非线性方程求根

第四章 方程求根
本章主要内容：
二分法，不动点概念，迭代的整体收敛性，迭代的局部收敛性，迭代的收敛阶，埃特金迭代法，牛顿迭代法，改进的牛顿迭代法，弦截法与抛物线法。

教学目的及要求：
使学生了解不动点、整体收敛与局部收敛，收敛阶等概念，掌握二分法、牛顿迭代法、弦截法，会用这些方法计算非线性方程的根。

教学重点：
迭代的收敛性判定，牛顿迭代法。

教学难点：
迭代过程收敛的定理。

教学方法及手段：
非线性方程求根是数值分析中的一个经典内容，讲课中要注意结合几何图形，讲清讲透计算方法产生的来源，算法的设计，使学生学得懂、记得住、用得上。

对定理应给出完整的证明。

在实验教学中，通过具体实例，让学生掌握二分法、埃特金算法、牛顿法、弦截法等方法的编程。

教学时间：本章的教学的讲授时间为6学时，实验学时4学时。

教学内容：
本章主要研究单变量非线性方程
()0f x = （7.1）
的求根根问题，这里，()[,]f x C a b ∈。

对于这种连续函数方程，一般采用迭代法求根。

迭代法要求先给出根*
x 的一个近似，若()[,]f x C a b ∈，且()()0f a f b <，根据连续函数性质可知()0f x =在(a,b)内至少有一个实根，这时称[a,b]为方程(7.1)的有根区间。

通常可通过逐次搜索法求得方程(7.1)的有根区间。

一 二分法
考察有根区间[a,b]，取中点0()/2x a b =+将它分为两半，假设中点0x 不是()f x 的零点，检查0()f x 与()f a 是否同号，若同号，说明所求根*
x 在0x 的右侧，这时令
10a x =，1b b =；否则，*x 必在0x 的左侧，这时令1a a =，10b x =。

不管出现哪一种情况，新的有根区间11[,]a b 的长度仅为[a,b]的一半。

对于有根区间11[,]a b ，又可再施行上述同样操作，即用中点111()/2x a b =+将区间11[,]a b 再分为两半，然后判定所求根在1x 的哪一侧，从而又确定了一个新的有根区间22[,]a b ，其长度是11[,]a b 的一半。

如此反复二分下去，即可得出一系列有根区间 1122[,][,][,][,]n n a b a b a b a b ⊃⊃⊃⊃⊃
其中每个区间都是前一个区间的一半，因此[,]n n a b 的长度
()/2n n n b a b a -=-
当n →∞时趋于零，就是说，如果二分过程无限地继续下去，这些区间最终必收缩
于一点*
x ，这点显然就是所求的根。

每次二分后，设取有根区间[,]n n a b 的中点
2
n n n a b x +=
作为根的近似值，则在二分过程中可以获得一个近似根的序列
12,,,,n x x x
该序列必以根*
x 为极限。

不过在实际计算时，我们不可能完成这个无限过程，其实也没有这种必要，因为数值计算的结果允许带有一个的误差。

由于
*2
n n n n b a
x x b a --≤-= 只要二分次数足够多（即n 充分大），便有
*n x x ε-<
这里ε为预先给定的精度。

具体算法如下
1 给出计算精度ε，有根区间左右端点a ，b ，取初始误差r b a =-。

2 当r ε≥时，反复做以下操作 （1）计算()/2c a b =+。

（2）若()0f c =，输出精确根c ，停止计算。

（3）若()()0f a f c <，取b c =，否则，取a c =。

（4）r b a =- 3 输出近似根c 。

上述二分法的优点是算法简单，且总是收敛的，缺点是收敛太慢，故一般不单独将其用于求根，只用来为根求得一个较好的近似值。

【例题1】对于给出的方程01)(3=--=x x x f
1 用二分法计算它在(0,2)之间的近似根，要求精确到小数点后四位；
2 给出每次两分后的有根区间；
3 画出每次两分的中点，直观描述两分法原理。

