直角三角形的射影定理 课件
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1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
∴AD2+2· DB+DB2=AC2+BC2, AD·
即2AD· DB=AC2-AD2+BC2-DB2. 返回
∵AC2-AD2=CD2,BC2-DB2=CD2,
∴2AD· DB=2CD2,即CD2=AD· DB. 在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2=AD2+AD· DB =AD(AD+DB)=AD· AB, 即AC2=AD· AB. 在Rt△BCD中,BC2=CD2+BD2=AD· DB+BD2 =BD(AD+DB)=BD· AB,
即BC2=BD· AB.
返回
[研一题] [例1] 如图,在Rt△ABC中,∠ACB
=90°,CD是AB边上的高,已知BD=4, AB=29,试求BC,AC和CD的长度. 分析:本题考查射影定理与勾股定理的应用.解答 本题可由已知条件先求出AD,然后利用射影定理求BC,
AC和CD的长度.
返回
解:∵BD=4,AB=29, ∴AD=25 由射影定理得 CD2=AD· BD=25×4=100, ∴CD=10. BC2=BD· BA=4×29. ∴BC=2 29. AC2=AD· AB=25×29,∴AC=5 29.
∵AB⊥AC,AF⊥BC 又FC=1, 根据射影定理, 得AC2=FБайду номын сангаас· BC,
即BC=x2.
再由射影定理, 得AF2=BF· FC=(BC-FC)· FC,
即 AF2=x2-1.∴AF= x2-1. 在△BDC 中, D 作 DE⊥BC 于 E, 过
返回
∵BD=DC=1,∴BE=EC. DE DC 又∵AF⊥BC,∴DE∥AF.∴ = . AF AC x2-1 DC· AF ∴DE= = . AC x 在 Rt△DEC 中,∵DE2+EC2=DC2, x2-1 2 x2 2 2 即( ) +( ) =1 , x 2 x2-1 x4 ∴ 2 + =1. x 4
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
即BC2=BD· AB.
返回
[研一题] [例1] 如图,在Rt△ABC中,∠ACB
=90°,CD是AB边上的高,已知BD=4, AB=29,试求BC,AC和CD的长度. 分析:本题考查射影定理与勾股定理的应用.解答 本题可由已知条件先求出AD,然后利用射影定理求BC,
AC和CD的长度.
返回
解:∵BD=4,AB=29, ∴AD=25 由射影定理得 CD2=AD· BD=25×4=100, ∴CD=10. BC2=BD· BA=4×29. ∴BC=2 29. AC2=AD· AB=25×29,∴AC=5 29.
返回
[悟一法] 运用射影定理时,要注意其成立的条件,要结合图 形去记忆定理,当所给条件中具备定理的条件时,可直
接运用定理,不具备时可通过作垂线使之满足定理的条
件,再运用定理.
返回
[通一类]
1.如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,CD 3 ⊥AB 于 D, DE⊥BC 于 E, AD= 10, 若 2 BE=2,求 BC 的长.
∴AD2+2· DB+DB2=AC2+BC2, AD·
即2AD· DB=AC2-AD2+BC2-DB2. 返回
∵AC2-AD2=CD2,BC2-DB2=CD2,
∴2AD· DB=2CD2,即CD2=AD· DB. 在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2=AD2+AD· DB =AD(AD+DB)=AD· AB, 即AC2=AD· AB. 在Rt△BCD中,BC2=CD2+BD2=AD· DB+BD2 =BD(AD+DB)=BD· AB,
例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影 与 斜边 的比例 中项.
返回
[小问题·大思维] 1.线段的正射影还是线段吗?
人教高中数学直角三角形的射影定理ppt优秀课件
思考
C
A
DB
找出上图中相似三角 形的个数?
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
研讨
考察Rt△ACD和Rt △CBD.
ACD 90 BCD,B 90 BCD,
B ACD.
ACD CBD.
A
AD CD .即C D 2 AD BD.(1)
CD BD
CD是AD、BD的比例中项.
C DB
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
考察Rt△BDC和Rt △BCA. B是公共角.
BDC BCA.
BD BC .即B C 2 BD • AB.(2) A BC AB
同理:CDA BCA.(3) AC 2 AD • AB.
C DB
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
2. 如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,DE⊥AC于E
,DF⊥BC于F.
求证:△CEF∽△CBA .
C
证明: 根据直角三角形的射影定理:
CD2=CE·CA;
E
CD2=CF·CB;
∴CE·CA=CF·CB
即:
CE CB
CF CA
A
又∵∠C是公共角;
情感态度与价值观
1.通过直角三角形的射影定理,体会并推 出一般三角形的射影性质.
2.通过课堂学习培养敢于结合以前所学知 识,推导出新的知识或性质,有利于深刻理解.
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
教学重难点
重点
直角三角形的射影定理.
难点
灵活应用直角三角形的射影定理并能证明.
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优3)反应出直角三角形两直角边在斜 边上的射影与其他线段之间的关系.
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)
(1)在Rt△ABC中,共有AC、BC、CD、AD、BD和 AB六条线段,已知其中任意两条,便可求出其余四条.
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段,若已知两
条可求出第三条.
