰⎰分析：由于被积函数的原函数不易求出，可考虑改变积分次序后再计算.解：设区域D ：211,2x x y x ≤≤≤≤21111223()82y y xx xxx De e d dx e dy x e e dx σI ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 5.设一平面薄片位于双曲线221x y -=及0,1y y ==直线所围平面区域D ，且D 上任一点(,)x y 处的面密度为2x y ，求此薄片的质量. 分析：平面薄片的质量等于密度函数再区域上的二重积分，再利用区域对称化简计算.解：薄片的质量1222DD M x yd x yd σσ==⎰⎰⎰⎰31122200022(1)3dy x ydx y y dy ==+⎰⎰152222(1)1)1515y =+=6.求曲面z =夹在两曲面2222,2x y y x y y +=+=之间的那部分曲面的面积.分析：将所求的曲面投影到xoy 面计算最简单，投影域xy D 为曲线2222,2x y y x y y +=+=所围部分.解：投影域：xy D ：222y x y y ≤+≤由z =，知x y z z ==2xyxyD D S dxdy ==⎰⎰⎰⎰)4ππ=-=7.化二次积分1100(,)dx f x y dy ⎰⎰为极坐标形式的二次积分.分析：一般极坐标形式的二次积分为先对ρ后对θ的二次积分，当然也可化为先θ对后对ρ的二次积分. 解：区域可表示为1D ：10,04cos πθρθ≤≤≤≤及2D ：1,042sin ππθρθ≤≤≤≤1114cos 0(,)(cos ,sin )dx f x y dy d f d πθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰12sin 04(cos ,sin )d f d πθπθρθρθρρ+⎰⎰积分域也可表示为1D ：01,02πρθ≤≤≤≤及2D ：110cosarcsinarc ρθρρ≤≤≤≤两部分.111200(,)(cos ,sin )dx f x y dy d f d πρρρθρθθ=⎰⎰⎰⎰＋1arcsin11arccos(cos ,sin )d f d ρρρρθρθθ⎰8.设函数()f x 在[0,1]上连续，并设10()f x dx A =⎰，求110()()x dx f x f y dy ⎰⎰. 分析：求解关键是利用二重积分对坐标轮换对称的性质，即区域D 的边界曲线方程关于,x y 对称，则有 (,)(,)DDf x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰.解：变换积分次序得1110()()()()yxdx f x f y dy dy f x f y dx =⎰⎰⎰⎰10()()xdx f x f y dy =⎰⎰111112()()()()()()x xxdx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1100()()dx f x f y dy =⎰⎰112()()f x dx f y dyA=⋅=⎰⎰∴11201()()2x dx f x f y dy A =⎰⎰ 9.求锥面z =和抛物面22z x y =+所围成的立体体积. 分析：求体积可用二重积分，也可用三重积分. 解一：投影域D ：221x y +≤()22DV x y d σ⎤=+⎦⎰⎰2120()6d d πθρρρρπ=-=⎰⎰解二：221120002()6V dv d d dz d πρρπθρρπρρρρΩ===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰10.计算23xy z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由,,1,0z xy y x x z ====所围成的区域分析：Ω在面xoy 上投影域D 如图所示，在D 上的点(,)x y ，0z xy =≥，在不知道曲面z xy =形状的情况下，也容易写出Ω的积分范围. 解：Ω：0,0,01z xy y x x ≤≤≤≤≤≤ 12323000xxyxy z dxdydz dx dy xy z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰1230001364x xyxdx y dy z dz ==⎰⎰⎰ 11.求22()x y z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.分析：Ω是由旋转曲面222x y z +=与4z =所围而成的立体，化三重积分的计算中可化为先对z 或后对z 的积分.