图7-1
二 迭代法及其收敛性
（一）不动点迭代法。

将方程()0f x =改写成等价的形式
()x x ϕ= （7.2）
若要求*
x 满足*()0f x =，则**()x x ϕ=；反之亦然，称*
x 为函数()x ϕ的一个不动点。

这表明，求()f x 的零点就等价于求()x ϕ的不动点。

求不动点一般采用逐次逼近法。

为了说明这种方法，我们重温一个经典例子。

我们知道，递推式
112
()(0,1,
)2n n n
x x n x +=+=
对于初值02x =，所产生的数列{}n x 单调下降且以lim n n x →∞
=
“温故知新”，这个例子给我们带来了以下几点“新知”。

1 如果记12
()()2x x x
ϕ=
+，递推式可表示成为1()n n x x ϕ+=。

将每个n x 代入到()x ϕ所得到的值1()n n x x ϕ+=变小了，即在“动”。

每个n x 不断地代入()x ϕ，意味着“迭代”。

2 有一个特殊值代入到()x ϕ后，所得到的值1
2ϕ==
生改变，即“不动”。

点*
x =12()()2x x x
ϕ=+的“不动点”。

3 这里的()x x ϕ=，实际上是方程2()20f x x =-=，这里的
从这个例子，我们可提炼出求不动点的方法。

选择一个初始近似值0x ，将它代入()x x ϕ= 右端，即可求得
10()x x ϕ=
可以如此反复迭代计算
1()n n x x ϕ+= （0,1,
n =） （7.3）
()x ϕ称为迭代函数。

如果对任何0[,]x a b ∈，由(7.3)得到的序列{}n x 有极限
*lim n n x x →∞
=
则称迭代式（7.3）收敛，且**
()x x ϕ=为()x ϕ的不动点，故称（7.3）为不动点迭代法。

（二）不动点迭代法的几何意义。

方程()x x ϕ=的求根根问题在xoy 平面上就是要确定曲线()y x ϕ=与直线y x
=的交点*
P （图7-2）。

对于*
x 的某个近似值0x ，在曲线()y x ϕ=上可确定一点0P ，
它以0x 为横坐标，而纵坐标为01()x x ϕ=，过0P 引平行x 轴的直线，设此直线交直线
y x =于点1Q ，然后过1Q 再作平行于y 直线，它与曲线()y x ϕ=的交点记作1P ，则
点1P 的横坐标为1x ，纵坐标则等于12()x x ϕ=。

按图7-2中箭头所示路径继续做下去，在曲线()y x ϕ=上得到点列12,,P P ，其横坐标分别为依公式1()n n x x ϕ+=求得迭代
值12,,
x x 。

如果点列{}n P 趋向于点*
P ，则相应的迭代值n x 收敛于所求的根*
x 。

图7-2
【例题2】研究用迭代法求方程01)(3=--=x x x f 在0 1.5x =附近的根*
x 。

1 方程等价形式为x =
，迭代公式1n x += 2 方程等价形式为211x x x =+，迭代公式1211
n n n
x x x +=+；
3 方程等价形式为3
1x x =-，迭代公式3
11n n x x +=-。

对于迭代3
11n n
x x +=-，其发散性显然。

而对于迭代1211
n n n
x x x +=
+，可以通过以下实验，观察出它的发散性。

图7-3
而对于迭代1n x +=
图7-4
例2表明原方程转化为不同形式的迭代，有的收敛，有的发散，只有收敛的迭代过程才
有意义，为此我们首先要研究()x ϕ的不动点存在性以及迭代法的收敛性。

（三）不动点的存在性与迭代法的收敛性。

【定理1】设()[,]x C a b ϕ∈满足以下两个条件 1 对任意[,]x a b ∈有()a x b ϕ≤≤。

2 存在正常数1L <，使对任意,[,]x y a b ∈都有
()()x y L x y ϕϕ-≤- （7.3）
则()x ϕ在[a,b]上存在着唯一的不动点*
x 。