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, CD是AB上的 高.已知BD=4,
AB=29,试求出图中其他未知线 段的长.
解:由射影定理,得 BC2=BD· AB, ∴BC= BD· AB= 4×29=2 29. 又∵AD=AB-BD=29-4=25. 且 AC2=AB2-BC2, ∴AC= AB2-BC2= 292-4×29=5 29. ∵CD2=AD· BD, ∴CD= AD· BD= 25×4=10.
[例2]
如图所示,CD垂直平分AB,
点E在CD上,DF⊥AC,DG⊥BE,F、 G分别为垂足.
求证:AF· AC=BG· BE.
[思路点拨]
先将图分解成两个基本图形(1)(2),再
在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论.
[证明] ∵CD垂直平分AB, ∴△ACD和△BDE均为直角三角形,且AD=BD.
的长度,可考虑使用勾股定理和射影定理.
[解]
∵CD2=AD· DB=2×6=12,
∴CD= 12=2 3(cm). ∵AC2=AD· AB=2×(2+6)=16, ∴AC= 16=4(cm). ∵BC2=BD· AB=6×(2+6)=48, ∴BC= 48=4 3(cm). 故 CD、AC、BC 的长分别为 2 3 cm,4 cm,4 3 cm.
1.射影 (1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的 垂足 ,叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影:线段的 两个端点 在这条直线 上的 正射影 间的线段. (3)射影:点和线段的 正射影三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例 斜边 上射影与 斜边 中项;两直角边分别是它们在 的比例中项.
射影定理课件
射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于,它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说,它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中,如果CD是斜边AB上的高,那么三角形 ACD与三角形CBD相似,它们的对应角相等,对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一:利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质,利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先,选取两个相似三角形,并确定它们的对应边和对应角。然后,根据相似 三角形的性质,利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后,通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二:利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用,特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如,在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时,可以利用射影定理来简化计算过程。
此外,射影定理还可以用于证明一些几何定理,如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理,可以推导出这些 定理的证明过程,从而加深对几何学的理解。
THANK YOU
感谢聆听
03
射影定理的推论
推论一:射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题,如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中,射影定理可以用来计算三角形面积,特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外,通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质,如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理,我们可以研究相似形之间的 关系,进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三:射影定理与投影几何的关系
人教版高中数学选修直角三角形的射影定理ppt课件
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定理.
2.相似三角形的性质
(1)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等 于相似比; (2)相似三角形周长的比等于相似比; (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
A´ A
谢谢观看!
4.如图所示,设 CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高. 求证:CA·CD=BC·AD. 证明:由射影定理知: CD2=AD·BD, CA2=AD·AB, BC2=BD·AB. ∴CA·CD= AD2·BD·AB=AD· BD·AB, BC·AD=AD· AB·BD. 即 CA·CD=BC·AD.
考察RCtACD和RtCB∵DAB²=AC²+BC²
ACD 900
ACD B
BCADC, ∴即DB(2A∽AD9D0+·0BBDDC=)B²BA=CACDDC²-.A²+DB²C+B²C²-BCAD²DD
CD BD
即 即 考 A ACB察 CCBDCD是 2R222tD公ABAAB共 DDDDD角 CBA和 BDA,DBB RtBBBCD((∵∴∴而12AC)A2CA)ACDC∽D²²²-==·ABAADDDDB²=²=·+2BCCCCDDADD²²,²=ABDCBB²²C+-BDCADD²·=BCDBADC²B
判定定理3 对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形 的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简述:三边对应成比例,两三角形相似
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,
直角三角形的射影定理
02
三角函数方程求解
通过射影定理可以将某些三角函 数方程转化为代数方程进行求解 。
03
三角函数不等式求 解
通过射影定理可以将某些三角函 数不等式转化为代数不等式进行 求解。
05
射影定理在物理学中的应用
力学中的平衡问题
01 02
力的分解
在力学中,当一个力作用于一个物体时,该力可以分解为两个分力,这 两个分力分别与物体的两个直角边相对应。根据射影定理,可以通过已 知的两个分力求出原力的大小和方向。
在高级数学中,射影定理可以通过向量和矩阵的知识进行 更深入的理解和拓展。例如,可以通过向量投影的概念解
释射影定理,或者利用矩阵运算解决相关问题。
对未来学习的建议
深入学习相似三角
形
相似三角形是射影定理的基础, 建议深入学习相似三角形的性质 、判定和应用,以便更好地理解 和应用射影定理。
掌握三角函数知识
三角函数是解决三角形问题的重 要工具,建议熟练掌握三角函数 的定义、性质和计算方法,以便 在解三角形问题时灵活运用。
拓展数学视野
除了射影定理和相似三角形外, 数学中还有许多其他有趣且实用 的概念和定理。建议广泛涉猎数 学知识,拓展数学视野,提高数 学素养。
感谢您的观看
THANKS
06
总结与拓展
射影定理的重要性总结
1 2
揭示直角三角形性质
射影定理揭示了直角三角形中边与角之间的特殊 关系,是理解直角三角形性质的重要工具。
沟通相似三角形与三角函数
射影定理将相似三角形与三角函数联系起来,为 解三角形问题提供了更多思路和方法。
3
应用于实际问题
射影定理在测量、建筑、物理等领域有广泛应用 ,掌握该定理有助于解决实际问题。
人教版高中数学选修直角三角形的射影定理ppt课件
即CD AD BD (1) ∵AC² -AD² =CD² ,BC² -BD² =CD² A D B 考察RtBDC和RtBCA BD BC ∴2AD· BD=2CD² 2 CD AD BD ∽ BCA B是公共角 , BDC BC AB ∴ CD² = AD· BD C 2 2 AC 即 BC AD BD AB AB (2)
简述:两角对应相等,两三角形相似
判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角 形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延 长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行 于三角形的第三边.