解一：Ω：221()42x y z +≤≤，(,)xy x y D ∈，22:8xy D x y +≤ 22422221()2()()xyx y D x y z dv dxdy x y z dz +Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2242102350()528)82563d d z dzd πρθρρπρρρρρπ=+=+-=⎰⎰解二：Ω：04z ≤≤，(,)z x y D ∈，其中22:2z D x y z +≤ 422220()()zD x y z dv dz x y z dxdy Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰4220420)42563dz d z d z dzπθρρρππ=+==⎰⎰⎰12.试将三重积分(,,)f x y z dv ΩI =⎰⎰⎰化为三次积分，其中Ω是由z =及1,2z z ==所围成的区域.分析：此题可分别化为直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的三重积分，主要这个三重积分不可将它理解为(,,)f x y z 在大的圆锥区域积分减去小的圆锥区域积分.解：21(,,)zz dx dy f x y z dx -I =⎰⎰直2121(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρρθρθI =⎰⎰⎰柱22201(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρρθρθ+⎰⎰⎰22101(cos ,sin ,)zdz d f z d πθρθρθρρ=⎰⎰⎰()!22sec 2!!400sec (sin cos ,sin sin ,cos )sin n r n r d d f r r r r dr ππφφθφφθφθφφ-I =⎰⎰⎰球13.设(,,)1()(,,)f x y z x y z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中Ω：2221,0x y z z ++≤≥分析：两边在Ω上求三重积分，解出(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰即可.解：设(,,)f x y z dv A Ω=⎰⎰⎰，则 (,,)1()f x y z x A y z =+++[](,,)(1)()A f x y z dv x A y z dv dv A zdv ΩΩΩΩ==+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211200122(1)33x y z A zdz dxdy A z z dz πππ+≤-=+=+-⎰⎰⎰⎰ 234A ππ=+ 83(4)A ππ=-，故8(,,)1()3(4)f x y z x y z ππ=+++- 14.用定积分表示三重积分000()xyzdy dz f t dt ⎰⎰⎰分析：由于被积函数是t 的函数，故将,z t 积分次序变换后，把对z 的积分算出，再将,y t 的积分次序变换，又可把对y 的积分算出，最后保留对t 的积分式子. 解：0()()xy z x y ytdy dz f t dt dy dt f t dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰020()()()()1()()2x yx xt x dy f t y t dtdt f t y t dy f t x t dt =-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰15.用重积分证明：由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕x 轴和y 轴旋转所成的旋转体的体积分别是2()bx a V f x dx π=⎰和2()b y a V xf x dx π=⎰证明：曲线()y f x =绕x 轴旋转的旋转曲面方程：222()y z f x +=，a x b ≤≤在xoy 面上投影域为xy D ：,()()a x b f x y f x ≤≤-≤≤故所求体积()()b f x x a f x V dx dy -=⎰⎰(04bf x a dx =⎰⎰24()4ba f x dx π=⎰2()baf x dx π=⎰曲线()y f x =绕y轴旋转的旋转曲面方程：y f = 在xoz 面上投影域为zx D ：2222a x z b ≤+≤故所求体积0zx f y D V dzdx dy =⎰⎰⎰2()2()bf a b ad d dyf d πρθρρπρρρ==⎰⎰⎰⎰即2()by a V xf x dx π=⎰16.