2013届数学高考一轮复习同步训练 文科 《三角函数的图像与性质》
高三数学第一轮复习课时作业(19)三角函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质及三角函数模型的简单应用A
课时作业(十九)A[第19讲 三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质及三角函数模型的简单应用]时间：45分钟 分值：100分基础热身1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像的对称轴方程可以为( )A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π63．2011·海淀二模 若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图像所对应的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π34．如图K19－1，单摆的摆线离开平衡位置的位移S (厘米)和时间t (秒)的函数关系是S ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4，t ∈0，＋∞)，则摆球往复摆动一次所需要的时间是能力提升5．2010·陕西卷 对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的B ．f (x )的图像关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为26．2011·珠海二模 函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π2是( )A ．最小正周期是π的偶函数B ．最小正周期是π的奇函数C ．最小正周期是2π的偶函数D ．最小正周期是2π的奇函数7．2011·昆明质检 用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 1＋x 5＝3π2，则x 2＋x 4等于( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 8．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图像如图K19－2所示，则( )图K19－2A ．ω＝π2，φ＝π4 B ．ω＝π3φ＝π6 C ．ω＝π4，φ＝π4 D ．ω＝π4φ＝5π49．2011·福州质检 函数y ＝sin x －cos x 的图像可由y ＝sin x ＋cos x 的图像向右平移( ) A.3π2个单位长度得到 B ．π个单位长度得到 C.π4个单位长度得到 D.π2个单位长度得到 10．2011·淄博模拟 将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，π2φ<π的图像，向右最少平移4π3个单位长度，或向左最少平移2π3个单位长度，所得到的函数图像均关于原点中心对称，则ω＝________.11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，若A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2，则函数解析式为________．12．给出下面的3个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期是π2；②函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π2在区间⎣⎡⎭⎫π，3π2上单调递增；③x ＝5π4是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π2的图像的一条对称轴．其中正确命题的序号是________．13解析式为________________．14．(10分)已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图像向右平移π12g (x )的图像，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．15．(13分)已知直线y＝2与函数f(x)＝2sin2ωx＋23sinωx cosωx－1(ω>0)的图像的两个相邻交点之间的距离为π.(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合．难点突破16．(12分)已知复数z1＝sin x＋λi，z2＝m＋(m－3cos x)i(λ，m，x∈R)，且z1＝z2.(1)若λ＝0，且0<x<π，求x的值；(2)设f(x)＝λcos x，求f(x)的最小正周期和单调递增区间．课时作业(十九)A【基础热身】1．A 解析 由已知，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，所以函数图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，故选A.2．A 解析 由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )， 当k ＝0时，x ＝π12，故选A. 3．B 解析 把图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即周期变为原来的2倍，则ω变为原来的12，故选B.4．2 解析 摆球往复摆动一次所需的时间即为函数的周期，又函数S 的周期为T ＝2ππ＝2，故摆球往复摆动一次所需要的时间是2秒．【能力提升】5．B 解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，则f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递减的，A 错；f (x )的最小正周期为π，最大值为1，C 、D 错，故选B.6．A 解析 y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin 2x ＝1－cos2x 2，则最小正周期是T ＝2π2＝π，且是偶函数，故选A.7．C 解析 根据“五点法”的规则知，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5依次成等差数列，所以x 2＋x 4＝x 1＋x 5＝3π2，故选C.8．C 解析 由图像可知函数的最小正周期是8，根据最小正周期T ＝2πω可得ω＝π4，排除A 、B ，再根据0≤φ≤2π且当x ＝1时y ＝1，可知φ＝π4，故选C.9．D 解析 把函数解析式化为y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4，故选D.10.12解析 因为函数的相邻两对称轴之间距离或相邻两对称点之间距离是函数周期的一半，则有T 2＝4π3－⎝⎛⎭⎫－2π3＝2π，故T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12. 11．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 解析 由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫43π＋φ＝±1，则φ＝π6，∴所求解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2.12．①② 解析 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为π，则函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期是π2；因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π2＝cos x ，则函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π2在区间⎣⎡⎭⎫π，3π2上单调递增； 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π2＝cos2x ，由2x ＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2，k ∈Z ，则x ＝5π4不是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π2的图像的一条对称轴，故正确的命题是①②.13．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π2x －π2(答案不唯一) 解析 由散点图选用函数模型y ＝A sin(ωx ＋φ)，则A ＝4，T ＝0.8，∴ω＝2πT ＝5π2，即y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π2x ＋φ，把最高点坐标(0.4,4)代入解析式，得4＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π2×0.4＋φ，即sin(π＋φ)＝1，∴π＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，由五点作图法，可知π＋φ＝π2，即φ＝－π2，∴描述该物体的位移y 和时间x 之间的函数解析式为y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π2x －π2.14．解答 (1)依题意f (x )＝3sin2x ＋2·cos2x ＋12＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，得到函数f 1(x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6＋1＝2sin2x ＋1的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g (x )＝2sin x ＋1.(2)函数f (x )的最小正周期为T ＝π，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )时，函数单调递增，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．15．解答 (1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1＝1－cos2ωx ＋3sin2ωx －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6，由题意可知函数的最小正周期T ＝2π2ω＝π(ω>0)，所以ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2其中k ∈Z ，解得k π－π6x ≤k π＋π3k ∈Z ，即f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则g (x )的最大值为2，此时有2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝2k π＋π2，其中k ∈Z ，解得x ＝k π＋π12，k ∈Z ，所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π12，k ∈Z .【难点突破】16．解答 (1)当λ＝0时，由z 1＝z 2，得m ＝sin x 且m －3cos x ＝0，∴sin x －3cos x ＝0，∴tan x ＝3，∵0<x <π，∴x ＝π3.(2)由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝sin x ，λ＝m －3cos x ，∴λ＝sin x －3cos x ，f (x )＝λcos x ＝(sin x －3cos x )cos x＝sin x cos x －3cos x cos x＝12sin2x －32(1＋cos2x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， ∴f (x )的最小正周期T ＝π；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎤k π－π12，k π＋5π12k ∈Z .。
2013年高考数学试题精编：43三角函数的图像和性质
y = sin(1 x − π ) 2 10 .
答案：C
12.
（
天
津
卷
文
8
）
右图是函数y
=
A
sin（ω
x+ϕ）（x
∈
R）在区间
⎡⎢⎣-
π 6
，5π 6
⎤ ⎥⎦
上的图象，
为
了
得
到
这
个
函数的图象，只要将 y = sin x（x ∈ R）的图象上所有的点
y = sin(2x − π )
（A）
10
y = sin(2x − π )
（B）
5
y = sin(1 x − π )
（C）
2 10
y = sin(1 x − π )
（D）
2 20
π 解析：将函数 y = sin x 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度，所得函数图象的解
π 析式为 y＝sin(x－ 10 )
【解析】
6=
12 ，
3=
6 ，所以将
y = sin(2x + π )
π
y = sin(2x − π )
6 的图像向右平移 4 个长度单位得到
3 的图像，故选 B.
9.（陕西卷理 3）对于函数 f ( x ) = 2 s i n x c o s x ，下列选项中正确的是 （ ）
ππ （A） f (x) f（x）在（ 4 ， 2 ）上是递增的
选 B。 【命题意图】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识。
3 sin( x − π ), x ∈ R
2013高考数学一轮同步训练(文科) 3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象
第四节 函数y =A sin ()x ωϕ+的图象强化训练1.将函数y =sin2x 的图象向左平移4π个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得图象的函数解析式是( )A.y =2cos 2xB.y =2sin 2xC.y =1+sin (2)4x π+D.y =cos2x答案:A解析:将函数y =sin2x 的图象向左平移4π个单位长度,得到函数y =sin 2()4x π+,即y =sin (2)2x π+=cos2x 的图象,再向上平移1个单位长度,所得图象的函数解析式为y =1+cos2x =2cos 2x ,故选A.2.已知函数f (x )=sin ()(4x x ωπ+∈R 0)ω,>的最小正周期为π,将y =f (x )的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的一个值是( )A.2πB.38π C.4π D.8π答案:D解析:由已知,周期为π22ωωπ=,=,则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数,sin [2()]4x ϕπ++=±cos2x ,故选D.3.(2011山东高考,文6)若函数f (x )=sin (0)x ωω>在区间[0]3π,上单调递增,在区间[]32ππ,上单调递减,则ω等于( ) A.23B.32C.2D.3答案:B解析:由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,所以1=sin 3ωπ,故选B.4.要得到函数y =sin x 的图象,只需将函数y =cos(x -)3π的图象 . 答案:向右平移6π个单位长度解析:y =sin x =cos ()2x π-=cos ()2x π- =cos [()]36x ππ--.∴y =cos ()3x π-的图象向右平移6π个单位长度得到y =sin x 的图象.5.已知函数y =A sin ()(x ωϕ+A >00(0))2ωϕπ,>,∈,在一个周期内的图象如图所示,求其解析式.解:由图象知A =2,272()21212T ωωπππ==-⇒=.∴y =2sin (2)x ϕ+.又图象过点(2)12π,,所以2=2sin (2)12ϕπ⨯+⇒sin ()16ϕπ+=623ϕϕπππ⇒+=⇒=.故所求解析式为y =2sin (2)3x π+.见课后作业A题组一 函数y =A sin ()x ωϕ+图象的作法和变换1.函数y =cos (x x ∈R )的图象向左平移2π个单位长度后,得到函数y =g (x )的图象,则g (x )的解析式为( ) A.g (x )=-sin x B.g (x )=sin x C.g (x )=-cos x D.g (x )=cos x答案:A解析:y =cos ()2x π+=-sin x .2.设函数f (x )=cos (0)x ωω>,将y =f (x )的图象向右平移3π个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( ) A.13B.3C.6D.9答案:C解析:将y =f (x )的图象向右平移3π个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明了3π是此函数周期的整数倍.由题知2(3k k ωππ=⋅∈Z ),解得6k ω=.令k =1,即得min 6ω=.3.已知函数f (x )=sin ()(4x x ωπ+∈R 0)ω,>的最小正周期为π,为了得到函数g (x )=cos x ω的图象,只要将y =f (x )的图象( )A.向左平移8π个单位长度B.向右平移8π个单位长度C.向左平移4π个单位长度D.向右平移4π个单位长度答案:A解析:由题知2ω=, 所以f (x )=sin (2)4x π+=cos [(2)]42x ππ-+=cos (2)4x π-=cos 2()8x π-,故选择A.4.把函数y =sin (x x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( )A.y =sin (2)3x x π-,∈RB.y =sin ()26x x π+,∈RC.y =sin (2)3x x π+,∈RD.y =sin 2(2)3x x π+,∈R答案:C5.函数y =sin (2)3x π-在区间[2π-,π]上的简图是( )答案:A6.已知函数y =f (x )的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x 轴向左平移2π个单位长度,这样得到的曲线和y =2sin x 的图象相同,则已知函数y =f (x )的解析式为 . 答案:12y =-cos2x解析:y =2sin x 右移2π个单位长度y =2sin ()2x π-横坐标缩小到原来的12倍纵坐标不变y =2sin (2)2x π-纵坐标缩小到原来的14倍横坐标不变y =12sin (2)2x π-12=-cos2x .7.已知函数12y =sin (2)6x x π+,∈R .(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用五点法作出它的简图;(3)该函数的图象可由y =sin (x x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解:(1)函数12y =sin (2)6x π+的振幅为12,周期为π,初相为6π.(2)列表:画简图如下图所示:(3)方法一:函数y =sin x 的图象向左平移6π个单位长度函数y =sin ()6x π+的图象各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)函数y =sin(2x +)6π的图象各点的纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)函数y =12sin(2x +)6π的图象.方法二:函数y =sin x 的图象各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)函数y =sin2x 的图象向左平移12π个单位长度函数y =sin (2)6x π+的图象各点的纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)函数y =12sin(2x +)6π的图象.题组二 求函数y =A sin ()x b ωϕ++的解析式8.已知简谐运动f (x )=2sin ()(3x ϕπ+|ϕ|)2π<的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为( ) A.66T ϕπ=,= B.63T ϕπ=,= C.T =6π6ϕπ,=D.T =6π3ϕπ,=答案:A解析:263T π==,π又∵f (0)=2sin 1ϕ=,∴sin 12ϕ=.∵|ϕ|2π<,∴6ϕπ=.9.函数f (x )=A sin ()(x ωϕ+其中00A ω>,>,|ϕ|)2π<的图象如图所示,则f (0)等于( )A.1B.12答案:D解析:由图可知A =1,22274()123Tωππ===,ππ⨯-∴f (x )=sin (2)x ϕ+,()3f π=sin (2)03ϕπ⨯+=. ∵A >0,|ϕ|2π<,∴3ϕπ=.∴f (0)=sin (0)3π+=sin3π=10.已知函数y =sin ()x ωϕ+(0ω>,-πϕ≤<π)的图象如图所示,则ϕ= .答案:910π解析:由图可知,T =2(2π35)42ππ-=,∴45ω=,把(2π,1)代入y =sin 4()5x ϕ+,有1=sin 8()5ϕπ+,∴910ϕπ=.11.已知函数f (x )=2sin ()(0x ωϕω+>,π0)ϕ<<的图象如图所示,则7()12f π= .答案:0解析:由图象知最小正周期5222()3443T ωππππ=-==,故3ω=.又4x π=时,f (x )=0,即2sin (3)04ϕπ⨯+=,可得34ϕπ=-,所以7()212f π=sin 73(3)0124ππ⨯-=.12.已知函数f (x )=A sin ()(00x A ωϕω+>,>,|ϕ|)2π<的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式;(2)如何由函数y =2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象,写出变换过程. 解:(1)由图象知A =2,f (x )的最小正周期54()126T ππ=⨯-=π,故22Tωπ==.将点(2)6π,代入f (x )的解析式得sin ()13ϕπ+=,又|ϕ|2π<,∴6ϕπ=.故函数f (x )的解析式为f (x )=2sin (2)6x π+.(2)变换过程如下:y =2sin x 图象向左平移6π个单位长度y =2sin(x +)6π所有点的横坐标缩短为原来的12倍纵坐标不变y =2sin (2)6x π+;另解:y =2sin x 所有点的横坐标缩短为原来的12倍纵坐标不变y =2sin2x 图象向左平移12π个单位长度y =2sin (2)6x π+.高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！。
高三数学一轮复习：三角函数的图像与性质(一)(教案)