2
在 ACD中 CAD ACD 900 BCD ACD 900 ACB 900 ABC 是直角三角形 .
习题1.4 3.如图,已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。
a b
总结: 1、知识:学习了直角 三角形中重要的比例式和比例中项 的表达式——射影定理。 2、方法:利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等 积式。 3、能力:会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图 形的能力。 4、数学思想:方程思想和转化思想。
BC,由 BD AB 同理 CDA ∽ BCA =AD(AD+BD)=AD· AB
2
2 用勾股定理能证明吗 有AC AD ? AB
而AC² =AD² +CD² =AD² +AD· BD
(3) 同理可证得 BC² = BD· AB A D
B
例1 如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D. AD=2,DB=8, 求CD,AC和BC的长.
高二数学之数学人教A版选修4-1课件:1.4 直角三角形的射影定理
则AC2+BC2=AD·AB+BD·BA=(AD+BD)·AB=AB2,即
AC2+BC2=AB2.
由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积
割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定
理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.
-8-
四
直角三角形的射影定理
题型一
CD=4,则AD·DB等于(
)
A.16 B.4
C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB,
∴AD·DB=CD2.
又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
-6-
四
1
直角三角形的射影定理
2
【做一做2-2】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,点C在AB上的正射影
为点D,且AC=3,AD=2,则AB=
= 16.
∴DB=AB-AD=25-16=9.
∴CD= · = 16 × 9 = 12.
-9-
四
直角三角形的射影定理
题型一
题型二
题型三
反思1.本题可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后
用勾股定理求出CD;此外还有其他方法.
2.运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,有时需要与直角
四
直角三角形的射影定理
高二数学PPT之数学人教A版选修4-1课件:1.4直角三角形的射影定理
四
直角三角形的射影定理
-1-
四
直角三角形的射影定理
1.掌握正射影即射影的概念,能画出点和线段的射影.
2.理解并掌握射影定理,并能解决有关问题.
-2-
四
1
AC2+BC2=AB2.
由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积
割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定
理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.
-8-
四
直角三角形的射影定理
题型一
CD=4,则AD·DB等于(
)
A.16 B.4
C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB,
∴AD·DB=CD2.
又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
-6-
四
1
直角三角形的射影定理
2
【做一做2-2】 如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,点C在AB上的正射影
为点D,且AC=3,AD=2,则AB=
= 16.
∴DB=AB-AD=25-16=9.
∴CD= · = 16 × 9 = 12.
-9-
四
直角三角形的射影定理
题型一
题型二
题型三
反思1.本题可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后
用勾股定理求出CD;此外还有其他方法.
2.运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,有时需要与直角
四
直角三角形的射影定理
高二数学PPT之数学人教A版选修4-1课件:1.4直角三角形的射影定理
四
直角三角形的射影定理
-1-
四
直角三角形的射影定理
1.掌握正射影即射影的概念,能画出点和线段的射影.
2.理解并掌握射影定理,并能解决有关问题.
-2-
四
1
直角三角形的射影定理 课件
∴由射影定理,得AC2=AD·AB,CD2=AD·DB,
2
∴AD=
=
202
=16,
25
∴DB=AB-AD=25-16=9,
∴CD= · = 16 × 9=12.
纠错心得本题错误在于对射影定理理解和记忆不扎实,将射影定
理的结论弄错从而导致错误,因此在解决问题时,务必将射影定理
的三个结论等式区分清楚,记忆准确,以便在解题中灵活运用.
=1 ,∴
2
4=1.
+
2
4
整理得 x6=4.∴x= 3 2.∴AC= 3 2.
反思感悟射影定理的综合应用注意点
1.在使用直角三角形的射影定理时,要注意将“乘积式”转化为相
似三角形中的“比例式”.
2.证题时,作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用
的方法.
错用射影定理致误
【典例】 已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试
直角三角形的射影定理
1.射影
(1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做
这个点在这条直线上的正射影.
(2)线段在直线上的正射影:一条线段的两个端点在一条直线上的
正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影.
(3)射影:点和线段的正射影简称为射影.
【做一做1】 如图,AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为点D,E.指出点
名师点拨1.应用射影定理的条件
(1)三角形是直角三角形;(2)给出直角三角形斜边上的高.
2.射影定理的逆定理仍然成立.
如果一个三角,那么这个三角形是直角三角形.
符号表示:如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D.若CD2=AD·
BD,则
2
∴AD=
=
202
=16,
25
∴DB=AB-AD=25-16=9,
∴CD= · = 16 × 9=12.