求曲面221z x y =++上点(1,1,3)M -处的切平面与曲面22z x y =+所围成的空间区域的体积V .分析：所围的空间区域在xoy 面上的投影域的确定以及如何在此投影域上积分是此题的关键.解：曲面221z x y =++在(1,1,3)M -处的法向量''(,,1)(2,2,1)M x y M n z z =-=--则切平面方程为2(1)2(1)2(3)0x y z --+--= 即221z x y =--所以切平面与曲面的交线22221z x y z x y =--⎧⎨=+⎩在xoy 面上的投影曲线为 22(1)(1)1x y z ⎧-++=⎨=⎩即所求空间在xoy 面上的投影域D 为22(1)(1)1x y -++≤故22221()DV x y x y dxdy ⎡⎤=---+⎣⎦⎰⎰221(1)(1)Dx y dxdy ⎡⎤=---+⎣⎦⎰⎰ 22221(1)x y x y dxdy +≤=--⎰⎰2120(1)2d d πθρρρπ=-=⎰⎰17.设球体占有闭区域Ω：2222x y z Rz ++≤，它在内部个点处的密度的大小等于该点到坐标原点距离的平方.试求这球体的质心.分析：由于Ω为球体，且被积函数出现222x y z ++项，故可用球面坐标计算，同时注意到区域Ω的对称性. 解：密度222(,,)x y z x y z ρ=++ 此球体的质量(,,)M x y z dv ρΩ=⎰⎰⎰222()x y z dv Ω=++⎰⎰⎰22cos 222sin R d d r r dr ππφθφφ=⋅⎰⎰⎰5555202322sin cos 515R R d πππφφφ=⋅=⎰由对称性易知0x y == 22211(,,)()z x y z dv z xy z dv MMρΩΩ==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰而22cos 22222200()sin cos R z x y z dv d d d ππφθφφρρρρρΩ++=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰666720282sin cos 63R Rd πππφφφ=⋅=⎰∴54z R =即球体的质心：5(0,0,)4R 五、自测题(A)一、 选择题(3分⨯5＝15分)1. 设D 为221x y +≤在第一象限部分，二重积分2Dxy d σ⎰⎰可化为A)112dx xy dy ⎰⎰B) 1200dx dy ⎰C) 1200dx dy ⎰D) 20xy dy2. 设1()Dx y d σI =+⎰⎰,2sin()Dx y d σI =+⎰⎰,3tan()Dx y d σI =+⎰⎰,其中D 为三角形闭区域，三顶点分别为(0,0),(1,0),(0,1),则 A) 123I <I <I B) 213I <I <I C) 231I <I <I D)以上均不正确3. 设空间区域1Ω：2222,0x y z R z ++≤≥2Ω：2222,0,0,0x y z R x y z ++≤≥≥≥ 则 A)124xdv xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C) 124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 设平面薄片位于区域221x y +≤，密度函数为222(2)(2)x y x ρ=++，质心坐标为(,)x y ，则A) 0,0x y == B)0,0x y =≠ C) 0,0x y ≠= D)0,0x y ≠≠5. 设22()Dx y d σ+⎰⎰，D ：由2y x =，1x =，0y =所围，则化为极坐标形式的积分为 A)sec 3400d d πθθρρ⎰⎰B)1340d d πθρρ⎰⎰C) 3400d d πθρ⎰ D)sec 340tan sec d d πθθθθρρ⎰⎰二、 填空题(3分⨯5＝15分) 1.2224x x y d σ≤+≤⎰⎰＝2. 2sin sin 200cos d d πθαθθρθρ+⎰⎰＝3.利用重积分性质估计22(49)Dx y d σI =++⎰⎰，这里D :224x y +≤，那么 I∈ 4.积分222y xdx e dy -⎰⎰的值等于5.设Ω：224,01x y z +≤≤≤，则(sin cos 2)x y z dv Ω+⎰⎰⎰三、(10分) 计算二重积分1()x y x y dxdy +≤+⎰⎰四、 (10分) 改变下列积分次序. 