第一课时三角函数的图像与性质（一）（教案）【复习目标】【知识与技能】１．了角正弦、余弦、正切、余切函数的图像，会用“五点法”画正弦、余弦函数的简图．２．掌握三角函数的性质，包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．【过程与方法】通过三角函数图像记忆和应用三角函数的有关性质，强化数形结合的思想方法．【情感态度与价值观】体会三角是解决数学问题的一样工具，熟练三角比公式，理解三角函数的意义，为今后的数学其余知识领域的学习创造有利条件，培养研究数学问题的意识与体验.【教学重点、难点】正弦、余弦、正切函数的图像与性质【教学过程】【知识梳理】【基础练习】1．函数xxx y sin 1cos sin 22+=的值域是（C ）A ．),4(+∞-B ．),1[+∞-C ．]21,4(- D ．]21,4[-2．函数sin 1log (cos )2x y x =+([02])x π∈，的定义域是（B ）A ．2{|0}3x x π<<B ．2{|0}32x x x ππ<<≠，且C ．5{|0}6x x π<<D ．5{|0}62x x x ππ<<≠，且3．给出下列命题：（D ）①x y sin =与x y sin =的图像关于y 轴对称; ②)cos(x y -=与x y cos =的图像相同;③x y sin = 与)sin(x y -=的图像关于y 轴对称; ④x y cos =与)cos(x y -=的图像关于y 轴对称;其中正确命题的序号是A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．函数123log cos(2)2y x π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的单调减区间是3,,24k k k Z ππππ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦ 5．函数()sin (0)f x a x b a =+<的最大值为2，最小值为4-，则点(，)a b 是(3,1)--．6．已知()sin 1f x ax b x =++，若(5)7f =，则(5)f -=5-．7．若函数()f x的定义域是1[]2，则函数(sin )f x 的定义域是 54[2,2][2,2],3663k k k k k Z ππππππππ-++++∈ 8．已知关于x 的方程222sin cos 2sin 0x x x m -++=有实数解，则实数m 的取值范围是443m -≤≤ ． 【典型例题】【例1】求下列函数的定义域（1）y =解：sin cos 0)02244522445|22,44x x x k x k k x k x k x k k Z πππππππππππππ-≥⇒-≥⇒≤-≤+⇒+≤≤+⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭定义域（2）y =解：sin 02222,2sin 33x k x k x k x k x πππππππ>⎧<<+⎧⎪⎪⇒⎨⎨≠+≠+≠⎪⎪⎩⎩ 所求定义域{}222,2,2,33x k x k x k x k k Z πππππππ<<+≠+≠+∈且【例2】求下列函数的单调区间： （1）4sin(2)3y x π=- （2）12log cos y x =(3)sin 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4) )cos (sin sin )(x x x x f -=解：（1）4sin(2)4sin(2)33y x x ππ=-=-- ，∴222()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈时，函数为减函数.减区间为：5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈.当3222()232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈时，函数为增函数，故函数增区间为：511[,]()1212k k k z ππππ++∈；（2）12log y u = 为减函数，且cos 0u x =>的增区间为2,2()2k k k Z πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，递减区间为2,2()2k k k Z πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，∴函数12log cos y x =的递增区间为2,22k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，递减区间为2,2().2k k k Z πππ⎛⎤-∈⎥⎝⎦(3) 2,2()2232,2()22k k k Z k k k Z ππππππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(4) 1()sin (sin cos )242f x x x x x π⎛⎫=-=++ ⎪⎝⎭ 3,()885,()88k k k Z k k k Z ππππππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【例3】求下列函数的最小正周期 ⑴ ⎪⎭⎫⎝⎛+=53tan πa x y 解：313T a aππ== ⑵ x x x x y 2cos 32cos 2sin 42sin 222++=解：()5242242y x T ππϕ=++⇒== ⑶x y sin = (思考：x y sin = 有周期吗？) 解：由图像知：x y sin =周期为π，x y sin =无周期 ⑷xx xx y 2sin 2cos 2sin 2cos -+=解：cos 2sin 21tan 2tan 2cos 2sin 21tan 242x x x y x T x x x ππ++⎛⎫===+⇒= ⎪--⎝⎭求函数周期的有以下方法：①直接从三角函数的周期的定义求得； ②由正弦，余弦函数的周期 ωπ2=T 由正切，余切函数的周期 ωπ=T ③由图像观察得到周期.④复合三角函数可化为“三个一”（一角一函数名一次）函数来求 【例4】判断下列函数的奇偶性： ⑴ x x x y 2cos cos sin 44+-=解：D R = 44sin cos cos2cos2cos20y x x x x x =-+=-+= ，既奇又偶⑵xx xx y cos sin 1cos sin 1-+++=解：1sin cos 0sin 4x x x π⎛⎫+-≠⇒-≠ ⎪⎝⎭32,244442,22x k x k x k x k πππππππππ-≠--≠-≠≠-定义域不关于原点对称，非奇非偶.【例5】求函数22sin cos 2sin 1y x x x =-+的最小正周期和最大、最小值及取得最大、最小值的对应变量x 的值．解：sin 2(1cos 2)1sin 2cos 2)4y x x x x x π=--+=+=+，故该函数的最小正周期22T ππ==当y2242x k πππ+=+，∴8x k ππ=+（k ∈Z ），当y取得最小值2242x k πππ+=-+，∴38x k ππ=-+（k ∈Z ）． 【例6】求下列函数的值域： （1）x y 3sin 5=；（2）cos cos sin22xy x x =-；（3）22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++； （4）2cos 3sin y x x =-；（5）sin cos sin cos y x x x x =++． 解：（1）[]sin31,1u x =∈-[]m i n m a x 125111,536215,,36u y u y x k u y x k k Z ππππ=-=-==-===+∈ 在，当时，当时，（2）|2,2D x x k k Z ππ⎧⎫=≠+∈⎨⎬⎩⎭， cos cos sin sin()2224cos sin 22x x x x y x x π==+=+-，因为,242x k πππ+≠+所以()sin()1,124x π+∈-，(y ∈（3）1cos 23(1cos 2)sin 22sin 2cos 222x x y x x x -+=++=++)24x π=++，∵1sin(2)14x π-≤+≤，∴所求函数的值域是[2+；（4）223131sin 3sin (sin )24y x x x =--=-++，∵1sin 1x -≤≤， ∴所求的函数的值域是[3,3]-；（5）设sin cos x x t +=，则21sin cos 2t x x -=，且)[4t x π=+∈，∴2211(1)122t y t t -=+=+-，故所求函数的值域是1[1,2+-． 【例7】已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛≤≤-+=204sin 2cos 21πx a x a x x f 的最大值为2，求实数a 的值. 解：()()211cos 2sin 12sin sin 2424a af x x a x x a x =+-=-+- ()221sin 2,24a x a a ⎛⎫=--+-+ ⎪⎝⎭设sin ,x u =即()221()2,24a g u u a a ⎛⎫=--+-+ ⎪⎝⎭[]0,1u ∈()()[]()()[]()()()()[]()max 2max max 1100,0,1,0,26224120,102,,22,3,022*********,0,1,1,22423a aa g u u g u a a a a u g u a a a a a a a a a g u u g u a φ<⇒<==-=⇒=-∈⇒≤≤==-+⇒=-=≤≤⇒∈>⇒>==-=⇒= 在当当在当所以6a =-或103a =【例8】设1sin sin 3x y +=，求2sin cos u x y =-的最大值和最小值． 解：∵1sin sin 3x y +=，∴1sin sin 3x y =-，又1sin 1x -≤≤，∴11sin 131sin 1y y ⎧-≤-≤⎪⎨⎪-≤≤⎩，∴2sin 13y -≤≤，而221111sin (1sin )(sin )3212u y y y =---=--，∴当1sin 2y =，1sin 6x =-时，min 1112u =-， 而当2sin 3y =-，sin 1x =时，max 49u =．【例9】对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ的任何值都有05cos 4sin 2<-+θθk 成立，求k 的取值范围. 解：[]0,cos 0,12πθθ⎡⎤∈⇒∈⎢⎥⎣⎦()22min (1)cos 004,5sin 4cos 112cos 0cos 0,cos 4cos 4cos cos 411cos ,(0,1],,4550,1]44k t t u t t u u k θθθθθθθθθθ=<-+≠><==+=∈=+=⇒<时，原式为：恒成立时，令又在(， 【例10】设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．解：（Ⅰ）由2s i n a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =+3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ>>-，2263B ππππ-=-=． 2336A ππ5π<+<，所以1sin 23A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭．由此有3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．说明：要求cos sin A C +的取值范围，联想可否把它化为sin()y A x ωϕ=+的 形式．由ABC ∆是锐角三角形得，2A B π+>，从而得出22A B ππ>>-是求cos sin A C +的关键．【备用例题】1． 已知函数]434[22cos 2sin 3)(ππ，，∈++--=x b a x a x a x f ，是否存在常数∈b a 、Q ，使得)(x f 的值域为]133[--，？若存在，求出b a 、的值；若不存在，请说明理由.解：函数即b a x a x f +++-=2)62sin(2)(π，∵]434[ππ，∈x ，∴]3532[62πππ，∈+x，∴1sin(2)3x π-≤+≤； 若存在满足题设的有理数b a 、，则10当0>a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-1322323b a a b a a ，这不可能；20当0<a 时，⎩⎨⎧-=++-=++-3221323b a a b a a ，此时求得11=-=b a ，；即这样的b a 、存在，且11=-=b a ，． 2．在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3， 2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 【巩固练习】1．已知函数x x x f sin 3cos )(-=，则这一函数的一个递减区间是（C ） A ．)6,65(ππ-B ．)67,6(ππ C ．)32,3(ππ-D ．)35,32(ππ 2．已知函数cos(sin )y x =，则下列结论正确的是（B ） A ．它是奇函数 B ．值域为[cos1,1]C ．它不是周期函数D ．定义域为[1,1]-3．若)0(π，∈x ，则函数|cos 1cos 1|x x y --+=的值域为（C ） A ．]20[，B ．[02]，C ．)20[，D ．)20[，4. 已知向量(1sin )a θ= ，，)b θ=，则a b - 的最大值为．【答案】sin a b θθ-= ＝2sin()23πθ-≤.5．函数2sin cos 3cos2y x x x =-的最小正周期T =π ．6．已知1>a ，则函数x a x y cos 2cos 2-=的最小值是a 21- ． 7．函数2cos 2cos xy x+=-（x ∈R ）的最大值是3 ．8．函数)20(cos 2π≤≤=x x y 的图象和直线2=y 围成一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积为π4 9．函数()sin()24f x x c π=+-（c 为常数），若()0f x =的根成公差为4的等差数列，则(4)f 的值是0 ．提示：∵周期8=T ，∴当且仅当2=c 时，此时(4)sin 0f π==．10．已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域是[0,]2π，值域是[5,1]-，求实数a 、b 的值．【答案】25a b =⎧⎨=-⎩或21a b =-⎧⎨=⎩．11. 已知ABC ∆中135A B +=，求22sin sin A B +的最大值. 解：∵2222sin sin sin sin (135)A B A A +=+-1cos 21cos(2702)22A A ---=+111cos 2sin 222A A =-+)14A π=-+由350,2,4444A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 24A π⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦所以221sin sin 2A B ⎛+∈ ⎝⎦，即22sin sin A B +的最大值为222+ (当67.5A B ==时)。
2013届高考文科数学一轮复习考案4.3 三角函数的图象
【解析】线段P1P2长即为cos x值,且其中x满足6sin x=5tan x,解得cos x= ,线段P1P2长为 .
5 6 5 6
【答案】
5 6
考纲解读 典例精析
命题预测 技巧归纳
知识盘点 真题探究
基础拾遗 例题备选
4.俗话说“一石激起千层浪”,小时候在水上打“水漂”的游戏一 定不会忘记吧.现在一个圆形波浪实验水池的中心已有两个振动源, 在t秒内,它们引发的水面波动可分别由函数y1=sin t和y2=sin(t+ )来
保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得
到y=Asin x的图象. ②周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.由y=sin x的图象上的点的纵坐 标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的| |倍,得到y
1 ω
=sin ωx的图象.
③相位变换或叫做左右平移.由y=sin x的图象上所有的点向左(当φ>
命题预测 技巧归纳
知识盘点 真题探究
基础拾遗 例题备选
题型2根据条件绘制图象
例2 (2011年玉溪)f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对
称轴是直线x= ,
8
(1)求φ; (2)画出函数y=f(x)在区间上[0,π]的图象. 【分析】根据题设给出的图象的一个特征——对称轴,可以确定待
2
【解析】f(x)的图象向右平移 个单位,得sin[(x- )+ ]=sin x,又g(x)=
2 2 2
cos(x- )=cos( -x)=sin x.
2013高考数学一轮同步训练(文科) 3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数
第三章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数强化训练1.α是第四象限的角,则下列函数值一定是负值的是( ) A.sin 2α B.cos 2αC.tan 2α D.cos 2α 答案:C解析:∵2k π322k απ+<<π+2πk ,∈Z ,那么k π342k απ+<<π+πk ,∈Z ,∴2α在第二或第四象限,tan 02α<一定成立.2.已知|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,则2θ的终边在( )A.第二或第四象限B.第一或第三象限C.第二或第四象限或x 轴上D.第一或第四象限或x 轴上 答案:C解析:|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,∴cos 0θ≥,tan 0θ≤,即θ的终边在第四象限或x 轴正半轴上.∴2θ在第二或第四象限或x 轴上.3.若sin θcos 0θ>,则θ在( ) A.第一象限B.第一或第三象限C.第一或第四象限D.第二或第四象限答案:B4.已知角α的终边落在直线y =-3x (x <0)上,则sin cos sin cos αααα||||+= . 答案:0解析:∵α角的终边落在直线y =-3x (x <0)上, ∴α为第二象限角,即sin 0α>,cos 0α<. ∴sin cos 110sin cos αααα||||+=-=.5.在单位圆中,一条弦AB 则该弦AB 所对的圆心角α是 r a d.答案:23π解析:已知r=1,sin 22ABr α==∵0α<<π,∴022απ<<.∴23απ=,即23απ=.6.已知扇形OAB 的圆心角α为120 ,半径长为6. (1)求AB 的长;(2)求弓形OAB 的面积.解:(1)∵120α= 23π= r a d,r =6,∴AB 的长为2643l π=⨯=π.(2)∵1122OAB S lr ==扇形π,又212OAB S r =sin 23π=∴12OAB OAB OAB S S S =-= 弓形扇形π-.见课后作业B题组一 任意角、象限角的概念1.下列各三角函数式中,值为正数的是( ) A.sin ()4π-B.cos250C.tan(-690 )D.tan 113π答案:C解析:4π-为第四象限角,sin ()04π-<;250 为第三象限角,cos250 <0; -690 为第一象限角,tan(-690 )>0.113π为第四象限角,tan 1103π<. 2.若点(a ,9)在函数3x y =的图象上,则tan 6a π的值为( )A.0C.1答案:D解析:由题意知:93a =,解得a =2,所以tan 6a π=2tan 6πtan 3π==故选D.3.cos 14()3π-的值为( )A.12B.12-C.D. 答案:B解析:cos 14()3π-=cos(-4π2)3π-=cos 2()3π-=cos 2132π=-.4.( )A.C. D.12答案:B解析=|sin120 |=.5.设α角属于第二象限,且|cos 2α|=-cos 2α,则2α角属于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:C解析:2k π22k απ+<<π+π(k ∈Z ), k π42k απ+<<π(2k π+∈Z ),当2(k n n =∈Z )时2α,在第一象限;当21(k n n =+∈Z )时2α,在第三象限;而|cos 2α|=-cos 2α⇒cos 02α≤,∴2α在第三象限.6.用三角函数线比较sin1与cos1的大小,结果是 . 答案:sin1>cos17.设θ分别是第二、三、四象限角,则点P (sin θ,cos )θ分别在第 、 、 象限.答案:四 三 二解析:当θ是第二象限角时,sin 0θ>,cos 0θ<; 当θ是第三象限角时,sin 0θ<,cos 0θ<; 当θ是第四象限角时,sin 0θ<,cos 0θ>. 8.已知函数sin cos tan sin cos tan y αααααα||||||=++,则它的值域是 . 答案:{-1,3}解析:若α在第一象限,sin 0α>,cos 0α>,tan 0α>,sin cos tan sin cos tan y αααααα||||||=++ sin cos tan 3sin cos tan αααααα=++=; 若α在第二象限,sin 0α>,cos 0α<,tan 0α<,sin cos tan sin cos tan y αααααα||||||=++ sin cos tan sin cos tan αααααα--=++ =-1.同理可得:α在第三或第四象限sin cos tan 1sin cos tan y αααααα||||||,=++=-. ∴sin cos tan sin cos tan y αααααα||||||=++的值域是{-1,3}. 题组二 任意角的三角函数9.已知sin 45αα=-,是第三象限角,则tan 2α等于( )A.2±B.12±C.-2D.12-答案:C解析:∵sin 45αα=-,是第三象限角,∴cos 352αα=-,为第二、四象限角.∴tan sin 4cos 3ααα==.∵tan 22tan 2431tan 2ααα==,-即4tan 262α+tan 402α-=,∴tan 22α=-或1(2舍去).10.已知点P (sin 34π,cos 3)4π落在角θ的终边上,且[02θ∈,π),则θ的值为( )A.4πB.34πC.54πD.74π答案:D解析:∵P (sin 34π,cos 3)4π,∴P ,即tan 1θ==-.∵[02θ∈,π),∴74θπ=.11.已知角α的终边经过P (4,-3). (1)求2sin α-cos α的值;(2)求角α的终边与单位圆的交点P 的坐标. 解:(1)∵5r ===,∴sin 3355y r α-===-,cos 45x r α==.∴2sin α-cos 342()255α=⨯--=-.(2)角α的终边与单位圆的交点P 的坐标为(cos α,sin )α,即34()55,-.12.(2011福建高考,文21)设函数()f θ=sin θ+cos θ,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边经过点P (x ,y ),且0θ≤≤π. (1)若点P的坐标为1(2,求()f θ的值; (2)若点P (x ,y )为平面区域Ω:111x y x y +≥,⎧⎪≤,⎨⎪≤⎩上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数()f θ的最小值和最大值.解:(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎨⎪=.⎩于是()f θ=sin θ+cos 122θ=+=. (2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC )如图所示,其中A (1,0),B (1,1),C (0,1).于是02θπ≤≤.又()f θ=sin θ+cos θ=2sin ()6θπ+,且2366θπππ≤+≤, 故当62θππ+=,即3θπ=时()f θ,取得最大值,且最大值等于2;当66θππ+=,即0θ=时()f θ,取得最小值,且最小值等于1.。
高考数学一轮总复习 第3章 第4节 三角函数的图像与性
ω
ω
拓展延伸
1. 三角函数的周期 （1）若T是函数y＝f（x）的周期，则必须是对于定义域内的每一个x值
都具有f（x＋T）＝f（x）（T≠0）. （2）周期和最小正周期的区别：周期函数不一定有最小正周期（如y＝
c（c为常数），任何非零实数都是它的周期，显然无最小正周期）， 而三角函数的周期一般指最小正周期.
选 B.
3. 已知函数 f（x）＝sinx－π2（x∈R），下面结论错误的是（
）
A. 函数 f（x）的最小正周期为 2π
B. 函数 f（x）在区间0，π2上是增函数
C. 函数 f（x）的图像关于直线 x＝0 对称 D. 函数 f（x）是奇函数
解析： ∵y＝sinx－π2＝－cos x，∴T＝2π，在0，π2上是增函数，图 像关于 y 轴对称，为偶函数.选 D
解析： （1）错误.正弦函数y＝sin x在 2kπ－π2，2kπ＋π2（k∈Z）内单调 递增，并不是在第一、四象限内递增.
（2）错误.如常数函数是周期函数但无最小正周期.
（3）正确.由cos（－x）＝cos x可知余弦函数在定义域内是偶函数. π
（4）错误.由y＝sin x的图像可知，当x＝2kπ＋ 2 ，k∈Z时 y＝sin x取 得最大值.