证明 先证明不动点的存在性。

若()a a ϕ=或()b b ϕ=，显然()x ϕ在[a,b]上存在着不动点。

因()a x b ϕ≤≤，以下设()a a ϕ>及()b b ϕ<，定义函数
()()f x x x ϕ=-
显然()[,]f x C a b ∈，且满足()()0f a a a ϕ=->，()()0f b b b ϕ=-<，由连续函数性质可知存在*(,)x a b ∈，使得***()()0f x x x ϕ=-=，即**()x x ϕ=，*
x 即为()x ϕ的不动点。

再证明唯一性。

设*1x 及*2x 都是()x ϕ在[a,b]上的不动点，则
********
12121212()()x x x x L x x x x ϕϕ-=-≤-<-
引出矛盾，故()x ϕ的不动点只能是唯一的。

【定理2】设()[,]x C a b ϕ∈满足定理1中的两个条件，则对任意0[,]x a b ∈，由迭代式 1()(0,1,
)n n x x n ϕ+==得到的序列{}n x 收敛到()x ϕ的不动点*x ，
并有误差估计 *
101n n L x x x x L
-≤--
证明 设*
[,]x a b ∈是()x ϕ在[a,b]上唯一不动点，由条件1，可知[,]n x a b ∈，由条件2有
***11()()n n n x x x x L x x ϕϕ---=-≤-
递推下去，可得
**2**120n n n n x x L x x L x x L x x ---≤-≤-≤≤-
因01L <<，故当n →∞时序列{}n x 收敛到*
x 。

又
111()()n n n n n n x x x x L x x ϕϕ+---=-≤-
反复递推下下去，可得
110n n n x x L x x +-≤-
于是对任意正整数k ，有
1121n k n n k n k n k n k n n x x x x x x x x +++-+-+-+-≤-+-+
+-
1210()n k n k n L L L x x +-+-≤++
+-
101n L x x L
≤-- 在上式令k →∞，注意到*
lim n k k x x +→∞
=，即得
*
101n
n L x x x x L
-≤--
注：
1 误差估计式*
101n
n L x x x x L
-≤--用于误差估计并不方便，原因是因为参数L 难以确定。

实际进行误差估计时，我们往往采用事后估计方法。

1121n k n n k n k n k n k n n x x x x x x x x +++-+-+-+-≤-+-+
+-
121(1)k k n n L L x x --+≤++
+-
11
1n n x x L
+≤
-- 令k →∞，有 *
111n n n x x x x L
+-≤
-- 由此可见，只要相邻两次计算结果的偏差1n n x x +-充分小，就可以保证近似值n x 具有足够精度。

2 在许多情况下，定理1和定理2中的条件2往往用以下条件来替换 若1
()[,]x C a b ϕ∈，且对任意[,]x a b ∈有 ()1x L ϕ'≤<。

因为利用中值定理，对任意,[,]x y a b ∈，有
()()()()((,))x y x y L x y a b ϕϕϕξξ'-≤-≤-∈
这表明，条件2是成立的。

（四）局部收敛性。

上面给出了迭代序列{}n x 在区间[a,b]上的收敛性，通常称为全局收敛性。

在实际应用时，通常只在不动点*
x 的附近考察其收敛性，即局部收敛性。

【定义1】设()x ϕ有不动点*x ，如果存在*
x 的某个邻域*:R x x δ-≤，对任意0x R ∈，
迭代1()n n x x ϕ+=产生的序列{}n x R ∈，且收敛到*
x ，则称该迭代法局部收敛。

【定理3】设*x 为()x ϕ的不动点，()x ϕ'在*
x 的某个邻域连续，且*()1x ϕ'<，则迭
代法1()n n x x ϕ+=局部收敛。

证明 由连续函数的性质，存在*
x 的某个邻域*:R x x δ-≤，使对于任意x R ∈成立
()1x L ϕ'≤<
此外，对于任意x R ∈，总有()x R ϕ∈，这是因为
****()()()()()x x x x x x L x x ϕϕϕϕξ'-=-=-≤-
据定理2可以断定迭代过程1()n n x x ϕ+=对于任意初值0x R ∈均收敛。