1.220(,)xx dx f x y dy ⎰⎰ 2. ln 10(,)exdx f x y dy ⎰⎰五、 (10分) 证明()()000()()()ayam a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰六、 (10分) 计算三重积分()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z =与z =所围区域.七、 (10分) 设(,)f x y 连续，且(,)(,)Df x y xy f x y dxdy =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =，1x =曲面与所围区域，求(,)f x y .八、 (10分) 求平面1xy z a b c++=被三坐标所割出的有限部分的面积.九、 (10分) 计算2z dv ΩI =⎰⎰⎰，Ω：2222221x y z a b c ++≤.自测题(B)三、 选择题(3分⨯5＝15分) 1. 在下列哪种情况下成立A) (,)(,)f x y f x y -=- B) (,)(,)f x y f x y -= C) (,)(,)f x y f x y --= D) (,)(,)f x y f x y -= 且(,)(,)f x y f x y -=2. 设D 由1x =，0y =，12x y +=，1x y +=，若[]31ln()Dx y dxdy I =+⎰⎰，32()Dx y dxdy I =+⎰⎰，[]33sin()Dx y dxdy I =+⎰⎰，则1I ，2I ，3I 之间的关系为A) 123I <I <I B) 321I <I <I C) 132I <I <I D) 312I <I <I 3.设(,)f x y 为连续函数，则00(,)axdx f x y dy ⎰⎰等于 A) 00(,)aydy f x y dx ⎰⎰ B) 0(,)a ay dy f x y dx ⎰⎰ C) 0(,)aya dy f x y dx ⎰⎰ D) 0(,)aady f x y dx ⎰⎰ 4.设平面区域{}(,),D x y a x a x y a =-≤≤≤≤，{}1(,)0,D x y x a x y a =≤≤≤≤则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ B) 12D xydxdy ⎰⎰C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ D)05.一物体占有空间区域Ω：2221,0x y z z ++≤≥，密度为(2)(2),x y z +-质心坐标，(,,)x y z 则A)0,0x y >> B) 0,0x y >> C) 0,0x y <> D) 0,0x y << 四、 填空题(3分⨯5＝15分) 1.22222()x y yf x y d σ+≤+⎰⎰的极坐标形式的二次积分为2.设区域D 由双曲线222()2x y xy +=，那么()Dx y d σ+⎰⎰等于3.设D ：222x y a +≤，Dxy dxdy ⎰⎰＝4.空间区域Ω是由平面1x y z ++=及三坐标面所围，将三重积分(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为先对x ，再对y ，最后对z 的三重积分5.曲面1x y z ++=所围立体的体积是 三、(10分)计算221()Dx yf x y dxdy ⎡⎤++⎣⎦⎰⎰，其中D 是由3y x =，1y =，1x =-所围成的区域，()f x 为连续函数.十、 (10分)求椭球2222221x y z a b c++≤的体积十一、15分)将(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为三次积分，其中Ω由22z x y =+，z =所围.十二、10分) 21xxdx ⎰⎰十三、10分) 求由2y ax =及x a = (0)a >所围图形关于直线y a =-的转动惯量. 八、(15分) 求222201lim(,)t x y t f x y d t σπ→+≤⎰⎰，其中(,)f x y 为连续函数.自测题(C)一、选择题(3分⨯5＝15分)1. 设D ：2214x y ≤+≤，则(,)D f x y d σ⎰⎰A)2121(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy ---⎰⎰B)120104(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰C) 2201(cos ,sin )d f d πθρθρθρρ⎰⎰D) 2012(cos ,sin )d f d πθρθρθρρ⎰⎰ 2. 