纠错心得本题错误在于对射影定理理解和记忆不扎实,将射影定
理的结论弄错从而导致错误,因此在解决问题时,务必将射影定理
的三个结论等式区分清楚,记忆准确,以便在解题中灵活运用.
=1 ,∴
2
4=1.
+
2
4
整理得 x6=4.∴x= 3 2.∴AC= 3 2.
反思感悟射影定理的综合应用注意点
1.在使用直角三角形的射影定理时,要注意将“乘积式”转化为相
似三角形中的“比例式”.
2.证题时,作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用
的方法.
错用射影定理致误
【典例】 已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试
直角三角形的射影定理
1.射影
(1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做
这个点在这条直线上的正射影.
(2)线段在直线上的正射影:一条线段的两个端点在一条直线上的
正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影.
(3)射影:点和线段的正射影简称为射影.
【做一做1】 如图,AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为点D,E.指出点
名师点拨1.应用射影定理的条件
(1)三角形是直角三角形;(2)给出直角三角形斜边上的高.
2.射影定理的逆定理仍然成立.
如果一个三角,那么这个三角形是直角三角形.
符号表示:如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D.若CD2=AD·
BD,则
初三数学直角三角形中的成比例线段(射影定理)PPT
各种线段在直线上的射影的情况: A B A l A’
A B’
B l
A’ 如图,CD是
B’
A’
B B’
l
Rt ABC 的斜边AB的高线
C
这里:AC、BC为直角边,AB为斜边, CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影, BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
A D
B
直角三角形中的成比例线段
即CD AD BD (1) ∵AC² -AD² =CD² ,BC² -BD² =CD² A D B 考察RtBDC和RtBCA BD BC ∴2AD· BD=2CD² 2 CD AD BD ∽ B是公共角 , BDC BCA BC AB ∴ CD² = AD· BD C 2 2 AC 即 BC AD BD AB AB (2)
原来学好数学, 一点都不难!
你知道吗?
使学生了解射影的概念,掌握射影 定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理在证题 和实际计算中有较多的应用。
例2证法有一定的技巧性。
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方法。今天我 们进一步学习直角三角形的特性。
大家先回忆一下:
C ,有_____________________. 在Rt ABC 中, =90
所以CDA ~ BDC. 故CAD BCD.
在ACD中 ,因为CAD ACD 900.所以 BCD ACD 900 则BCD ACD ACB 90 , 因此 ABC是直角三角形 .
0
如图3-2,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,
2
如图1 36 , ABC 中, 顶点 C
C
2017高二数学选修4-1《直角三角形的射影定理》课件
2
在ACD中 CAD ACD 900 BCD ACD 900 ACB 900 ABC 是直角三角形.
CDA∽BDC CAD BCD
习题1.4 3.如图,已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。
a b
例2 如图,在△ABC中,CD⊥AB于D, DF⊥AC于F,DG⊥BE于G。
你知道直角三角形有哪些性质吗?
C 1,直角三角形的面积可以 怎样表示? 2,图中哪些角相等?
A
D
B
3,图中有几个三角形相似? 4,相似三角形存在什么比 例关系?
自主学习:
时间:3分钟
请大家阅读课本P20-P22的内容,回答下面几个 问题: 1, 直角三角形中存在几个三角形? 2,直角三角形的射影是什么?
1.射影 点在直线上的正射影 从一点向一直线所引 垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的 正射影。 B A A A B N ´ ´ 一条线段在直线上的正射影 线段的两个端 点在这条直线上的正射影间的线段。 点和线段的正射影简称射 M A´ A N M
射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜 边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上 射影与斜边的比例中项。
例2 △ABC中,顶点C在AB边上的射影为D,且
CD²=AD· DB 求证: △ABC是直角三角形。
证明:在△CDA和△BDC中,
点C 在AB上的射影为D, CD AB. CDA BDC 900.
A D B C
又 CD AD DB AD : CD CD : DB
求证:CF · AC = CG ·BC
证明:∵CD⊥AB,DF ⊥AC ∴ △CDF∽△CAD ∴ CF︰CD=CD︰AC
∴ CD 2 =CF· AC
在ACD中 CAD ACD 900 BCD ACD 900 ACB 900 ABC 是直角三角形.
CDA∽BDC CAD BCD
习题1.4 3.如图,已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。
a b
例2 如图,在△ABC中,CD⊥AB于D, DF⊥AC于F,DG⊥BE于G。
你知道直角三角形有哪些性质吗?
C 1,直角三角形的面积可以 怎样表示? 2,图中哪些角相等?
A
D
B
3,图中有几个三角形相似? 4,相似三角形存在什么比 例关系?
自主学习:
时间:3分钟
请大家阅读课本P20-P22的内容,回答下面几个 问题: 1, 直角三角形中存在几个三角形? 2,直角三角形的射影是什么?
1.射影 点在直线上的正射影 从一点向一直线所引 垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的 正射影。 B A A A B N ´ ´ 一条线段在直线上的正射影 线段的两个端 点在这条直线上的正射影间的线段。 点和线段的正射影简称射 M A´ A N M
射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜 边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上 射影与斜边的比例中项。
例2 △ABC中,顶点C在AB边上的射影为D,且
CD²=AD· DB 求证: △ABC是直角三角形。
证明:在△CDA和△BDC中,
点C 在AB上的射影为D, CD AB. CDA BDC 900.