（五）收敛速度。

【例题3】用不同方法求方程2
20x -=的根*
x =
解 这里2
()20f x x =-=可以改写为各种不同的等价形式()x x ϕ=，其不动点为
*x =
1 212n n n x x x +=+-，2
()2x x x ϕ=+-，()21x x ϕ'=+，*()11x ϕϕ''==>
2
12n n x x +=
，2()x x ϕ=，22()x x ϕ-'=，*
()1x ϕϕ''===- 3 211(2)4n n n x x x +=-
-，21()(2)4x x x ϕ=--,1()12
x x ϕ'=-
*()11
x ϕϕ''===< 4 112
()2n n n
x x x +=
+,12()()2x x x ϕ=+,22()2(1)x x ϕ'=-
*1()(102x ϕϕ''=== 取02x =，对上述4种迭代法，计算三步所得结果列表如下：
1.41421356237310≈，从计算结果看到迭代法1及2均不收敛，且它们不满足定理3中的局部收敛条件，迭代法3和4均满足局部收敛条件，且迭代法4比迭代法3收敛快。

为了衡量迭代法收敛速度的快慢，可给出如下定义。

【定义2】设迭代过程1()n n x x ϕ+=收敛于方程()x x ϕ=的根*
x ，如果迭代误差
*n n e x x =-满足下式
1
lim
n p
n n
e c e +→∞= （0c ≠）
则称该迭代过程是p 阶收敛的，特别地，p=1时称线性收敛，p>1时称超线性收敛， p=2时称平方收敛。

注：
收敛速度定义的意义剖析
*lim n n x x →∞
=，*lim lim()0n n n n e x x →∞
→∞
=-=
故n e 是n →∞时的无穷小量。

由1
lim
n p
n n
e c e +→∞=可知，当n 充分大时，有
1p n n e ce +≈
这表明，当p>1时，第n 次迭代的误差1n e +会远远小于第n-1次迭代的误差n e ，即迭代收敛变快了，这正是“收敛速度”的涵义所在。

【定理4】对于迭代过程1()n n x x ϕ+=，如果()
()p x ϕ
在所求根*x 的附近连续，并且
**(1)*()()()0p x x x ϕϕϕ-'''==
==，()*()0p x ϕ≠
则该迭代过程在点*
x 的附近是p 阶收敛的。

证明 由于*()0x ϕ'=，据定理3可以断定迭代过程1()n n x x ϕ+=具有局部收敛性。

再将()n x ϕ在根*
x 处做泰勒展开，利用上述条件，有
()*
*()
()()()!
p p n n x x x x p ϕξϕϕ=+
-，这里：ξ在n x 与*x 之间
注意到1()n n x x ϕ+=，**()x x ϕ=，由上式得
()*
*1()
()!
p p n n x x x x p ϕξ+-=
-
*()11*()
()!p n n p p
n n e x x e x x p ϕξ++-==- ()()*1()()
lim lim !!p p n p n n n
e x e p p ϕξϕ+→∞→∞==
这表明迭代过程确实为p 阶收敛的。

在例3中，迭代法3
中的0ϕ'=
≠，2)1ϕ'<，由定理3知，它是收敛的，由定理4知，它是线性收敛的。

在例4中，迭代法4
中的1(102ϕ'==
,0ϕ''=≠,由定理4知，该迭代法是2阶收敛的。

三 迭代收敛的加速方法
对于一些不收敛或者收敛速度较慢的迭代法，可以通过改造，使它成为收敛的或者收敛
速度较快的迭代法，埃特金给出了一个处理方法。

设0x 是根*
x 的某个近似值，用迭代公式先预报一次得
10()x x ϕ=
再预报一次得
11()x x ϕ=
据微分中值定理，有
***1010()()()()x x x x x x ϕϕϕξ'-=-=-
***1121()()()()x x x x x x ϕϕϕξ'-=-=-
其中，1ξ在0x 与*
x 之间，2ξ在分别1x 与*
x 之间。