设1Dx y dxdy I =+⎰⎰，22aDx y dxdy I =+⎰⎰ (0)a >，其中D ：1x y +≤，那么A) 120I -I > B) 120I -I <C) 120I -I = D) 12I -I 的符号与a 的取值有关3.设Ω：2222x y z R ++≤，2221()x y z dv ΩI =++⎰⎰⎰，则A) 543R πI = B)223()2x y dv ΩI =+⎰⎰⎰C) 223()2y z dv ΩI >+⎰⎰⎰ D) 223()2z x dv ΩI <+⎰⎰⎰ 4.设k D ：22()()2,1,2,3x k y k k -+-≤=，记2(3)kk D x y d σI =+-⎰⎰，则有A)123I =I ≠I B) 321I =I ≠I C) 132I =I ≠I D)以上都不正确5.设设Ω：2222x y z z ++≤，12z ≥，则f dxdydz Ω⎰⎰⎰A)123002()sin d f d ππφρρφρ⎰⎰ B)2cos 23002()sin d f d πφπφρρφρ⎰⎰C)111022dr f rdz π⎰⎰D)21022dz f rdr π⎰五、 填空题(3分⨯5＝15分)1.将柱面坐标三次积分42000(,,)dz d f z d πθρθρ⎰⎰化为先对z 后对ρ，θ的三次积分2.不等式22041z x y ≤≤+≤所表示的图形的体积为3.设Ω为2222x y z x ++≤则222()f x y z dv Ω++⎰⎰⎰在球面坐标下的三次积分为在柱面坐标下的三次积分为4.一旋转抛物面状容器装满水，再将水倒掉34，问容器内水面下降了 ％三、(15分)将二次积分变换积分次序 2210(,)x dx f x y dy I =⎰⎰六、 (15分)计算三次积分1000sin 1x yzdx dy dz z-⎰⎰⎰ 七、 (15分)用二重积分证明：平面曲线()0y f x =>，(0)a x b ≤≤≤绕x轴和y 轴旋转一圈所得的旋转曲面的面积分别是2(bx a S f x π=⎰和2by a S π=⎰ 八、 (15分)求曲面z =与222x z z +=所围立体的体积 九、 (10分)若(,)f x y 为区域D 上的连续函数，D 关于y 轴对称，且1D 为D 位于y 轴右侧的子区域，证明 0(,)(,)2(,)(,)DDf x y x f x y d f x y d f x y x σσ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数为的偶函数重积分自测题答案自测题(A)一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D二、1.3π 2.0 3.]ρπ[36，100 4. 41(1)2e -- 5.4π 三、43四、1)2420222(,)(,)yy y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰2) 1(,)y eedy f x y dx ⎰⎰六、8π 七、18xy +九、3415abc π自测题(B)一、1.D 2.C 3.B 4.A 5.B 二、1.2sin 200()d f d πθθρρρ⎰⎰2.03.42a 4.111000(,,)z y zdz dy f x y z dx ---⎰⎰⎰5.43三、25- 四、43abc π五、7()36π-1 七、485a 八、(0,0)f自测题(C)一、1.C 2.A 3.B 4.A 5.D 二、1.222400(,,)d d f z dz πρθρρθ⎰⎰⎰2.8π3.2sin cos 2200sin ()d d f r r dr ππφθπθφφ-⎰⎰⎰2cos 220()d d f z dz πθπθρρρ-+⎰⎰4.50三、142001(,)(,)dy f x y dx dy f x y dx -⎰⎰四、1(1sin1)2-七、提示：将(,)Df x y d σ⎰⎰表示为在1D 上的二重积分.。
重积分的 计算 及应用 小结
D1
( x y) d
( x y) d x
6
4
dy y 2
2
12 y
( x y) d x
4
dy y 2
2
4 y
543 15
11
6、
a
证明:
y m( a x )
0 d y 0 e
f ( x)d x
0 (a x)e
a
m( a x )
1 2 0
2
y ) d xd y 0
1 3
D
d r d r
0
4
o
1x
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x, 将D 分为 D1 , D2 ,
利用对称性 , 得
D2 D1 x y
2 2
xye
d xd y
xye
x
x y
2
2
y yx o D2 1 x D1
1. 交换积分顺序的方法
2. 利用对称性等简化计算
3. 消去被积函数绝对值符号
1、
计算二重积分
所围成的闭区域.