A D B C
又 CD AD DB AD : CD CD : DB
求证:CF · AC = CG ·BC
证明:∵CD⊥AB,DF ⊥AC ∴ △CDF∽△CAD ∴ CF︰CD=CD︰AC
∴ CD 2 =CF· AC
直角三角形的射影定理 课件
直角三角形的射影定理
1.射影 (1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足, 叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影:线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段.
(3)射影:点和线段的 正射影 简称为射影.
2.射影定理 (1)文字语言 直角三角形斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比 例中项;两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比 例中项. (2)图形语言 如图 1-4-1,在 Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高, 则有 CD2= AD·BD. AC2= AD·AB . BC2= BD·AB .
求:(1)AD∶BD 的值; (2)若 AB=25 cm,求 CD 的长. 【自主解答】 (1)∵AC2=AD·AB,BC2=BD·AB, ∴ABDD··AABB=BACC22, ∴ABDD=(ABCC)2=(34)2=196, 即 AD∶BD=9∶16.
(2)∵AB=25 cm,AD∶BD=9∶16, ∴AD=295×25=9(cm). BD=1265×25=16(cm), ∴CD= AD·BD= 9×16=12(cm).
已知:CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高, 如果两直角:(1)AD∶BD 的值; (2)若 AB=25 cm,求 CD 的长.
已知:CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高, 如果两直角边 AC,BC 的长度比为 AC∶BC=3∶4.
图 1-4-3 已知如图 1-4-3,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥ AB 于 D,DE⊥AC 于 E,DF⊥BC 于 F. 求证:CD3=AE·BF·AB.
【 思 路 探 究 】 ∠ ACB = 90°, CD ⊥ AB→CD2 = AD·DB→CD3=AE·BF·AB.
1.射影 (1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足, 叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影:线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段.
(3)射影:点和线段的 正射影 简称为射影.
2.射影定理 (1)文字语言 直角三角形斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比 例中项;两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比 例中项. (2)图形语言 如图 1-4-1,在 Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高, 则有 CD2= AD·BD. AC2= AD·AB . BC2= BD·AB .
求:(1)AD∶BD 的值; (2)若 AB=25 cm,求 CD 的长. 【自主解答】 (1)∵AC2=AD·AB,BC2=BD·AB, ∴ABDD··AABB=BACC22, ∴ABDD=(ABCC)2=(34)2=196, 即 AD∶BD=9∶16.
(2)∵AB=25 cm,AD∶BD=9∶16, ∴AD=295×25=9(cm). BD=1265×25=16(cm), ∴CD= AD·BD= 9×16=12(cm).
已知:CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高, 如果两直角:(1)AD∶BD 的值; (2)若 AB=25 cm,求 CD 的长.
已知:CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高, 如果两直角边 AC,BC 的长度比为 AC∶BC=3∶4.
图 1-4-3 已知如图 1-4-3,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥ AB 于 D,DE⊥AC 于 E,DF⊥BC 于 F. 求证:CD3=AE·BF·AB.
【 思 路 探 究 】 ∠ ACB = 90°, CD ⊥ AB→CD2 = AD·DB→CD3=AE·BF·AB.
直角三角形的射影定理公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
直角三角形射影定理
第1页
直角三角形
• 你知道直角三角形哪些性质? • 1.勾股定理: • 2.斜边上中线=斜边二分之一; • 3.外接圆圆心是斜边中点.
• 尚有什么性质?
第2页
C
A
DB
如图,CD是 RtABC斜边AB高线 这里:AC、BC为直角边,AB为斜边,
CD是斜边上高
AD是直角边AC在斜边AB上射影, BD是直角边BC在斜边AB上射影。
E
DEAC
CD 2
CE
CA
A
D
B
CDAB DFCE B CCA
CD 2 CF CB
CF
CB CE
CF
CB CA
ECF BCA
CEF ∽ CBA.
第13页
F
E
分析:欲证 CEF∽ CBA. A D
B
已具备条件 ACB ECF 公共角
要么找角,
CEF B或 CFE A
要么找边.
CE CF CB CA
第12页
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF∽ CBA.C
F
证法一:
CDAB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD 2 BD AD
CB BD CD
第5页
直角三角形中,斜边上高线是两条 直角边在斜边上射影百分比中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边 上射影和斜边百分比中项.
这就是射影定理
第6页
在RtABC中,CD是高,则有
C
AC是AD,AB百分比中项。
BC是BD,AB百分比中项。
CD是BD,AD百分比中项。
第1页
直角三角形
• 你知道直角三角形哪些性质? • 1.勾股定理: • 2.斜边上中线=斜边二分之一; • 3.外接圆圆心是斜边中点.
• 尚有什么性质?
第2页
C
A
DB
如图,CD是 RtABC斜边AB高线 这里:AC、BC为直角边,AB为斜边,
CD是斜边上高
AD是直角边AC在斜边AB上射影, BD是直角边BC在斜边AB上射影。
E
DEAC
CD 2
CE
CA
A
D
B
CDAB DFCE B CCA
CD 2 CF CB
CF
CB CE
CF
CB CA
ECF BCA
CEF ∽ CBA.