最新考纲
基础梳理
第
自主测评
Байду номын сангаас
四
节
典例研析
特色栏目
备课优选
基础梳理
1. “五点法”作图原理
在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图像的形状时，起关键作用的五个 点是（0，0）、 π2，1 、（π， 0 ）、32π，－1 、（2π，0）. 在确定
余弦函数 y＝cosx在[0，2π]上的图像的形状时，起关键作用的五个点是
高考数学一轮复习全套课时作业4-4三角函数的图像和性质
题组层级快练4.4三角函数的图像和性质一、单项选择题1．函数y ＝3sin2x ＋cos2x 的最小正周期为()A.π2B.2π3C ．πD ．2π2．函数y ＝tan(π4－x)的定义域是()A ．{xx ≠π4}B ．{xx ≠－π4}C ．{xx ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{xx ≠k π＋3π4，k ∈Z }3．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是()A ．y ＝sin|x|B ．y ＝cos2xC ．y ＝D ．y ＝x 34．(2018·课标全国Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan 2x 的最小正周期为()A.π4B.π2C ．πD ．2π5．(2021·南昌大学附中)设f(x)＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是()A ．f(0)＝1B ．f(0)＝0C ．f ′(0)＝1D ．f ′(0)＝06．函数f(x)＝sin 在区间0，π2上的最小值为()A ．－1B ．－22C.22D ．07．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为()A ．π，[0，π]B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]8．(2021·安徽皖江名校高三联考)已知函数f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)为偶函数，且在0，π4上是增函数，则φ的一个可能值为()A.π3B.2π3C.4π3D.5π39．(2020·辽宁大连一模)若方程2sin(2x ＋π6)＝m 在区间[0，π2]上有两个不相等实根，则m 的取值范围是()A ．(1，3)B ．[0，2]C ．[1，2)D ．[1，3]二、多项选择题10．(2017·课标全国Ⅲ，改编)设函数f(x)＝cos(x ＋π3)，则下列结论正确的是()A ．f(x)的一个周期为－2πB ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f(x)在(π2，π)上单调递减11．已知函数f(x)＝sinx ＋cosx ，g(x)＝22sinx ·cosx ，则下列结论中正确的是()A －π4，B ．两函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称C －π4，D ．两函数的最大值相同三、填空题与解答题12．函数y ＝cos ________．13．(2020·保定市一模)设函数f(x)＝2sinxsin(x ＋π3＋φ)是奇函数，其中φ∈(0，π)，则φ＝________．14．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx 的初相是________．15．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x(x ∈R )，则f(x)的最小正周期为________；当x ∈0，π4时，f(x)的最小值为________．16．已知函数f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)>22，求x 的取值集合．17．(2017·北京)已知函数f(x)＝3cos(2x －π3)－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．(2021·衡水中学调研)已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则ω的取值范围是()A ．[－32，0)B ．[－3，0)C ．(0，32]D ．(0，3]19．(2018·北京，理)设函数f(x)＝cos(ωx －π6)(ω>0)．若f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．4.4三角函数的图像和性质参考答案1．答案C 2．答案D解析y ＝tan(π4－x)＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π＋3π4，k ∈Z .故选D.3．答案C 4．答案C解析f(x)＝tanx 1＋tan 2x ＝sinx cosx 1＋sin 2x cos 2x＝sinxcosx cos 2x ＋sin 2x＝sinxcosx ＝12sin2x ，所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.5．答案D解析若f(x)＝sin(ωx ＋φ)是偶函数，则有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f(x)＝±cos ωx.而f ′(x)＝∓ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.6．答案B 7．答案C解析由f(x)＝12(1－cos2x)＋12sin2x ＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x－π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调递增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k ∈Z .由k ＝0得函数f(x)的一个单调递增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C.8．答案C解析根据题意，f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝＋φ若f(x)为偶函数，则有φ＋π6＝k π＋π2，即φ＝k π＋π3，k ∈Z ，所以可以排除B 、D ，对于A ，当φ＝π3时，f(x)＝2cos2x ，在0，π4上是减函数，不符合题意，对于C ，当φ＝4π3时，f(x)＝2cos2x ，在0，π4上是增函数，符合题意．故选C.9．答案C解析因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]．当2x ＋π6∈[π6，π2]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递增，此时，m ∈[1，2]；当2x ＋π6∈(π2，7π6]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递减，此时，m ∈[－1，2)，因此要有两个不相等实根，即m 与函数f(x)＝2sin 在π6，7π6上有两个交点，结合图象可知，m 的取值范围是[1，2)．故选C.10．答案ABC解析由三角函数的周期公式可得T ＝2π1＝2π，所以周期是－2π也正确，所以A 正确；由于三角函数在对称轴上取得最值，所以把对称轴x ＝8π3代入函数，得f(x)＝cos(8π3＋π3)＝cos3π＝－1，所以B 正确；f(x ＋π)＝cos(x ＋π＋π3)＝－cos(x ＋π3)＝0，解得其中一个解是x ＝π6，所以C 正确；函数f(x)在区间(π2，π)有增有减，D 不正确．11．答案CD解析f(x)＝sinx ＋cosx ＝2sing(x)＝2sin2x ，因为＝2sin －π4＋＝2sin0＝0，所以f(x)－π4，因为＝2sin 2＝2sin ＝－2≠0，所以g(x)－π4，A 错误．由于f(x)－π4，g(x)关于x ＝－π4成轴对称，故B 错误．若－π4<x<π4，则0<x ＋π4<π2，此时函数f(x)为增函数，若－π4<x<π4，则－π2<2x<π2，此时函数g(x)为增函数，－π4，C 正确．两函数的最大值相同，都为2，故D 正确．12．答案k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )13．答案π6解析因为f(x)＝2sinxsin ＋π3＋y ＝sinx 也是奇函数，所以函数y ＝sin ＋π3＋函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又φ∈(0，π)，所以φ＝π6.14．答案2π3解析f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)．15．答案π216．答案(1)π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z|－π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈解析(1)f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32＝32(1＋cos2ωx)＋12sin2ωx －32＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＝因为最小正周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为[π12＋k π，7π12＋k π]，k ∈Z .(2)f(x)>22，即>22，由正弦函数的性质得π4＋2k π<2x ＋π3<3π4＋2k π，k ∈Z ，解得－π24＋kπ<x<5π24＋k π，k ∈Z ，则x －π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈17．答案(1)π(2)证明见解析解析(1)f(x)＝32cos2x ＋32sin2x －sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)．所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin(2x ＋π3)≥sin(－π6)＝－12.所以当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．答案C解析方法一：由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32.故选C.方法二(特值法)：取ω＝－1，则y ＝sin(－x)＝－sinx ，不合题意，故A 、B 不对．取ω＝2，则y ＝sin2x ，不合题意，故D 不对，所以选C.19．答案23解析由于对任意的实数都有f(x)≤f(π4)成立，故当x ＝π4时，函数f(x)有最大值，故f(π4)＝1，即πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，∴ωmin ＝23.。
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第3节 三角函数的图像与性质课时分层训练 文 北师大版
课时分层训练(十八) 三角函数的图像与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．RC [由cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .] 2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝( )【导学号：66482152】A ．1B ．12 C ．－1D ．－12A [由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.]3．(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos xB [A 项，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；B 项，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．]4．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图像的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )【导学号：66482153】A ．1B ．2C ．4D ．8B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.]5．(2017·重庆二次适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图像相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6 C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，2π3D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6A [依题意得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图像相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x－π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6递增．因此结合各选项知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的一个递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，故选A.]二、填空题6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) [由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x,2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．]7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．2或－2 [∵f ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.] 8．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z [由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )，∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z .]三、解答题9．(2016·北京高考)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的递增区间．[解] (1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω. 4分 依题意，得πω＝π，解得ω＝1. 6分(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ). 8分由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ). 12分10．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x ·cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，3分所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 6分(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 7分 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图像知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；9分当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·郑州二次质量预测)将函数f (x )＝－cos 2x 的图像向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )【导学号：66482154】A ．最大值为1，图像关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上递增，为偶函数D ．周期为π，图像关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称B [由题意得函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2×π4＝－sin 2x ，易知其为奇函数，由－π2＋2k π＜2x ＜π2＋2k π，k ∈Z 得－π4＋k π＜x ＜π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上递减，故选B.]2．设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [∵f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6∈[－2,2]．又∵|f (x )|≤a 恒成立，∴a ≥|f (x )|max ，∴a ≥2.]3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的递增区间．[解] ∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ). 2分(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对任意x ∈R 都成立，∴cos φ＝0.∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2. 5分(2)f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32. 6分又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 9分令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 12分。
高三数学第一轮复习课时作业(18)三角函数的图像与性质
课时作业(十八) 第18讲 三角函数的图像与性质时间：45分钟 分值：100分基础热身 1．函数y ＝cos x －12的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤－π3，π3 B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈ZC.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈ZD ．R2．2011·枣庄模拟 下列函数中，以π为最小正周期的偶函数，且在⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数的是( ) A ．y ＝sin2x ＋cos2x B ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos 2x D ．y ＝tan x3．2010·江西卷 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．－1,1 B.⎣⎡⎦⎤－54，－1C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎦⎤－1，544．2010·上海卷 函数y ＝12sin2x 的最小正周期T ＝________.能力提升5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上( )A ．单调递增且有最大值B ．单调递增但无最大值C ．单调递减且有最大值D ．单调递减但无最大值6．设函数f (x )＝x sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，若f (x 1)>f (x 2)，则下列不等式必定成立的是( )A ．x 1＋x 2>0B ．x 21>x 22 C ．x 1>x 2 D ．x 1<x 27．函数y ＝(sin x －2)(cos x －2)的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤92－22，92＋22 B.⎣⎡⎦⎤32，92＋22C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ D.[]－2，2 8．函数f (x )＝sin πx －14x 的零点的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数y ＝sin x 的定义域为a ，b ，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3C ．π D.4π310．函数f (x )＝(sin x －cos x )2的最小正周期为________． 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x (x ≤0)，2cos x (0<x <π)，若ff (x 0)＝2，则x 0＝________.12．设函数y ＝cos 12πx 的图像位于y 轴右侧所有的对称中心从左到右依次为A 1，A 2，…，A n ，….则A 50的坐标是________．13．给出下列命题：①正切函数的图像的对称中心是唯一的；②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的最小正周期分别为π，π2；③若x 1>x 2，则sin x 1>sin x 2；④若f (x )是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f ⎝⎛⎭⎫－T2＝0.其中正确命题的序号是________．14．(10分)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值和最小值．15．(13分)2011·朝阳二模 已知函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期及值域； (2)求f (x )的单调递增区间．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．课时作业(十八)【基础热身】1．C 解析 由题意得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，故选C.2．B 解析 由函数为偶函数，排除A 、D ；由在⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数，排除C ，故选B. 3．C 解析 y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1，∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－54，1，故选C.4．π 解析 由周期公式得T ＝2π|ω|＝2π2＝π.【能力提升】5．A 解析 由－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，则函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在区间⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上是增函数，又⎣⎡⎦⎤0，π2⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，且有最大值22，故选A.6．B 解析 函数f (x )为偶函数，易知f (x )＝f (|x |)，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (|x |)为增函数．又由f (x 1)>f (x 2)，得f (|x 1|)>f (|x 2|)，故|x 1|>|x 2|，于是x 21>x 22.7．A 解析 函数可化为y ＝sin x cos x －2(sin x ＋cos x )＋4，令sin x ＋cos x ＝t (|t |≤2)，则sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝t 2－12－2t ＋4＝12(t －2)2＋32.∵t ＝2∉－2，2，且函数在－2，2上为减函数，∴当t ＝2，即x ＝2k π＋π4(k ∈Z )时，y min ＝92－22；当t ＝－2，即x ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，y max ＝92＋2 2.8．C 解析 如图所示，画出函数y ＝sin πx 和y ＝14x 的图像，在0，＋∞)上，两个函数图像有4个交点，∴在(－∞，＋∞)上，方程sin πx ＝14x 的解有7个，即函数f (x )＝sin πx －14x 的零点的个数是7，故选C.9．A 解析 画出函数y ＝sin x 的简图，要使函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则函数定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋5π6，2k π＋13π6，k ∈Z 或其子集，又定义域为a ，b ，则a ，b 在同一个k 所对应的区间内，且a ，b必须含2k π＋3π2，还有2k π＋5π6、2k π＋13π6之一，知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，故选A.10．π 解析 f (x )＝(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1－sin2x ， ∴函数f (x )的最小正周期为π.11.2π3解析 如下图所示：⎝⎛⎭⎫12x ＝2⇒x ＝－1， ∴f (x 0)＝2cos x 0＝－1，∴x 0＝2π3.12．(99,0) 解析 由12πx ＝π2＋k π，k ≥0且k ∈Z ，得图像的对称中心横坐标为x ＝2k ＋1，k ≥0且k ∈N ，令k ＝49即可得A 50的坐标是(99,0)．13．④ 解析 ①正切函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )；②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的最小正周期都是π；③正弦函数在定义域R 上不是单调函数；④f ⎝⎛⎭⎫－T 2＝f ⎝⎛⎭⎫－T 2＋T ＝f ⎝⎛⎭⎫T 2＝－f ⎝⎛⎭⎫－T 2，故f ⎝⎛⎭⎫－T2＝0. 14．解答 (1)因为f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由－π6≤x ≤π2，得－π3≤2x ≤π，所以－32≤sin2x ≤1， 即f (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32.15．解答 (1)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期是π， 函数f (x )的值域是[]－2，2.(2)依题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )． 【难点突破】16．解答 由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )， 即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立． 又ω>0，∴cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以φ＝π2，∴f (x )＝cos ωx ，其对称中心为(π2＋k πω，0)(k ∈Z )．∵f (x )的图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，∴令π2＋k πω＝3π4， ∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，….当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上不是单调函数．综上得ω＝23或ω＝2.。
2013高考数学一轮同步训练(文科) 3.6简单的三角恒等变换
第六节 简单的三角恒等变换强化训练1.设f (tan x )=tan2x ,则f (2)等于( ) A.45B.-43C.-23D.4答案: B解析:∵f (tan x )=tan2x =22tan 1tan x x-,∴f (2)=22212⨯-=-43.2.若函数f (x )=sin 2x -12(x ∈R ),则f (x )是( )A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为π的偶函数 答案: D 解析:原式=1cos22x--12=-12cos2x ,T =ω2π=22π=π.3.已知sin α=53,α∈(2π,π),tan(π-β)=12,则tan(α-2β)= .答案:724解析:∵sin α=53,α∈(2π,π), ∴cos α=-45,则tan α=-34.又tan(π-β)= 12,可得tan β=-12,tan2β=22tan 1tan ββ-=212()211()2⨯---=-43. tan(α-2β)= tan tan21tan tan2αβαβ-+⋅=34()43341()()43---+-⨯-=724.4.函数y =sin x -12cos x (x ∈R )的最大值为 .答案解析:y =sin x -12cos xxxx -φ).其中tan φ=12,即y.5.求值:2sin20cos10tan20sin101cos80sin40sin80︒+︒+︒⋅︒︒+︒︒.解:原式的分子 =2sin20°+cos10cos20sin20sin10cos20︒︒+︒︒︒=2sin20°+cos10cos20︒︒=sin40cos10cos20︒+︒︒=sin40sin80cos20︒+︒︒=2sin60cos20cos20︒︒︒原式的分母=1sin40︒+cos80sin80︒︒=2cos40cos80sin80︒+︒︒=()cos40cos40cos80sin80︒+︒+︒︒=cos402cos60cos20sin80︒+︒︒︒=cos40cos20sin80︒+︒︒=2cos30cos10cos10︒︒︒,所以,原式=1.见课后作业 A题组一 简单的三角恒等变换1.若sin α<0且tan α>0,则α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 答案: C解析:sin α<0,则α是第三、四象限角； tan α>0,则α是第一、三象限角； ∴α是第三象限角. 2.已知x ∈(-2π,0),cos x =45,则tan2x 等于( )A.724B.-724C.247D.-247答案:D解析:x ∈(-2π,0),cos x =45,sin x =-53,tan x =-34,tan2x =22tan 1tan x x-=-247.3.已知cos2θ,则sin4θ+cos4θ的值为( ) A.1318B.1118C.79D.-1答案: B解析:sin4θ+cos4θ=(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=1-12sin 22θ=1-12(1-cos 22θ)=1118.4.函数y =|sin x +cos x |的最小正周期是( ) A.4π B.2π C.π D.2π答案: C解析:原式sin(x +4π|sin(x +4π)|,T =π.5.函数y =221tan 21tan 2x x-+的最小正周期是( )A.4π B.2π C.π D.2π答案: B 解析:y =221tan 21tan 2x x-+=cos4x ,T =42π=2π.6.若cos θ=45,sin θ<0,则tan 2θ等于( )A.14B.3C. -13D.13答案: C 解析:∵cos θ=45,sin θ<0,∴sin θ=-53,tan θ=sin cos θθ=-34且θ∈(2k π+23π,2k π+2π),即2θ∈(k π+43π,k π+π).tan θ=22tan21tan2θθ-=-34,即tan 2θ=-13.7.若cos2sin()4ααπ-=,则cos α+sin α的值为( )B.-12C.12答案: C 解析:∵cos2sin()4ααπ-==即cos α+sin α=12.8.设α∈(4π,43π),β∈(0,4π),cos(α-4π)=53,sin(43π+β)=513,则sin(α+β)= .答案:5665解析:α∈(4π,43π),α-4π∈(0,2π),又cos(α-4π)= 53, ∴sin(α-4π)=45,β∈(0, 4π).∴43π+β∈(43π,π),sin(43π+β)=513.∴cos(43π+β)=-1213.∴sin(α+β)=sin ［(α-4π)+(43π+β)-2π］=-cos ［(α-4π)+(43π+β)］=-cos(α-4π)²cos(43π+β)+sin(α-4π)²sin(43π+β)=-53³(-1213)+45³513=5665，即sin(α+β)=5665.9. (2011安徽高考，文15改编)设f (x )=a sin2x +b cos2x ,其中a ,b ∈R ,ab ≠0，若f (x )≤|f (6π)|对一切x ∈R 恒成立,则：①f (1211π)=0， ②|f (107π)|<|f (5π)|，③f (x )既不是奇函数也不是偶函数， ④f (x )的单调递增区间是［kx +6π,k π+32π］(k ∈Z )，以上结论正确的是(写出所有正确结论的编号).答案:①③解析:f (x )=a sin2x +b cos2x sin(2x +φ,又|f (6π)|=|a sin3π+b cos3πa +12b |≥0,由题意f (x )≤|f (6π)|对一切x ∈R 恒成+12b |对一切x ∈R 恒成立，即a 2+b 2≤34a 2+14b 2ab 恒成立，a 2+3b 2恒成立.而a 2+3b 2ab ,所以a 2+3b 2,此时a b .所以f (x b sin2x +b cos2x =2b sin(2x +6π).①f (1211π)=2b sin(611π+6π)=0,故①正确; ②|f (107π)|=|2b sin(57π+6π)|=|2b sin(3047π)|=|2b |sin(3013π),|f (5π)|=|2b sin(52π+6π)|=|2b sin(3017π)|=|2b |sin(3013π),所以|f (107π)|=|f (5π)|,②错误；③f (-x )≠±f (x ),所以③正确；④由题知f (x sin2x +b cos2x =2b sin(2x +6π),当b >0时，由2k π-2π≤2x +6π≤2k π+2π,知k π-3π≤x ≤k π+6π，所以④不正确.10.化简f (x )=cos(613k +π+2x )+cos(613k -π-2x 3π+2x )(x ∈R ,k ∈Z ),并求函数f (x )的值域和最小正周期.解:f (x )=cos(2k π+3π+2x )+cos(2k π-3π-2x sin(3π+2x )=2cos(3π+2x 3π+2x )=4cos2x .函数f (x )的值域为［-4,4］; 函数f (x )的周期T =ω2π=π.11.已知函数f (x )=sin(x +6π)+sin(x -6π)+a cos x +b (a ,b ∈R ,且均为常数).(1)求函数f (x )的最小正周期. (2)若f (x )在区间［-3π,0］上单调递增,且恰好能够取到f (x )的最小值2,试求a ,b 的值.解:(1)f (x )=sin(x +6π)+sin(x -6π)+a cos x +b=2sin x cos6π+a cos x +bsin x +a cos x +bx +θ)+b .(其中θ由下面的两式所确定:sin θθ)所以函数f (x )的最小正周期为2π.(2)由(1)可知f (x )的最小值为b ,所以b =2.另外,由f (x )在区间［-3π,0］上单调递增,可知f (x )在区间［-3π,0］上的最小值为f (-3π).所以f (-3πb =2.解之得,a =-1,b =4.。