y r R cos
其中D 为圆周 提示: 利用极坐标
0 r R cos D: 2 2
o
D
R x
原式
2 3
R
3
0
2
(1 sin ) d
一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点)
《积分学习的总结》word版
；- 1 –积 分整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式:()baf x dx ⎰2.定义域:一维区间,例如[,]a b3.性质:见课本P 229-P 232特殊:若1f =,则()baf x dx b a =-⎰,即区间长度.4.积分技巧:奇偶对称性.注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()bbaaf x dx f y dy =⎰⎰,而不定积分不具有这种性质.5.积分方法:与不定积分的方法相同.6.几何应用: 定积分的几何意义:()baf x dx ⎰表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负);其他应用:如()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长(baf x ⎰等.三、二重积分 1.定义式:(,)xyD f x y d σ⎰⎰2.定义域:二维平面区域3.性质:见下册课本P 77特殊: 若1f =,则(,)xyD f x y dxdy S =⎰⎰,即S 为xy D 的面积.4.坐标系:①直角坐标系:X 型区域,Y 型区域②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围.5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心;6.几何应用:二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xyD f x y dxdy ⎰⎰表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积;其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xyD ⎰⎰四、三重积分 1.定义式(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰2.定义域:三维空间区域;3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若1f =,则(,,)f x y z dv V Ω=⎰⎰⎰,其中V 表示Ω的体积.4.坐标系:①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面积易求时采用)②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用;③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后ϕ,最后r .5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等.6.应用: (,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰为物体质量.(不考虑几何意义)五、第一类曲线积分 1.定义式:(,)Lf x y ds ⎰(二维) | (,,)Lf x y z ds ⎰(三维)2.定义域:平面曲线弧 | 空间曲线弧3.性质:见课本P 128 特殊: 1f =则Lfds s =⎰,s 表示曲线弧长.4.计算公式(二维为例):；- 2 –(,)((),(bLaf x y ds f t t ϕψ=⎰⎰:(),(),[,]L x t y t t a b ϕψ==∈类似可推出:(),[,]L y y x x a b =∈的公式.注意化为定积分时下限小于上限. 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心; 6.几何应用:见上3. 六、第二类曲线积分 1.定义式:(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰(二维)(,,)(,,)(,,)LP x y z dx Q x y z dy R x y z dy ++⎰(三维)2.定义域:有向平面曲线弧(二维)或有向空间曲线弧(三维)3.性质:见课本P 1354.计算公式:(,)(,)[((),())()((),())()][(,())(,())()]bLa d cP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dtP x f x Q x f x f x dxϕψϕϕψψ''+=+' =+⎰⎰⎰注意:曲线积分化为定积分时,下限为起始点,上限为终点.5.积分技巧:二维曲线积分可以应用格林公式(注意使用条件).积分与路径无关.不能使用奇偶对称性.6.应用:力做功. 七、第一类曲面积分 1.定义式:(,,)f x y z dS ∑⎰⎰2.定义域:空间曲面注意:空间曲面与坐标面重合或平行时,即为二重积分,故二重积分时第一类曲面积分的特例.3.性质:见课本:与第一类曲线积分类似 特殊: 1f =则(,,)f x y z dS S ∑=⎰⎰,S 表示曲线面积.4.计算公式:(,,)(,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰类似可得在另两个曲面上的投影公式.注意对于特殊的曲面如柱面考虑使用柱坐标,曲面考虑使用球坐标. 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心. 6.几何应用:见上3. 八、第二类曲面积分 1.定义式Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰2.定义域:有向空间曲面3.性质:见课本P 1624.计算公式:(,,)(,,(,))xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰,类似可得另两个.5.积分技巧:高斯公式,循环对称性.不能使用奇偶对称性.注:要熟练掌握使用高斯公式做第二类曲面积分的题目,使用时要注意曲面方向以及是否封 闭.6.应用:求流量,磁通量等. 奇偶对称性:定积分:若积分区间关于原点对称,例如[,]a a -若()f x 关于x 为奇函数,则()0aa f x dx -=⎰若()f x 关于x 为偶函数,则0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰二重积分:若积分区域D 关于y 轴对称,记1D 为0x >的部分若(,)f x y 关于x 为奇函数,则()()(,)(,)0x y Dx y f x y dxdy dy f x y dx -==⎰⎰⎰⎰若(,)f x y 关于x 为偶函数,则1()()()(,)(,)2(,)2(,)x y x y Dx y D f x y dxdy dy f x y dx dy f x y dx f x y dxdy -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰同样可以得到积分区域D 关于x 轴对称时, (,)f x y 关于y 为奇、偶函数的公式. 