第13页
F
E
分析:欲证 CEF∽ CBA. A D
B
已具备条件 ACB ECF 公共角
要么找角,
CEF B或 CFE A
要么找边.
CE CF CB CA
第12页
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF∽ CBA.C
F
证法一:
CDAB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD 2 BD AD
CB BD CD
第5页
直角三角形中,斜边上高线是两条 直角边在斜边上射影百分比中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边 上射影和斜边百分比中项.
这就是射影定理
第6页
在RtABC中,CD是高,则有
C
AC是AD,AB百分比中项。
BC是BD,AB百分比中项。
CD是BD,AD百分比中项。
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2
又∵CD⊥AB,∴BC2=BD·AB,
即( 1m)2=BD·m,∴BD1= m.
2
4
AD=AB-BD=1 m-3m= m.
44
由CD2=AD·B3D= m1 · m3 = m2,
4 4 16
得CD= 3 m.因此,BD的长是1 m,CD的长是3 m.
4
4
4
【思考】应用射影定理的前提条件是什么? 提示:应用射影定理的前提条件是存在直角三角形. (1)题1中连接CD,得到∠ADC=90°,这样就可以在Rt△ABC 中应用射影定理了. (2)题2中根据△ABC三个角的比,求出最大角是直角,也就确 立了△ABC是直角三角形,即奠定了应用射影定理的前提条件.
【典例训练】 1.如图,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3,4, 以AC为直径的圆与AB交于点D,则BD=_______.
2.如图,在△ABC中,AB=m,∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3, CD⊥AB于点D.求BD,CD的长.
【解析】1.连接CD.
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB= AC2 BC2 =352 . 42 由射影定理,得BC2=BD·AB, ∴BD=BC2 42 16 .
AB 5 5
答案:16
5
2.设∠BAC的度数为x,则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3, 得∠ABC的度数为2x,∠ACB的度数为3x.∵∠BAC+∠ABC+ ∠ACB=180°, ∴x+2x+3x=180°,解得x=30°. ∴∠ABC=60°,∠ACB=90°. ∵AB=m,∴BC1= m,
1.勾股定理能证明射影定理吗? 提示:能.∵AB2=(AD+DB)2 =AD2+2AD·DB+DB2, AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+DB2, ∴2CD2=2AD·DB, 即CD2=AD·BD.
AC2=AB2-BC2 =AD2+2AD·DB+DB2-CD2-DB2 =AD2+AD·DB=AD·AB. 同理BC2=BD·AB.
应用射影定理解决相关几何证明
应用射影定理证明几何题的思路 (1)从已知条件入手,当已知存在直角三角形时,可以考虑应 用射影定理得到比例中项,再寻求证明结论的过渡条件. (2)从证明的结论着眼,当证明的结论是等积式或比例式时, 观察是否存在涉及的线段是某个直角三角形的边.
【典例训练】 1.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D, 点E是AC上一点,CF⊥BE于点F.求证:△BFD∽△BAE.
AB 5 5
答案:9
16
5
5
4.如图所示,⊙O上一点C在直径AB上的射影为点D,CD=4,BD
=8,则⊙O的半径r等于________.
【解析】由直角三角形的射影定理,得
CD2=AD·DB,∴ADCD=2 =42 =2,
DB 8
∴r= 8 =25.
2
答案:5
5.已知:CD是Rt△ABC斜边AB上的高,若AD∶BD=9∶16,则
∴BF·BE=BD·BA,∴BF BD .
BA BE
又∵∠FBD=∠ABE,
∴△BFD∽△BAE.
2.(1)方法一:在Rt△ABC中,∵∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴S△ABC= 1AB·AC=1 AD·BC,
2
2
∴AB·AC=AD·BC.
方法二:在Rt△ABC中,∵∠BAC=90°,AD⊥BC, ∴AB2=BD·BC,AC2=CD·BC,AD2=BD·CD. ∴AB2·AC2=BD·BC·CD·BC, 即AB2·AC2=BD·CD·BC2, ∴AB2·AC2=AD2·BC2,∴AB·AC=AD·BC. (2)在Rt△ADB中,DE⊥AB,∴BD2=BE·AB. 同理CD2=CF·AC, ∴BD2·CD2=BE·AB·CF·AC.
又在Rt△ABC中,AD⊥BC,∴AD2=BD·CD, ∴AD4=BD2·CD2=BE·AB·CF·AC =BE·CF·AB·AC 又由(1)知AB·AC=AD·BC, ∴AD4=BE·CF·AD·BC, ∴AD3=BC·BE·CF.
【想一想】第2题是如何利用射影定理证明等积式或比例式的? 提示:(1)由直角三角形的射影定理可以得到等积式,证明过 程中需要根据题目恰当地进行选择. (2)同一条边所在的三角形不同,根据射影定理得到的等积式 也不相同. (3)在解决题2时,将得到的等积式进行了相乘、开方 等变形,最终目的是向题目结论过渡.