高三第一轮复习——三角函数基础知识与图像与性质巩固篇(试题及答案)
高三第一轮复习——三角函数基础知识巩固篇（试题及答案）题型——诱导求值与变形 1. （2013江西文3）3sincos 23αα==若，则（ ）. A. 23- B. 13- C. 13 D.232．（2013广东文4）已知5π1sin 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么cos α=（ ）.A ．25-B ．-15C ．15D ． 253.（2013四川文14）设πsin2sin π2ααα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，，，则tan2α的值是 .4. （2013江苏15）已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，0πβα<<<. （1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥； （2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值. 5.（2016四川文11）sin 750= .1.解析22321cos 12sin 1212333αα⎛⎫=-=-⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选C.2.分析 利用诱导公式化简已知条件即可.解析 5πs i n c o s 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故1cos 5α=，故选C. 3.分析 由sin 22sin cos ααα=及sin 2sin αα=-，,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭解出α，进而求得tan 2α 的值.解析 因为sin 2sin αα=-，所以2sin cos sin ααα=-.因为,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，sin 0≠，所以1cos 2α=-.又因为,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以23α=π，所以4tan 2tan tan 3απ⎛⎫=π=π+ ⎪3⎝⎭tan 3π==3.4.分析 （1）只需证明0⋅=a b 即可；（2）由已知条件到cos cos ,sin sin αβαβ++的值，然后再利用诱导公式得到,αβ间的关系即可求得,αβ的值.解析 （1）证明：由题意得22-=a b ，即()2222 2.-=-⋅+=a b a a b b 又因为22221====a b a b ，所以222-⋅=a b ，即0⋅=a b ，故⊥a b .（2）解：因为()cos cos ,sin sin αβαβ+=++a b ()0,1=，所以cos cos 0,sin sin 1,αβαβ+=⎧⎨+=⎩由此得，()cos cos αβ=π-，由0βπ<<，得0βππ<-<.又0απ<<，故αβ=π-，代入sin sin 1αβ+=，得1s i n s i n 2αβ==，而αβ>，所以5,66αβππ==. 5. 解析 由三角函数诱导公式，得.12()1sin 750sin 72030sin302=+==o o o o题型——同角求值1.（2014新课标Ⅰ文2）若tan 0α>，则（ ）A. sin 0α>B. cos 0α>C. sin 20α>D. cos20α>2.（2015福建文6）若5s i n 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ）. A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-3.（2016全国丙文6）若1tan 3θ=，则cos2θ=（ ）.A.45-B.15-C.15D.454.（2016全国乙文14）已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πt a n 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.2.解析 由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则212cos 1sin 13αα=-=， 所以sin 5tan cos 12ααα==-.故选D.3. D 解析 2222cos sin cos sin θθθθ-=+221t a n 1t a n θθ-=+.故选D. 4. 解析 由题意.因为，所以， 从而，因此.评注 此处的角还可由缩小至，但没必要.另外，还可利用来进行处理，或者直接进行推演，即由题意，故πtan4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭34，所以.22cos 2cos sin θθθ=-=2211()43151()3-=+43-sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z 722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z 4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3cos 45θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭722244k k θ3ππππ+<-<π+()k ∈Z ππtan tan 144θθ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4cos 45θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan 4θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭143tan 4θ-=-π⎛⎫+ ⎪⎝⎭高三第一轮复习——三角函数图像与性质提升篇（试题及答案）题型——已知解析式确定函数性质 1.（2013浙江文6）函数()3sin cos cos22f x x x x =⋅+的最小正周期和振幅分别是 A.π1， B.π2， C. 2π1， D. 2π2，2.（2013江苏1）函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为 .9.（2015全国1文8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）.A. ()13π,π44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ZB. ()132π,2π44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ZC. ()13,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ZD. ()132,244k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z4.（2015湖南文）已知0ω>，在函数2sin y x ω=与2cos y x ω=的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω= .5.（2015浙江文）函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ． 6.（2015天津文）已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间yx5414O 1(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为 ．7.（2015安徽文）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.8.（2015北京文）已知函数()2sin 23sin 2x f x x =- （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.9.（2016浙江文3）函数2sin y x =的图像是（ ）.A. B. C. D.10.（2016上海文8）方程3sin 1cos2x x =+在[]0,2π区间上的解为 . 11.（2016江苏9）定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像的交点个数是 .12.（2016山东文17）设2()23sin(π)sin (sin cos )f x x x x x =---. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图像，求π6g ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 13.（2017全国2文3）函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）.A.4πB.2πC. πD.π21π2-π2Oy x1xy π2-π2OO -π2π2y x11xy π2-π2O14.（2017山东文7）函数3sin 2cos 2y x x =+的最小正周期为（ ）.A.π2B.2π3C.πD. 2π 15.（2017浙江18）已知函数()()22sin cos 23sin cos f x x x x x x =--∈R .（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.1.分析 把函数的解析式化简为只含一个三角函数名的三角函数式，再求周期和振幅.解析 ()13sin 2cos 2sin 2223f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为22T π==π，振幅1A =.故选A.2.分析 利用函数()sin y A x ωϕ=+的周期公式求解.解析 函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期T 2π==π2.8.解析 由2πT ω=，可知选项A ，B ，C 的周期都是π，选项D 的周期为2π.通过化简可得，选项A ：cos 2y x =，为偶函数； 选项B 为：sin 2y x =-，为奇函数；选项C 为：π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，为非奇非偶函数.故选B. 得9.解析 由图可知511244T =-=，2T =，2ππTω==. 如图画出图中的一条对称轴0x x =，所示.由图可知034x =，则3πcos 14ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，可得3π2ππ4k ϕ+=+， 则()π2π4k k ϕ=+∈Z ，得()πcos π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.x 01O 1454xy由π2ππ2ππ4k x k ++剟， 得132244k xk -+剟.故选D. 4.解析 令2sin 2cos x x ωω=，解得2ππ4k x ωω=+和2π5π4k x ωω=+，k ∈Z . 2ππ2sin 24k ωωω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2π5π2sin 24k ωωω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以交点的坐标为2ππ,24k ωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2π5π,24k ωω⎛⎫+- ⎪⎝⎭.k ∈Z .距离最短的两个交点一定在同一个周期内，所以()()2222π5π2ππ222344k k ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-++--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得π2ω=. 5.解析 ()1cos 212π3sin 21sin 222242x f x x x -⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭， 所以2ππ2T ==，()min 322f x -=. 6.解析 由()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且()f x 的图像关于直线x ω=对称， 可得π2ωω…，即2π2ω…，且()222πsin cos 2sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭，所以2πππ.422ωω+=⇒= 7.解析 （1）因为()()2sin cos cos21sin 2cos2f x x x x x x =++=++=π2sin 214x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2π2ππ2T ω===.（2）因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2sin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 所以()max 12f x =+，()min 0f x =. 8. 解析 （1）()21cos sin 23sin sin 2322x xf x x x -=-=-⋅=πsin 3cos 32sin 33x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，函数()f x 的最小正周期2πT =.（2）当（1）知()π2sin 33f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当2π03x剟，πππ33x +剟，π0sin 13x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭剟，()323f x --剟，函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为3-.9. D 解析 易知为偶函数，所以它的图像关于轴对称，排除A ，C 选项； 当，即时，，排除B 选项.故选D.10.，解析 ，即， 所以，故.由于，故，. 11.解析 解法一（图像法）：画出函数图像草图，如图所示.共个交点.解法二（解方程）：即解方程，即.所以或，由. 当时，；当时，.共个根，即共个交点. 12.解析 （1）由，由，得， 2sin y x =y 2π2x =π2x =±max 1y =π65π623sin 22sin x x =-22sin 3sin 20x x +-=()()2sin 1sin 20x x -+=1sin 2x =[]0,2πx ∈π6x =5π677xy O π2π3π1-1sin2cos x x =2sin cos cos x x x =cos 0x =1sin 2x =[]0,3πx ∈cos 0x =,,222x π3π5π=1sin 2x =,,,6666x π5π13π17π=77()()()223sin πsin sin cos f x x x x x =---=()223sin 12sin cos x x x --()31cos2sin 21x x =-+-=sin 23cos 231x x -+-π2sin 2313x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()πππ2π22π232k x k k --+∈Z 剟()π5πππ1212k x k k -+∈Z 剟所以的单调递增区间是，（或写为）.（2）由（1）知，把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像，再把得到的图像向左平移个单位，得到的图像，即所以13.解析 由题意，22T π==π.故选C. 14.解析 由题意，得2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其最小正周期22T π==π.故选C.15.解析 （1）由23sin 32π=，21cos 32π=-，得222313123232222f ⎛⎫π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）由22cos2cos sin x x x =-，sin22sin cos x x x =，得()cos 23sin 22sin 26f x x x x π⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π.由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟.所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.()f x ()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ()π5ππ,π1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ()f x π2sin 2313x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()y f x =2y =π2sin 313x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭π3y 2sin 31x =+-()2sin 3 1.g x x =+-ππ2sin 31 3.66g ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭题型—— 函数的值域(最值)1. (2013天津文6）函数π()sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是( ).A. 1-B. 22-C.22D. 02.（2013江西文13）设sin 3cos3f x x x =+（），若对任意实数x 都有||f x a （）…，则实数a的取值范围是 .3. (2013陕西文14）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x 为m .4. （2013江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min .在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，1312cos =A ，53cos =C . （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？5.（2013山东文18）设函数23()3sin sin cos (0)2f x x x x ωωωω=-->，且y =()f xC BA40mx40m图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4． （1） 求ω的值；（2）求()f x 在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．6. (2013安徽文16）设函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值x 的集合；（2）不画图，说明函数()y f x =的图象可由sin y x =的图象经过怎样变化得到.7. (2013陕西文16）已知向量()1cos 3sin cos22x x x x ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭R ，，，，a b ，设函数()f x =⋅a b .（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.8. (2013重庆文18）在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且2223a b c bc =++.（1）求A ；（2）设3a S =，为ABC △的面积，求3cos cos S B C +的最大值，并指出此时B 的值.9.（2013辽宁文17） 设向量()()π3sin sin cos sin 02a x x b x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦，，，，，.（1）若a b =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大值.12.（2014北京文16）（本小题满分13分）函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示.（1）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值；（2）求()f x 在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.14.（2016全国甲文11）函数()πcos26cos 2f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为（ ）.A.4B.5C.6D.7 15.（2016江苏14）在锐角三角形ABC 中，若s i n 2s i ns i n A B C =，则t a n t a n t a nA B C 的最小值是 . 16.（2017全国2文13）函数()cos sin =2+f x x x 的最大值为 .17.（2017全国3文6）函数()1ππsin cos 536f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ）.A ．65B ．1C ．35D ．1518.（2017江苏16）已知向量()cos ,sin x x =a ，()3,3=-b ，[]0,πx ∈． （1）若∥a b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．Oy xy 0x 01.分析：确定出π24x -的范围，根据正弦函数的单调性求出最小值. 解析 因为π0,,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以ππ3π2,444x --≤≤所以当ππ244x -=-时，()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有最小值2.2-故选B. 2.解析 由于()π3sin 3cos32sin 36f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()π2sin 326f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≤，要使()f x a ≤恒成立，则2a ≥.答案[)2,+∞. 3.解析 设矩形花园的宽为y m ，则404040x y-=，即40y x =-,矩形花园的面积()()22404020400S x x x x x =-=-+=--+，当20x =m 时，面积最大． 4.分析 （1）由cos A ，cos C 的值可求得sin B 的值，然后在ABC △中利用正弦定理可得AB 的长度；（2）利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离.（3）利用正弦定理求出BC 的长，再根据题 意列不等式求解.解析 （1）在ABC △中，因为12cos 13A =，3cos 5C =，所以54sin ,sin 135A C ==.从而()()sin sin sinB AC A C =π-+=+⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin A C A C=+531246313513565=⨯+⨯=. 由正弦定理sin sin AB ACC B=，得()12604sin 1040m 63sin 565AC AB C B =⋅=⨯=. 所以索道AB 的长为1040m .（2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了()10050m t +，乙距离A 处130m t ，所以由余弦定理得()()22210050130d t t =++()213010050t t -⨯⨯+⨯()212200377050.13t t =-+ 由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当()35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短.（3）由正弦定理sin sin BC ACA B=，得()12605sin 500m 63sin 1365AC BC A B =⋅=⨯=. 乙从B 出发时，甲已走了()()50281550m ⨯++=，还需走710m 才能到达C . 设乙步行的速度为m/min v ，由题意得5007103350v --≤≤，解得1250625434v ≤≤， 所以为使两游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在()1250625,m /min 4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦单位：范围内. 5.分析 （1）先利用倍角公式，两角和、差的三角公式把函数()f x 的解析式进行化简整理，再利用对称中心到最近的对称轴的距离为4π求出ω；（2）先根据x 的取值范围求出23x π-的取值范围，然后利用三角函数的图象，并结合其单调性求出()f x 的最值. 解析 （1）()233sin sin cos 2f x x x x ωωω=-- 31cos 213sin 2222x x ωω-=-⋅-31cos 2sin 222x x ωω=-sin 23x ωπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π，又0ω>，所以24ωππ=⨯24.因此1ω=.（2）由（1）知()sin 2f x x π⎛⎫=-- ⎪3⎝⎭.当x 3ππ2≤≤时，2x 5ππ8π-332≤≤.所以sin 2x 3π⎛⎫--1 ⎪23⎝⎭≤≤.因此()f x 3-12≤≤. 故()f x 在区间3,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为32，1-.6. 分析 （1）先逆用两角和正弦公式把()f x 化成关于一个角的三角函数，再利用正弦函数性质计算；（2）利用三角函数图象的变换规律求解.解析 （1）因为()13sin sin cos 22f x x x x =++33sin cos 3sin 226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以当()26x k k ππ+=π-∈2Z ，即()223x k k π=π-∈Z 时，()f x 取得最小值3-. 此时x 的取值集合为22,3x x k k ⎧π⎫=π-∈⎨⎬⎩⎭Z .（2）先将sin y x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得3sin y x =的图象；再将3sin y x =的图象上所有的点向左平移π6个单位，得()y f x =的图象.7.分析 利用向量数量积运算及辅助角公式将()f x 化为一个角的一种三角函数，利用公式确定周期；利用正弦函数的性质确定最值． 解析 ()()1c o s ,3s i n ,c o s 22fx x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭1313cos sin cos 2sin 2cos 2222x x x x x =-=-πππcos sin 2πsin cos 2πsin 2666x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（1）()f x 的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数()f x 的最小正周期为π.（2）因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x --≤≤.由正弦函数的性质，得 当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值1；当ππ266x -=-，即0x =时，()102f =-；当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小值为12-. 因此，()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是12-．8.分析 利用正、余弦定理及差角三角函数直接运算解答.解析 （1）由余弦定理得22233cos 222b c a bc A bc bc +--===-.又因为0πA <<，所以5π6A =. （2）由（1）得1sin 2A =.又由正弦定理及3a =得 11sin sin sin 3sin sin 22sin a B S ab C a C B C A==⋅⋅=，因此，3cos cos S B C +()3sin sin cos cos B C B C =+()3cos B C =-. 所以，当B C =，即ππ212A B -==时，2cos cos S B C +取最大值3. 9.分析 分别表示两向量的模，利用相等求解x 的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解. 解析 （1）由()22223sin sin 4sin xx x =+=a ，222cos sin 1x x =+=b ，及=a b ，得24sin 1x =.又π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而1sin 2x =，所以π6x =.（2）()23sin cos sin f x x x x =⋅=⋅+a b 311sin 2cos 2222x x =-+1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当ππ0,32x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭取最大值1． 所以()f x 的最大值为32． 12. 解析 （I ）()f x 的最小正周期为π.007π36x y =⋅=. （II ）因为ππ,212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以π5π2,066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦.于是，当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-. 评注 本题主要考查函数()sin y A x ωϕ=+的图像和性质，熟练掌握三角函数的图像是解题的关键，属基础题.14. B 解析 ，所以当时，取得最大值.故选B. 15.分析 求解多元最值问题，首要的关键是考虑如何消参.解析 解法一：由 （*） 由三角形为锐角三角形，则， 同时除以得. 又，所以.故，不妨设，故，所以当，即时，.()()cos 26sin f x x x =+22sin 6sin 1x x =-++23112sin 22x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭sin 1x =()f x 2615-++=8()sin sin A B C =+sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C =+=ABC cos 0,cos 0B C >>cos cos B C tan tan 2tan tan B C B C +=()tan tan tan tan 01tan tan B CA B C B C+=-+=->-tan tan 1B C >tan tan tan A B C tan tan 2tan tan 1tan tan B C B C B C +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭tan tan t B C =()1t >2222tan tan tan 111t A B C t t t==--+112t =2t =()min tan tan tan 8A B C =此时，，解得（或互换）， 此时均为锐角，满足条件.解法二：由解法一部分可知， 在锐角三角形中，， 而，即，从而（这个公式课本中作为例题出现要求证明）.故， 整理得，当且仅当，， 解得（或互换）， 此时均为锐角，满足条件.