三重积分: 若积分区域Ω关于xoy 面对称,记1Ω为0z >的部分 若(,,)f x y z 关于z 为奇函数,则(,)(,)(,,)(,,)0z x y z x y f x y z dxdydz dxdy f x y z dz Ω-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰；- 3 –若(,,)f x y z 关于z 为偶函数,则1(,)(,)(,)0(,,)(,,)2(,,)2(,,)z x y z x y z x y f x y z dxdydz dxdy f x y z dzdxdy f x y z dz f x y z dxdydzΩΩ-= ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰同样可以得到区域关于另两个曲面对称的情况. 例题:P 123#1(1)(2) P 124#2(4)第一类曲线积分:若积分曲线L 关于y 轴对称,记1L 为0x >的部分 若(,)f x y 关于x 为奇函数:(,)0Lf x y ds =⎰若(,)f x y 关于x 为偶函数:1(,)2(,)LL f x y ds f x y ds =⎰⎰同样可以得到曲线关于x 轴对称的情况.第一类曲面积分:若积分曲面∑关于xoy 面对称,记1∑为0z >的部分,若(,,)f x y z 关于z 为奇函数:(,,)0f x y z dz ∑=⎰⎰若(,,)f x y z 关于z 为偶函数:1(,,)2(,,)f x y z dz f x y z dz ∑∑=⎰⎰⎰⎰同样可以得到曲面关于另两个坐标面对称的情况. 例题:课本P 158#6(3),P 184#2变量对称性:一般在做重积分、曲面积分时使用，使用时要注意曲面或区域必须是关于变量是对称的,即对于曲面方程自变量相互替换后方程不改变,例如2222,1x y z R x y z ++=++=等,此时()()()f x dS f y dS f z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰例题1:2,I x ds Γ=⎰其中Γ为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截的曲线.例题2: 22()d ,I x y S ∑=+⎰⎰其中∑为球面2222().x y z x y z ++=++循环对称性(适用第二类曲面积分):若积分曲面满足变量对称,而且,,P Q R 中,,x y z 依次替换,即,,x y y z z x →→→后积分表达式不改变,则可以使用该对称性,有3Pdydz Qdzdx Rdxdy Rdxdy ∑∑++=⎰⎰⎰⎰例题:课本168页#3(4)质心:适用重积分,第一类积分.请同学们思考如何区别各种积分?(定义域) 区别:以下两个例题应该怎样算?222222()d ,()x y z S x y z dxdydz Ω∑++++⎰⎰⎰⎰⎰,其中22222222:,:x y z R x y z R ∑Ω++=++≤。
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多重积分的方法总结计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出．一．二重积分的计算重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分．1. 在直角坐标下： (a) X-型区域几何直观表现：用平行于y 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()y y x =和2()y y x =；被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y a x b y x y y x =≤≤≤≤； 二重积分化为二次积分：21()()(,)(,)by x ay x Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰．(b) Y-型区域几何直观表现：用平行于x 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数1()x x x =和2()x x x =；被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y c y d x x x x x =≤≤≤≤；二重积分化为二次积分：21()()(,)(,)dx y cx y Df x y dxdy dx f x y dx =⎰⎰⎰⎰．2. 在极坐标下：几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()r r θ=和2()r r θ=（具体如圆域，扇形域和环域等）；被积区域的集合表示：1212{(,),()()}D r r r r θθθθθθ=≤≤≤≤，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式2{(,)02,0()}D r r r θθπθ=≤≤≤≤；直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：2211()()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )r r DDf x y dxdy f r r rdrd d f r r rdr θθθθθθθθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．3. 二重积分的换元法：(,)z f x y =在闭区域D 上连续，设有变换(,),(,)(,)x x u v T u v D y y u v =⎧'∈⎨=⎩ 将D '一一映射到D 上，又(,),(,)x u v y u v 关于u , v 有一阶连续的偏导数，且(,)0(,)x y J u v ∂=≠∂, (,)u v D '∈ 则有(,)((,),(,))DD f x y dxdy f x u v y u v J dudv '=⎰⎰⎰⎰．二．三重积分的计算三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理． 1. 