2.已知:CD是Rt△ABC斜边AB上的高,AD=2,DB=8, 则CD的长为______,AC的长为______,BC的长为_______. 【解析】在Rt△ABC中,由射影定理,得 CD2=AD·DB=2×8=16,∴CD=4. AC2=AD·AB=2×(2+8)=20,∴AC2 =5 . BC2=BD·AB=8×(2+8)=80,∴BC4=5 . 答案:4 2 5 4 5
AC∶BC=_________.
【解析】由射影定理,得
AC2=AD·AB,BC2=BD
AB AB
∴AD
BD
.9 ,
16
答案:3∶4
AC 3 BC 4
1.对点和线段的射影的理解 点的射影由点到直线的垂线段的垂足确定;线段的射影由线段 的两个端点的射影确定;“线段的射影”简记为:平行长不变, 倾斜长缩短,垂直成一点. 2.应用射影定理的两个条件 应用射影定理有两个条件:一是直角三角形,二是直角三角形 斜边上的高.有时需要作出斜边上的高,才能应用射影定理.
3.射影定理的逆定理及其证明思路 射影定理的逆定理也是成立的.证明这个命题,可从以下两方 面来考虑: (1)“射影”总是与“垂直”相伴,由此可以与“直角三角形” 相联系; (2)我们往往将等式CD2=AD·BD变形为 AD CD,这个比例式
CD BD
启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形”.
3.已知:CD是Rt△ABC斜边AB上的高,AC=3,BC=4,则AD的
长为_______,BD的长为_______.
【解析】在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB= AC2 B=C2 =325.42
由射影定理,得AC2=AD·AB,
∴AD=AC2 32 9;
AB 5 5
同理BD=BC2 42 16 .
应用射影定理解决几何计算问题
应用射影定理的技法 (1)已知三角形是直角三角形,或者有直角、垂线等,这是在 直角三角形中应用射影定理必需的条件. (2)遇已知圆有直径时,直径所对圆周角是直角,因此圆中有 关计算问题也常常考虑应用射影定理.
(3)运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,常常和直角 三角形的其他性质相结合,如勾股定理、三角函数关系、面积 公式等.
直角三角形的射影定理
1.射影 (1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引_垂__线___的垂足. (2)线段在直线上的正射影:线段的两个端点在这条直线上的 _正__射__影__间__的线段. (3)点和线段的_正__射__影__,简称为射影.
2.射影定理 (1)直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的_比__例__中__项__. 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_比__例__中__项___. (2)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, CD⊥AB于点D.则 CD2=__A_D_·__B_D_, BC2=_B_D_·__A_B__, AC2=_A_D_·__A_B__.
2.在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,DF⊥AC于点F, DE⊥AB于点E.求证: (1)AB·AC=AD·BC; (2)AD3=BC·BE·CF.
【证明】1.∵∠ACB=90°,CF⊥BE,
∴在Rt△BCE中,由射影定理,得BC2=BF·BE.
在Rt△ABC中,由射影定理,得BC2=BD·BA.
又∵CD⊥AB,∴BC2=BD·AB,
即( 1m)2=BD·m,∴BD1= m.
2
4
AD=AB-BD=1 m-3m= m.
44
由CD2=AD·B3D= m1 · m3 = m2,
4 4 16
得CD= 3 m.因此,BD的长是1 m,CD的长是3 m.
4
4
4
【思考】应用射影定理的前提条件是什么? 提示:应用射影定理的前提条件是存在直角三角形. (1)题1中连接CD,得到∠ADC=90°,这样就可以在Rt△ABC 中应用射影定理了. (2)题2中根据△ABC三个角的比,求出最大角是直角,也就确 立了△ABC是直角三角形,即奠定了应用射影定理的前提条件.
【典例训练】 1.如图,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3,4, 以AC为直径的圆与AB交于点D,则BD=_______.
2.如图,在△ABC中,AB=m,∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3, CD⊥AB于点D.求BD,CD的长.
【解析】1.连接CD.
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB= AC2 BC2 =352 . 42 由射影定理,得BC2=BD·AB, ∴BD=BC2 42 16 .
AB 5 5
答案:16
5
2.设∠BAC的度数为x,则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3, 得∠ABC的度数为2x,∠ACB的度数为3x.∵∠BAC+∠ABC+ ∠ACB=180°, ∴x+2x+3x=180°,解得x=30°. ∴∠ABC=60°,∠ACB=90°. ∵AB=m,∴BC1= m,
1.勾股定理能证明射影定理吗? 提示:能.∵AB2=(AD+DB)2 =AD2+2AD·DB+DB2, AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+DB2, ∴2CD2=2AD·DB, 即CD2=AD·BD.
AC2=AB2-BC2 =AD2+2AD·DB+DB2-CD2-DB2 =AD2+AD·DB=AD·AB. 同理BC2=BD·AB.
应用射影定理解决相关几何证明
应用射影定理证明几何题的思路 (1)从已知条件入手,当已知存在直角三角形时,可以考虑应 用射影定理得到比例中项,再寻求证明结论的过渡条件. (2)从证明的结论着眼,当证明的结论是等积式或比例式时, 观察是否存在涉及的线段是某个直角三角形的边.