评注 从表面此题看似等价，但构造等腰三角形求解出的最值却不正确，因此等价的思想也需慎用.如果注意到此题的结构，我们优先考虑切化弦，且优先考虑搭配， 则有：解法三：（因为）.最后检验一下是否存在即可.16.解析 因为()22()21sin()tan 2f x x ϕϕ=++=，所以()max 5f x =.tan tan 4B C +=tan tan 2B C =tan 22,tan 22,tan 4B C A =-=+=tan ,tan B C ,,A B C tan tan 2tan tan B C B C +=tan ,tan ,tan 0A B C >()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--()tan 1tan tan tan tan A B C B C -+=+tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++tan tan tan tan 2tan tan A B C A B C =+22tan tan tan A B C …tan tan tan 8A B C …tan tan 4B C +=tan 2tan tan 4A B C ==tan 22,tan 22,tan 4B C A =-=+=tan ,tan B C ,,A B C ,B C sin sin B C sin sin sin tan tan tan =cos cos cos A B CA B C A B C=()22sin sin 1sin sin cos cos cos cos B C B C B C B C⨯-…()222sin sin 8sin sin 2B C B C =⎛⎫⎪⎝⎭22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭…17.解析 11()sin sin sin sin 5362533f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6sin 53x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选A. 18.解析 （1）因为()cos ,sin x x =a ，()3,3=-b ，∥a b ，所以3cos 3sin x x -=， 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，因此cos 0x ≠． 所以3tan 3x =-，由[]0,πx ∈，所以56x =π． （2）()()()cos ,sin 3,3x x f x =⋅=⋅-a b 3cos 3sin 23cos 6x x x ⎛⎫=-=+ ⎝π⎪⎭．因为[]0,πx ∈，所以,666x ππ7⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π，所以31cos 62x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭π剟． 所以当66x +ππ=，即0x =时，()f x 的最大值为3； 当6x +π=π，即6x 5π=时，()f x 的最小值为23-．题型——根据条件确定解析式1. （2013四川文6）函数()()ππ2sin >0<<22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）.A. π23-，B. π26-， C. π46-， D. π43， 4.（2016全国甲文3）函数的部分图像如图所示，则（ ）.A.π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y xOπ32-2-π611π125π122-2OC.π2sin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5.（2016上海文17）设a ∈R ，[]0,2πb ∈.若对任意实数x 都有πsin 33x ⎛⎫-=⎪⎝⎭()sin ax b +，则满足条件的有序实数对(),a b 的对数为（ ）.A.1B.2C.3D.46.（2016天津文8）已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx x x f ，x ∈R .若)(x f 在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是（ ）.A.10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦B.150,,148⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C.50,8⎛⎤⎥⎝⎦D.1150,,848⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦7.（2016全国乙文12）若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）.A.[]1,1-B.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦8. （2016浙江文11）已知22cossin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =________，b =________.9.（2016上海文5）若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a = .10.（2016北京文16）已知函数()()2sin cos cos20f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求()f x 的单调递增区间.11.（2017天津文7）设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.若5π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）. A.2π,312ωϕ== B.211π,312ωϕ==- C.111π,324ωϕ==- D.17π,324ωϕ==1.分析 借助三角函数的图象和性质求解.解析 因为115,21212T =π-π所以T =π. 又()20T ωωπ=>，所以2ωπ=π，所以2ω=.由五点作图法可知当512x =π时，x ωϕπ+=2，即52122ϕπ⨯π+=，所以3ϕπ=-. 故选A.4.A 解析 解法一：当时，，排除C ，D.当时，，代入A 满足.故选A.5.解析 ①当时，则；②当时，则.共组.故选B. 评注 事实上确定了，则能唯一确定，因此共组. 6. D 解析 由题意()f x =1cos 2x ω-+sin 122x ω-=2πsin 24x ω⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由，即，得.又，因此， 所以.故选D. 7. C 解析 问题转化为对恒成立， 故，即恒成立. 0x =0y <3x π=2y =3a =3b 5π=3a =-4π3b =2a b 2()0f x =πsin 04x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭()ππ+4k x k ω=∈Z ()()ππ+4π,2πk x k ω=∉∈Z 115599,,,848484ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫∉⋅⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭115,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1150,,848ω⎛⎤⎡⎤∈ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦()21cos2cos 03f x x a x '=-+…x ∈R ()2212cos 1cos 03x a x --+…245cos cos 033a x x -+…令，得对恒成立. 解法一：构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得.故选C.解法二：①当时，不等式恒成立；②当时，恒成立，由在上单调递增，所以，故；③当时，恒成立.由在上单调递增， ，所以. 综上可得，.故选C. 评注 曾经谈到必要条件的问题，如取，则转化为，因此直接选择C 选项.这缘于运气好，若不然取，则式子恒成立；取，则，此时只能排除A 选项.此外，可在未解题之前取，此时，则，但此时，不具备在上单调递增，直接排除A ，B ，D.故选C.cos x t =245033t at -++…[]1,1t ∈-()24533g t t at =-++()g t ()()11031103g a g a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……1133a -剟0t =01t <…1543a t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭...y =1543t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭01t <...()1511445333t t ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ (1)3a -…10t -<…1543a t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭…y =1543t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭10t -<...()1511445333t t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭ (1)3a (11)33a -剟cos 1x =13a -…cos 0x =cos 1x =-13a …1a =-()1sin 2sin 3f x x x x=--()21cos2cos 3f x x x'=--()22011033f '=--=-<(),-∞+∞8.； 解析 ，所以，.9.解析 由辅助角公式可知函数的最大值为，故. 10.解析 （1）因为，所以的最小正周期.依题意，解得. （2）由（1）知，.函数的单调递增区间为. 由，得.所以的单调递增区间为. 11.解析 解法一：由题意，得125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ．解法二：由5π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11π08f⎛⎫= ⎪⎝⎭，知()11π5π3π214884T k +=-=，所以3π21T k =+.又()f x 的最小正周期2πT >，故0k =，3πT =，2π23T ω==，所以将5π8x =代入()2sin()f x x ωϕ=+，得125ππ2π382k ϕ⨯+=+，1k ∈N ，||πϕ<，解得π12ϕ=.212π2cos sin 22sin 214x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2A =1b =3±()f x 2165a +=3a =±()2sin cos cos2sin2cos2f x x x x x x ωωωωω=+=+=π2sin 24x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x 2ππ2T ωω==ππω=1ω=()π2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z πππ2π22π242k x k -++剟3ππππ88k xk -+剟()f x ()3πππ,π88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z题型——三角函数图像变换1. （2013湖北文6）将函数3cos sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）. A ．π12B ．π6 C ．π3D ．5π62．(2013福建文9）将函数()()ππsin 222f x x θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像向右平移()1ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图像，若()(),f x g x 的图像都经过点302P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，则ϕ的值可以是（ ）.A ．5π3 B ．5π6 C ．π2 D ．π63.（2014四川文3）为了得到函数()sin 1y x =+的图像，只需把函数sin y x =的图像上所有的点（ ）.A.向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动π个单位长度D.向右平行移动π个单位长度 4.（2014福建文7）将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是（ ）. A.()y f x =是奇函数 B. ()y f x =的周期是π C. ()y f x =的图像关于直线2x π=对称 D. ()y f x =的图像关于点02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 5. （2014安徽文7）若将函数()sin2cos2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A.8π B.4π C.83π D.43π 6. （2014辽宁文11）将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度，所得图像对应的函数（ ）.A ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增7.（2014浙江文4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数2cos3y x =的图像（ ）.A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向左平移π4个单位8.（2014重庆文13）将函数()()sin 022f x x ωφωφππ⎛⎫=+>-< ⎪⎝⎭，≤图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.9.（2015山东文）要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 4y x =的图像（ ）.A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位10.（2015陕西文）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数π3sin()6y x k ϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）．A ．5B ．6C ．8D ．1011.（2015重庆文）已知函数()21sin23cos 2f x x x =-.（1）求()f x 的最小周期和最小值；（2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像.当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.12.（2015福建文）已知函数()2103sin cos 10cos 222x x xf x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）将函数()f x 的图像向右平移π6个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图像，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）求证：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．13.（2015湖北文）某同学将“五点法”画函数()()πsin 02f x A x ωϕωϕ，⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个时期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示：x ωϕ+0 π2 π3π2 2π xπ35π6612182水深/m时间/hOyx()sin A x ωϕ+0 5 5- 0（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）将()y f x =图像上所有点向左平移π6个单位长度，得到()y g x =图像，求()y g x =的图像离原点O 最近的对称中心.14.（2016四川文4） 为了得到函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数sin y x=的图像上所有的点（ ）.A. 向左平行移动π3个单位长度 B. 向右平行移动π3个单位长度 C. 向上平行移动π3个单位长度 D. 向下平行移动π3个单位长度15.（2016全国乙文6）若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）.A.π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭16.（2014全国丙文14）函数sin 3cos y x x =-图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移______个单位长度得到.1.分析 先将函数解析式化简，再写出平移后的解析式，然后根据函数为偶函数求得m 的值.解析 由于π3cos sin 2cos 6y x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位长度后得到函数π2cos 6y x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，由于该图象关于y 轴对称，所以()ππ6m k k -=∈Z ，于是()ππ6m k k =+∈Z ，又0m >，故当0k =时，m 取最小值π6.故选B. 2.分析 先求出解析式中的字母的聚取值，再利用代入法确定答案.解析 因为30,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在()f x 的图象上，所以()30sin 2f θ==. 因为ππ22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以π=3θ，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()πsin 23g x x ϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦.因为()302g =，所以3sin 232ϕπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.验证，5π6ϕ=时， ππ543sin 2sin πsin π33332ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立.故选B. 5. 解析 由()πsin 2cos 22sin 24f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭知()f x 图像的对称轴方程为()ππ28k x k =+∈Z ，因此在y 轴左侧且离y 轴最近的对称轴方程为3π8x =-.依题意结合图像知，ϕ的最小正值为3π8，故选C. 评注 本题考查三角函数的图像和性质.9.解析 因为ππsin 4sin 4312y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像向右平移π12个单位.故选B. 10.解析 由图像得，当πsin 16x ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即π3sin 6y k ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小值为2，求得，所以π3sin 56y ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，max 358y =+=.11.解析 （1）()()2113sin 23cos sin 21cos 2222f x x x x x =-=-+=1333sin 2cos 2sin 222232x x x π⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭． 因此()f x 的最小正周期为π，最小值为232+-．（2）由条件可知：()3sin 232x g x f x π⎛⎫⎛⎫==--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当,2x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时有，2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，从而sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 那么3sin 32x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值域为1323,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故()g x 在区间,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上的值域是1323,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 12.分析 （1）先利用二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()π10sin 56f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用2πT ω=求最小正周期；（2由函数()f x 的解析式中给x 减π6，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1时，()g x 取得最大值min 2y =5k =105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ．解析 （1因为()2103sin cos 10cos 222x x xf x =+=π53sin 5cos 510sin 56x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭.所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （2（i ）将()f x 的图像向右平移π6个单位长度后得到10sin 5y x =+的图像，再向下平移()0a a >个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图像． 又函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >． 由4352<知，存在0π03α<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,πx αα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()()002π,2π+πx k k k αα∈+-∈Z 时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()000π2π+π2ππ213k k ααα--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()()002π,2ππk x k k k αα∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >．即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 13. 解析 (1)根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===. 数据补全如表所示：x ωϕ+π2π3π2 2πxπ12π3 7π12 5π613π12()sin A x ωϕ+50 5- 0且函数表达式为()π5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2由(1)知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin 25sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为sin y x =的对称中心为()π0k ，，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z ，即()y g x =图像的对称中心为ππ0212k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π012⎛⎫-⎪⎝⎭，. 14.A 解析 由题意，为得到函数，只需把函数的图像上所有的点向左移个单位.故选A. 15. D 解析 将函数的图像向右平移个周期，即向右平移个单位，故所得图像对应的函数为.故选D.16.解析 由，得，所以可由函数至少向右平移才能得到.πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =π3π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭14π4ππ2sin 246y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π3sin 3cos y x x =-π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin y x =π3。
2013高考数学一轮同步训练3.3三角函数的图象和性质文新人教A版
第三节 三角函数的图象和性质强化训练1.y =sin x -|sin x |的值域是( ) A.[-1,0] B.[0,1] C.[-1,1] D.[-2,0]答案:D解析:y =sin x -|sin x |=0sin 02sin sin 0x x x ,≥⎧⎨,<⎩2⇒-≤0y ≤.2.如果函数f (x )=sin(π)(02x θθ+<<π)的最小正周期是T ,且当x =2时取得最大值,那么( ) A.22T θπ=,=B.1T θ=,=πC.2T θ=,=πD.12T θπ=,=答案:A解析:22(2)T f π==,=πsin(2π)1θθ+=,可以等于2π.3.已知函数f (x )=2sin ()x ωϕ+对任意的x 都有()6f x π+=()6f x π-,则()6f π等于( ) A.2或0 B.-2或2 C.0 D.-2或0答案:B解析:由题意对称轴为()266x f ππ=,=±. 4.函数f (x )=3sin (2)3x π-的图象为C,以下结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线1112x π=对称;②图象C 关于点2(0)3π,对称;③函数f (x )在区间5()1212ππ-,内是增函数;④由y =3sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C. 答案:①②③5.(2011天津高考,文7)已知函数f (x )=2sin ()x ωϕ+,x ∈R ,其中0ω>,-πϕ<≤π.若f (x )的最小正周期为6π,且当2m x π=时,f (x )取得最大值,则( )A.f (x )在区间[-2π,0]上是增函数B.f (x )在区间[-3π,-π]上是增函数C.f (x )在区间[3π,5π]上是减函数D.f (x )在区间[4π,6π]上是减函数答案:A解析:由题设得2226ωϕωππ⎧⨯+=,⎪⎨π⎪=π,⎩ 解得133ωϕπ=,=.所以已知函数为f (x )=2sin ()33x π+.其增区间满足22k π-+π2332x k ππ≤+≤+πk ,∈Z .解得562k π-+π62x k π≤≤+πk ,∈Z .取k =0得522x ππ-≤≤,所以5[]22ππ-,为f (x )的一个增区间.因为[-2π50][]22ππ,-,,所以f (x )在区间[-2π,0]上是增函数.故选A.见课后作业B题组一 三角函数的图象1.已知函数f (x )=sin (2)x ϕ+的图象关于直线8x π=对称,则ϕ可能是( )A.2π B.4π- C.4π D.34π答案:C解析:对称轴经过图象的最高点或最低点,且垂直于x 轴, ∴()18f π=±,sin (2)18ϕπ⨯+=±即28k ϕπ⨯+=π2k π+,∈Z , ∴k ϕ=π4k π+,∈Z .2.如果函数y =3cos (2)x ϕ+的图象关于点4(0)3π,中心对称,那么|ϕ|的最小值为( )A.6π B.4π C.3π D.2π 答案:C解析:∵函数y =3cos (2)x ϕ+的图象关于点4(0)3π,中心对称,∴423k ϕπ⨯+=π.∴k ϕ=π8(3k π-∈Z ).由此易得|ϕ|min 3π=,故选C. 3.已知a 是实数,则函数f (x )=1+a sin ax 的图象不可能是( )答案:D解析:对于振幅大于1时,三角函数的周期为2T a π=,||∵|a |>1,∴T <2π,而D 不符合要求,它的振幅大于1,周期反而大于了2π. 4.已知函数f (x )=sin x cos ϕ+cos x sin (ϕ其中x ∈R ,0<ϕ<π). (1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若点1()26π,在函数(2)6y f x π=+的图象上,求ϕ的值. 解:(1)∵f (x )=sin ()x ϕ+, ∴函数f (x )的最小正周期为2π. (2)∵函数(2)6y f x π=+=sin (2)6x ϕπ++, 又点1()62π,在函数(2)6y f x π=+的图象上,∴sin 1(2)662ϕππ⨯++=,即cos 12ϕ=. ∵0ϕ<<π,∴3ϕπ=.题组二 三角函数的性质 5.y =(sin x +cos 2)1x -是( ) A.最小正周期为2π的偶函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为π的奇函数 答案:D解析:y =(sin x +cos x )21-=sin 2x +cos 22x +sin x cos x -1=sin2x ,22T π==π.6.函数y =sin (2)(0x ϕϕ+≤≤π)是R 上的偶函数,则ϕ的值是( ) A.0 B.4π C.2πD.π 答案:C解析:当2ϕπ=时,y =sin (2)2x π+=cos2x ,而y =cos2x 是偶函数,∴2ϕπ=. 7.函数f (x )=sin 1()23x π+的周期是 .答案:4π解析:周期2412T π==π.8.函数y =-cos ()23x π-的单调递增区间是 .答案:[4k π243k π+,π8]3k π+,∈Z解析:函数y =cos ()23x π-递减时原函数递增,∴有2k π223x k π≤-≤π+π,∴4k π243x k π+≤≤π83π+,k ∈Z .∴ y =-cos ()23x π-的单调递增区间是[4k π243k π+,π8]3π+k ,∈Z .9.已知函数f (x )=ax +b sin x +1且f (5)=7,则f (-5)= .答案:-5解析:f (-5)=-5a +b sin(-5)+1 =-5a -b sin5+1=-5a -b sin5-1+2 =-f (5)+2=-7+2=-5.10.关于x 的函数f (x )=cos ()x α+有以下命题:①对任意()f x α,都是非奇非偶函数;②不存在α,使f (x )既是奇函数,又是偶函数;③存在α,使f (x )是偶函数;④对任意()f x α,都不是奇函数.其中一个假命题的序号是 ,因为当α= 时,该命题的结论不成立.答案:① 0(或④2π,答案不唯一,满足即可)解析:当0α=时,f (x )=cos x 为偶函数.11.若函数f (x )=2tan ()3kx π+的最小正周期T 满足1<T <2,则自然数k 的值为 .答案:2或3解析:122T k kkπππ=,<<,<<π,而k ∈N 2k ⇒=或k =3.12.已知函数()f x =sin x cos x +2cos 21(x x -∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0]2π,上的最大值和最小值.(2)若006()[]542f x x ππ=,∈,,求cos 02x 的值.解:(1)由()f x =x cos x +2cos 21x -,得()f x =sin x cos x )+(2cos 21)x -=x +cos2x =2sin (2)6x π+,所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )=2sin (2)6x π+在区间[0]6π,上为增函数,在区间[]62ππ,上为减函数,又f (0)=1,()2()162f f ππ=,=-, 所以函数f (x )在区间[0]2π,上的最大值为2,最小值为-1.(2)由(1)可知0()2f x =sin 0(2)6x π+,又因为06()5f x =,所以sin 03(2)56x π+=.由0[]42x ππ∈,,得0272[]366x πππ+∈,.从而cos 04(2)56π+==-.所以cos 02x =cos 0[(2)]66x ππ+-=cos 0(2)6x π+cos6π+sin 0(2)6x π+sin 6π=。
2013届高考一轮复习 三角函数的图象和性质