在直角坐标下：空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =，并把区域投影到xoy 面上从而确定(,)x y 的范围，记为xy D ；被积区域的集合表示：12{(,,)(,),(,)(,)}xy V x y z x y D z x y z z x y =∈≤≤, 进一步地, xy D 可以表示成X －型区域或Y －型区域;三重积分化为三次积分：21(,)(,)(,,)(,,)xyz x y z x y VD f x y z dV dxdy f x y z dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰（所谓“二套一”的形式）2211()(,)()(,)(,,)by x z x y ay x z x y dx dy f x y z dz =⎰⎰⎰（xy D 为X －型）2211()(,)()(,)(,,)dx y z x y cx y z x y dy dx f x y z dz =⎰⎰⎰（xy D 为Y －型）注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz 面或zox 面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何？可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy 面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x ，y 无关，即可表示为为()f z ．则区域表示为：{(,,),(,)}z V x y z c z d x y D =≤≤∈,其中z D 表示垂直于z 轴的截面．此时，三重积分化为：(,,)()zdcVD f x y z dV dz f z dxdy =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （所谓“一套二”的形式）()z dD cf z S dz =⎰其中z D S 表示截面z D 的面积，它是关于z 的函数．2. 在柱坐标下：柱坐标与直角坐标的关系：cos sin ,(0,02,)x r y r r z z z θθθπ=⎧⎪=≤<∞≤≤-∞<<+∞⎨⎪=⎩空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =．空间区域在xoy 面上的投影区域易于用参数r 和θ表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且1(,)z z x y =和1(,)z z x y =也易于进一步表示z 成关于,r θ较简单的函数形式，比如22x y +可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；被积区域的集合表示：121212{(,),()(),(,)(,)}V r r r r z r z z r θθθθθθθθ=≤≤≤≤≤≤；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：(,,)(cos ,sin ,)VVf x y z dV f r r z rdrd dzθθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰222111()(,)()(,)(cos ,sin ,)r z r r z r d rdr f r r z dz θθθθθθθθθ=⎰⎰⎰．3. 在球坐标下：球坐标与直角坐标的关系：sin cos sin sin ,(0,02,0)cos x r y r r z ϕθϕθθπϕπϕ=⎧⎪=≤<∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数1(,)r r r θ=和2(,)r r r θ=; （具体如球心在原点或z 轴上的球形域）被积区域的集合表示：121212{(,,),,(,)(,)}V r r r r θϕθθθϕϕϕθϕθϕ=≤≤≤≤≤≤；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin VVf x y z dV f r r r rdrd d ϕθϕθθϕθϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=212(,)20(,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin r r d d f r r r r dr ππθϕθϕθϕϕθϕθθϕ⎰⎰⎰．如球心在原点半径为a 的球形域下：220(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin aVf x y z dV d d f r r r r dr ππθϕϕθϕθθϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．4. 三重积分的换元法：(,,)u f x y z =在闭区域V 上连续，设有变换(,,):(,,),(,,)(,,)x x u v w T y y u v w u v w V z z u v w =⎧⎪'=∈⎨⎪=⎩将V '一一映射到V 上，又(,,),(,,)x u v w y u v w 和(,,)z u v w 关于u , v 和w 有一阶连续的偏导数，且(,,)0(,,)x y z J u v w ∂=≠∂, (,)u v V '∈则有(,,)((,,),(,,),(,,))VVf x y z dV f x u v w y u v w z u v w J dudvdw =⎰⎰⎰⎰⎰⎰．三．重积分的几何和物理应用 1. 几何应用a) 二重积分求平面区域面积；b) 二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d) 二重积分求空间曲面的面积．求曲面的面积A ，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：i ) 曲面方程 :(,),(,)S z f x y x y D =∈DA =ii )曲面参数方程(,):(,),(,)(,)uv x x u v S y y u v u v D z z u v =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩()()uvuvu u u v v v uu u D D vvvij k A x i y j z k x i y j z k dudv x y z dudv x y z =++⨯++=⎰⎰⎰⎰注：这里的公式都对函数有相应的微分条件．2.物理应用包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具．建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了．以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法．处理重积分计算时从几何形式出发，则易于直观把握．注意选择适当的坐标系，注意被积区域的表达，还要注意函数关于区域的对称性．这种对称性包括奇对称和偶对称，从而可以简化计算过程．。