【典例训练】 1.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D, 点E是AC上一点,CF⊥BE于点F.求证:△BFD∽△BAE.
AB 5 5
答案:9
16
5
5
4.如图所示,⊙O上一点C在直径AB上的射影为点D,CD=4,BD
=8,则⊙O的半径r等于________.
【解析】由直角三角形的射影定理,得
CD2=AD·DB,∴ADCD=2 =42 =2,
DB 8
∴r= 8 =25.
2
答案:5
5.已知:CD是Rt△ABC斜边AB上的高,若AD∶BD=9∶16,则
∴BF·BE=BD·BA,∴BF BD .
BA BE
又∵∠FBD=∠ABE,
∴△BFD∽△BAE.
2.(1)方法一:在Rt△ABC中,∵∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴S△ABC= 1AB·AC=1 AD·BC,
2
2
∴AB·AC=AD·BC.
方法二:在Rt△ABC中,∵∠BAC=90°,AD⊥BC, ∴AB2=BD·BC,AC2=CD·BC,AD2=BD·CD. ∴AB2·AC2=BD·BC·CD·BC, 即AB2·AC2=BD·CD·BC2, ∴AB2·AC2=AD2·BC2,∴AB·AC=AD·BC. (2)在Rt△ADB中,DE⊥AB,∴BD2=BE·AB. 同理CD2=CF·AC, ∴BD2·CD2=BE·AB·CF·AC.
又在Rt△ABC中,AD⊥BC,∴AD2=BD·CD, ∴AD4=BD2·CD2=BE·AB·CF·AC =BE·CF·AB·AC 又由(1)知AB·AC=AD·BC, ∴AD4=BE·CF·AD·BC, ∴AD3=BC·BE·CF.
【想一想】第2题是如何利用射影定理证明等积式或比例式的? 提示:(1)由直角三角形的射影定理可以得到等积式,证明过 程中需要根据题目恰当地进行选择. (2)同一条边所在的三角形不同,根据射影定理得到的等积式 也不相同. (3)在解决题2时,将得到的等积式进行了相乘、开方 等变形,最终目的是向题目结论过渡.
2.已知:CD是Rt△ABC斜边AB上的高,AD=2,DB=8, 则CD的长为______,AC的长为______,BC的长为_______. 【解析】在Rt△ABC中,由射影定理,得 CD2=AD·DB=2×8=16,∴CD=4. AC2=AD·AB=2×(2+8)=20,∴AC2 =5 . BC2=BD·AB=8×(2+8)=80,∴BC4=5 . 答案:4 2 5 4 5
AC∶BC=_________.
【解析】由射影定理,得
AC2=AD·AB,BC2=BD
AB AB
∴AD
BD
.9 ,
16
答案:3∶4
AC 3 BC 4
1.对点和线段的射影的理解 点的射影由点到直线的垂线段的垂足确定;线段的射影由线段 的两个端点的射影确定;“线段的射影”简记为:平行长不变, 倾斜长缩短,垂直成一点. 2.应用射影定理的两个条件 应用射影定理有两个条件:一是直角三角形,二是直角三角形 斜边上的高.有时需要作出斜边上的高,才能应用射影定理.
3.射影定理的逆定理及其证明思路 射影定理的逆定理也是成立的.证明这个命题,可从以下两方 面来考虑: (1)“射影”总是与“垂直”相伴,由此可以与“直角三角形” 相联系; (2)我们往往将等式CD2=AD·BD变形为 AD CD,这个比例式
CD BD
启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形”.
3.已知:CD是Rt△ABC斜边AB上的高,AC=3,BC=4,则AD的
长为_______,BD的长为_______.
【解析】在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB= AC2 B=C2 =325.42
由射影定理,得AC2=AD·AB,
∴AD=AC2 32 9;
AB 5 5
同理BD=BC2 42 16 .
应用射影定理解决几何计算问题
应用射影定理的技法 (1)已知三角形是直角三角形,或者有直角、垂线等,这是在 直角三角形中应用射影定理必需的条件. (2)遇已知圆有直径时,直径所对圆周角是直角,因此圆中有 关计算问题也常常考虑应用射影定理.
(3)运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,常常和直角 三角形的其他性质相结合,如勾股定理、三角函数关系、面积 公式等.
直角三角形的射影定理
1.射影 (1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引_垂__线___的垂足. (2)线段在直线上的正射影:线段的两个端点在这条直线上的 _正__射__影__间__的线段. (3)点和线段的_正__射__影__,简称为射影.
2.射影定理 (1)直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的_比__例__中__项__. 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_比__例__中__项___. (2)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, CD⊥AB于点D.则 CD2=__A_D_·__B_D_, BC2=_B_D_·__A_B__, AC2=_A_D_·__A_B__.
2.在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,DF⊥AC于点F, DE⊥AB于点E.求证: (1)AB·AC=AD·BC; (2)AD3=BC·BE·CF.
【证明】1.∵∠ACB=90°,CF⊥BE,
∴在Rt△BCE中,由射影定理,得BC2=BF·BE.
在Rt△ABC中,由射影定理,得BC2=BD·BA.