实用文档 2013届高考一轮复习 三角函数的图象和性质一、选择题1、(2011湖北高考,理3)已知函数()3f x =sin x -cosx ,x ∈R ,若()1f x ≥,则x 的取值范围为 ( )A.{x |k π3x k π+≤≤π+πk ,∈Z }B.{x |2k π23x k π+≤≤π+πk ,∈Z }C.{x |k π6x k π+≤≤π56k π+,∈Z }D.{x |2k π26x k π+≤≤π56k π+,∈Z }2、(2011山东高考,理9)函数22x y =-sin x 的图象大致是( )3、已知函数f (x )=x sin x ,若12[]22x x ππ,∈-,且1()f x 2()f x <,则下列不等式中正确的是() A.12x x >实用文档B.12x x <C.120x x +<D.2212x x <4、y =sin x -|sin x |的值域是( )A.[-1,0]B.[0,1]C.[-1,1]D.[-2,0]5、已知a 是实数,则函数f (x )=1+asina x 的图象不可能是( )6、已知函数f (x )=sin x cos ϕ+cos x sin (ϕ其中x ∈R ,0<ϕ<π).(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若点1()62π,在函数(2)6y f x π=+的图象上,求ϕ的值.实用文档7、y =(sin x +cos 2)1x -是( )A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数8、函数y =sin (2)(0x ϕϕ+≤≤π)是R 上的偶函数,则ϕ的值是( )A.0B.4πC.2π D.π9、已知函数f (x )=sin (2)x ϕ+的图象关于直线8x π=对称,则ϕ可能是( ) A.2π B.4π- C.4π D.34π二、填空题10、关于x 的函数f (x )=cos ()x α+有以下命题:①对任意()f x α,都是非奇非偶函数;②不存在α,使f (x )既是奇函数,又是偶函数;③存在α,使f (x )是偶函数;④对任意()f x α,都不是奇函数.其中一个假命题的序号是 ,因为当α= 时,该命题的结论不成立.实用文档11、已知函数2()f x x =-cos x ,对于[]22ππ-,上的任意12x x ,,有如下条件: ①12x x >;②2212x x >;③|1x |2x >.其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 .12、已知函数f (x )=a x +bsin x +1且f (5)=7,则f (-5)= .13、若函数f (x )=2tan ()3kx π+的最小正周期T 满足1<T<2,则自然数k 的值为 .14、函数f (x )=3sin (2)3x π-的图象为C,以下结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号) ①图象C 关于直线1112x π=对称;②图象C 关于点2(0)3π,对称;③函数f (x )在区间5()1212ππ-,内是增函数;④由y =3sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C.15、函数y =-cos ()23x π-的单调递增区间是 .三、解答题16、已知函数()f x =x cos 1cos2(2x x a a +++为常数). (1)求函数f (x )的最小正周期,并指出其单调减区间;(2)若函数f (x )在[0]2π,上的最大值是2,试求实数a 的值.实用文档17、(2011天津高考,理15)已知函数f (x )=tan (2)4x π+. (1)求f (x )的定义域与最小正周期;(2)设(0)4πα∈,,若()22f α=cos 2α,求α的大小.以下是答案一、选择题1、B解析:∵()f x =x -cos x =2sin ()6x π-, ∴()1f x ≥即为sin 1()62x π-≥, ∴2k π266x k ππ+≤-≤π56+π(k ∈Z ), ∴[2x k ∈π23k π+,π+π](k ∈Z ).2、 C解析:令()22x f x =-sin x x ,∈R , 则可知f (-x )=-f (x ),∴f (x )为奇函数,故排除A.又f ′1()22x =-cos x , 可知f ′(x )有无穷多个零点,即f (x )有无穷多个极值点,故排除B,D.选C.实用文档3、 D解析:∵f ′(x )=sin x +x cos x ,∴f (x )=x sin x 在[0)2π-,上单调递减,在[0]2π,上单调递增.故选D.4、 D解析:y =sin x -|sin x |=0sin 02sin sin 0x x x ,≥⎧⎨,<⎩2⇒-≤0y ≤.5、D解析:当振幅大于1时,三角函数的周期为2T a π=,||∵|a|>1,∴T<2π.显然D 不符合要求,它的振幅大于1,周期反而大于了2π.6、 解:(1)∵f (x )=sin ()x ϕ+,∴函数f (x )的最小正周期为2π.(2)∵函数(2)6y f x π=+=sin (2)6x πϕ++, 又点1()62π,在函数(2)6y f x π=+的图象上, ∴sin 1(2)662ππϕ⨯++=,即cos 12ϕ=. ∵0ϕ<<π,∴3πϕ=.7、 D实用文档解析:y =(sin x +cos x )21-=sin 2x +cos 22x +sin x cos x -1=sin2x , 22T π==π. 8、 C解析:当2ϕπ=时,y =sin (2)2x π+=cos2x ,而y =cos2x 是偶函数,∴2y π=. 9、 C解析:对称轴经过图象的最高点或最低点,且垂直于x 轴,∴()18f π=±,sin (2)18πϕ⨯+=± 即28k πϕ⨯+=π2k π+,∈Z , 故k ϕ=π4k π+,∈Z .二、填空题10、 ① 0(或④2π,答案不唯一,满足即可)解析:当0α=时,f (x )=cos x 为偶函数.11、 ②解析:函数2()f x x =-cos x 显然是偶函数,其导数f ′(x )=2x +sin x 在02x π<<时,显然也大于0,是增函数,做出其图象不难发现,x 的取值离对称轴越远,函数值就越大,②满足这一点.当122x x π=,=2π-时,①③均不成立.12、 -5实用文档解析:f (-5)=-5a+bsin(-5)+1=-5a-bsin5+1=-5a-bsin5-1+2=-f (5)+2=-7+2=-5.13、 2或3解析:122T k k k πππ=,<<,<<π,而k ∈N 2k ⇒=或k =3.14、①②③15、[4k π243k π+,π8]3k π+,∈Z 解析:函数y =cos ()23x π-递减时原函数递增,∴有2k π223x k π≤-≤π+πk ,∈Z , ∴4k π243x k π+≤≤π83k π+,∈Z . ∴ y =-cos ()23x π-的单调递增区间是[4k π243k π+,π8]3π+k ,∈Z .三、解答题16、解:(1)∵()f x =sin 1cos222x x a +++ =sin 1(2)62x a π+++,实用文档 ∴其最小正周期22T π==π, 单调递减区间为[k π6k π+,π2](3k π+∈Z ). (2)令26u x π=+, 则f (x )=sin 71[]266u a u ππ++,∈,. 又f (x )的最大值为322a +=,解得12a =.实用文档17、 解:(1)由242x k ππ+≠+πk ,∈Z ,得82k x ππ≠+,k ∈Z , 所以f (x )的定义域为{x ∈R |82k x ππ≠+,k ∈Z }. f (x )的最小正周期为2π. (2)由()22f α=cos 2α,得tan ()4πα+=2cos 2αsin()42(cos()4παπα+,=+cos 2α-sin 2)α, 整理得sin cos 2(cos sin αααα+=-cos α+sin )(αcos α-sin )α. 因为(0)4πα∈,,所以sin α+cos 0α≠.因此(cos α-sin 21)2α=,即sin 122α=. 由(0)4πα∈,,得2(0)2πα∈,.所以26πα=,即12πα=.。
高考数学一轮复习 第3章 第3节 三角函数图像与性质 文 湘教版
2009~2013年高考真题备选题库 第3章 三角函数、解三角形 第3节 三角函数图像与性质考点 正弦函数、余弦函数的图像和性质 1. (2013新课标全国Ⅰ，5分)函数f(x)＝(1－cos x)sin x 在[－π，π]的图像大致为( )解析：本题主要考查数形结合思想，以及对问题的分析判断能力．首先知函数为奇函数，排除B.其次只需考虑x ∈[0，π]的情形，又当x ∈[0，π]时，f(x)≥0，于是排除A.∵f(x)＝(1－cos x)sin x ，∴f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x ＝1－cos2x ＋cos x －cos2x ＝－2cos2x ＋cos x ＋1，令f′(x)＝0，则cos x ＝1或cos x ＝－12，结合x ∈[－π，π]，求得f(x)在[0，π]上的极大值点为23π，靠近π，可知C 对．答案：C2．（2013浙江，5分）函数f(x)＝sin xcos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2 解析：本题主要考查三角变换以及三角函数的性质等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握程度，以及简单的转化与化归能力、运算求解能力．由f(x)＝sin xcos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，得最小正周期为π，振幅为1.答案：A3．（2013天津，5分）函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22D ．0 解析：本题主要考查三角函数的性质，意在考查考生的数形结合能力．由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22.答案：B4．（2013江西，5分）设f(x)＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f(x)|≤a，则实数a 的取值范围是________．解析：本题主要考查两角和与差的公式、辅助角公式的应用、三角函数的基本性质，考查化归与转化思想．由题意知f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，则|f(x)|≤2，所以a≥2. 答案：[2，＋∞)5．（2013安徽，12分）设函数f(x)＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f(x)的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到． 解：本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换等基础知识与基本技能，考查逻辑推理和运算求解能力．(1)因为f(x)＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以当x ＋π6＝2kπ－π2，即x ＝2kπ－2π3(k ∈Z)时，f(x)取最小值－ 3.此时x 的取值集合为xx ＝2kπ－2π3，k ∈Z.(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sinx 的图像；再将y ＝3sin x 的图像上所有的点向左平移π6个单位，得y ＝f(x)的图像．6．（2012新课标全国，5分）已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则 φ＝( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4解析：由于直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝kπ＋π2(k ∈Z)， 又0<φ<π，所以φ＝π4.答案：A7．（2012山东，5分）函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：当0≤x≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin (πx 6－π3)≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3. 答案：A 8．（2012安徽，5分）要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位后即变成y ＝cos 2(x ＋12)＝cos(2x ＋1)的图象．答案：C9．（2012天津，5分）将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2 解析：将函数f(x)＝sin ωx 的图像向右平移π4个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f(x)＝sin ω(x－π4)＝sin(ωx－ωπ4)．又因为函数图像过点(3π4，0)，所以sin(3ωπ4－ωπ4)＝sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝kπ，即ω＝2k(k ∈Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为2.答案：D10．（2011新课标全国，5分）设函数f(x)＝sin(2x ＋π4)＋cos(2x ＋π4)，则( )A ．y ＝f(x)在(0，π2)单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f(x)在(0，π2)单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f(x)在(0，π2)单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f(x)在(0，π2)单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称解析：因为y ＝sin(2x ＋π4)＋cos(2x ＋π4)＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x ，所以y ＝2cos2x ，在(0，π2)单调递减，对称轴为2x ＝kπ，即x ＝kπ2(k ∈Z)．答案：D11．（2011山东，5分）若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32 C ．2 D ．3解析：由于函数f(x)＝sinωx 的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像可知，π3为这个函数的四分之一周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.答案：B12．(2009·山东，5分)将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝cos2x B ．y ＝2cos2x C ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝2sin2x解析：y ＝sin2x 图象向左平移π4个单位得到y ＝sin2(x ＋π4)＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位得到y ＝cos2x ＋1＝2cos2x －1＋1＝2cos2x 的图象．故选B.答案：B13．(2010广东，14分)设函数f(x)＝3sin(ωx＋π6)，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．(1)求f(0)；(2)求f(x)的解析式；(3)已知f(α4＋π12)＝95，求sinα的值．解：(1)由题设可知f(0)＝3sin π6＝32.(2)∵f(x)的最小正周期为π2，∴ω＝2ππ2＝4.∴f(x)＝3sin(4x ＋π6)．(3)由f(α4＋π12)＝3sin(α＋π3＋π6)＝3cos α＝95，∴cos α＝35.∴sin α＝±1－cos2α＝±45.。
2013高考数学一轮同步训练(文科) 3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数-推荐下载
2
3
sin2120 |sin120 |
3
5.设 角属于第二象限,且|cos |=-cos 则 角属于( )
A.第一象限
C.第三象限
答案:C
解析:2k 2k + (k Z), 2
k
当
当
k
k
4
2
2n(n
2n
k
Z)时
cos cos
2
在第二或第四象限或
.
x
5.在单位圆中,一条弦 AB 的长度为 3 则该弦 AB 所对的圆心角 是
答案: 2 3
AB 解析:已知 r=1,sin 2 3
2r 2
∵0
,∴ 0
2
6.已知扇形 OAB 的圆心角 为 120 ,半径长为 6.
题组一 任意角、象限角的概念 1.下列各三角函数式中,值为正数的是(
A.sin ( ) 4
C.tan(-690 )
答案:C
解析:
4
为第四象限角,sin
250 为第三象限角,cos250 <0; -690 为第一象限角,tan(-690 )>0.
11 为第四象限角,tan 11 0 .
sin sin
sin sin
cos cos
cos cos
tan tan
tan tan
若 在第二象限,sin 0 cos 0 tan 0
y
高考数学一轮总复习 43三角函数的图象与性质课后强化作业 新人教B版
高考数学一轮总复习 43三角函数的图象与性质课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．9[答案] C[解析] 由题意知，π3＝2πω·k (k ∈Z )，∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.(理)(2013·东营模拟)将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为( )A.π6 B.π3 C.π4 D.π12 [答案] C[解析] 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋φ)＝sin(2x ＋2φ)的图象，由题意得2φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故正数φ的最小值为π4.2．(文)(2013·北大附中月考)定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1a 2a 3a 4＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin2x 3cos2x 1的图象向左平移π6个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心的是( ) A ．(π4，0)B ．(π2，0)C ．(π3，0)D ．(π12，0)[答案] B[解析] 根据行列式的定义可知f (x )＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)，向左平移π6个单位得到g (x )＝2sin[2(x ＋π6)－π3]＝2sin2x ，所以g (π2)＝2sin(2×π2)＝2sinπ＝0，所以(π2，0)是函数的一个对称中心，选B.(理)(2013·辽宁六校联考)已知ω>0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π3)的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点(π12，0)，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1[答案] A[解析] 由题意知π3－π12≥T 4，∴T ＝2πω≤π，∴ω≥2，故选A.3．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1， (－2≤x <0)，2sin (ωx ＋φ)， (0≤x ≤8π3). 的图象如下图，则( )A ．k ＝12，ω＝12，φ＝π6B ．k ＝12，ω＝12，φ＝π3C ．k ＝－12，ω＝2，φ＝π6D ．k ＝－2，ω＝2，φ＝π3[答案] A[解析] y ＝kx ＋1过(－2,0)，∴k ＝12；y ＝2sin(ωx ＋φ)中，T 4＝8π3－5π3＝π，∴T ＝4π，即2πω＝4π，∴ω＝12， 又y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ过(0,1)点，∴φ＝π6，故选A. 4．(2013·厦门一中期末)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如下图所示，若A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6D ．B ＝4[答案] C[解析] 由图知，⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋B ＝4，－A ＋B ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝2.又T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π， ∴ω＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)＋2， ∵图象过点(π6，4)，∴sin(π3＋φ)＝1，∴φ＝π6.5．(文)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝( )A.23 B.32 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 由ω>0及y ＝sin ωx 在[0，π3]上递增，在[π3，π2]上递减知π2ω＝π3，即ω＝32.(理)(2012·新课标全国理，9)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2][答案] A[解析] ω＝2⇒ωx ＋π4∈[5π4，9π4]不合题意，排除D ，ω＝1⇒(ωx ＋π4)∈[3π4，5π4]合题意，排除B ，C.6．函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )[答案] C[解析] 依题意，函数y ＝xsin x ，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，排除A ，当x ∈(0，π)时，直线y ＝x 的图象在y ＝sin x 上方，所以y ＝xsin x>1，故选C.二、填空题7．(2013·新课标Ⅰ理，15)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.[答案] －255[解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5(15sin x －25cos x )，令15＝cos α，25＝sin α，则f (x )＝5sin(x －α)， ∵x ∈R ，∴f (x )max ＝5，且当x －α＝2k π＋π2时取到最大值，k ∈Z .∵x ＝θ时，f (x )取得最大值，∴θ＝2k π＋π2＋α.∴cos θ＝cos(2k π＋π2＋α)＝－sin α＝－255.8．(文)已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在x ∈(π2，π)上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[答案] －2<m <－1[解析] m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)，∵x ∈(π2，π)时，原方程有两个不同的实数根，∴直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)，x ∈(π2，π)有两个不同的交点，∴－2<m <－1.(理)(2013·江西九江质检)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．[答案] (1,3)[解析] f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ， 0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π.在同一坐标系中，作出函数f (x )与y ＝k 的图象可知1<k <3.9．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.[答案] －π6[解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π3)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π3)＝0，∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π6.三、解答题10．(文)(2013·山东日照市阶段训练)已知向量a ＝(3cos x,0)，b ＝(0，sin x )，记函数f (x )＝(a ＋b )2＋3sin2x .求：(1)函数f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合； (2)函数f (x )的单调递增区间． [解析] (1)f (x )＝(a ＋b )2＋3sin2x ＝1＋2cos 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＋2 ＝2sin(2x ＋π6)＋2，当且仅当2x ＋π6＝2k π＋3π2，即x ＝k π＋2π3(k ∈Z )时，f (x )min ＝0，此时x 的集合是{x |x ＝k π＋23π，k ∈Z }．(2)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )解得，k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(理)(2013·山东师大附中四模)已知函数f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )－sin x cos x ＋14.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解析] (1)∵f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )－12sin2x ＋14＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋32sin x )－12sin2x ＋14 ＝14cos 2x －34sin 2x －12sin2x ＋14＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8－12sin2x ＋14＝12(cos2x －sin2x )＝22cos(2x ＋π4)， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π， 函数f (x )的最大值为22. (2)2k π－π≤2x ＋π4≤2k π，k ∈Z .得k π－58π≤x ≤k π－π8，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－5π8，k π－π8]，k ∈Z .能力拓展提升一、选择题11．(文)设函数f (x )＝sin(2x ＋π4)＋cos(2x ＋π4)，则( )A ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称[答案] D[解析] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x . 则函数在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称．(理)给出下列命题：①函数y ＝cos(23x ＋π2)是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴方程；⑤函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象关于点(π12，0)成中心对称图形．其中正确命题的序号为( ) A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．④⑤[答案] C[解析] ①y ＝cos(23x ＋π2)⇒y ＝－sin 23x 是奇函数；②由sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)的最大值为2<32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°，但tan45°>tan(30°＋360°)， 即tan α<tan β不成立；④把x ＝π8代入y ＝sin(2x ＋5π4)得y ＝sin 3π2＝－1，所以x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴；⑤把x ＝π12代入y ＝sin(2x ＋π3)得y ＝sin π2＝1，所以点(π12，0)不是函数y ＝sin(2x ＋π3)的对称中心．综上所述，只有①④正确．[点评] 作为选择题，判断①成立后排除B 、D ，再判断③(或④)即可下结论． 12．(文)函数y ＝sin x ·|cos xsin x|(0<x <π)的图象大致是( )[答案] B[解析] y ＝sin x ·|cos xsin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，0<x <π20，x ＝π2－cos x ，π2<x <π.(理)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝( )A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 3[答案] B[解析] 由图可知：T ＝2×(38π－π8)＝π2，∴ω＝πT＝2，又∵图象过点(38π，0)，∴A ·tan(2×38π＋φ)＝A ·tan(34π＋φ)＝0，∴φ＝π4.又∵图象还过点(0,1)，∴A tan(2×0＋π4)＝A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4) ＝tan(π12＋π4)＝tan π3＝ 3.13．为了使函数y ＝cos ωx (ω>0)在区间[0,1]上至多出现50次最小值，则ω的最大值是( )A ．98π B.1972π C ．99π D ．100π[答案] C[解析] 由题意至多出现50次最小值即至多需用4912个周期，∴992·2πω≥1，∴ω≤99π，故选C.二、填空题14．已知函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间[0，π2]上单调递增，在区间[－π2，0]上单调递减．其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． [答案] ①④[解析] ∵y ＝x 与y ＝sin x 均为奇函数，∴f (x )为偶函数，故①真；∵f (π2)＝π2，f (π2＋2π)＝π2＋2π≠π2，∴②假；∵f (π2)＝π2，f (3π2)＝－3π2，π2＋3π2＝2π，π2＋(－3π2)≠0，∴③假；设0≤x 1<x 2≤π2，则f (x 1)f (x 2)＝x 1x 2·sin x 1sin x 2<1，∴f (x 1)<f (x 2)(f (x 2)>0)，∴f (x )在[0，π2]上为增函数，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[－π2，0]上为减函数，∴④真．三、解答题15．(文)函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x 满足：f (0)＝2，f (π3)＝12＋32.(1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若α、β∈(0，π)，f (α)＝f (β)，且α≠β，求tan(α＋β)的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2，f (π3)＝12＋32，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，12a ＋34b ＝12＋32.解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1，∵－1≤sin(2x ＋π4)≤1，∴f (x )max ＝2＋1，f (x )min ＝1－ 2.(2)由f (α)＝f (β)得，sin(2α＋π4)＝sin(2β＋π4)．∵2α＋π4、2β＋π4∈(π4，9π4)，且α≠β，∴2α＋π4＝π－(2β＋π4)或2α＋π4＝3π－(2β＋π4)，∴α＋β＝π4或α＋β＝5π4，故tan(α＋β)＝1.(理)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B . 又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)， 由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π6]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1]．因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值 3.当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32.16．(文)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2.y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．[解析] (1)由题意得，T ＝2ππ3＝6，因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )，由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝23π，由余弦定理得，cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－(9＋4A 2)2A ·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3 又A >0，所以A ＝ 3.(理)(2013·江西省七校联考)已知m ＝(a sin x ，cos x )，n ＝(sin x ，b sin x )，其中a ，b ，x ∈R .若f (x )＝m ·n 满足f (π6)＝2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称．