假定()x ϕ'改变不大，近似地取某个近似值L ，则有
**10()x x L x x -≈- **11()x x L x x -≈-
将两式相除，有
*
*01**
11x x x x x x x x --≈--，由此可推出
****1110()()()()x x x x x x x x --≈--
2**2***2110110()2()()x x x x x x x x x x x -+≈--+ *2110011(2)()x x x x x x x -+≈-
*2110011010(2)(2)()x x x x x x x x x x -+≈-+-- 2
*
100110
()2x x x x x x x -≈-
-+ 将该值作为1x 的校正值，亦即
2
1010110
()2x x x x x x x -=--+
可以证明，一般情况下，如此得到的1x 比原迭代式所计算出的1x 要好得多。

上述方法可归纳出一般情形： 对于给定的n x ， 预报 1()n n x x ϕ+= 预报 11()n n x x ϕ++=
校正 2
1111()2n n n n n n n
x x x x x x x ++++-=--+ （0,1,
n =） （7.4）
（7.4）式称为埃特金加速方法。

【例题4】求2
20x -=
的根*
x =
212n n n x x x +=+-，（02x =）
进行改造，并给出五次计算的结果。

经过埃特金加速之后，原发散的迭代被改造成为收敛的。

四 牛顿法
设方程()0f x =有根*x ，且()0f x '≠，根据函数的几何图象（见图7-5），我们可以给出一种求*
x 的方法。

步1 在*x 附任取一点0x ，作曲线()y f x =在点0x 处的切线 000()()()y f x f x x x '-=-
令0y =，可得到切线与x 轴的交点0100()()
f x x x f x =-'。

图7-5
步2 再作曲线()y f x =在点1x 处的切线
111()()()y f x f x x x '-=-
令0y =，可得到切线与x 轴的交点1211()()
f x x x f x =-
'。

从几何上看，1x ，2x 越来越接近*x 。

由此，不难归纳出一般的迭代公式 1()()
n n n n f x x x f x +=-', 0x 为初值 这就是牛顿法（也称切线法）。

如果*
x 是方程()0f x =的一个单根，亦即*()0f x =，而*()0f x '≠，则牛顿迭代法收敛且收敛速度是2阶的。

事实上，迭代函数为()()()f x x x f x ϕ=-'，222
[()]()()()()()1[()][()]f x f x f x f x f x x f x f x ϕ'''''-'=-='' 而*()0x ϕ'=，故牛顿法在根*
x 的附近是平方收敛的。

这表明：牛顿迭代法至少具有局部收敛性。

对某些函数来说，这种迭代还具有整体收敛性。

牛顿迭代算法：
步1 选定初值0x ，计算00()f f x =，'00()f f x '=。

步2 迭代'1000/x x f f =-，计算11()f f x =，'11()f f x '=。

步3 如果1x 满足1δε<或12f ε<，以1x 作为所求根近似值，终止迭代；否则转步4。

这里，1ε，2ε是允许误差（一般可取12εε=），而 1011011/x x x C x x x x C δ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，C 是绝对误差或相对误差的控制常数，一般可取C=1。

步 4 如果迭代次数达到预先指定的次数N ，或者'10f =，显示方法失败信息；否则，用'111(,,)x f f 代替'000(,,)x f f ，转步2继续迭代。

【例题5】设方程为
020102)(23=-++=x x x x f
1 给出用牛顿法求方程根的程序；
2 该迭代的收敛性与初值0x 的选取是否有关，通过数值试验来回答这个问题；
3 迭代收敛的快慢与初值0x 的选取是否有关，通过数值试验来回答这个问题；
4 适当地对程序作少量修改，求01)(341=++=x x x f 在10-=x 附近的实根，精度要求取为8102
1-⨯=ε；并说明初值是否可随意取？ 五 弦截法
牛顿法有一个缺点：每步除计算()n f x 外还要算()n f x '，许多情况下，计算()n f x '往往较困难。

