八年级数学解直角三角形复习(一)

解直角三角形复习(一)

一、复习要求

1. 理解“解直角三角形”的概念，知道一个直角三角形可解应该有两个条件(其中至少有一个是边)；

2. 掌握解直角三角形的四种基本类型

在Rt △A BC 中，∠C=90°，设a ，b ，c 分别对应∠A ，∠B ，∠ C

已知条件

解法

两条边

已知a 、b

求∠A ，∠B=90°-∠A

已知a 、c

，求∠A ，∠B=90°-∠A

一条边和 一个锐角

已知a 和∠A

∠B=90°-∠A ，

已知c 和∠A

∠B=90°-∠A ，a=csinA,b=ccosA

3. 能将解斜三角形的一些问题，转化为解直角三角形。

二、例题讲解 例1. 已知：如图1，的半径为r ，∠A OB=

(90°<

<180°)，求：弦A B 及△ABO 的面

积S 。

分析：欲求弦A B 及△ABO 的面积S ，只要作出弦心距OC.

解：如图2，作OC ⊥A B 于点C

∵A B是的弦，∠AOB=，

∴A B=2AC，

解法2：作直径BD，连结DA，则

作A E⊥BD于点E

注意：由解法1：

由解法2，

由于它们都表示同一个三角形A BO的面积，因此在90°<<180°的条件下

即

想一想，若0°<≤90°，上述结论又是怎样的？

例2. 已知：如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，D是BC边的中点，求sin∠DAB。

分析：欲求sin∠DA B，只要作DE⊥A B于点E，另外，此题中图形的形状确定，大小不确定，为使问题转化为解直角三角形，不妨设AC=2k

解：如图5，作DE⊥A B于点E，设A C=2k(k>0)

在Rt△A BC中，∵∠C=90°，∠B=30°

又∵D是BC边中点

.

想一想：若∠B=45°，在题目的其它条件不变的情况下，sin∠DA B的值又是多少？

例 3.已知：如图6，△A BC中，AB=56cm，，求：AC、BC及△ABC的面积S。

分析：只要作A B边上的高，问题就转化为解直角三角形解：如图7，作CD⊥A B于点D

∵A B=AD+DB

= CDcotA+CDcotB

∴A C=39cm,BC=25cm,S=420cm2

说明：在此题的解题过程中，实际上得到二个关系式，

在△A BC中，若∠A、∠B都是锐角，CD是A B边上的高，

则A B=A D+DB=CD·cotA+CD·cotB=CD(cotA+cotB)

即A B=CD(cotA+cotB)或

另外，∵A CsinA=CD=BCsinB,

∴A CsinA=BCsinB，或

例4. 如图8，小明发现电线杆A B的影子落在上坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8cm，BC=20cm，CD与地面成30°角，且此时测得1m立杆(垂直于地平面)的影长为2m，求电线杆的高度。

分析：只要分别延长BC、AD，就能构成直角三角形，使问题可解

解：如图9，分别延长AD、BC，设交点为E，作DF⊥CE于点F，由已知可得

∵∠DCE=30°，DC=8m

又

∴EF=2DF=8m

答：电线杆的高度为

例5. 已知：如图10，山顶建有80米高的铁塔BC，为了测量山的高度，测量人员在一个小山坡的P处，测得塔的底部B点的仰角为45°，塔顶C的仰角为60°，若小山坡的坡角为30°，坡长MP=40米，请问，测量人员用这种方法能测量出山的高度吗？如果能，山的高度是多少？(精

确到1米，参考数据)

分析：如果能由已知数据计算出山高A B，那么该测量人员的方法可行，另外为计算方法，可将问题抽象成几何计算题

解：这种方法可以测量出山高，理由如下：

如图11，作PE⊥AM的延长线于点E，设P点的水平视线与A B交于D点，由已知可得，

∠C=30°，∠PBD=45°，BD=DP

设BD=x米，则

即

又

答：该测量人员用他的方法能测量出山的高度，其高度约为129米。

注意：如图12中，在Rt△CDP中，∠D=90°，

请想一想：

(1)若已知BC的长，如何求DP或CP？

(2)若已知DP的长，如何求BC或BD？

(3)若已知BD的长，如何求BP或BC？

例6. 如图13，在正方形A BCD的顶点D作射线分别交A B边于E点，交CB的延长线于F

点，若正方形的边长为a，试求的值。

分析：不妨先猜想的值是多少？如果这条射线经过B点，则E、F、B三点重合，

解：设

说明：解题开始，设，相当于确定了对应于的射线DF的位置，选择△ADE 及△DCF都可解，从而使问题得到解决。