(1)求a ，b 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2k ＝0在区间[0，π2]上总有实数解，求实数k 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝m ·n ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＝a 2(1－cos2x )＋b2sin2x .由f (π6)＝2，得a ＋3b ＝8.①∵f ′(x )＝a sin2x ＋b cos2x ， 又f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称， ∴f ′(0)＝f ′(π6)，∴b ＝32a ＋12b ，即b ＝3a .② 由①②得，a ＝2，b ＝2 3.(2)由(1)得f (x )＝1－cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x －π6)＋1.∵x ∈[0，π2]，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－1≤2sin(2x －π6)≤2，f (x )∈[0,3]．又f (x )＋log 2k ＝0在[0，π2]上有解，即f (x )＝－log 2k 在[0，π2]上有解，∴－3≤log 2k ≤0，解得18≤k ≤1，即k ∈[18，1]．考纲要求了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响，能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，能通过变换法研究不同函数图象间的关系．能根据所给的三角函数的图象和性质确定参数A ，ω，φ的值．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．补充材料1．掌握讨论正弦型(余弦型)函数的图象与性质的基本方法：转化与化归为基本函数；熟练进行两类变换(平移、伸缩)；清楚三角函数作图的五点．2．三角函数的图象变换技巧(1)平移变换 与坐标轴同向为正、反向为负(向右x 取正，向左x 取负，向上y 取正，向下y 取负)．如y ＝f (x )图象上各点向左平移3个单位后再向上平移2个单位，则只需用x －(－3)代替x ，y －2代替y 即可得，∴y －2＝f (x ＋3)，即y ＝f (x ＋3)＋2.(2)伸缩变换 将y ＝f (x )图象上各点的横(或纵)坐标伸长(或缩短)到原来的m 倍，则用x m 代替x (或ym代替y )即可．(推证从略)3．直线y ＝a 与函数y ＝tan x 的图象交点中任两点距离的最小值为周期．函数y ＝sin x (y ＝cos x )相邻两个最大(小)值点之间距离为周期，与x 轴相邻两交点之间距离为半周期．备选习题1．函数f (x )＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可以为( )A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6[答案] A[解析] 令2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，令k ＝0得x ＝π12，故选A.[点评] f (x )＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴过最高点将选项代入检验，∵2×π12＋π3＝π2，∴选A.2．已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0，－π2<φ<0)在x ＝5π6处取得最大值，则f (x )在[－π，0]上的单调增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0][答案] D[解析] ∵f (x )＝A sin(x ＋φ)在x ＝5π6处取得最大值，A >0，－π2<φ<0，∴φ＝－π3，∴f (x )＝A sin(x －π3)，由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，令k ＝0得－π6≤x ≤0，故选D.3．已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．[解析] (1)因为f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1＝4cos x (32sin x ＋12cos x )－1 ＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)．所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.4．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．[分析] (1)定义域由sin x ≠0易求．将sin2x ＝2sin x cos x 代入，再利用二倍角公式化简，最后利用辅助角公式化为一个角的一个三角函数形式后求得周期．(2)利用y ＝sin x 的单调减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )求f (x )单调减区间．[解析] (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )．。
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 4-3三角函数的图象与性质配套训练(含解析)新人教B版
【走向高考】（2013春季发行）高三数学第一轮总复习 4-3三角函数的图象与性质配套训练（含解析）新人教B 版基础巩固强化1.(文)(2012·安徽文，7)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位[答案] C[解析] 本题考查三角函数(余弦型函数)图象的平移问题．∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos2(x ＋12)，所以只需将y ＝cos2x 图象向左平移12个单位即可得到y ＝cos(2x ＋1)的图象．(理)(2012·浙江理，4)把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )[答案] A[解析] 本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变化，y ＝cos2x ＋1――→①y ＝cos x ＋1――→②y ＝cos(x ＋1)＋1――→③y ＝cos(x ＋1)，故选A.(其中①为各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；②为左移1个单位长度；③为下移1个单位长度．)2．(文)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为( ) A ．2π，－1B ．2π，0C ．π，0D ．π，1[答案] C[解析] ∵f (x )＝sin 2x ＝1－cos2x 2，∴周期T ＝2π2＝π，又f (x )＝sin 2x ≥0，∴最小值为0，故选C.(理)(2011·济南模拟)函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最大值分别为 ( )A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，1[答案] C[解析] 由题可知，f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin(π6－2x )＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最大值为3，故选C.3．设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则它们的大小关系为( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c[答案] A[解析] ∵tan70°>tan45°＝1>cos25°>sin25°>0，y ＝log 12x 为单调递减函数，∴a <c <b .4．(2012·河北保定模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)与b ＝(cos θ，－sin θ)互相垂直，且θ为锐角，则函数f (x )＝sin(2x －θ)的图象的一条对称轴是直线( )A ．x ＝πB ．x ＝7π8C ．x ＝π4D ．x ＝π2[答案] B[解析] a ·b ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ＝0， ∵θ为锐角，∴θ＝π4，∴f (x )＝sin(2x －π4)．由2x －π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋3π8，令k ＝1得x ＝7π8，故选B.5．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98π B.1972π C.1992π D ．100π[答案] B[解析] 由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，∴4914·T ＝1974·2πω≤1，∴ω≥1972π，故选B.6．(文)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋5π6(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π6，k π＋11π6(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) [答案] C[解析] 由条件知，T ＝2πω＝π，∴ω＝2，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故选C. (理)(2012·河北郑口中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0，－π2<φ<0)在x ＝5π6处取得最大值，则f (x )在[－π，0]上的单调增区间是( ) A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0][答案] D[解析] ∵f (x )＝A sin(x ＋φ)在x ＝5π6处取得最大值，A >0，－π2<φ<0，∴φ＝－π3，∴f (x )＝A sin(x －π3)，由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，令k ＝0得－π6≤x ≤0，故选D.7.(2012·北京东城练习)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________[答案]62[解析] 由题图知A ＝2，∵T ＝4(7π12－π3)＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.又∵图象过点(7π12，－2)，∴－2＝2sin(2×7π12＋φ)，∴φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，不妨取φ＝π3，∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)，∴f (0)＝2sin π3＝62.8．(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.[答案] －π6[解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π3)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π3)＝0，∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π6.9．(2012·衡阳六校联考)给出下列命题：①存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32；②若α、β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β；③函数y ＝sin(π3－2x 5)的最小正周期为5π；④函数y ＝cos(2x 3＋7π2)是奇函数；⑤函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin(2x ＋π4)的图象．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上) [答案] ③④[解析] 对于①，因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，而32>2，因此不存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32，故①不正确；对于②，取α＝30°＋360°，β＝30°，则tan α＝tan β，因此②不正确；对于③，函数y ＝sin(π3－2x 5)的最小正周期是T ＝2π25＝5π，因此③正确；对于④，令f (x )＝cos(2x 3＋7π2)，则f (x )＝sin 2x3，f (－x )＝－f (x )，因此④正确；对于⑤，函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin2(x ＋π4)＝sin(2x ＋π2)的图象，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④.10．(2012·北京文)已知函数f (x )＝x －cos xxsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．[分析] (1)定义域由sin x ≠0易求．将sin2x ＝2sin x cos x 代入，再利用二倍角公式化简，最后利用辅助角公式化为一个角的一个三角函数形式后求得周期．(2)利用y ＝sin x 的单调减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )求f (x )单调减区间．[解析] (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝x －cos x xsin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z ).能力拓展提升11.(文)(2011·湖北文，6)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A ．{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }B ．{x |k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z }C ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z }D ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z }[答案] A[解析] f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)≥1，即sin(x －π6)≥12，∴2k π＋π6≤x－π6≤2k π＋5π6k ∈Z ， ∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )．(理)(2011·湖南张家界月考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2[答案] B[解析] f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3，∴12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2.12．(文)(2011·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sinπxR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.[点评] 题中最大值点应为(R 2，3)，由R 24＋3＝R 2得R 2＝4，∴|R |＝2，∴T ＝2π|πR|＝4.(理)(2011·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A 、B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )A ．10B ．8 C.87 D.47[答案] B[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解． [解析]如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝2ππ＝2，tan α＝AC PC ＝121＝12，tan β＝BC PC ＝321＝32，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝12＋321－12×32＝8，∴选B.13．(文)(2011·湖南长沙一中月考)下列函数中，图象的一部分如图所示的是()A ．y ＝sin(2x ＋π6)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝cos(2x ＋π3)D ．y ＝cos(2x －π6)[答案] D[解析] 将(－π6，0)代入选项逐一验证，对A 项，y ＝sin(－π3＋π6)≠0，A 错；对B项，y ＝sin(－π2)＝－1≠0，B 错；对C 项y ＝cos0＝1≠0，C 错；对D 项，y ＝cos(－π3－π6)＝cos π2＝0符合，故选D. (理)(2012·湖南衡阳联考二)已知函数y ＝f (x )sin x 的一部分图象如图所示，则函数f (x )的表达式可以是( )A ．2sin xB ．2cos xC ．－2sin xD ．－2cos x[答案] D[解析] 由图象知，y ＝－sin2x ＝－2sin x cos x ＝f (x )sin x ，∴f (x )＝－2cos x . 14．已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在x ∈(π2，π)上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[答案] －2<m <－1[解析] m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)，∵x ∈(π2，π)时，原方程有两个不同的实数根，∴直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)，x ∈(π2，π)有两个不同的交点，∴－2<m <－1.15．(文)(2012·山东理，17)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象．求g (x )在[0，5π24]上的值域．[分析] (1)根据向量的数量积的坐标运算，利用辅助角公式得到函数解析式，进而确定A 的值；(2)利用图象变换得到函数g (x )的解析式，再根据角的范围求出函数的值域．[解析] (1)∵f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos2x＝32A sin2x ＋A 2cos2x ＝A sin(2x ＋π6)， 又f (x )的最大值为6， ∴A ＝6(2)函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位得到函数y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]，即y ＝6sin(2x ＋π3)的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g (x )＝6sin(4x ＋π3)的图象．当x ∈[0，5π24]时，4x ＋π3∈[π3，7π6]，sin(4x ＋π3)∈[－12，1]，g (x )∈[－3,6]．故函数g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．[点评] 本题综合考查了三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质以及图象变换，求函数值域时要注意角的范围的讨论．(理)(2012·天津理，15)已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)＋sin(2x －π3)＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．[分析] (1)先用两角和与差的正弦公式展开，然后用辅助角公式化为一个角的一个三角函数，可求得最小正周期；(2)根据函数f (x )的在区间[－π4，π4]上的单调性求最值．[解析] (1)f (x )＝sin2x ·cos π3＋cos2x ·sin π3＋sin2x ·cos π3－cos2x ·sin π3＋cos2x＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)．所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，π8]上是增函数，在区间[π8，π4]上是减函数，f (－π4)＝－1，f (π8)＝2，f (π4)＝1，故函数f (x )在区间[－π4，π4]上的最大值为2，最小值为－1.[点评] 本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识．考查基本运算能力．16．(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B . 又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx ＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)， 由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π6]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1]．因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值 3.当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32.(理)已知a ＝(3，cos x )，b ＝(cos 2x ，sin x )，函数f (x )＝a ·b －32. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，求函数f (x )的取值范围；(3)函数f (x )的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？ [解析] (1)函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos2x 2＋12sin2x －32＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z 得，－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，(k ∈Z )．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴当2x ＋π3＝π2即x ＝π12时，f (x )max ＝1，当2x ＋π3＝5π6即x ＝π4时，f (x )min ＝12，∴12≤f (x )≤1.(3)将f (x )的图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到y ＝sin2x 的图象，则其对应的函数即为奇函数．(答案不唯一)1．(2012·浙江诸暨质检)函数f (x )＝sin2x ＋3cos2x 的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象经哪种平移得到( )A ．向左平移π12个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π12个单位D ．向右平移π6个单位[答案] B[解析] ∵f (x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3)＝2sin2(x ＋π6)，∴f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 向左平移π6个单位得到，故应选B.2．(2012·福建文，8)函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴是，x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.[点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点． 3．对任意x 1、x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1、y 2的大小关系不能确定 [答案] B[解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1x 1的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)的直线斜率，1＋sin x 2x 2的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1<x 2，观察函数y ＝1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B.4．(2012·新课标全国理，9)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2][答案] A[解析] 本题考查了三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及间接法解题．ω＝2时，ωx ＋π4∈[5π4，9π4]不合题意，排除D ，ω＝1时，(ωx ＋π4)∈[3π4，5π4]合题意，排除B ，C.5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6B ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3D ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 [答案] A[解析] 由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2得，T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2在函数图象上得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π－11π6.又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.6．M 、N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )A ．π B.2π C.3π D ．2π[答案] C[解析] 其中与原点最近的两交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2π2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－2π2，∴|MN |＝3π.7．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示，若点A 是函数f (x )的图象与x 轴的交点，点B 、D 分别是函数f (x )的图象的最高点和最低点，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是点B 在x 轴上的射影，则AB →·BD →的值是( )A ．8B ．－8 C.π28－8 D ．－π28＋8[答案] C[解析] 由图可知T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，由2·π3＋φ＝π知，φ＝π3，从而A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－4，∴AB →·BD →＝π28－8. 8．(2012·昆明一中模拟)设函数f (x )＝2cos 2(π4－x )＋sin(2x ＋π3)－1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域．[解析] (1)因为f (x )＝12sin2x ＋32cos2x ＋cos(π2－2x )＝32sin2x ＋32cos2x ＝3sin(2x ＋π6)， 所以函数f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，于是3sin(2x ＋π6)∈[－32，3]，所以当x ∈[0，π2]时，函数f (x )的值域是[－32，3]．。
高考文科数学一轮复习练习-三角函数的图象与性质
§4.3 三角函数的图象与性质探考情 悟真题 【考情探究】考点 内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点三角函数 的图象①能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象;②了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响2016课标全国Ⅱ,3,5分 由三角函数图象求解析式 三角函数的性质 ★★☆2016课标全国Ⅰ,6,5分 三角函数图象的平移变换 三角函数的周期2016课标全国Ⅲ,14,5分 三角函数图象的平移变换 — 三角函数 的性质①了解三角函数的周期性;②理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、对称性、奇偶性以及最值问题等),理解正切函数的单调性2018课标全国Ⅰ,8,5分三角函数的周期性、最值三角恒等变换 ★★★2019课标全国Ⅰ,15,5分 三角函数的最值 诱导公式, 二倍角公式 2018课标全国Ⅱ,10,5分 三角函数的单调性辅助角公式 2018课标全国Ⅲ,6,5分 三角函数的周期性三角恒等变换 及同角关系式 2019课标全国Ⅱ,8,5分三角函数的周期性函数的图象分析解读从近几年的高考试题来看,对三角函数图象和性质的考查一般以基础题为主,往往结合三角公式化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性以及最值问题,且常以客观题的形式考查,分值一般为5分或12分,难度不大,属于中档题目.破考点 练考向 【考点集训】考点一 三角函数的图象1.(2016四川,4,5分)为了得到函数y=sin (x +π3)的图象,只需把函数y=sin x 的图象上所有的点( ) A.向左平行移动π3个单位长 B.向右平行移动π3个单位长度 C.向上平行移动π3个单位长度 D.向下平行移动π3个单位长度 答案 A2.(2019湖北重点中学开学测试,7)已知曲线C 1:y=sin x,C 2:y=sin (2x +2π3),则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度,得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π3个单位长度,得到曲线C 2 C.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度,得到曲线C 2 D.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π2个单位长度,得到曲线C 2 答案 B3.(2019广西南宁二中高三摸底考试,7)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=Asin ωx 的图象,只需将函数y=f(x)的图象( )A.向左平移π3个单位长度 B.向左平移π12个单位长度 C.向右平移π3个单位长度 D.向右平移π12个单位长度答案 B考点二 三角函数的性质1.(2017课标全国Ⅱ,3,5分)函数f(x)=sin (2x +π3)的最小正周期为( ) A.4π B.2π C.π D.π2答案 C2.(2019贵州贵阳联考,10)已知函数f(x)=sin (ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( ) A.关于点(π3,0)对称 B.关于直线x=π3对称 C.关于点(π4,0)对称 D.关于直线x=π4对称答案 A3.(2015课标Ⅰ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A.(kπ-14,kπ+34),k ∈Z B.(2kπ-14,2kπ+34),k ∈ZC.(k -14,k +34),k ∈ZD.(2k -14,2k +34),k ∈Z答案D4.(2020届河南、河北两省重点中学摸底考试,15)已知函数f(x)=2cos2x,将f(x)的图象上所有的点向左平移π4个单位长度得到g(x)的图象,则函数y=f(x)+g(x)的最小正周期是,最大值是.答案π;2+√2炼技法提能力【方法集训】方法1 由三角函数图象确定函数解析式的方法1.(2020届陕西合阳中学9月月考,4)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则φ=()A.π6 B.π3C.-π6D.-π3答案B2.(2016课标全国Ⅱ,3,5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则()A.y=2sin(2x-π6) B.y=2sin(2x-π3)C.y=2sin(x+π6) D.y=2sin(x+π3)答案A方法2 三角函数的周期与对称轴(对称中心)的求解方法1.(2017山东,7,5分)函数y=√3sin 2x+cos 2x的最小正周期为()A.π2 B.2π3C.πD.2π答案C2.(2019辽宁辽南协作体一模,6)将函数f(x)=sin (2x -π6)图象上的所有点向左平移t(t>0)个单位长度,得到的函数g(x)是奇函数,则下列结论正确的是( )A.t 的最小值为π6,g(x)图象的对称中心为(kπ2+π12,0),k ∈Z B.t 的最小值为π6,g(x)图象的对称轴为x=kπ2+π3,k ∈Z C.t 的最小值为π12,g(x)的单调增区间为(kπ-π4,kπ+π4),k ∈Z D.t 的最小值为π12,g(x)的周期为π 答案 D3.