为了解决这个问题，我们可以利用已求得的函数值1(),(),n n f x f x -，来回避导数值()n f x '的计算。

下面介绍两种常用的方法。

（一）弦截法。

对于牛顿法
1()()
n n n n f x x x f x +=-' 中的()n f x '，用差商00
()()n n f x f x x x --来代替，从而得到下列迭代式 100()()()()
n n n n n f x x x x x f x f x +=--- （0,1,n =） 这一迭代式是()0f x =的又一种等价形式
00()()()()()
f x x x x x x f x f x ϕ=--=- 弦截法的几何意义见图7-6。

图7-6
曲线()y f x =上横坐标为1x 的点记为1p ，作弦01p p ，该弦的方程为
101010
()()()()f x f x y f x x x x x -=+-- 令0y =可求得它与x 轴的交点
1211010()()()()
f x x x x x f x f x =--- 若记曲线()y f x =上横坐标为2x 的点记为2p ，作弦02p p ，该弦的方程为
202020
()()()()f x f x y f x x x x x -=+-- 令0y =可求得它与x 轴的交点
2322020()()()()
f x x x x x f x f x =--- 从图中可以看出，如此产生的序列{}n x 是收敛于()0f x =的根*x 。

下面，考察弦截法的收敛性。

对迭代函数
00()()()()()
f x x x x x f x f x ϕ=-
-- 求导知 ***
*0*00*0()()()1()1()()()
f x f x x x x f x f x f x x x ϕ''=+-=--- 当0x 充分接近*
x 时，0()1x ϕ'<<，故弦截法是线性收敛
【例题6】取初值04x =，1 3.8x =，用弦截法求方程 052)(3=--=x x x f
在[1，4]之间的根，并给出弦截过程的演示。

图7-7
（二）快速弦截法。

为了提高收敛速度，用差商00
()()n n f x f x x x --作为()n f x '的近似，将牛顿法进行改造，得 111()()()()
n n n n n n n f x x x x x f x f x +--=--- 这种迭代法称之为快速弦截法。

快速弦截法的几何意义见图7-8。

曲线()y f x =上横坐标为1n x -的点记为1n p -，横坐标为n x 的点记为n p ，作弦1n n p p -，该弦的方程为
11()()()()n n n n n n
f x f x y f x x x x x ---=+-- 令0y =可求得它与x 轴的交点
111()()()()
n n n n n n n f x x x x x f x f x +--=---
图7-8
可以证明：如果()f x 在零点*x 的附近具有二阶连续导数，且()0f x ≠，则快速弦截法迭代式所得到的序列{}n x 收敛于*x ，且收敛速度是超线性的，其收敛阶为p=1.618。

快速弦截法算法
步1 选定初始近似值0x ，1x ，精度ε，允许迭代的最大次数N ，迭代次数0k =，
计算00()f f x =，11()f f x =；
步2 迭代2111010()/()x x f x x f f =---，1k k =+，计算22()f f x =；
步3 如果21x x ε-<或2f ε<，输出*2x x ≈，终止迭代；否则，转步4
步4 如果k N =，给出快速弦截法失败信息，停止计算，否则，01x x =，12x x =，01f f =，12f f =，返回步2继续迭代。

【例题7】取初值04x =，1 3.8x =，用快速弦截法求方程
052)(3=--=x x x f
在[1，4]之间的根，通过数值试验，比较快速弦截法与弦截法这两种迭代数列的收敛速度。

小结
f x 的迭代法及其理论，不动点迭代、
本章主要介绍了求解单变量的非线性方程()0
局部收敛性及收敛阶等基本概念是非常重要的，它很容易推广至非线性方程组。

在迭代法中，牛顿法最实用，它在单根附近具有2阶收敛，单应用时需要选择较好的初始近似值才可以保证迭代收敛，为克服之一缺点，可以使用牛顿下山法。

斯特芬森法可以将一阶收敛的方法加速到二阶收敛，是很重要的加速方法。

弦截法和抛物线法属于插值方法，不需要求导数值，具有超线性收敛速度，也是比较常用的方法。