(2019河北邯郸摸底考试,17节选)已知f(x)=√3cos 2x+2sin (3π2+x)sin(π-x),x ∈R .求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程.答案 f(x)=√3cos 2x+2sin (3π2+x)sin(π-x)=√3cos 2x-2cos x ·sin x=√3cos 2x-sin 2x=-2sin (2x -π3),∴f(x)的最小正周期为π.令2x-π3=kπ+π2(k ∈Z ),得x=kπ2+5π12,k ∈Z .∴f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ2+5π12(k ∈Z ).方法3 三角函数的单调性与最值(值域)的求解方法1.(2018天津,6,5分)将函数y=sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( ) A.在区间[-π4,π4]上单调递增 B.在区间[-π4,0]上单调递减 C.在区间[π4,π2]上单调递增 D.在区间[π2,π]上单调递减 答案 A2.(2020届河南重点中学摸底考试,5)已知x ∈(0,π),则f(x)=cos 2x+sin x 的值域为( ) A.(0,98] B.[0,1) C.(0,1) D.[0,98]答案 D3.(2017课标全国Ⅱ,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x 的最大值为 . 答案 √5【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 三角函数的图象1.(2016课标全国Ⅰ,6,5分)将函数y=2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin (2x +π4) B.y=2sin (2x +π3)C.y=2sin(2x-π4) D.y=2sin(2x-π3)答案D2.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-√3cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.答案π3考点二三角函数的性质1.(2019课标全国Ⅱ,8,5分)若x1=π4,x2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=()A.2B.32 C.1 D.12答案A2.(2018课标全国Ⅰ,8,5分)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则()A. f(x)的最小正周期为π,最大值为3B. f(x)的最小正周期为π,最大值为4C. f(x)的最小正周期为2π,最大值为3D. f(x)的最小正周期为2π,最大值为4 答案B3.(2018课标全国Ⅱ,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是()A.π4 B.π2C.3π4D.π答案C4.(2018课标全国Ⅲ,6,5分)函数f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期为()A.π4 B.π2C.πD.2π答案C5.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cos(π2-x)的最大值为()A.4B.5C.6D.7答案B6.(2019课标全国Ⅰ,15,5分)函数f(x)=sin(2x+3π2)-3cos x的最小值为.答案-4B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一三角函数的图象1.(2019天津,7,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且f(x)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(π4)=√2,则f(3π8)=()A.-2B.-√2C.√2D.2答案C2.(2015山东,4,5分)要得到函数y=sin(4x-π3)的图象,只需将函数y=sin 4x的图象()A.向左平移π12个单位 B.向右平移π12个单位 C.向左平移π3个单位 D.向右平移π3个单位答案 B3.(2016山东,17,12分)设f(x)=2√3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g (π6)的值.答案 (1)f(x)=2√3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2=2√3sin 2x-(1-2sin xcos x) =√3(1-cos 2x)+sin 2x-1 =sin 2x-√3cos 2x+√3-1 =2sin (2x -π3)+√3-1.由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k ∈Z ), 得kπ-π12≤x ≤kπ+5π12(k ∈Z ). 所以f(x)的单调递增区间是[kπ-π12,kπ+5π12](k ∈Z ).(或(kπ-π12,kπ+5π12)(k ∈Z)) (2)由(1)知f(x)=2sin (2x -π3)+√3-1.把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 得到y=2sin (x -π3)+√3-1的图象, 再把得到的图象向左平移π3个单位, 得到y=2sin x+√3-1的图象, 即g(x)=2sin x+√3-1. 所以g (π6)=2sin π6+√3-1=√3.考点二 三角函数的性质1.(2019上海,15,5分)已知ω∈R ,函数f(x)=(x-6)2·sin(ωx),存在常数a ∈R ,使得f(x+a)为偶函数,则ω的值可能为( ) A.π2B.π3C.π4D.π5答案 C2.(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R ,其中ω>0,|φ|<π.若f (5π8)=2,f (11π8)=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则 ( ) A.ω=23,φ=π12B.ω=23,φ=-11π12C.ω=13,φ=-11π24D.ω=13,φ=7π24答案 A3.(2016天津,8,5分)已知函数f(x)=sin 2ωx2+12sin ωx -12(ω>0),x∈R .若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是( )A.(0,18] B.(0,14]∪[58,1) C.(0,58] D.(0,18]∪[14,58] 答案 D4.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ)(-π2<φ<π2)的图象关于直线x=π3对称,则φ的值是 . 答案 -π65.(2019浙江,18,14分)设函数f(x)=sin x,x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值; (2)求函数y=[f (x +π12)]2+[f (x +π4)]2的值域.答案 本题主要考查三角函数及三角恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.考查的数学素养是逻辑推理及数学运算,考查了化归与转化思想.(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x,都有sin(x+θ)=sin(-x+θ), 即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ, 故2sin xcos θ=0, 所以cos θ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2. (2)y=[f (x +π12)]2+[f (x +π4)]2=sin 2(x +π12)+sin 2(x +π4)=1-cos (2x+π6)2+1-cos (2x+π2)2=1-12(√32cos2x -32sin2x) =1-√32cos (2x +π3).因此,函数的值域是[1-√32,1+√32].6.(2018北京,16,13分)已知函数f(x)=sin 2x+√3sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间[-π3,m]上的最大值为32,求m 的最小值. 答案 (1)f(x)=12-12cos 2x+√32sin 2x=sin (2x -π6)+12.所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π.(2)由(1)知f(x)=sin(2x-π6)+12.由题意知-π3≤x≤m.所以-5π6≤2x-π6≤2m-π6.要使得f(x)在[-π3,m]上的最大值为32,即sin(2x-π6)在[-π3,m]上的最大值为1.所以2m-π6≥π2,即m≥π3.所以m的最小值为π3.C 组 教师专用题组考点一 三角函数的图象1.(2013课标Ⅱ,16,5分)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin (2x +π3)的图象重合,则φ= . 答案5π62.(2015湖北,18,12分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:ωx+φπ2 π3π2 2πxπ35π6Asin(ωx+φ)5-5(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O 最近的对称中心. 答案 (1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-π6.数据补全如下表:ωx+φπ2 π3π2 2πxπ12π37π125π61312π Asin(ωx+φ) 05-5且函数表达式为f(x)=5sin (2x -π6). (2)由(1)知f(x)=5sin (2x -π6),因此,g(x)=5sin [2(x +π6)-π6]=5sin (2x +π6). 令2x+π6=kπ,k∈Z ,解得x=kπ2-π12,k ∈Z . 即y=g(x)图象的对称中心为(kπ2-π12,0),k ∈Z ,其中离原点O 最近的对称中心为(-π12,0).考点二 三角函数的性质1.(2017课标全国Ⅲ,6,5分)函数f(x)=15sin (x +π3)+cos (x -π6)的最大值为( )A.65 B.1 C.35D.15答案A答案B3.(2014课标Ⅰ,7,5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos(2x+π6),④y=tan(2x-π4)中,最小正周期为π的所有函数为()A.①②③B.①③④C.②④D.①③答案A4.(2011课标,11,5分)设函数f(x)=sin(2x+π4)+cos(2x+π4),则()A.y=f(x)在(0,π2)单调递增,其图象关于直线x=π4对称B.y=f(x)在(0,π2)单调递增,其图象关于直线x=π2对称C.y=f(x)在(0,π2)单调递减,其图象关于直线x=π4对称D.y=f(x)在(0,π2)单调递减,其图象关于直线x=π2对称答案D5.(2015陕西,14,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为.答案86.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,最小值是.答案π;3-√227.(2015湖南,15,5分)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2√3,则ω=.答案π28.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为.答案 19.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a ·b ,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x 的值. 答案 (1)因为a =(cos x,sin x),b =(3,-√3),a ∥b , 所以-√3cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin 2x+cos 2x=1矛盾,故cos x ≠0.于是tan x=-√33.又x ∈[0,π],所以x=5π6.(2)f(x)=a ·b =(cos x,sin x)·(3,-√3)=3cos x-√3sin x=2√3cos (x +π6). 因为x ∈[0,π],所以x+π6∈[π6,7π6], 从而-1≤cos (x +π6)≤√32.于是,当x+π6=π6,即x=0时, f(x)取到最大值,为3; 当x+π6=π,即x=5π6时, f(x)取到最小值,为-2√3.10.(2017北京,16,13分)已知函数f(x)=√3cos (2x -π3)-2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x ∈[-π4,π4]时, f(x)≥-12. 答案 (1)f(x)=√32cos 2x+32sin 2x-sin 2x=12sin 2x+√32cos 2x=sin (2x +π3).所以f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)证明:因为-π4≤x ≤π4, 所以-π6≤2x+π3≤5π6.所以sin (2x +π3)≥sin (-π6)=-12. 所以当x ∈[-π4,π4]时, f(x)≥-12.11.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x-2√3sin xcos x(x ∈R ). (1)求f (2π3)的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间. 答案 (1)由sin 2π3=√32,cos 2π3=-12,f (2π3)=(√32)2-(-12)2-2√3×√32×(-12),得f(2π3)=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-√3sin 2x=-2sin(2x+π6).所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z.所以, f(x)的单调递增区间是[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z).12.(2016北京,16,13分)已知函数f(x)=2sin ωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求f(x)的单调递增区间.答案(1)因为f(x)=2sin ωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=√2sin(2ωx+π4),(3分)所以f(x)的最小正周期T=2π2ω=πω.(4分)依题意,πω=π,解得ω=1.(6分)(2)由(1)知f(x)=√2sin(2x+π4).因为函数y=sin x的单调递增区间为[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z),(8分)所以2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ-3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z).(12分)所以f(x)的单调递增区间为[kπ-3π8,kπ+π8](k∈Z).(13分)13.(2015安徽,16,12分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.答案(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=√2sin(2x+π4)+1,所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)由(1)知,f(x)=√2sin(2x+π4)+1.当x∈[0,π2]时,2x+π4∈[π4,5π4],由正弦函数y=sin x在[π4,5π4]上的图象知,当2x+π4=π2,即x=π8时, f(x)取得最大值,最大值为√2+1;当2x+π4=5π4,即x=π2时, f(x)取得最小值,最小值为0. 综上,f(x)在[0,π2]上的最大值为√2+1,最小值为0. 14.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=sin x-2√3sin 2x2.(1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间[0,2π3]上的最小值. 答案 (1)因为f(x)=sin x+√3cos x-√3 =2sin (x +π3)-√3,所以f(x)的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3,所以π3≤x+π3≤π. 当x+π3=π,即x=2π3时, f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间[0,2π3]上的最小值为f (2π3)=-√3.15.(2015重庆,18,13分)已知函数f(x)=12sin 2x-√3cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.当x ∈[π2,π]时,求g(x)的值域. 答案 (1)f(x)=12sin 2x-√3cos 2x=12sin 2x-√32(1+cos 2x)=12sin 2x-√32cos 2x-√32=sin (2x -π3)-√32,因此f(x)的最小正周期为π,最小值为-2+√32. (2)由已知可得g(x)=sin (x -π3)-√32.当x ∈[π2,π]时,有x-π3∈[π6,2π3], 从而sin (x -π3)∈[12,1], 那么sin (x -π3)-√32∈[1-√32,2-√32]. 故g(x)在区间[π2,π]上的值域是[1-√32,2-√32]. 16.(2015福建,21,12分)已知函数f(x)=10√3sin x2cos x 2+10cos 2x2.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度,再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,且函数g(x)的最大值为2.(i)求函数g(x)的解析式;(ii)证明:存在无穷多个互不相同的正整数x 0,使得g(x 0)>0. 答案 (1)因为f(x)=10√3sin x 2cos x 2+10cos 2x2=5√3sin x+5cos x+5=10sin (x +π6)+5,所以函数f(x)的最小正周期T=2π.(2)(i)将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到y=10sin x+5的图象,再向下平移a(a>0)个单位长度后得到g(x)=10sin x+5-a 的图象.又已知函数g(x)的最大值为2,所以10+5-a=2,解得a=13. 所以g(x)=10sin x-8.(ii)证明:要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0,使得g(x 0)>0,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0,使得10sin x 0-8>0,即sin x 0>45.由45<√32知,存在0<α0<π3,使得sin α0=45.由正弦函数的性质可知,当x ∈(α0,π-α0)时,均有sin x>45. 因为y=sin x 的周期为2π,所以当x ∈(2kπ+α0,2kπ+π-α0)(k ∈Z )时,均有sin x>45. 因为对任意的整数k,(2kπ+π-α0)-(2kπ+α0)=π-2α0>π3>1,所以对任意的正整数k,都存在正整数x k ∈(2kπ+α0,2kπ+π-α0),使得sin x k >45. 亦即,存在无穷多个互不相同的正整数x 0,使得g(x 0)>0.【三年模拟】时间:45分钟分值:60分一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2020届广西玉林高级中学8月月考,8)将函数y=sin(2x-π6)的图象向左平移π4个单位长度,所得函数图象的一条对称轴的方程为()A.x=π3 B.x=π6C.x=π12 D.x=-π12答案C2.(2018河南中原名校第三次联考,5)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π6个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为()A.π3 B.π6C.0D.π4答案B3.(2020届河南新乡调研,8)已知P(14,1),Q(54,-1)分别是函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象上相邻的最高点和最低点,则ω-φ=()A.-5π4 B.5π4C.-3π4D.3π4答案B4.(2020届湖北名师联盟8月调研,9)将函数f(x)=2sin 2x的图象向左平移φ(0<φ<π4)个单位长度后得到g(x)的图象,且g(π12)=√3,则函数g(x)图象的一个对称中心的坐标是()A.(-π6,0) B.(-π12,0) C.(π12,0) D.(π6,0)答案B5.(多选题)(命题标准样题,7)设函数f(x)=cos(x+π3),则下列结论正确的是()A. f(x)的一个周期为2πB.y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称C. f(x+π)的一个零点为x=π6D. f(x)在(π2,π)上单调递减答案ABC6.(2020届河北邯郸重点中学第一次联考,10)将函数y=sin(2x-π4)的图象向左平移π4个单位,所得图象对应的函数在区间(-m,m)上无极值点,则m的最大值为()A.π8 B.π4C.3π8D.π2答案A7.(2019广东广州高中毕业班综合测试(一),9)函数f(x)=sin(x+π12)+sin(x+5π12)的最大值是()A.2B.32C.√3D.2√3答案 C8.(2019江西南昌外国语学校高考适应性测试,8)将函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向左平移π4ω个单位得到函数g(x)的图象,若函数g(x)的图象关于直线x=ω对称且在区间(-ω,ω)内单调递增,则ω的值为( ) A.√π2B.3√π2C.π4D.3π2答案 A9.(2020届湖南长沙第一次联考,11)将函数f(x)=sin 2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象,若对于满足|f(x 1)-g(x 2)|=2的x 1,x 2,有|x 1-x 2|min =π3,则φ=( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 D二、填空题(共5分)10.(2019山西3月高考考前适应性测试,16)已知函数f(x)=cos ωx+sin (ωx +π6)(ω>0)在[0,π]上恰有一个最大值点和两个零点,则ω的取值范围是 . 答案 [53,136)三、解答题(共10分)11.(2020届西南地区名校联盟8月联考,17)已知函数f(x)=12sin 2xcos φ+sin 2xsin φ+12cos (π2+φ)+12(-π2<φ<π2),其图象过点(π6,1).(1)求f(x)的解析式,并求其图象的对称中心;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来的2倍,然后各点横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的2倍,得到g(x)的图象,求函数g(x)在[0,π2]上的最大值和最小值. 答案 (1)f(x)=12sin 2xcos φ+sin 2xsin φ-12sin φ+12=12sin 2xcos φ+1-cos2x 2×sin φ-12sin φ+12 =12sin 2xcos φ-12cos 2xsin φ+12=12sin(2x-φ)+12.∵f(x)的图象过点(π6,1),∴12sin (π3-φ)+12=1,即sin (π3-φ)=1,∴π3-φ=2kπ+π2(k ∈Z ),∴φ=-2kπ-π6(k ∈Z ).∵-π2<φ<π2,∴φ=-π6.则f(x)=12sin (2x +π6)+12,由2x+π6=kπ(k∈Z )得x=kπ2-π12(k ∈Z ),故其图象的对称中心为(kπ2-π12,12),k ∈Z . (2)将y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来的2倍,所得图象对应的函数解析式为y=12sin (x +π6)+12. 又将所得图象各点横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的2倍,得到g(x)的图象, 则g(x)=sin (x +π6)+1.由x ∈[0,π2]得x+π6∈[π6,2π3], 当x+π6=π2,即x=π3时,g(x)取最大值2; 当x+π6=π6,即x=0时,g(x)取最小值32.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时作业(十九)B [第19讲 三角函数的图像与性质]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身 1．设函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为π2
的奇函数 D ．最小正周期为π2
的偶函数 2．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )
A ．y ＝tan x
B ．y ＝cos(－x )
C ．y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x
D ．y ＝|tan x |
3．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( )
A ．－1 B.12 C ．－12
D ．－5 4．若函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)对任意的x 都满足f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3－x ，则f ⎝⎛⎭
⎫π3的值是( ) A ．3或0 B ．－3或0
C ．0
D ．－3或3
能力提升 5．函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π4的单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫k π2－π8，k π2＋3π8，k ∈Z
B.⎝⎛⎭⎫k π2＋π8，k π2＋5π8，k ∈Z
C.⎣
⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z D.⎣
⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z 6．已知函数F (x )＝sin x ＋f (x )在⎣⎡⎦
⎤－π4，3π4上单调递增，则f (x )可以是( ) A ．1 B ．cos x C ．sin x D ．－cos x
7．函数y ＝lncos x ⎝⎛⎭
⎫－π<x <π的图像是( )
8．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6(x ∈R )的最小值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5
9．如图K19－3是函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)一个周期的图像，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)的值等于( )
A. 2
B.22
C ．2＋ 2
D ．2 2 10．函数y ＝log cos1cos x 的定义域是________；值域是________．
11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫12x (x ≤0)，2cos x (0<x <π)，若f [f (x 0)]＝2，则x 0
＝________. 12．已知y ＝cos x (0≤x ≤2π)的图像和y ＝1的图像围成一个封闭图形，该图形面积是________．
13．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭
⎫x －π2，则下列结论中不正确的是________． ①函数y ＝f (x )·g (x )的最小正周期为π；
②函数y ＝f (x )·g (x )的最大值为12
； ③函数y ＝f (x )·g (x )的图像关于点π4
，0成中心对称； ④将函数f (x )的图像向右平移π2
个单位后得到函数g (x )的图像． 14．(10分)若f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－sin x ，求当x <0时，f (x )的解析式．
15．(13分)已知函数y ＝12sin x ＋12
|sin x |. (1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
难点突破 16．(12分)已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦
⎤0，π2，值域为[－5,1]，求a 和b 的值．
课时作业(十九)B
【基础热身】
1．B [解析] f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π2＝－cos2x ， f (－x )＝－cos2(－x )＝－cos2x ＝f (x )，
∴f (x )是偶函数，T ＝2π2
＝π， 最小正周期为π.
2．C [解析] A 为奇函数；B 在(0，π)上单调递减；D 在(0，π)上不具有单调性，选C.
3．C [解析] y ＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3
＝－2⎝
⎛⎭⎫cos x －122－12，∵－1≤cos x ≤1， ∴y max ＝－12
. 4．D [解析] f (x )的图像关于直线x ＝π3
对称，故f ⎝⎛⎭⎫π3为最大值或最小值． 【能力提升】
5．C [解析] ∵2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2
，k ∈Z ， ∴2k π－π4≤2x ≤2k π＋3π4
，k ∈Z ， ∴k π－π8≤x ≤k π＋3π8
，k ∈Z . 6．D [解析] 当f (x )＝1时，F (x )＝sin x ＋1；当f (x )＝sin x 时，F (x )＝2sin x .此两种情形下
F (x )的一个增区间是⎣⎡⎦⎤－π2，π2，在⎣⎡⎦
⎤－π4，3π4上不单调；对B 选项，当f (x )＝cos x 时，F (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的一个增区间是⎣⎡⎦⎤－3π4，π4，在⎣⎡⎦
⎤－π4，3π4上不单调． 7．A [解析] ∵－π2<x <π2
，∴0＜cos x ≤1，且函数y ＝lncos x 是偶函数，排除B ，D ， ∵lncos x ≤0，故选A.
8．C [解析] ∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6 ＝2cos ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴y min ＝－1.
9．A [解析] 由图知：T ＝8＝2π，∴ω＝π4
， 又A ＝2，∴f (x )＝2sin π4
x ，观察图像可知f (x )的图像关于点(4,0)中心对称，故f (3)＋f (5)＝0，f (2)＋f (6)＝0，又f (4)＝0，故原式＝f (1)＝ 2.
10.⎝⎛⎭
⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z ) [0，＋∞) 11.2π3
[解析] 如图像所示：
∵⎝⎛⎭⎫12x ＝2，x ＝－1，
∴f (x 0)＝2cos x 0＝－1，
∴x 0＝2π3
. 12．2π [解析] 根据函数图像的对称性，采用割补法，所求的面积等于一个边长分别为2π，1的矩形的面积．
13．③ [解析] y ＝f (x )·g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos x sin x ＝12
sin2x ， ∵y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＝12
， 该函数图像不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称．
14．[解答] 设x <0，则－x >0，
∴f (－x )＝(－x )2－sin(－x )＝x 2＋sin x .
又∵f (x )是奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－x 2－sin x (x <0)．
15．[解答] (1)y ＝12sin x ＋12
|sin x | ＝⎩
⎪⎨⎪⎧ sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z ). 函数图像如图所示．
(2)由图像知该函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.
【难点突破】
16．[解答] ∵0≤x ≤π2
， ∴－π3≤2x －π3≤2π3， ∴－32
≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 当a >0时，则⎩⎨⎧
2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5， 解得⎩
⎨⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3. 当a <0时，则⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1，
解得⎩⎨⎧
a ＝－12＋63，
b ＝19－12 3.。